重庆市名校联盟2021届高三上学期第二次联合测试(12月)数学试题扫描版含答案

合集下载

2021-2022学年重庆市七校联盟高三第二次联考数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（）A ．()2112f t t f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>2．已知复数552iz i i=+-，则||z =（）A B ．C ．D ．3．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（） A ．32i -+B ．32i +C ．32i --D ．32i -4．在四面体P ABC -中，ABC 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（）A ．B ．C ．24D ．5．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．46．若2nx⎛⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（）A ．7B ．6C ．5D ．47．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（）A ．74B ．5627C ．2D ．164818．2(1ii +=- ) A ．132i +B ．32i+ C ．32i- D ．132i-+ 9．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( ) A ．3B ．13-C ．12-D ．1-10．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%11．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A ．23B ．33C ．22D ．3212．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年重庆市高三上学期月考数学试卷(12月份)(含答案解析)

2021-2022学年重庆市高三上学期月考数学试卷(12月份)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.已知集合A ={x|x(3−x)≥0}，B ={x|x −1≤0}，则A ∩B =( )A. {x|1≤x ≤3}B. {x|x ≤0}C. {x|x ≥3}D. {x|0≤x ≤1}2.若复数z =(m +1)−2mi(m ∈R)为纯虚数，则z 的共轭复数是( )A. −2iB. −iC. iD. 2i3.在等差数列{a n }中，a 1=2，a 3=8，则98是{a n }的( )A. 第31项B. 第32项C. 第33项D. 第34项4.(x 2−3x)7展开式的第3项为( )A. 189B. 189x 8C. −945D. −945x 55.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π2)，现有如下四个命题：甲：该函数的最大值为√2；乙：该函数图象可以由y =sin2x +cos2x 的图象平移得到；丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π；丁：该函数图象的一个对称中心为(2π3,0)．如果只有一个假命题，那么该命题是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.已知f(x)是定义在R 上的周期为4的奇函数，当x ∈(0,1)时，f(x)=x +m.若f(172)+f(2)=1，则f(113)=( )A. 73B. 56C. −73D. −567.“0<xsinx <π2”是“0<x <π2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.双曲线型自然通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为4√3米，上口半径为4√393米，下口半径为20√33米，高为24米，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. 2√2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知曲线C 的方程为ax 2+ay 2−2x −2y =0(a ∈R)，则( )A. 曲线C 可能是直线B. 当a =1时，直线3x +y =0与曲线C 相切C. 曲线C 经过定点D. 当a =1时，直线x +2y =0与曲线C 相交10. 已知x +y >0，且x <0，则( )A. x 2>−xyB. |x|<|y|C. lgx 2>lgy 2D. y x +xy <−211. 已知函数f(x)={x 2−4x +2,x ≥02x +1,x <0，则( )A. ∀x ∈R ，f(x)≥−2B. ∃x ∈R ，f(x)=f(−x)C. 直线y =910与f(x)的图象有3个交点 D. 函数g(x)=f(x)−sinx 只有2个零点12. 设S n 和T n 分别为数列{a n }和{b n }的前n 项和．已知2S n =3−a n ，b n =na n 3，则( )A. {a n }是等比数列B. {b n }是递增数列C. S nan=3n −12D. SnT n>2 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知菱形ABCD 的边长为1，|AB|=|AC|，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 14. 函数f(x)=x +√4−x 的图象在点(3,4)处切线的斜率为______． 15. 已知锐角α满足tanα=4sinα，则tan(α−π4)=______．16. 已知AB 是过抛物线y 2=4x 焦点F 的弦，P 为该抛物线准线上的动点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a3=10，a2+a4=20．(1)求{a n}的通项公式；(2)求S1a1+S2a2+⋅⋅⋅+S na n．18.在①sinAsinB +sinBsinA+1=c2ab，②(a+2b)cosC+ccosA=0，③√3asin A+B2=csinA，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_______．(1)求角C的大小；(2)若c=√7，sinAsinB=314，求△ABC的面积．19.一个完美均匀且灵活的平衡链被它的两端悬挂，且只受重力的影响，这个链子形成的曲线形状被称为悬链线(如图所示).选择适当的坐标系后，悬链线对应的函数近似是一个双曲余弦函数，其解析式可以为f(x)=ae x+be−x，其中a，b是常数．(1)当a=b≠0时，判断f(x)的奇偶性；(2)当a，b∈(0,1)时，若f(x)的最小值为√2，求11−a +21−b的最小值．20.2020年某地爆发了新冠疫情，检疫人员对某高风险小区居民进行检测．(1)若假设A，B，C，D，E，F，G，H，I，J这10人的检测样本中有1份呈阳性，且这10人中恰有1人感染，请设计一种最多只需做4次检测，就能确定哪一位居民被感染的方案，并写出设计步骤；(2)若A，B为确诊患者，C，D为密切接触者，且C被A或B感染的概率均为12，D被A或B或C感染的概率均为13(D没有途径感染C)，则C，D中受感染的人数X作为一个随机变量，求X的分布列及数学期望．21.