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不等式证明之放缩法
不等式证明之放缩法放缩法是一种常用的不等式证明方法，它通过对不等式两边进行一系列放缩操作，从而逐步缩小不等式范围，最终达到证明不等式成立的目的。
本文将对放缩法的基本思想和几种常用的放缩方法进行详细介绍。
首先，我们来介绍放缩法的基本思想。
放缩法的核心思想是通过对不等式两边进行放缩操作，把原来的不等式转化为一个更容易证明的不等式。
在放缩过程中，我们可以利用不等式的性质、算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦茨不等式等数学工具，结合实际问题的特点，灵活选择适当的放缩方法，从而得到具有更强的推理力度的不等式，最终完成不等式的证明。
接下来，我们介绍几种常用的放缩方法。
1.替换法：通过替换变量，将原不等式中的复杂变量替换为新的变量，使得不等式形式变得更加简单，更易证明。
这个方法可以常常应用于含有多个变量的不等式中，通过替换变量后，使得原来复杂的不等式简化为只含有一个变量的不等式。
2.增量法：通过引入一个增量，将原不等式中的变量加上增量后，得到一个更容易证明的不等式。
这个方法常常适用于原不等式中含有与增量具有类似性质的变量，可以通过增量的引入，改变原不等式的结构，使得证明变得更加简单。
3.分割法：将整个证明过程分为若干个子证明，通过对每个子证明的分割和放缩操作，最终得到整个不等式的证明。
这个方法常常适用于原不等式较为复杂或不易直接证明的情况，通过将证明分割为若干个子证明，分别证明每个子证明的不等式，最后再将这些子证明的不等式组合起来，得到原不等式的证明。
4.对称法：通过对不等式的两边同时进行操作，得到具有对称性的不等式，从而实现原不等式的放缩。
这个方法常常适用于原不等式中含有对称性的项，通过对称性的放缩操作，不仅可以得到更容易证明的不等式，也可以将原不等式变得更加简洁明了。
以上只是常用的放缩方法中的一部分，实际应用中还有很多其他的放缩方法，需要根据具体问题的情况选择适当的方法。
无论使用哪种放缩方法，都需要注意选择合适的放缩范围，并保证放缩后的不等式在放缩范围内成立，才能保证最终得到的不等式是正确的。
放缩法证明不等式
高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n knk (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn n n 21121)12(21--=- (6) n n n -+<+221 (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+ (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明4712111222<+++n ．由k k k11112--<，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．例18 求证2131211222<++++n ． 分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从21n 下手考查即可． 证明：∵)2(111)1(11112≥--=-<⋅=n nn n n n n n ， ∴ +⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<++++312121111131211222n 212111<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+n n n201417. (12分)已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+.(I)证明{12}n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(II)证明2111132n a a a +++<.【答案解析】解析：(I)∵131n n a a +=+11331111)223(22n n n n a a a a ++∴⇒+=+++=+ 1112132a a =+⇒= ∴{12}n a +是首项为32，公比为3的等比数列∴1*131333,2222n n n n n a a n N --⋅+==∈=⇒ (II)由(I)知，*13,2n n a n N -=∈，故 121213*********(13)n n a a a +++=++-+-- 12110331112()3333n n --+-≤+-+12111()11131331(1()).133323213nn n --=++++==⋅-<- 例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222n nn -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先n n n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<1211212144411222n n n n n ,所以 35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n。
证明不等式的定积分放缩法
证明不等式的定积分放缩法定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过对不等式两边进行积分，利用积分的性质来证明不等式的正确性。
具体来说，我们可以通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
下面我们以一个简单的例子来说明定积分放缩法的具体应用。
假设我们要证明如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{3}$$我们可以通过放缩被积函数$x^2$ 的大小来证明该不等式。
具体来说，我们可以将 $x^2$ 放缩为 $x$，即：$$x^2 \leq x, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \int_0^1 x dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2}$$但是，这个结论并不能证明原不等式的正确性。
为了进一步放缩被积函数的大小，我们可以将 $x$ 放缩为 $1$，即：$$x \leq 1, \quad 0 \leq x \leq 1$$因此，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x dx \leq \int_0^1 1 dx$$对右侧的积分进行计算，可以得到：$$\int_0^1 1 dx = 1$$因此，我们可以得到如下结论：$$\int_0^1 x dx \leq 1$$综合以上两个结论，我们可以得到如下不等式：$$\int_0^1 x^2 dx \leq \frac{1}{2} \leq \frac{1}{3}$$因此，原不等式得证。
可以看出，通过定积分放缩法，我们成功地证明了该不等式的正确性。
总的来说，定积分放缩法是一种常用的证明不等式的方法，它的基本思想是通过放缩被积函数的大小，从而得到一个更加简单的不等式，进而证明原不等式的正确性。
用放缩法证明数列中的不等式
用放缩法证明数列中的不等式数列的放缩法是一种通过递推关系以及寻找合适的不等式对数列进行估计的方法。
该方法在不失一般性的情况下，常常可以将原数列与一个已知数列进行比较，从而推导得出数列的性质。
本文将通过数学归纳法，对给定的数列进行放缩法证明，并给出详细推导过程。
假设我们有一个数列${a_n}$，其中$n \geq 1$。
我们要证明数列中的不等式，即要证明对于任意的$n \geq 1$，有$a_n \leq b_n$，其中${b_n}$是一个已知的数列。
我们将使用数学归纳法来证明这个结论。
首先，我们对$n=1$进行证明，即证明$a_1 \leq b_1$。
因为$n=1$是最小的情况，所以我们直接检验$a_1$和$b_1$的大小关系即可。
接下来，我们假设当$n=k$时，不等式$a_k \leq b_k$成立，即数列前$k$项满足不等式。
然后，我们要证明当$n=k+1$时，不等式$a_{k+1} \leq b_{k+1}$也成立。
根据数列的递推关系，我们可以推导出数列前$k+1$项的关系式：$$a_{k+1}=f(a_k)$$其中$f(x)$是一个函数，表示数列的递推关系。
由于我们已经假设在$n=k$时$a_k \leq b_k$成立，因此我们可以得到：$$a_{k+1} = f(a_k) \leq f(b_k)$$这是因为$f$是一个单调递增的函数，所以不等式保持不变。
根据已知数列${b_n}$的性质，我们可以得到：$$f(b_k) \leq b_{k+1}$$这里的不等式是基于对已知数列的假设，即已知数列${b_n}$满足这个不等式。
综合以上的不等式关系$$a_{k+1} \leq f(b_k) \leq b_{k+1}$$因此，当$n=k+1$时不等式$a_{k+1} \leq b_{k+1}$也成立。
根据数学归纳法原理，我们可以得出结论：对于任意的$n \geq 1$，数列${a_n}$满足不等式$a_n \leq b_n$。
不等式证明 之 放缩法
不等式证明 之 放缩法放缩法的定义所谓放缩法，即要证明不等式A<B 成立，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A 放大成C ，即A<C ，后证C<B ，这种证法便称为放缩法。
使用放缩法的注意事项（1）放缩的方向要一致。
（2）放与缩要适度。
（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。
（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。
典例分析：例1、 设x>y>z ，n *N ∈，且z x n z y y x -≥-+-11恒成立，求n 的最大值.例2、 已知：x>0，y>0，z>0，求证：z y x z yz y y xy x ++>+++++2222.例3、 求证：n n n 21...31211112<++++<-+）（， n *N ∈.例4、 求证：21...31211222<++++n ，n *N ∈.变式：求证：471...31211222<++++n，n *N ∈.例5、 已知：)()1(...433221+∈+⨯++⨯+⨯+⨯=N n n n a n ，， 求证：2)2(2)1(+<<+n n a n n n .例6、{}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+（1） 用数学归纳法证明：n b n ≥（2） 1231111...3333n n T b b b b =++++++++，求证：12n T < 解：(1)略(2) 13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++又 n b n ≥132(3)n n b b +∴+≥+ ， *n N ∈ 迭乘得：11132(3)2n n n b b -++≥+≥ *111,32n n n N b +∴≤∈+ 234111111111 (2222222)n n n T ++∴≤++++=-< 点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。
专题10 放缩法证明数列不等式之常数型与函数型(解析版)
