重庆市名校联盟2021届高三上学期第二次联合测试(12月)数学试题 扫描版含答案

π
的最小值为
；……………………………（6 分）
uuur uuur u2uur uuur
uuur uuur 2
源自文库
（Ⅱ）因为 AB ⋅ BC = AB ⋅ BC ⋅ cos (π − B) = − AB ⋅ BC cos B > 0 ，所以 cos B < 0 ，
所以，B 为钝角，A 为锐角，
因为
f
(
A)
符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。
9. AD
10. BD
11. BCD
12. ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 3
14. − 3 4
15. (−1, 0) U(0,1)
16. (14 ,14) 3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
x
所以 f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为： x − y +1 = 0 ；…………………………（5 分）
（Ⅱ） g(x) = x2 +1− ln x − x ， g '( x) = 2x − 1 −1 = (2x +1)( x −1) ，
x
x
由 g '( x) > 0 得 x > 1 ，得 g ( x) 在 (0，1) 上单调递减，在 (1，+ ∞) 上单调递增…………（8 分）
①当 0 < m < 1 时， m + 2 > 1，所以 g ( x) 在[m，1] 上单调递减，在[1，m + 2]上单调递增，
所以 g ( x) 的最小值为 g (1) = 1；
②当 m ≥ 1时， g ( x) 在[m，m + 2] 上单调递增，所以 g ( x) 的最小值为 g (m) = m2 − m +1− ln m .
=
2n
−1， Sn
=
n2 ………………………………………………（5
分）
（Ⅱ）因为 bn
=
2an +1
−
Sn n
=22n
−n
=
4n
−
n
，
所以 Tn
= (41 + 42 +L
+ 4n ) − (1+ 2 +L
+ n)= 4n+1 − 4 − n(n +1) …………………………（10 分）
3
2
18. （本小题满分 12 分）
d = |1+ 2×2−4| = 12 + 22
1 5 ，………………………………………（8 分）
Q 圆 C 的半径 r = 1 ，所以 MN = 2 r2 − d 2 = 2 1− 1 = 4 5 .……………………（12 分） 55
19. （本小题满分 12 分）
（Ⅰ）因为 f ′( x) = 2x − 1 ，所以 k = f ′(1) = 1，又 f (1) = 2 ，所以切点为 (1, 2) ，
17. （本小题满分 10 分）
选择①②条件作答（选择②③条件，选择①③条件评分原则相同）
（Ⅰ）设{an} 的首项为
a1
，公差为
d
，则
2aa352
+ a4 = a9 = 27a2
，所以
3a1 +
(a1 + 4d
7d = a1 + 8d )2 = 27(a1 +
d
)
解得
a1 d
= =
1 2
，所以
an
重庆市名校联盟 2020～2021 学年度第二次联合考试
数学试题（高 2021 届）答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
项是符合题目要求的。 1-8 CACB BCDC
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项
（Ⅰ）方程 C 可化为 (x −1)2 + ( y − 2)2 = 5 − 4m ，
因为方程 C 表示圆，所以 5 − 4m > 0 ，解得 m < 5 .………………………………………（5 分） 4
（Ⅱ）圆 C 的圆心 (1, 2) ，圆心到直线 l : x + 2 y − 4 = 0 的距离为：
=
2 sin
2A
−
π 6
−1
=
1，可得 sin
2A
−
π 6
=
1，
因为 0 < A < π ，∴− π < 2A − π < 5π ，则 2 A − π = π ，解得 A = π ……………………（8
2
6
66
62
3
分）
3
由正弦定理得 b = c = a = sin B sin C sin A
2 = 1，则 b = sin B ， c = sin C ， 3
2
由题意得 0π2<<CB<<π2π
0 < C <
，即 π 2
<
2π 3
π 2
−C
<
π
，解得 0
<
C
<
π 6
，
所以 b + c =
3
sin
C
+
π 6
，…………………………………（10
分）
因为 0 < C
<π
π
，所以
<C+π
<
π
，
综上：当 0 < m < 1 时， g ( x) 的最小值为 g (1) = 1.
当 m ≥ 1时， g ( x) 的最小值为 g (m) = m2 − m +1− ln m .…………………………（12 分）
20. （本小题满分 12 分）
（Ⅰ）因为 f ( x) = 4 cos x sin(x − π ) = 3 sin 2x − cos 2x −1 = 2sin(2x − π ) −1……（3 分）
6
6
所
f
( x) 的最小正周期为：T
=
2π 2
=π
.………………………………………………（4 分）
因为 f ( x) 的最大值为1，最小值为 −3 ，且 f (m) = 1， f (n) = −3
m, n
所以
分别为函数
f
(x)
的最大值点与最小值点，
m−n
= (2k −1) ⋅ T
k ∈ N * ，所以 m − n
6
6
63
则
1 2
<
sin
C
+
π 6
<
3
，所以
2
3 <b+c< 3
2
2
．
因此， b + c 的取值范围是
3 2
,
3 2
.…………………………（12
分）
21. （本小题满分 12 分）
（Ⅰ）证明：∵ PC ⊥ 平面 ABCD ， AC ⊂ 平面 ABCD ，∴ PC ⊥ AC .
∵ AB = 2 ， AD = CD = 1， AC = BC = 2 ， ∴ AC 2 + BC 2 = AB2 ，∴ AC ⊥ BC . ∵ PC ∩ BC = C ， PC ⊂ 平面 PBC ， BC ⊂ 平面 PBC ， ∴ AC ⊥ 平面 PBC .∵ AC ⊂ 平面 EAC ， ∴平面 EAC ⊥ 平面 PBC .…………………………………………………………（3 分） （Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）易知 BC ⊥ 平面 PAC ，∴ ∠BPC 即为直线 PB 与平面 PAC 所成角.