2020年北京中考数学模拟试卷(一)

∴CE=10,∴AE=6,∴BD=6.
22.(6分)如图,在Rt△ABE中,∠B=90°,以AB为直径的☉O交AE于点C,CE的垂直平分线FD交BE于点D,连接 CD. (1)判断CD与☉O的位置关系,并证明; (2)若AC·AE=12,求☉O的半径长.
解析 (1)答:CD与☉O相切.
证明:如图1,连接OC. ∵FD是CE的垂直平分线,
答案 A 58 000 000 000=5.8×1010.故选A.
5.若正多边形的一个外角是120°,则该正多边形的边数是 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3
答案 D 由多边形外角和为360°,可得360°÷120°=3.故选D.
6.如果x+y=4,那么代数式
2x x2 y
2
-
2y x2 y
∴在Rt△CDB中,sin∠CBD= CD = 4 .
CB 5
∴CB= 5 .∴CE=CB+BE=11 .
2
2
∴点C的纵坐标为11 .当点C在直线AB下方时,如图,
2
同理可求得CB=
5 2
,则CE=BE-CB=
1 2
.
∴点C的纵坐标为
1 2
.综上所述,点C的纵坐标为
11 2
或
1 2
.
24.(6分)阅读下面材料: 小腾遇到这样一个问题:如图1,在△ABC中,点D在线段BC上,∠BAD=75°,∠CAD=30°,AD=2,BD=2DC,求AC的长.
20.(5分)解方程:
x
x 1Βιβλιοθήκη -2x x21 1
=1.
解析 去分母,得x(x+1)-(2x-1)=x2-1,解得x=2. 经检验,x=2是原方程的解, ∴原方程的解为x=2.
21.(5分)已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AC⊥BD,垂足为M,过点A作AE⊥AC,交CD的延长线于点E. (1)求证:四边形ABDE是平行四边形; (2)若AC=8,sin∠ABD= 4 ,求BD的长.
∴DC=DE.∴∠E=∠DCE. ∵OA=OC,∴∠A=∠OCA. 又∵在Rt△ABE中,∠B=90°, ∴∠A+∠E=90°. ∴∠OCA+∠DCE=90°.∴OC⊥CD.∴CD与☉O相切. (2)如图2,连接BC. ∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=90°.∴△ACB∽△ABE. ∴ AC = AB .∵AC·AE=12,
AB AE
∴AB=2 3 .∴OA= 3 .
图1
图2
23.(6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=
3 4
x+1与x轴交于点A,且与双曲线y=
k x
的一个交点为B
8 3
,
m
.
(1)求点A的坐标和双曲线y= k 的表达式;
x
(2)若BC∥y轴,且点C到直线y= 3 x+1的距离为2,求点C的纵坐标.
度.
答案 75
解析 由对顶角相等可得∠AOB=30°, ∵OA=OB,∴∠A= 180 30 =75°.
2
10.若根式 x 1有意义,则实数x的取值范围是
.
答案 x≥1
解析 x 1 有意义,即被开方数x-1≥0,解得x≥1.
11.已知y是x的函数,其图象经过点(1,2),并且当x>0时,y随x的增大而减小.请写出一个满足上述条件的函数
全球最前沿的人工智能赛事冠军,这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量,它们决定着人工智
能深度学习的质量和速度,其中的一个大数据中心能存储58 000 000 000本书籍.58 000 000 000用科学记数
法表示为 ( )
A.5.8×1010 B.5.8×1011 C.5.8×109 D.0.58×1011
15.某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力,积极完善城镇居民医疗保险制度,纳入医疗保险的居 民大病住院医疗费用的报销比例标准如下表:
医疗费用范围
报销比例标准
不超过800元
不予报销
超过800元且不超过3 000元的部分
50%
超过3 000元且不超过5 000元的部分
60%
超过5 000元的部分
三、解答题(共68分)
17.(5分)下面是小华设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程.
已知:∠AOB.
求作:∠APC,使得∠APC=2∠AOB.
作法:如图,
①在射线OB上任取一点C;
②作线段OC的垂直平分线,交OA于点P,交OB于点D;
③连接PC,所以∠APC即为所求作的角.