放缩法证明数列不等式之常数型与函数型◆题型一:放缩法证明数列不等式之常数型 方法解密:放缩法证明数列不等式属于数列大题中较有难度的一种题型.大部分是以证明某个数列和大于或小于一个常数类型,小部分是证明某个数列前n 项和或者积大于或小于一个函数(下一专题详解).本专题我们来介绍最常见的常数类型. 放缩的目的有两个:一是通过放缩使数列的和变换成比如裂项相消等可以简单求和的形式,这样可以方便比较大小.二是两者之间无法直接比较大小,这样我们需要通过寻找一个媒介,来间接比较大小. 放缩的原则:放缩必然会导致数变大或者变小的情况,我们的原则是越精确越好.在证明过程中,为了使放缩更精确,往往会第一项不变,从第二项或者第三项开始放缩(例题会有讲解). 放缩的方法:(1)当我们要证明多项式M A <时,我们无法直接证明两者的大小,这时我们可以将多项式M 放大为1N ,当我们能够证明1N A <,也间接证明了M A <.切不可将M 缩小为2N ,即使能够证明2N A <,M 与A 的关系无法得证.(2)当我们要证明多项式M A >时,这时我们可以将多项式M 缩小为1N ,当我们能够证明1N A >,也间接证明了M A >.需要放缩的多项式多以分式形式出现,要使得分式的值变大,就是将分母变小,常见是将分母减去一个正数,比如1. 常见的放缩形式:（1）()()21111211n n n n n n<=-≥--； （2）()2111111n n n n n >=-++；（3）2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭； （5(()2121n n n n n n n n==--≥+-+； （6(211n n n n n n n =>=++++；（7222212111212122n n n n nn n n n ==--++-++-++； （8）()()()()()()()1211222211212121212122212121nn n n n n n n n n n n n ---=<==----------()2n ≥；（12）()()()111121122121212121n nn n n n n ---<=-≥-----.类型一:裂项放缩 【经典例题1】求证22221111.....2123n ++++< 【解析】因为()()2211111211n n n n n n n n <==-≥---,所以2222222211111111111111..........11.....=22123122332231n n n n n n ++++<++++=+-+-++--<----,所以原式得证. 为什么第一项没有经过放缩,因为分母不能为0,所以只能从第二项进行放缩.总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式1】求证222211117 (1234)n ++++< 【解析】因为()()()221111112111211n n n n n n n ⎛⎫<==-≥ ⎪-+--+⎝⎭,所以222222221111111111111111........11....1231213112324351n n n n ⎛⎫++++<++++=+-+-+-+- ⎪----⎝⎭11117=112214n n ⎛⎫++--< ⎪+⎝⎭,所以原式得证. 总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式2】求证222211115 (1233)n ++++<【解析】因为()()()221111112111211n n n n n n n ⎛⎫<==-≥ ⎪-+--+⎝⎭,所以 222222222111111111111111111........1....12312311222435461n n n n ⎛⎫++++<++++=++-+-+-++- ⎪---⎝⎭11111151115=1=422313213n n n n ⎛⎫⎛⎫+++---+< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭,注意这是保留前两项,从第三项开始放缩.总结:通过例1和变式题我们发现,我们对分式的进行放大,分母我们依次减去的数是n,1.不难发现,这些数递减,所得的结果也是递减的.说明减去的数越小,所得的结果越精确.同时通过两道变试题我们也发现,保留前几项不动,这样放缩的精度也会高一些.有些模拟题中,经常出现保留前2项到3项不动的情况.那么作为学生如何判断从第几项开始放缩呢?这需要学生去尝试和试错,如果第一项不行,那就尝试第二项,第三项.【经典例题2】已知2,2n n n a b n ==,设1n n nc a b =+,求证:1243n c c c +++<.【解析】已知2,2n n na b n ==,因为 222441122(21)2(21)(21)(21)2121n c n n n n n n n n n n ⎛⎫===<=- ⎪+++-+-+⎝⎭所以1221111112224233557212133132n c c c n n n ⎛⎫+++<+-+-++-=+-< ⎪-++⎝⎭,故不等式得证.【经典例题3】已知数列{}n a 满足11a =，*11(2,)n n n a a n n n--≥∈=N ， （1）求n a ;（2）若数列{}n b 满足113b =，*121()n n n b b n a ++∈=N ，求证：2512n b <． 【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析． 【详解】 （1）由题意11n n a na n -=-（2n ≥）， ∴321121231121n n n a a a na a n a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-，11a =也适合．所以n a n =（*n N ∈）； （2）由已知1125312b =<，214251312b b =+=<，32214119252341212b b =+=+=<， 当3n ≥时，121111(1)1n n b b n n n n n+-=<=---， 因此1343541()()()n n n b b b b b b b b ++=+-+-++-1911111125125()()()12233411212n n n <+-+-++-=-<-， 则1212512n n b b n +=-< 综上，2512n b <．类型二:等比放缩所谓等比放缩就是数列本身并非为标准的等比数列,我们将数列的通项经过一定的放缩使之成为一个等比数列,然后再求和,我们通过例题进行观察了解. 【经典例题4】证明:12311115 (212121213)n ++++<----【解析】令121n na =-,则1111212111212222n n n n n n n n a a a a ++++--=<=⇒<-- 又因为1211,3a a ==,由于不等式右边分母为3 ,因此从第三项开始放缩,得21121222111115321122312n n n a a a a a a a --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++<++++=+<⎪⎝⎭-故不等式得证.【经典例题5】已知数列{}n a 满足：12a =，1122n n n a a ++=+，*n N ∈.（1）求证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列并求n a ；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）求证：2132431111112n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<----. 【答案】（1）证明见解析，2nn a n =⋅；（2）1(1)22n n S n +=-+；（3）证明见解析.【详解】（1）证明：1111122211222222n n n n n n nn n n n n na a a a a a ++++++-=-=+-=， ∴2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1112a =，公差为1的等差数列， ∴1(1)12nn a n n =+-=，∴2n n a n =⋅. （2）∵1231222322n nS n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅， ∴234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 两式相减得：123122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，()1212212n n n n S +-=-⋅--，∴1(1)22n n S n +=-+.（3）证明：∵2n n a n =⋅，∴11(1)2n n a n ++=+⋅，∴1(2)2n n n a a n +-=+⋅，当*n N ∈时，22n +>，∴1(2)22n n n ++⋅>， ∴111(2)22n n n +<+⋅，∴21324311111n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅----234111112222n ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅< 111421111122212nn ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎝⎭==-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-.【练习1】已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21nn n S a S =-．（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）证明：2221274n S S S +++<． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）当2n ≥时，211nn n n S S S S --=-，11n n n n S S S S ---=，即1111n n S S --=从而1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）可知，()11111n n n S S =+-⨯=，1n S n∴=． 则当2n ≥时222111111211n S n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭． 故当2n ≥时22212111111111123224211n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111137111221224n n ⎛⎫=++--<+⋅= ⎪+⎝⎭ 又当1n =时，21714S =<满足题意，故2221274n S S S +++<． 法二：则当2n ≥时22211111n S n n n n n =<=---， 那么222121111111717142334144n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<++-+-+-=-< ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 又当1n =时，21714S =<，当时，21714S =<满足题意.【练习2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：32n T <． 【答案】（1）()*1n a n n N =+∈．