基于双PID的旋转倒立摆控制系统设计与实现_刘二林

基于双PID 的旋转倒立摆控制系统设计与实现

Design and implementation of rotary invert pendulum based on dual PID

刘二林1，姜香菊2

LIU Er-lin 1, JIANG Xiang-ju 2

（1. 兰州交通大学 机电工程学院，兰州 730070；2. 兰州交通大学 自动化与电气工程学院，兰州 730070）摘 要：设计了一款简易旋转倒立摆。对所设计的旋转倒立摆进行了分析，利用Lagrange方程建立了系统的数学模型。在MATLAB中，通过双PID控制模式对旋转倒立摆控制进行仿真，仿真结果与实际运行结果相符合。将MATLAB中的双PID控制算法移植到微控制器中，实现了对旋转倒立摆系统的控制。将系统实际运行参数通过串口上传至上位机，并在虚拟示波器中进行显示。实际运行结果表明所设计的双PID控制器能实现对旋转倒立摆的控制，系统稳定性好，鲁棒性好。

关键词：旋转倒立摆；数学模型；双PID控制器中图分类号：TP13 文献标识码：A 文章编号：1009-0134(2015)03(下)-0139-04Doi：10.3969/j.issn.1009-0134.2015.03(下).43

收稿日期：2014-12-02

基金项目：甘肃省高等学校科研项目（214117）

作者简介：刘二林（1977 -），男，河南人，讲师，硕士，研究方向为测控技术和智能控制。

0 引言

倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多领域、多技术的有机结合，其控制系统本身是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为典型的控制对象对其进行研究。倒立摆的种类很多，有直线倒立摆、旋转倒立摆、平面倒立摆等。旋转倒立摆是三种形式的倒立摆中结构较简单的一种。相对于小车式的直线倒立摆而言，由于其将小车控制改为悬臂的旋转控制，其中间环节较少，机械结构较容易实现；但是其受力分析更加复杂，具有更大的非线性、不稳定及复杂性，对控制算法提出了更高的要求[1,2]。

论文中，采用直流电机，减速机构，微控制器，电机驱动芯片，1024线绝对式编码器等设计了一个一级旋转倒立摆；同时，利用拉格朗日方程对倒立摆进行了动力学分析，建立了系统完整的数学模型，并在MATLAB 中采用双PID 控制模式进行了控制器设计，并进行了仿真验证。最后，将设计的控制器移植到微控芯片中进行了实际测试，并将测试结果通过通讯模块上传至上位机进行了数据分析。结果表明，设计的系统机械结构合理，响应速度快，鲁棒性好。

1 旋转倒立摆基本结构

旋转倒立摆主要由倒立摆支撑机架、电机、减速装置、摆杆、旋臂、1024线位置式编码器、BT7960构成的H 桥电路及微控制器芯片组成。倒立摆结构框图及实物图如图1

所示。

(a) 倒立摆结构框图

(b) 倒立摆实物图

图1 倒立摆结构及实物图

在图1(b)中，旋转倒立摆的旋臂与减速器的输出轴联接，减速器由直流电机驱动[3,4]，编码器1的齿轮与直流电机主轴齿轮啮合。通过获取编码器1的角度和角速度可以计算出旋臂的角度和角速度。编码器2安装在旋臂末端，且编码器2的旋转轴与旋臂的主轴平行；摆杆安装在编码器2的旋转轴上，摆杆轴线与编码器旋转轴垂直。系统中，旋臂只能以减速器动力输出轴为圆心做

水平旋转，摆杆只能以编码器2旋转轴为圆心在旋臂末端旋转轨迹的切面上做竖直旋转。

2 旋转倒立摆数学模型

对旋转倒立摆进行受力分析，建立广义坐标系。系统的简化模型如图2所示。利用拉格朗日方程建立系统的运动学微分方程[1,5～8]。

由图2可知，系统中摆杆与旋臂各有一个自由度，所以，可以取α和θ为广义坐标。则倒立摆系统的动能由四部分组成。

1234T T T T T =+++ (1)其中T 1为旋臂的转动动能，；T 2为摆

杆的转动动能，；T 3为摆杆沿X 轴方向运

动的动能，；T 4为摆杆沿Y 轴方向运动的动能，

。

因为α→0，所以sin α→0，cos α→1，将式1各项进行计算合并，并且对其进行线性化处理可得：

(2)