根据小华设计的尺规作图过程,
.
答案 6π 解析 ∵∠B=30°,∴∠COA=60°. ∴阴影部分的面积为 60 ×π×62=6π.
360
13.据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借
助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.如图所示,木杆EF的长为2 m,它的影长FD为3 m,测
表达式
.
答案 答案不唯一,如y=-x+3 解析 若函数为一次函数y=kx+b,则k<0,不妨设k=-1,因为函数图象经过点(1,2),所以2=-1×1+b,解得b=3.函数 表达式为y=-x+3.答案不唯一.
12.如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,OA=6,∠B=30°,则图中阴影部分的面积为
4
解析 (1)对于直线y= 3 x+1,令y=0,得x=- 4 ,
4
3
∴点A的坐标为
4 3
,
0
.
∵点B
8 3
,
m
在直线y=
3 4
x+1上,∴
3 4
×8
3
+1=m,解得m=3.∵点B
8 3
,
3
在双曲线y=k
x
上,∴k=8.
∴双曲线的表达式为y= 8 .
x
(2)当点C在直线AB的上方时,过点C作CD⊥AB于点D,延长CB交x轴于点E,如图.
答案
A
可设买一件A商品需要x元,买一件B商品需要y元,由题意可列方程组为
3x 2x
2y 3y
160, 190,
解得
x
y
20, 50.
所以购买A商品的数量越多越便宜.故选A.
8.如图1,在等边三角形ABC中,AB=2,G是BC边上一个动点且不与点B、C重合,H是AC边上一点,且∠AGH= 30°.设BG=x,图中某条线段长为y,y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示,则这条线段可能是图中的
18.(5分)计算:
1 2
1
-(2-
3 )0-2sin 60°+|
3 -2|.
解析 原式=2-1-2× 3 +2- 3 =3-2 3 .
2
19.(5分)已知x2-2x-1=0,求代数式(x-1)2+x(x-4)+(x-2)·(x+2)的值. 解析 原式=x2-2x+1+x2-4x+x2-4=3x2-6x-3. ∵x2-2x-1=0,∴原式=3(x2-2x-1)=0.
5·3综合测试卷(一)
数学试题 (考试时间120分钟,满分100分) 一、选择题(每小题2分,共16分) 1.下列图形选自历届世博会会徽,其中是轴对称图形的是( )
答案 B 选项A、C、D均不是轴对称图形,故选B. 2.实数a,b在数轴上的位置如图所示,以下说法正确的是( )
A.a+b=0 B.b<a C.|b|<|a| D.ab>0 答案 C 由数轴可知-2<a<-1,0<b<1,所以a+b<0,a<b,|b|<|a|,ab<0,选项C正确.故选C.
2
的值是
(
)
A.-2 B.2 C. 1 D.- 1
2
2
答案
C
2x x2 y2
2y
- x2 y2
= 2(x y)
(x y)(x
y)
=
x
2
y
,∵x+y=4,
∴原式= 2 = 1 .故选C.
42
7.现有A、B两种商品,买3件A商品和2件B商品共需160元,买2件A商品和3件B商品共需190元.如果准备购买 A、B两种商品共10件,下列方案中费用最低的为 ( ) A.A商品7件和B商品3件 B.A商品6件和B商品4件 C.A商品5件和B商品5件 D.A商品4件和B商品6件
()
A.线段CG B.线段AG C.线段AH D.线段CH 答案 D 从特殊点考虑,当x接近0时,根据函数图象可知y接近1,题图中只有AH=CH=1,故可排除A、B;当 G点越来越接近C点时,点H越接近点C,则CH的长度越接近0.故选D.
二、填空题(每小题2分,共16分)
9.图1是一把园林剪刀,把它抽象为图2,其中OA=OB,若剪刀张开的角为30°,则∠A=
事件发生 0.245 的频率
0.248
0.251
0.253
0.249
0.252
0.251
估计这个事件发生的概率是 件发生的概率大致相同: .
