《大学物理学》习题解答电磁感应

回路中的感应电流为
I
m 4d
dB dt
式中 ρ 为铜的电阻率，d 为铜的密度 .
【14.7 解】圆形回路导线长为 2πR，导线截面积为 π r2,其电阻 R 为
穿过该回路的磁通量为 Φ＝BS，回路中的感应电流为
R
l S
2R r2
I
R
1 d R dt
1 R
R
2
dB dt
Rr 2
2
dB dt
而 m = d 2 π R π r2
B2 2 0
dV
0I 2r2 8 2 R 4
2rldr
0I 2l 4R 4
r 3dr
于是，在长度为 l 的一段导线内部的磁场能量为：Wm
0I 2l 4R 4
Rr3
0
dr
0I 2l 16
4
c
b
【14.4】两同轴平面圆线圈的半径分别为 R 与 r ，R > r，相距
习题 14－3 图
x 平行放置。由于 x >> R，小线圈面积内的磁场可以看成是均匀
的。（1）试求小线圈面积的磁通量；（2）若小线圈以匀速率 v 沿轴线方向离开大线圈而平行移动，试求在
小线圈中产生的感应电动势的大小和方向。
【14.4 解】小线圈内近似均匀的磁场的大小
, 即 π R r2 = m / 2 π d ，代入上式可得
I
m 4d
dB dt
R2
【14.8】如题图所示，边长为 L 的正方形金属框，四个边的电阻分别为 R 1 、
R 2 、R3 和 R4 ，将此正方形金属框置入与金属框平面垂直的磁感强度为 B 均
a
R1
b
B R4
R3
2
匀磁场中。已知 R1 5 ，R2 10 ，R3 15 ，R4 20 ，磁感强度随时间的变化率
1 2
0
E
2
1 20
B2
则
E 1 B 1.51108 V m1
00
【14.15】一根长直导线载有电流 I ，且 I 均匀地分部在导线的横截面上，试求在长度为 l 的一段导线内部
的磁场能量。
【14.15 解】长直导线内部 r 1 ，由安培环路定理有
B
0I r 2R 2
长为
源自文库
l、半径为
r、厚
dr 的薄圆柱筒内的磁能为： dWm
v
B
为 d 。 问：金属杆中的感应电动势为多大？杆的哪一端电
势较高？
d
x
【14.6 解】由
L B dl 0 I
，得
B
0I 2x
杆中的感应电动势为
习题 14－2 图
AB
(v
AB
B)
dl
1.1 m 0.1 m
0I 2x
v
d
x
0 Iv 2
ln11
3.84 105
V
式中负号表示电动势方向由 B 指向 A, 故 A 点电势较高。 【14.7】有一磁感强度为 B 的均匀磁场，以恒定的变化率 dB / d t 在变化。把一块质量为 m 的铜，拉成截 面半径为 r 的导线，并用它做成一个半径为 R 的圆形回路 .圆形回路的平面与磁感强度 B 垂直。试证：这
i a4
【14.9 解】已知长为 l、横截面积为 S 的螺线管的自感为
L
0 n 2V
0
N2 l
S
则螺线管的总匝数为
N
Ll 0S
Ll 0 (d / 2)2
1.21103 匝
【14.10】一长为 0.50m、横截面积为 10.0cm2 的空心长直螺线管，若其上密绕线圈 3000 匝，则：（1）自感 为多少？（2）若其中电流随时间的变化率为 10As-1，自感电动势的大小和方向如何？
12
M
d i2 dt
3.1104
V
【14.13】一螺线管长 30cm，由 2 500 匝漆包导线均匀密绕而成，其中铁芯的相对磁导率 r 1 000 。当
它的导线中通有 2.0A 的电流时，求螺线管中心处的磁场能量密度。
【14.13 解】螺线管中心处
B
r 0 N l
I
，
H
NI l
所以，螺线管中心处的磁场能量密度为
3
动势。 【14.12 解】大线圈在小线圈中心产生的磁场为
B12
0N2 I2 2R2
若把大线圈在小线圈中产生的磁场看成是均匀的，则通过小线圈的磁链为12 N1B12 S1 。所以，这两个
线圈的互感为
M
12 I2
0 N1N 2 S1 2R2
6.3 106 H
若大线圈导线中电流每秒减小 50A，则小线圈中的感应电动势为
L
I
0r N 2 l
R2
r L0 3.7 H 。
【14.12】由漆包细导线绕成的小圆圈的面积为 S1 4.0 cm2 ，其匝数为 N1 50 。把它放在另一个半径
R2 20 cm , N 2 100 匝的圆线圈中心，两线圈同轴共面。如果把大线圈在小线圈中产生的磁场看成是
均匀的，试求这两个线圈之间的互感。如果大线圈导线中的电流每秒减小 50A ，试求小线圈中的感应电
w
1 2
B
H
r0N 2I 2 2l2
1.7 105 J/m3
【14.14】真空中有一匀强电场的电场能量密度与一均匀磁场的磁场能量密度相等，已知磁感强度为 0.50T， 试求该电场的电场强度。