图2 系统简化模型

系统的广义力为：

，

；所以根据拉格朗日方程有：

(3)

(4)

由式(3)可得： (5)

式(5)中，T

o u t

为电机输出扭矩，。

由式(4)可得：

(6)

将式(4)、式(5)联立组成方程组，得到倒立摆系统线性化状态方程。

(7)

式(7)中：

以上各式中，参数的物理意义、数值及单位如表1

所示。

3 旋转倒立摆控制器设计

旋转倒立摆的控制目标是：使倒立摆摆杆稳定在正上方，摆杆角度α→0，旋臂角速度→0；或者使倒立摆在倒立的情况下匀速旋转。如果用传递函数对理想倒立摆系统进行分析，可以发现系统有一个极点在s 平面的右半平面，系统不稳定。系统如果希望达到α→0的目标，可以通过PID 控制器使系统的两个极点都位于s 平面的左半平面，则倒立摆系统稳定[9～12]。

通过分析，为了使摆杆和悬臂都稳定在期望的位置，对旋臂和摆杆使用PID 控制，在控制器中，PID 控制器1对倒立摆摆杆的角度α进行控制，控制器输出为正反馈；PID 控制器2对旋臂的角速度进行控制，控制器输出为负反馈。控制系统结构图如图6

所示。

图3 双PID 控制仿真系统结构图

在仿真过程中，取倒立摆模型的摆杆角度α的初始值为-0.175（约为10度），旋臂初始角度为0。取K p1=100，K d1=20，K i1=1.5，取K p2=2.2，K d2=0.08，K i2=0.01，PID2控制器输出的电压值限幅范围为：-5V ～+5V ，控制器总体输出的电压值限幅范围为：-10V ～+10V ，控制器输出部分的m 文件如下：

function sys=mdlOutputs(t,x,u)Out1=100*u(4)+20*u(5)+1.5*u(6);Out2=2.2*u(1)+0.08*u(2)+0.01*u(3);if Out2>5 Out2=5;elseif Out2<-5 Out2=-5;end

Out=Out1-Out2;if Out>10 Out=10;elseif Out<-10 Out=-10;end sys(1)=Out;

如果摆杆角度设定值为α=0，旋臂角速度设定值为=0，则仿真结果如图4

所示。

图4 α=0，=0时双PID 仿真曲线

通过仿真曲线图可以看出，倒立摆系统的摆杆会稳定的停留在α=0处，但是由于摆杆初始角度的存在，同时PID 控制器2控制的变量为摆杆的角速度，且=0；所以，旋臂会稳定在3rad 附近。这与实际控制过程相符合。

如果摆杆角度设定值为α=0，旋臂角速度设定值为=0.5，则仿真结果如图5所示。

通过仿真曲线可以看出，倒立摆旋臂会沿着设定的方向匀速旋转，摆杆的角度会略微偏离0角度，α≈2.1×10-3。这也与旋转倒立摆的实际运行曲线相符合。

4 旋转倒立摆实际运行数据分析

将Matlab 中的控制算法移植到微控制器中，通过虚拟示波器将摆杆的角度及旋臂的角速度传到上位机中。上位机虚拟示波器显示的波形图如图6所示。

图6中，纵坐标为角度和角速度，对于角度而言，其单位为：

表1 状态方程中各参数列表

符号物理意义数值单位d 旋臂长度0.60m m 1旋臂质量0.250kg L 摆杆长度0.28m m 2摆杆质量0.117kg g 重力加速度9.8m/s 2R m 电机电枢电阻3

Ωα摆杆与Y 轴的夹角rad θ旋臂的转角rad

η动力系统效率0.7k f 力矩系数0.008k g 齿数比11k m 反向电动势0.008C 1旋臂阻尼系数0.001C 2

摆杆阻尼系数

0.0005