(精确到0.01),试举出一个随机事件的例子,使它发生的概率与上述事
答案 0.25;从一副去掉大小王的扑克牌中抽出一张牌,牌的花色是红桃(所举事件不唯一)
解析 通过事件发生的频率可以发现,均在0.25左右,所以这个事件发生的概率利用频率估计为0.25.只要举 一个发生概率为0.25的事件即可,答案不唯一.
边与路的边缘成45°角,那么这个路段最多可以划出
个这样的停车位.( 2 ≈1.4)
答案 17
解析 如图,易知BC=2.2×cos 45°=2.2× 2 ≈1.54米,
2 2
CE=5sin 45°=5× 2 ≈3.5米,则BE=BC+CE=5.04米,
2
EF=2.2÷sin 45°=2.2÷ 2 ≈3.14米, (56-5.04)÷3.14+1=50.96÷3.14+1≈16+1=17(个). 故这个路段最多可以划出17个这样的停车位.
得OA为201 m,则金字塔的高度BO为
m.
答案 134
解析 由题意可知△BOA∽△EFD, ∴ BO = OA .∴ BO = 201 .∴BO=134 m.
EF FD 2 3
14.在某次试验数据整理过程中,某个事件发生的频率情况如下表所示.
试验次数 10
50
100
200
500
1 000
2 000
3.方程组
x 2
y x
10, y 16
的解是
(
)
x 6,
A.
y
4
x 5,
B.
y
6
x 3,
C.
y
6
x 2,
D.
y
8
答案
A
x y 10,① 2x y 16.②
②-①得x=6,把x=6代入①式,得y=4,
所以,原方程组的解为
x
y
6, 4.
故选A.
4.在国家大数据战略的引领下,我国在人工智能领域取得显著成就.我国自主研发的人工智能“绝艺”获得
5
解析 (1)证明:∵AC⊥BD,AE⊥AC,
∴AE∥BD,
∵AB∥DC,∴AB∥DE.
∴四边形ABDE为平行四边形.
(2)∵四边形ABDE为平行四边形,
∴BD=AE,∠E=∠ABD.∵sin∠ABD= 4 ,∴sin∠E= 4 .
5
5
在Rt△EAC中,AC=8,∴sin∠E= 8 = 4 ,
EC 5
(1)使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明(说明:括号里填写推理的依据).
证明:∵DP是线段OC的垂直平分线,
∴OP=
(
).∴∠O=∠PCO.
∵∠APC=∠O+∠PCO(
).∴∠APC=2∠AOB.
解析 (1)补全的图形如图所示:
(2)PC;线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和.
小腾发现,过点C作CE∥AB,交AD的延长线于点E,通过构造△ACE,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2) .
请回答:∠ACE的度数为
,AC的长为
.
参考小腾思考问题的方法,解决问题:
如图3,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,∠CAD=30°,∠ADC=75°,AC与BD交于点E,AE=2,BE=2ED,求BC的长.
图3
解析 ∠ACE的度数为75°,AC的长为3. 解决问题: 过点D作DF∥AB交AC于点F,如图. ∴∠DFE=∠BAC=90°,又∠AEB=∠FED,
BE AE AB
∴△ABE∽△FDE.∴ DE = FE = FD . ∵BE=2ED,AE=2,∴FE=1,∴AF=3.
∵∠CAD=30°,∴FD= 3 ,AD=2 3 . ∵ AB =2,∴AB=2 3 .∵∠ADC=75°,∠CAD=30°,
70%
设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x元,按上述标准报销的金额为y元.请写出800<x≤3 000
时,y关于x的函数关系式为
.
答案 y= 1 x-400
2
解析 由题表可知y=50%×(x-800),所以y= 1 x-400.
2
16.为解决停车难的问题,在如图一段长56米的路段开辟停车位,每个车位是长5米、宽2.2米的矩形,矩形的
由(1)知OA= 4 .
3
∵BC∥y轴,∴CE⊥x轴.∴∠BEA=90°,OE= 8 ,BE=3.
3
∴AE=AO+OE=4.∵在Rt△ABE中,BE=3,AE=4,
∴AB= AE2 BE2 =5.∴sin∠ABE= AE = 4 .
AB 5
∵CD⊥AB于点D,点C到直线AB的距离为2,
∴∠CDB=90°,CD=2.∵∠CBD=∠ABE,