（2）见解析【解析】（1）当1n =时，111112S a a =+-，即12a =， 当2n ≥时，112n n n S na a =+-①，()1111112n n n S n a a ---=-+-②， ①-②，得：()112122n n n n n a na n a a a --=--+-，即()11n n na n a -=+， 11n n a a n n-∴=+，且112a=，∴数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以每一项均为1的常数列，则11n a n =+，即()*1n a n n N =+∈；（2）由（1）得1n a n =+，()()2222211221n a n n n n n ∴=<=-+++， 11111111113113243522122n T n n n n ∴<-+-+-++-=+--<+++.【练习3】已知函数()32x f x x=-，数列{}n a 中，若1()n n a f a +=，且114a =.（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12n S <. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 （1）由函数()32x f x x=-，在数列{}n a 中，若1()n n a f a +=，得：132n n n a a a +=-， 上式两边都倒过来，可得：11n a +＝32n na a -＝3n a ﹣2，∴11n a +﹣1＝3n a ﹣2﹣1＝3n a ﹣3＝3（1n a ﹣1）．∵11a ﹣1＝3．∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1），可知：11n a -＝3n ，∴a n ＝131n +，n ∈N*．∵当n ∈N*时，不等式131n +＜13n成立． ∴S n ＝a 1+a 2+…+a n ＝2121111111 (313131333)nn +++<++++++＝11133113n⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭-＝12﹣12•13n＜12．∴1S 2n <．【练习4】已知函数2()2f x x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n P n S 均在函数()y f x =的图象上．若()132n n b a =+ （1）当2n ≥时，试比较1n b +与2nb 的大小；（2）记)*1n nc n N b =∈试证1240039c c c ++⋯+<. 【答案】（1）12bnn b +<；（2）证明见解析. 【详解】（1）2()2f x x x ∴=-，故22n S n n =-，当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=-， 当1n =时，111a S ==-适合上式，因此()*23n a n n N =-∈.从而1,1,22nb nn n b n b n +==+=，当2n ≥时，()01211 1nn n n C C n =+=++⋯>+故122nb nn b +<=（2）1n n c b n=11c =，()*2(1),21n n n N n n n n n n =<=-∈≥++- )12400 (12212)32 (2)400399c c c +++<++++400139==.◆题型二:放缩法证明数列不等式之函数型 方法解密:数列放缩较难的的两类便是形如数列的前n 项和与函数()f n 的不等关系,即12()n a a a f n +++<或者数列前n 项积与函数()f n 的不等关系,即12n a a a ⋅⋅⋅<()f n 的问题,其中,这里的前n 项和与前n 项积难求或者是根本无法求.面对这类题时,首先,我们可以将()f n 看成某个数列的和或者积,然后通过比较通项的大小来解决;其次,我们也可以对n a 进行变形,使之能求和或者求积.往往第二种方法难以把握,对学生综合素质要求较高.而第一种方法相对简单易行,所以本专题以“拆项”为主线详细讲解.【经典例题1】已知数列*113,31,2n n a a a n N +==-∈ (1)若数列{}n b 满足12n n b a =-,求证:数列{}n b 是等比数列。
用“放缩法”证明不等式的基本方法
用“放缩法”证明不等式的基本方法放缩法是一种常用的证明不等式的方法，其基本思想是通过对不等式的各项进行放缩来证明原不等式。
下面我将详细介绍放缩法的基本方法。
首先，我们需要明确放缩法的基本原则：不等式放缩法（缩放法）的基本思想是通过构造一个比原不等式更简单或更明显的不等式，然后再通过适当选择放缩参数的取值来证明原不等式成立。
放缩方法常常被用于求解带有未知参数的不等式。
下面，我将分为三个部分详细介绍放缩法的具体方法。
第一部分：确定放缩参数1.首先，我们需要确定一个或多个放缩参数，这些参数通常是未知数或表达式，我们需要通过合理地选择参数的取值范围来达到证明不等式的目的。
2.选择放缩参数时需要考虑以下因素：-参数的变化范围是否与不等式的条件相符。
例如，如果不等式的条件是x>0，那么我们需要选择的放缩参数在x>0的范围内变化。
-参数的取值是否能够使得不等式的其中一项更加简化，或者使得整个不等式更加明显。
第二部分：构造放缩不等式1.通过放缩参数我们可以构造一个新的不等式，这个不等式通常比原不等式更简单或更明显。
2.构造方法有多种，常见的有：- 使用平方差公式：对于任意实数a和b，有(a-b)^2>=0，可以得到a^2+b^2>=2ab。
这个放缩方法常用于证明关于平方的不等式，例如证明a^2+b^2>=2ab的形式不等式。
- 使用柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)。
这个放缩方法常用于证明关于多个变量的不等式，例如证明(x1^2+x2^2+...+xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)>=(x1y1+x2y2+...+xnyn)^2的形式不等式。
第三部分：选择放缩参数取值1.在得到放缩不等式之后，我们需要通过适当选择放缩参数的取值来证明原不等式。
放缩法证明不等式
放缩法证明不等式所谓放缩法，就是针对不等式的结构特征，运用不等式及有关的性质，对所证明的不等式的一边进行放大或缩小或两边放大缩小同时兼而进行，以达到证明结果的方法。
但无论是放大还是缩小都要遵循不等式传递性法则，保证放大还是缩小的连续性，不能牵强附会，须做到步步有据。
比如：证a ＜b ，可先证a ＜h 1，成立，而h 1＜b 又是可证的，故命题得证。
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。
“放缩法”可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。
因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。
利用放缩法证明不等式，既要掌握放缩法的基本方法和技巧，又须熟练不等式的性质和其他证法。
做到放大或缩小恰到好处，才有利于问题的解决。
一、用放缩法证明不等式的基本策略1、运用放大、缩小分母或分子的办法来达到放缩的目的分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可．还可利用真分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变大；假分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变小来进行放缩． 例1、若a ，b ，c ，d 是正数．求证：12a b c d a b ca b db c da c d<+++<++++++++证明：a b c d a b c a b db c d a c d+++++++++++1abc da b c d a b c d a b c d a b c d>+++=++++++++++++又2a b c d a b c da b c a b d b c d a c d a b a b c d c d+++<+++=++++++++++++ 或a b c d a b ca b d b c da c d +++++++++++2a bb ca cb d a bcd a b c da b c da b c d++++<+++=++++++++++++（利用(0)a a mm b b m+<>+） ∴12a bcda b ca b d b c d a c d <+++<++++++++例2、求证：213121112222<++++n证明：∵nn n n n111)1(112--=-<∴2222111111*********232231nn nn++++<+-+-++-=-<-【变式】2222111171234n++++<∵nn n n n111)1(112--=-<∴2222211111111151171()()1232231424nn nn++++<++-++-=+-<-本题说明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即放不能太宽、缩不能太窄，真正做到恰到好处。
几种常见的放缩法证明不等式的方法
For personal use only in study and research; not for commercialuse几种常见的放缩法证明不等式的方法一、 放缩后转化为等比数列。
例1. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+（1） 用数学归纳法证明：n b n ≥（2） 1231111...3333n n T b b b b =++++++++，求证：12n T < 解：(1)略(2)13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++ 又 n b n ≥132(3)n n b b +∴+≥+ ， *n N ∈迭乘得：11132(3)2n n n b b -++≥+≥ *111,32n n n N b +∴≤∈+ 234111111111...2222222n n n T ++∴≤++++=-< 点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。
这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加例2．数列{}n a ，11(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s求证：2n s <解：2111111...234212n s n n =-+-++-- 令12(21)n b n n =-，{}n b 的前n 项和为n T当2n ≥时，1111()2(22)41n b n n n n≤=--- 2111111111111()()...()2123043445641n n s T n n ∴=≤+++-+-++--71104n =-< 点评:本题是放缩后迭加。
放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。
值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。
新课标人教A版数学：利用放缩法证明不等式
2n
2n
【方法总结之一】
n
放缩法证明与数列求和有关的不等式，若 ai 可直 i 1
接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要
先将通项 an 放缩后再求和.