【14.14 解】电场能量密度
we
1 2
0
E
2
，磁场能量密度
wm
1 20
B2
按题意，当 we wm 时，有
第 14 章 电磁感应
【14.1】一匝数 N=100 的线圈，通过每匝线圈的磁通量为 5 104 sin10t Wb 。求：（1）任意时刻
线圈内感应电动势的大小；（2）在 t=10s 时，线圈内感应电动势的大小。
【14.1 解】（1）
i
N
d dt
0.5 cos10t
（2）在 t=10s 时， i 0.5 cos100 1.57V
1
【14.5】长为 L 的铜棒，以距端点 r 处为支点，并以角速率 绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动。设磁感 强为 B 的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差。
a
O
v
B b
O
dl
A
B
r
L-r
OA
OB
（a）
（b）
习题 14－5 图
【14.5 解】如题图（a）所示，在棒上距点 O 为 l 处取导体元 dl，则
的夹角为 60o ，长为 0.20m 的 ab 边可左右滑动。若令 ab
边以速率 v 5.0 m/s 向右运动，试求线圈中感应电动势的大小
及感应电流的方向。 【14.3 解】感应电动势和感应电流的方向都从 a→b，感应电动 势的大小为
en B
d
a
v
b (v B) d l lvBcos 0.30 V a
入 r 5 000 的铁芯，并假定线圈与铁芯之间设有缝隙，试求这时线圈的自感 L 。
【14.11 解】利用截流长直螺线管中磁感应强度和线圈磁链的公式
B
0r N l
I
和
NB R 2
0r N 2 R2 l
I
可得在铁芯放入线圈前线圈的自感为： L0
0 I
0 N 2 R2 l
0.74 mH ，
放入线圈前后线圈的自感为：
AB
(v B) d l
AB
Lr r
Bl
d
l
1 2
BL(L
2r)
所以棒两端的电势差为
U AB
AB
1 2
BL(L
2r)
当 L>2r 时，端点 A 处的电势较高。
【14.6】如题图所示，长度为 L 的金属杆 AB，以匀速率 v 平行于载流无限长直导线移动，通有电流为 I 的无限长直导 线与金属杆 AB 在同一平面内，已知金属杆 A 端距长直导线 I A
dB dt
5T.s1 ，
试求：（1）通过该正方形金属框平面的磁通量；（2）金属框中的感应电动势、感应电流 。（3）金属框两
对角 a b 之间的电势差。
【14.8 解】(1) BL2
(2)
I
i ΣR
5L2 50
0.1L2
i
I 4 R1
b R2
(3)
如图
U ab
2
i 4
I (R1
R2 )
L2
【14.9】在长为 0.60m、直径为 5.0cm 的圆纸筒上应绕多少匝线圈才能使绕成的 螺线管的自感为 6.010-3H？
B
0R2I 2(R 2 x 2 )3/ 2
小线圈的磁通量为：
B
0 r 2 R2 I 2(R 2 x 2 )3/ 2
。
小线圈中感应电动势的方向与 x 轴正方向构成右手螺旋。小线圈中感应电动势的大
i
d B dt
3 2
0 r 2R2I 2(R 2 x 2 )5 / 2
2x
dx dt
30 r 2 R 2 Ixv 2(R 2 x 2 )5 / 2
【14.10 解】（1）长直螺线管的自感为
L
0 n 2V
0
N2 l
S
2.26 102 H
（2）当 dI/dt=10 As-1 时，线圈中的自感电动势为
L
L
dI dt
0.226V
负号表明，当电流增加时，自感电动势的方向与回路中电流 I 的方向相反。
【14.11】一纸筒长 30cm ，直径 3.0cm ，上面绕有 500 匝线圈，试求该线圈的自感 L0 .如果在该线圈内放
B
0I0 2r0
sin
t
矩形线圈所围面积的磁通量为：
A
D
I
d C
B
B
db d
0I0l 2 r
sin t
dr
0I0l 2
ln
d
d
b
sin t
d+b
线圈中的感应电动势
i
d B dt
0 I0l 2
ln
d
d
b
cos
t
习题 14－2 图
【14.3】如图所示，线圈 abcd 放在 B 6.0 101 T 的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面的法线方向之间
【14.2】一无限长直导线通有交变电流 i I 0 sin t ，在它的旁边有一与它共面的矩形线圈 ABCD，长为 l
的 AB 和 CD 两边与直导线平行，它们到直导线的距离分别为 d 和 d + b。试求矩形线圈所围面积的磁通量，
以及线圈中的感应电动势。
【14.2 解】长直导线在距其 r0 处产生的磁场为