问题是将通项 an 放缩为可以求和且“不大不小”的 什么样的 bn 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不
多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项
例6
求证：1 3 5 2n 1 1 (n N)
246
2n 2n 1
n
分析 我们能否将证明形如 ai f (n) 的思维策略类比迁移
i 1
过来呢？
思路
135 246
2n 1 2n
1
2n 1 Bn b1b2b3
bn
利用公式 bn
Bn Bn1
(n
2) ， b1
B1 易得： bn
因此，问题转化为只要证 2n 1 2n 1 2n 2n 1
变式3
求证：1
1 22
1 32
1 n2
5 3
(n N)
例2 求证： 1 1 1
13 35 5 7
1
1 (n N)
(2n 1)(2n 1) 2
分析 左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
左边 1 [(1 1) (1 1) ( 1 1 )]
1 3n1
)
1 3 17 (n 2) 14 14
当n = 1时，不等式显然也成立.
【方法总结之三】
一般地，形如 an an bn 或 an an b (这里 a b 1)的
数列，在证明 1 1 1 k （ k 为常数）时都可以提取
放缩法证明不等式
放缩法证明不等式放缩法是一种非常常用的证明不等式的方法，它通过逐步削弱不等式的一侧，使得最后的不等式很容易得到证明。
本文将通过一些例子来说明放缩法的使用。
例1：证明Cauchy不等式Cauchy不等式的表述为：对于任意的实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2证明方法如下：首先，我们注意到不等式的左边是一个平方形式，而右边是一个乘积形式。
我们可以利用这个观察来放缩不等式。
由平均值不等式，我们有：(a1^2+a2^2+...+an^2)/n >=(a1+a2+...+an)^2/n^2同样，(b1^2+b2^2+...+bn^2)/n >= (b1+b2+...+bn)^2/n^2将这两个不等式相乘，得到：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2注意到右边的中括号内的部分就是(a1b1+a2b2+...+anbn)/n，我们可以进一步放缩为：[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2 >= (a1b1+a2b2+...+anbn)^2因此，我们得到了Cauchy不等式的证明。
例2：证明AM-GM不等式AM-GM不等式的表述为：对于非负实数a1,a2,...,an，有：(a1+a2+...+an)/n >=(a1a2...an)^(1/n)证明方法如下：我们首先注意到不等式的左边是一个平均值形式，而右边是一个几何平均值的形式。
我们可以利用这个观察来放缩不等式。
由平均值不等式，我们有：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)对于任意的i，我们可以用a1a2...an的值来替换ai，则不等式仍然成立：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)因此，我们得到了AM-GM不等式的证明。
不等式的放缩法
放缩法证明不等式放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。
常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。
所谓放缩的技巧：即欲证B A ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使B C A ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”。
常用的放缩技巧还有：（1）若,A t A ,A t A ,0t <->+>（2）,n 1n <-n n 2>,1n 11n ,1n ->-+-+),0n (n n )1n (n 2>=>+<<+=+-2n 1)1n (n 11n 1n 1).1n n (2n1n n 21n n 2)n 1n (2),1n (n 11n 1)1n (n 1--<=+<++=-+>--=-（3）若,R m b a +∈、、则.b m a b a ,m b a b a +<+> （4）+++<++++221211!n 1!31!211 .211n -+ （5）.n 12)n 11n 1()3121()211(1n 131211222-=--++-+-+<++++ （6）11n n 1n 11n 11n 1n 212n 11n 1<+=++++++≤+++++ 或≥+++++n 212n 11n 1 .21n 2n n 21n 21n 21==++（7）nn n n 1n 1n 1n 131211==+++>++++ 等等。
用放缩法证明下列各题。
例1 求证：.133lg 3lg <⋅ 证明：因为,)2b a (ab 2+≤所以左边,)299lg ()233lg 3lg (22=+≤[因为99＜100（放大）]＜,1)2100lg (2=所以.133lg 3lg <⋅例2 （2000年海南理11）若,2n ,N n >∈求证：.1)1n (log )1n (log n n ≤+⋅- 证明：因为,11n ,2n >->所以,0)1n (log ,0)1n (log n n >+>-因为4)]1n ([log ]2)1n (log )1n (log [)1n (log )1n (log 22n 2n n n n -=++-≤+⋅-［因为22n 1n <-（放大），所以,n log )1n (log 2n 2n <-又,2n >所以x log n 是增函数］，所以14)n (log 4)]1n ([log 22n 22n =<-，所以.1)1n (log )1n (log n n <+⋅-例3 （2001年云南理1）求证：).N n ,1n )(2n (log )1n (log 1n n ∈>+>++证明：n log )2n (log )1n (log )2n (log 1n 1n n 1n +++⋅+=++=左边右边（因为1a log b log b a =⋅）21n 21n 1n ]2)2n (n log []2n log )2n (log [+=++≤+++［又因为2)1n ()2n (n +<+（放大）］，所以,1]2)1n (log []2)2n (n log [221n 21n =+<+++所以).2n (log )1n (log 1n n +>++例4 已知,0b a >>求证：.b a b a -<- 证明：因为⇒>>0b a.b a b a b a )b a (b a ),(b a b a ,0b a ,b a 2-<-⇒-<-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+<->->两边同乘放大例5 求证：.2b a )2b a (222+≤+证明：因为4b ab 2a )2b a (222++=+（因为22b a ab 2+≤）4b b a a 2222+++≤（放大）.2b a 22+=所以.2b a )2b a (222+≤+例 6 （2000年湖南省会考）求证：当0a >时，函数c bx ax y 2++=的最小值是;a 4b ac 42-当0a <时，函数c bx ax y 2++=的最大值是.a 4b ac 42-证明：因为原函数配方得,a 4b ac 4)a 2b x (a y 22-++=又因为,0)a 2b x (a 0)a 2b x (,0a 22≥+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥+>所以a 4b ac 4a 4b ac 4)a 2b x (a y 222-≥-++=（缩小），所以函数y 的最小值是a 4b ac 42-。
(完整word版)高考数学数列不等式证明题放缩法十种办法技巧总结,推荐文档
1.均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n Λ求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n 例2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(221321N n n n C C C Cn n nnnn∈>⋅>++++-Λ.例4 已知222121n a a a +++=L ，222121n x x x +++=L ，求证：n n x a x a x a +++Λ2211≤1.例5 求证例6 例7 例8 }{n a 满足：1a 再如： 例9 设nnn n 3. 部分放缩例10 设++=a n a 21111,23a aa n ++≥L ,求证：.2<n a 例11 设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有：2)(+≥n a i n ； 21111111)(21≤++++++n a a a ii Λ.4 . 添减项放缩例12 设N n n∈>,1，求证)2)(1(832(++<n n n.例13 设数列}{na 满足).,2,1(1,211Λ=+==+n a a a a nn n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立；5 利用单调性放缩: 构造函数例14 已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时.81)(≥x f（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设*+∈=<<N n a f a a n n ),(,21011，证明.11+<n a n 例15（I 例16 例17 设 例18 设例19 例20 （1例21 （Ⅰ）写出数列}{n a 的前3项321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a Λ. 9. 借助数学归纳法例22（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； （Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,,Λ满足12321=++++n p p p p Λ，求证：10. 构造辅助函数法例23 已知()f x = 2ln 243x x +-,数列{}n a 满足()()*11 2 ,0211N n a f a n an ∈=<<-++（1）求()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-021，上的最大值和最小值; （2）证明：102n a -<<; （3）判断n a 与1()n a n N *+∈的大小，并说明理由.例24 已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =L，，．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x>，21121(1)3n na x xx ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭≥，12n =L ，，；21+<k 则411()11(0)141422x x x xf x x ==->-≠++•1(1)()(122f f n ⇒++>-⨯L 211(1)(1)2222n +-++-⨯⨯L 例3 简析 不等式左边123nnn n n C C C C ++++L =12222112-++++=-n n Λn n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅>Λ=212-⋅n n ，故原结论成立.例4 【解析】使用均值不等式即可：所以有22222211221122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++L L其实，上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++Λ2211的最大值。
用放缩法证明不等式时如何放缩
ｎ ＋ Ｃ 以 十Ｄ
又 因 为 ２ ＝（ １ ＋ １ ） ｃ ｎ ｏ ＋ ｃ ＋ｃ Ａ＋ｃ ＋ｃ １ ＋
十 八 槲１ ＞ ２ 川， 所 以 ｎ ） ＞ 者 。
３ “ 添舍” 放缩
＜ ２。
通过对 不等 式的一 边进行 添项 或减项 以达 到解题 目的 ， 这是常规思路 。
的氛 围 ， 为开展探究活 动做好思 想上 、 心理上 的准备。在探 究 解决 了学生 的学习态度 、 学习 习惯 问题 ， 使教 学质 量的提高和 过程 中 ， 教师 要通 过巡视 、 观察 、 参 与讨 论等方 式给 学生 以积 学生 学习能力 的发 展有了可靠保证 。 同时 ， 也 创设了富有生机
１ 分 式 放 缩
一
证明： 由题意 知 ， （ ， ｚ ） 一 ｎ 丁＝
＂ 十 ｌ
， ’ 十
Ｉ
一 ｎ 丁＝ （ １ 一
＂十 ｌ
， ＿ 十
ｌ
） 一
ｒ 一 ： ： 二 １ 丝 ± ２
３ ， 所 以只须证 ２ 一 ＞２ ｎ ＋１ ，
ｎ ＋ ｌ
ｎ ＋ ｌ ２ １ （ ｎ ＋ １ ） （ ２ １ ）’
个分式若 分子变大则 分式值变 大 ，若分 母变大 则分式
又因为 ｎ ＥＡ ｒ 且
值 变小 ， 一个真 分式 ， 分子、 分母 同时 加上 同一个 正数 则分式 值 变大 ， 利用这些 性质 ， 可达到证题 目的 。 例 １ ：已知 ａ 、 ｂ 、 ｃ为三 角 形 的三 边 ，求 证 ： １ ＜ Ｌ ＋
，
—
证明 ： 由题 设得 ａ ２ ＋ ａ ｂ ＋ ｂ ａ ＋ ｂ， 于是（ 口 ＋ ） ＞ａ ２ ＋ａ ｂ ＋ ＋— ＋ — ， 又 口 ， ｂ ， ｃ为三 角形 的 边 ， 故 ＋ ａ ＋ｂ ＋ｃ ’ａ ＋ｂ ＋ｃ 。 ａ＋ｂ ＋ｃ ’ ～ “’ ’ 。 — — ｎ 工’ 。 ｂ ２ ＝ａ ＋ ｂ ， 又ａ ＋ ｂ ＞０ ， 得 ｎ ＋ ＞ｌ ， 又 ＜ １（ 日 ＋ ６ ） ｉ ｌ ｉ ｉ （ 日 ＋ ６ ） ＝
恰当运用放缩法证明导数不等式
恰当运用放缩法证明导数不等式
放缩法是一种常用的证明技巧，它依赖于转换（或放缩）函数、几何形状或是实数的对称性来推断出一个初始问题的结果。
放缩法可以用来证明导数不等式。
接下来，我们将使用放缩法来证明一个导数不等式：设f(x)和g(x)为定义在[0,1]上的连续函数：
f′(x)≤g′(x),x∈(0,1)
则有f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。
首先我们观察该导数不等式：
如果f′(x)≤g′(x),
那么积分得到f(x)≤g(x)。
因此，在这里，我们需要证明f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。
我们选择一个放缩函数：
φ(x)=f(ax+b)
其中a,b∈R，a>0，0≤b<1
接下来，我们需要证明φ′(x)≤g′(x)，x∈[0,1]。
首先，记f(x)=y
那么φ′(x) =ayf′(ax+b)。
又因为f′(x)≤g′(x),
所以ayf′(ax+b)≤ayg′(ax+b)。
接下来，我们将ayf′(ax+b) 替换为g′(x) ayg′(ax+b) = g′(x)
因此ayf′(ax+b)≤g′(x)。
同样的，我们可以将ayg′(ax+b) 替换为f′(x) ayf′(ax+b) = f′(x)
因此φ′(x)≤f′(x)，x∈[0,1]。
最后，因为φ(x) = f(ax+b)
我们可以得出f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。
经过以上推导，我们已经证明了原式的正确性：设f(x)和g(x)为定义在[0,1]上的连续函数：
f′(x)≤g′(x),x∈(0,1)
则有f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。
放缩法证明不等式例题
放缩法证明不等式一、放缩法原理为了证明不等式B A ≤，我们可以找一个或多个中间变量C 作比较，即若能判定B C ,C A ≤≤同时成立，那么B A ≤显然正确。
所谓“放”即把A 放大到C,再把C 放大到B ；反之，由B 缩小经过C 而变到A,则称为“缩”，统称为放缩法。
放缩是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放缩的跨度，做到“放不能过头，缩不能不及”。
二、常见的放缩法技巧１、基本不等式、柯西不等式、排序不等式放缩 2、糖水不等式放缩：)b a ,0m (ma mb a b >≥++≤. 3、添（减）项放缩4、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）5、逐项放大或缩小：)1n (n 1n 1)1n (n 12-<<+ 21n 2)1n (n n +<+<)12)(32(1)12(12--<-n n n )12)(12(1)12(12+->-n n n )22(21)12(12+<+n n n三、例题讲解例1：设a 、b 、c 是三角形的边长，求证cb a cb ac b a c b a -++-++-+≥3例2：设a 、b 、c ≥0，且3=++c b a ，求证abc c b a 23222+++≥29例3：已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈例４：函数f （x ）=xx 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +)(2121*1N n n ∈-+.例5：已知a n =n ，求证：∑nk=1 ka 2k＜3．例6： 已知数列{}n a ，，132a =，113(2,*)21n n n na a n n N a n --=≥∈+-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对一切正整数n ，不等式123!n a a a a n λ⋅⋅<⋅恒成立，试求正整数的最小值。
高考数学放缩法证明数列不等式之常数型与函数型(解析版)
放缩法证明数列不等式之常数型与函数型◆题型一:放缩法证明数列不等式之常数型方法解密:放缩法证明数列不等式属于数列大题中较有难度的一种题型.大部分是以证明某个数列和大于或小于一个常数类型,小部分是证明某个数列前n项和或者积大于或小于一个函数(下一专题详解).本专题我们来介绍最常见的常数类型.放缩的目的有两个:一是通过放缩使数列的和变换成比如裂项相消等可以简单求和的形式,这样可以方便比较大小.二是两者之间无法直接比较大小,这样我们需要通过寻找一个媒介,来间接比较大小.放缩的原则:放缩必然会导致数变大或者变小的情况,我们的原则是越精确越好.在证明过程中,为了使放缩更精确,往往会第一项不变,从第二项或者第三项开始放缩(例题会有讲解).放缩的方法:(1)当我们要证明多项式M<A时,我们无法直接证明两者的大小,这时我们可以将多项式M放大为N1,当我们能够证明N1<A,也间接证明了M<A.切不可将M缩小为N2,即使能够证明N2<A,M与A的关系无法得证.(2)当我们要证明多项式M>A时,这时我们可以将多项式M缩小为N1,当我们能够证明N1>A,也间接证明了M>A.需要放缩的多项式多以分式形式出现,要使得分式的值变大,就是将分母变小,常见是将分母减去一个正数,比如1.常见的放缩形式:(1)1n2<1n-1n=1n-1-1n n≥2；(2)1n2>1n n+1=1n-1n+1；(3)1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1；(5)1n =2n+n<2n-1+n=2-n-1+nn≥2；(6)1n =2n+n>2n+n+1=2-n+n+1；(7)1n =2n+n<2n-12+n+12=222n-1+2n+1=2-2n-1+2n+1；(8)2n2n-12=2n2n-12n-1<2n2n-12n-2=2n-12n-12n-1-1=12n-1-1-12n-1n≥2；(12)12n-1<2n-12n-1-12n-1=12n-1-1-12n-1n≥2.类型一:裂项放缩【经典例题1】求证112+122+132+.....+1n2<2【解析】因为1n2<1n2-n=1n n-1=1n-1-1n n≥2,所以112+122+132+.....+1n2<112+1 22-2+132-3+.....+1n2-n=1+1-12+12-13+.....+1n-1-1n=2-1n<2,所以原式得证.为什么第一项没有经过放缩,因为分母不能为0,所以只能从第二项进行放缩.总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n ,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式1】求证112+122+132+.....+1n 2<74【解析】因为1n 2<1n 2-1=1n +1 n -1=121n -1-1n +1 n ≥2,所以112+122+132+....+1n 2<112+122-1+132-1+....+1n 2-1=1+121-13+12-14+13-15....+1n -1-1n =1+121+12-1n -1n +1 <74,所以原式得证. 总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n ,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式2】求证112+122+132+.....+1n 2<53【解析】因为1n 2<1n 2-1=1n +1 n -1=121n -1-1n +1 n ≥2 ,所以112+122+132+....+1n 2<112+122+132-1+....+1n 2-1=1+122+1212-14+13-15+14-16+....+1n -1-1n =1+14+1212+13-1n -1n +1 =53-121n +1n +1 <53,注意这是保留前两项,从第三项开始放缩.总结:通过例1和变式题我们发现,我们对分式的进行放大,分母我们依次减去的数是n ,1.不难发现,这些数递减,所得的结果也是递减的.说明减去的数越小,所得的结果越精确.同时通过两道变试题我们也发现,保留前几项不动,这样放缩的精度也会高一些.有些模拟题中,经常出现保留前2项到3项不动的情况.那么作为学生如何判断从第几项开始放缩呢?这需要学生去尝试和试错,如果第一项不行,那就尝试第二项,第三项.【经典例题2】已知a n =n 2,b n =n 2,设c n =1a n +b n,求证:c 1+c 2+⋯+c n <43. 【解析】已知a n =n2,b n=n 2,因为c n =22n 2+n=2n (2n +1)=42n (2n +1)<4(2n -1)(2n +1)=212n -1-12n +1 所以c 1+c 2+⋯+c n <23+213-15+15-17+⋯+12n -1-12n +1 =23+23-22n +1<43,故不等式得证.【经典例题3】已知数列a n 满足a 1=1，a n -1=n -1na n (n ≥2,n ∈N *)，(1)求a n ;(2)若数列b n 满足b 1=13，b n +1=b n +1a 2n(n ∈N *)，求证：b n <2512．【答案】(1)a n =n ；(2)证明见解析．【详解】(1)由题意a n a n -1=nn -1(n ≥2)，∴a n =a 1×a 2a 1×a 3a 2×⋯×a n a n -1=1×21×32×⋯×n n -1=n ，a 1=1也适合．所以a n =n (n ∈N *)；(2)由已知b 1=13<2512，b 2=b 1+1=43<2512，b 3=b 2+122=43+14=1912<2512，当n ≥3时，b n +1-b n =1n2<1n (n -1)=1n -1-1n ，因此b n +1=b 3+(b 4-b 3)+(b 5-b 4)+⋯+(b n +1-b n )<1912+12-13 +13-14 +⋯+1n -1-1n=2512-1n <2512，则b n =b n +1-1n2<2512综上，b n <2512．类型二:等比放缩所谓等比放缩就是数列本身并非为标准的等比数列,我们将数列的通项经过一定的放缩使之成为一个等比数列,然后再求和,我们通过例题进行观察了解.【经典例题4】证明:121-1+122-1+123-1+...+12n -1<53【解析】令a n =12n -1,则a n +1a n =2n -12n +1-1<2n -12n +1-2=12⇒a n +1<12a n又因为a 1=1,a 2=13,由于不等式右边分母为3,因此从第三项开始放缩,得a 1+a 2+⋯+a n <a 1+a 2+12a 2+⋯+12 n -2a 2=1+131-12n -1 1-12<53故不等式得证.【经典例题5】已知数列a n 满足：a 1=2，a n +1=2a n +2n +1，n ∈N *.(1)求证a n2n 是等差数列并求a n ；(2)求数列a n 的前n 项和S n ；(3)求证：1a 2-a 1+1a 3-a 2+1a 4-a 3+⋅⋅⋅+1a n +1-a n <12.【答案】(1)证明见解析，a n =n ⋅2n ；(2)S n =(n -1)2n +1+2；(3)证明见解析.【详解】(1)证明：a n +12n +1-a n 2n =2a n +2n +12n +1-a n 2n =2a n 2n +1+1-a n2n=1，∴a n 2n 是首项为a 121=1，公差为1的等差数列，∴a n 2n =1+(n -1)1=n ，∴a n =n ⋅2n .(2)∵S n =1×21+2×22+3×23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ⋅2n ，∴2S n =1×22+2×23+3×24+⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ⋅2n +1，两式相减得：-S n =21+22+23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅2n -n ⋅2n +1，-S n =21-2n1-2-n ⋅2n +1，∴S n =(n -1)2n +1+2.(3)证明：∵a n =n ⋅2n ，∴a n +1=(n +1)⋅2n +1，∴a n +1-a n =(n +2)⋅2n ，当n ∈N *时，n +2>2，∴(n +2)⋅2n >2n +1，∴1(n +2)⋅2n <12n +1，∴1a 2-a 1+1a 3-a 2+1a 4-a 3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅1a n +1-a n <122+123+124+⋅⋅⋅⋅⋅⋅12n +1=141-12 n 1-12=121-12 n <12.【练习1】已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项的和为S n ，且当n ≥2时，满足a n =S 2nS n -1．(1)求证：数列1S n 是等差数列；(2)证明：S 21+S 22+⋯+S 2n <74．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】(1)当n ≥2时，S n -S n -1=S 2nS n -1，S n -1-S n =S n S n -1，即1S n -1S n -1=1从而1S n 构成以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n =1S 1+n -1 ×1=n ，∴S n =1n ．则当n ≥2时S 2n =1n 2<1n 2-1=121n -1-1n +1 ．故当n ≥2时S 21+S 22+⋯+S 2n <1+121-13 +1212-14 +⋯+121n -1-1n +1=1+121+12-1n -1n +1 <1+12⋅32=74又当n =1时，S 21=1<74满足题意，故S 21+S 22+⋯+S 2n <74．法二：则当n ≥2时S 2n =1n 2<1n 2-n=1n -1-1n ，那么S 21+S 22+⋯+S 2n <1+14+12-13 +13-14 +⋯1n -1-1n =74-1n <74又当n =1时，S 21=1<74，当时，S 21=1<74满足题意.【练习2】已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =12na n+a n -1．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若数列2a 2n的前n 项和为T n ，证明：T n <32．【答案】(1)a n =n +1n ∈N * ．(2)见解析【解析】(1)当n =1时，S 1=12a 1+a 1-1，即a 1=2，当n ≥2时，S n =12na n +a n -1①，S n -1=12n -1 a n -1+a n -1-1②，①-②，得：2a n =na n -n -1 a n -1+2a n -2a n -1，即na n =n +1 a n -1，∴a n n +1=a n -1n ，且a 12=1，∴数列a n n +1 是以每一项均为1的常数列，则a nn +1=1，即a n =n +1n ∈N * ；(2)由(1)得a n =n +1，∴2a 2n =2n +12<2n n +2 =1n -1n +2，∴T n <1-13+12-14+13-15+⋯+1n -1n +2=1+12-1n +1-1n +2<32.【练习3】已知函数f (x )=x 3-2x ，数列a n 中，若a n +1=f (a n )，且a 1=14.(1)求证：数列1a n-1是等比数列；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求证：S n <12.【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)由函数f (x )=x3-2x ，在数列a n 中，若a n +1=f (a n )，得：a n +1=a n 3-2a n，上式两边都倒过来，可得：1a n +1=3-2a n a n =3a n-2，∴1a n +1-1=3a n -2-1=3a n -3=31a n -1 ．∵1a 1-1=3．∴数列1a n -1 是以3为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)，可知：1a n -1=3n ，∴a n =13n +1，n ∈N *．∵当n ∈N *时，不等式13n +1<13n 成立．∴S n =a 1+a 2+⋯+a n =131+1+132+1+...+13n +1<131+132+...+13n =13⋅1-13n 1-13=12-12•13n <12．∴S n <12．【练习4】已知函数f (x )=x 2-2x ，数列a n 的前n 项和为S n ，点P n n ,S n 均在函数y =f x 的图象上．若b n=12a n +3 (1)当n ≥2时，试比较b n +1与2b n的大小；(2)记c n =1b n n ∈N *试证c 1+c 2+⋯+c 400<39.【答案】(1)b n +1<2bn ；(2)证明见解析.【详解】(1)∴f (x )=x 2-2x ，故S n =n 2-2n ，当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n -3，当n =1时，a 1=S 1=-1适合上式，因此a n =2n -3n ∈N * .从而b n =n ,b n +1=n +1,2b n=2n ，当n ≥2时，2n =1+1 n =C n 0+C n 1+⋯>n +1故b n +1<2b n=2n(2)c n =1b n =1n，c 1=1，1n =2n +n <2n +n -1=2(n -n -1)n ∈N *,n ≥2 c 1+c 2+...+c 400<1+22-1 +23-2 +...+2400-399 =2400-1=39.◆题型二:放缩法证明数列不等式之函数型方法解密:数列放缩较难的的两类便是形如数列的前n 项和与函数f (n )的不等关系,即a 1+a 2+⋯+a n <f (n )或者数列前n 项积与函数f (n )的不等关系,即a 1⋅a 2⋅⋯⋅a n <f (n )的问题,其中,这里的前n 项和与前n 项积难求或者是根本无法求.面对这类题时,首先,我们可以将f (n )看成某个数列的和或者积,然后通过比较通项的大小来解决;其次,我们也可以对a n 进行变形,使之能求和或者求积.往往第二种方法难以把握,对学生综合素质要求较高.而第一种方法相对简单易行,所以本专题以“拆项”为主线详细讲解.【经典例题1】已知数列a 1=32,a n +1=3a n -1,n ∈N *(1)若数列b n 满足b n =a n -12,求证:数列b n 是等比数列。
数学所有不等式放缩技巧及证明方法
文档收集于互联网，已重新整理排版word 版本可编辑•欢迎下载支持.高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法一、裂项放缩畀 2 15例1.⑴求芥门 --------- 7的值； （2）求证：>2 7T V —・A=1 4* — 1Ar = l k3例2・⑴求证：1 +丄+丄+・・・+ —>1-一!一> 2）32 52⑵Li ）， 6 2（2n-1）1 1 1 1 114 16 364n 2 2 4n⑶求证丄+12+空+」"•…⑵i2 2-4 2-4-6 2-4-6••…2n例 3•求证: ---- - ---- <i + l +l + ... + -L<-(n +1)( 2/1 + 1)4 9 ir 3例4・（2008年全国一卷）设函数f ⑴二X-H1U.数列仇｝满足0<q<l ・％ 明：畋+】>b.例 5.已知"，加 e 他,兀 > -1,S,” 二 r n + T +3川 + …+ 心求证：/严 < (m +1)5,, <(〃 + 1严 -1例 6.已知® = 4" - T , T n= ------ 二 ----- ,求证：£+◎+◎人 < —.a { + a 2 + ・• • + a n2例7.已知坷=1, £ = < W (mi,"Z),求证：亠*亠+ •..+亠>逅(耐®訓) W - l(n = 2k 、k wZ) 护2 ・x 3 化・x 5.. 4丁 /、 In 2a In 3a In n a hr -n-l例 9.求证——<^—^^>2)例 10.求证:—+ - + ・・・ + —< ln(n + 1) < 1 + —4-・・• +」■2 3 77 + 1 2 n例 11.求证：(1 + \(1 +、•….(1 + ^-Xe 和(1 + ；)(1 + 厶)•….(1 + 点)<辰 2! 3! n\ 9 81 3" 例 12•求证：(1 +1 x 2) • (1 + 2 x 3) ••…[1 + n(n +1)] > 严I12例14.已知4=1。
数列不等式的常用放缩方法技巧(含答案)
2、设 为自然数，求证
3、若 是自然数，求证
证明：
=
=
注意：实际上，我们在证明 的过程中，已经得到一个更强的结论 ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。
4、求证：
证明：由 （ 是大于2的自然数）
得
5、若a,b,c,dR+，求证：
证：记m= ∵a,b,c,dR+
∴
∴1 < m < 2即原式成立。
5、逐项放大或缩小
例5、设 求证：
证明：∵
∴
∴ ，∴
本题利用 ，对 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。
6、固定一部分项，放缩另外的项；
例6、求证：
证明：
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
（二）放缩后转化为等比数列。
例2. 满足：
（1）用数学归纳法证明：（2） ，求ຫໍສະໝຸດ ：解：(1)略(2)又
，
迭乘得：
点评：把握“ ”这一特征对“ ”进行变形，然后去掉一个正项，递推关系放缩，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！
三、裂项放缩
(2)
(3)先运用分式放缩法证明出 ,再结合 进行裂项,最后就可以得到答案
(4)首先 ,所以容易经过裂项得到
再证 而由均值不等式知道这是显然成立的，所以
例7.求证:
解析:一方面:因为 ,所以
另一方面:
当 时, ,当 时, ,
当 时, ,所以综上有
例8.已知 , ,求证: .
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不等式的证明（放缩法）1．设x 0, y 0 ， A x y , B xx y ，则 A, B 的大小关系是（）1 x y 1 1 yA. A BB. A BC. A BD. A B2．已知三角形的三边长分别为a, b, c ，设 M a b , N c , Q a b ，1 a 1 b 1 c 1 a b 则M,N与Q的大小关系是（）A.MNQB. MQNC. QNMD. N Q M 3．设不等的两个正数a, b 满足a3 b3 a2 b2，则a b 的取值范围是（）A. (1, )B. (1, 4C. [1,4D. (0,1] ) ]1 1 1 3134．设A L ，则 A 与1的大小关系是.210 210 1 210 2 211 15．设S 1 1 1L1，则 S 的整数部分为.2 3 1006．已知a,b,c均为正数，且a2 b2 c2 ，求证：c3 a3 b3 c3 .27．设n N1 1 1 1. ，求证：L(2n 1)2 49 258．设n N1 1 1L11 . ，求证：n 1 n 2 2n29．设n N1 1L11. ，求证：42 (2 n)22210．设S n 1 2 2 3 L n ( n 1) ，求证：不等式n( n 1)S n(n 1)22 2对所有的正整数n 都成立.简答：1． B 提示：Ax yxyxyB1 x y 1 x y 1 x y 1 x 1 y2． D 提示：由 ab c ，得1 1 ， 1 a 1 a b 1 c 11 1a b c b a b cc3． B提示：由条件得 a 2ab b 2 a b ，所以 (a b)2a 2 ab b 2a b ，故a b1 . 又 ( a b)2 0 ，可得 3(a 2 ab b 2) 4( a 2 ab b 2 ) ，从而3( a b)2 4( a b) ，所以 ab4 ，故 1 a b 4 .334． A<15． 18提示：因为 n 2 时，n n 1 2 n n n 1 ，所以21 2 ，即 2( n 1n ) 1n 1)nn 1 n n n2( n1n故18 12( 1012)11 1L1 1 2( 100 1)1923 100所以所求整数部分为 18.6．解：由已知可知， 0a c,0b c, a ba 2b 2c 2c, ab2，所以23 3 2222 3332 ab 22c 2 )c 3 ab aga bgb c(ab )c ，a b(a b)(ab )c(c2 2所以原不等式得证 .7．提示：由1 4k2 1 1 4k1 (11) ，累加即得 .(2 k 1)2 4k 1 4k 24 k k 18．提示：1n1 1L1 1 1 L 1 1 1 L 1 n 1.2 2n 2n 2n 2n n 1 n22n n n n n9．提示：1 1 1 1) 11，累加即得 .(2 n)2n 2 n(n n 1 n10．提示：k2 k(k 1) k (k 1)2不等式证明五（放缩法、反证法）目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。
过程：一、简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法提出课题：放缩法与反证法二、放缩法：例一、若a,+求证：b,c,d R ，a b c d21a b d b c a c d b d a c证：记 m= a b c da b d b c a c d b d a c∵ a, b, c, d R+∴ ma b c d1 a b c d a b c a c d a b d a b cma b c d2 a b a b c d d c∴ 1 < m < 2 即原式成立例二、当 n > 2 时，求证： log n ( n 1) log n ( n 1) 1 证：∵ n > 2 ∴ log n (n 1) 0, log n (n 1) 0 ∴log n (n 1) log n (n 2log n (n 22log n (n 1) log n (n 1) 1) 1)2 2log n n 2 212∴ n > 2 时 , log n (n 1) log n ( n 1) 1例三、求证： 1 1112122232n2证：11 1)1 1n 2n(nn 1 n∴1 1 11 11 1 111121 2122232n22 2 3n 1 nn三、 反证法：例四、设 0 < a , b , c < 1 ，求证： (1a )b , (1b )c , (1c ) a , 不可能同时大于141, (11 ,1 ,证：设 (1a )b >b )c > (1c ) a >444则三式相乘： ab < (1a )b ?(1b )c ?(1c ) a <1①64(1 a) 21又∵ 0 < a , b , c < 1∴ 0 (1 a) aa2 4同理： (1b)b1(1 c)c1,44以上三式相乘： (1a ) a ?(1b ) b ?(1c ) c ≤1与①矛盾64∴原式成立例五、已知 a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0 ， abc > 0 ，求证： a , b , c > 0证：设 a < 0,∵ abc > 0,∴ bc < 0又由 a + b + c > 0,则 b + c =a > 0∴ab +bc +ca = ( + c ) +bc < 0 与题设矛盾a b又：若 a = 0 ，则与 abc > 0 矛盾， ∴必有 a > 0同理可证： b > 0,c > 0四、 作业：证明下列不等式：1． 设 x > 0,y > 0, ax y bxy，求证： a < bx, 1 x 11 yy 放缩法： x yxyxy1 x y 1 x y 1 x y 1 x 1 y2． lg9 ?lg11 < 1lg 9lg 112lg 99 22 2lg 9 lg 1112223． log n (n 1) log n (n1) 1log n ( n 2 2log n n 2 2log n (n 1) log n (n 1)1)1224． 若 a > b > c ,则114 0abbcc a1 1122 422a bb c(ab)(bc)b) (b c)ac(a 5．1n 1 1 n 11 1 (n R , n2)n 2n 2左边11 11 1 n2 n 1n n 2n 2n 2nn 26．1n 1 1 n 1 1 12 2 2n 1 n 中式 1 n 12n n 17．已知 , ,> 0, 且 2 + b 2 = c 2，求证： n + n<n( ≥ 3,*)a b caab c nn R∵a 22∴a n2n2b ，又, , c > 0,a ,b bcc1a bcccc∴an bn1cc8．设 0< a , b , c < 2 ，求证： (2a ) c , (2b ) a , (2c ) b , 不可能同时大于 1仿例四9．若x,y > 0，且 x +y >2，则1y和1 x中至少有一个小于 2 x y反设1y≥2，1 x≥2∵x,y> 0，可得x+y≤2与x+y>2矛x y盾用放缩法证明不等式所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。
下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。
一. “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。
例 1.设a，b为不相等的两正数，且a3－ b3＝ a2－ b2，求证1＜a＋b＜4。
3证明：由题设得a2＋ ab＋ b2＝ a＋ b，于是（ a＋ b）2＞ a2＋ ab＋ b2＝ a＋ b，又 a＋ b＞0，得 a＋ b＞1，又 ab＜1（ a＋b）2，而（ a＋ b）2＝ a＋b＋ ab＜ a＋ b＋1（ a＋ b）2，即3（ a 44 4＋ b）2＜ a＋b，所以 a＋ b＜4，故有1＜ a＋b＜4。
3 3例 2. 已知 a 、 b 、 c 不全为零，求证：22 2 2 223a ab b b bc ccac a＞ 2 （a b c ）证明：因为22b 23 2b 2b b a ab b（a2） 4 b ＞ （a2） a2 ≥ a2，同理b 2 bc c 2 ＞b 2c ， c 2 ac a 2 ＞ c a2 。
所以a 2abb 2b 2bcc 2c 2aca 2 ＞3 （ ab c ）2二 . 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。
例 3. 已知 a 、 b 、 c 为三角形的三边，求证： 1＜ a ＋ b ＋ c ＜ 2 。
b ca c a b证明：由于a 、b 、c 为 正数 ， 所 以 a＞ a ， b ＞ b ， b c b cbc a a c ac ＞ c ， a b a b cabc ca b c＝ 1，所以 bc ＋a＋＞ ＋ ＋ ＋ a ＋ ＋ ＋ a ＋ ＋a b a b c b c b cac 为真分数，则 a2ac，又 a ， b ， c 为三角形的边，故 b +c ＞ a ，则 b b c＜ a b同理 b ＜2b ， c ＜ 2c ，a b a b b c a c c aac＋ab＋ a cb＜ a2a2b2c2 .故 b c b c ＋a b c ＋a b ca c bc ac综合得 1 b a b 2 。
三 .裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n 有关的 n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例 4. 已知 n∈N*，求1 1 1 12 n 。
2 3 n证明：因为1 2 22n n1 1 n nn n n 11 ，则1321 12 23 2 22 1 nn 12 n 1 2 nn，证毕。
例 5. 已知n N * 且a n 1 2 2 3 n( n 1) ，求证：n(n 1) a n (n 1) 2 对所有正整数n 都成立。
2 2证明：因为n(n 1) n 2 n ，所以a n 1 2 n n(n 1) ，2又n(nn(n 1)，1)21223 n( n 1) 3 5 2n 1 ( n 1) 2所以 a n 2 2 2 2 2 2 2 ，综合知结论成立。