已知P为圆x2+y2=16上的一个动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，M为线段PQ的中点，M的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)若不过原点的直线l：y=−x+m与E交于A，B两点，O为坐标原点，以OA，OB为邻边作平行四边形，求这个平行四边形面积的最大值．22.已知函数f(x)=alnx−x，a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若关于x的不等式f(x)≤1x −2e在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．参考答案及解析1.答案：D解析：∵集合A={x|x(3−x)≥0}={x|0≤x≤3}，B={x|x−1≤0}={x|x≤1}，∴A∩B={x|0≤x≤1}．故选：D．求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：若复数z=(m+1)−2mi(m∈R)为纯虚数，则m+1=0，解得：m=−1，故z=2i，则z的共轭复数是−2i，故选：A．根据纯虚数的定义得到关于m的方程，求出m的值，求出z的共轭复数即可．本题考查了共轭复数问题，考查纯虚数的定义，是基础题．3.答案：C解析：∵在等差数列{a n}中，a1=2，a3=8，=3，a n=2+(n−1)×3=3n−1，∴公差d=8−22令3n−1=98，求得n=33，则98是{a n}第33项，故选：C．由题意利用等差数列的定义和通项公式，得出结论．本题主要考查等差数列的定义和通项公式，属于基础题．4.答案：B)7展开式的第3项为T3=C72⋅(−3)2⋅x8=189x8，解析：(x2−3x故选：B．由题意直接利用二项式展开式的通项公式，求得展开式的第3项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．5.答案：B解析：由命题甲：该函数的最大值为√2，可得A =√2；由命题乙：由y =sin2x +cos2x =√2sin(2x +π4)，可知A =√2，ω=2；由命题丙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，可得ω=1，所以命题乙和命题丙矛盾；若假命题是乙，则f(x)=√2sin(x +φ)，由命题丁：该函数图象的一个对称中心为(2π3,0)，可得f(2π3)=√2sin(2π3+φ)=0，因为0<φ<π2，可得φ=π3，符合题意；若假命题是丙，则f(x)=√2sin(2x +φ)，由命题丁：该函数图象的一个对称中心为(2π3,0)，可得f(2π3)=√2sin(4π3+φ)=0，可得φ=kπ−4π3，k ∈Z ，不满足条件0<φ<π2，所以假命题是乙．故选：B ．根据题意得到命题乙和命题丙矛盾，结合三角函数的图象与性质，分类讨论，结合命题丁进行判定，即可求解．本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，考查了分类讨论思想和函数思想，属于中档题．6.答案：D解析：∵f(x)是定义在R 上的周期为4的奇函数， ∴f(x)=f(x +4)且f(−x)=−f(x)， ∴−f(−x)=f(x +4)，∴f(−2+4)=−f[−(−2)]⇒f(2)=−f(2)⇒f(2)=0，∴f(172)+f(2)=1⇒f(8+12)+f(2)=1⇒f(12)=1=12+m ⇒m =12， ∴f(113)=f(4−13)=f(−13)=−f(13)=−(13+12)=−56，故选：D ．根据奇函数的定义以及周期性求得−f(−x)=f(x +4)，再结合已知求得f(2)=0，进而求解结论．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数求值，是函数性质的综合应用．7.答案：B解析：①当x ∈(−π2,0)时，满足0<xsinx <π2，∴充分性不成立，②当0<x <π2时，∵y′=sinx +xcosx >0，x ∈(0,π2)，∴y =xsinx 在(0,π2)递增， ∴0<xsinx <π2，∴必要性成立，∴0<xsinx <π2是0<x <π2的必要不充分条件，故选：B ．根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是基础题．8.答案：A解析：以AA 1的中点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则|OA|=|OA 1|=4√3，设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，则a =4√3，可设C 1(4√393,m)，B 1(20√33,m −24)(0<m <24)，又由B 1，C 1在双曲线上，所以{ (4√393)248−m 2b 2=1(20√33)248−(m−24)2b 2=1，解得m =8，b =12，即ba =√3，所以该双曲线的离心率为√1+b 2a2=2．故选：A ．以AA 1的中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1，设C 1(4√393,m)，B 1(20√33,m −24)，代入双曲线的方程，求得b =12，得到ba =√3，进而求得双曲线的离心率．本题主要考查双曲线离心率的求解，双曲线的实际应用等知识，属于中等题．9.答案：ACD解析：当a =0时，曲线为：−2x −2y =0，是直线方程，所以A 正确；当a =1时，曲线C 的方程为x 2+y 2−2x −2y =0，即(x −1)2+(y −1)2=2，表示圆，圆的圆心(1,1)，半径为√2，圆心到直线3x +y =0的距离：√9+1=2√105≠√2，所以B 不正确；圆心到直线x +2y =0的距离：√5=3√55<√2，直线x +2y =0与曲线C 相交，所以D 正确；曲线C 的方程为ax 2+ay 2−2x −2y =0恒过(0,0)点，所以C 正确；故选：ACD ．利用a 的值，判断选项是正误即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，曲线与方程的应用，是中档题．10.答案：BD解析：由于x +y >0，且x <0，故y >0，对于A ：x 2<−xy ，故A 错误；对于B ：|y|>|x|，故B 正确；对于C ：lgx 2<lgy 2，故C 错误；对于D ：yx +xy =−[−(yx )−(xy )]<−2，故D 正确．故选：BD ．直接利用不等式的性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.答案：ABD解析：对于A ，当x ≥0时，x 2−4x +2=(x −2)2−2≥−2，当x <0时，1<2x +1<2，所以f(x)≥−2成立，故A 正确；对于B ，作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可得，y =2−x +1(x >0)与y =2x +1(x <0)的图象关于y 轴对称，且与y =x 2−4x +2(x >0)有交点，即∃x ∈R ，f(x)=f(−x)，故选项B 正确；对于C ，由图图象可知，直线y =910与f(x)的图象只有2个交点，故选项C 错误；对于D ，g(x)=f(x)−sinx 的零点个数等于f(x)的图象与y =sinx 的图象的交点的个数为2，故选项D 正确，故选：ABD ．先利用二次函数、指数函数的单调性得到每一段上的函数值的取值范围，进而确定f(x)的值域，即选项A 正确；作出f(x)的图象，利用y =2−x +1(x >0)，y =2x +1(x <0)及y =x 2−4x +2(x >0)的图象判定选项B 正确；由直线y =910与f(x)的图象判定选项C 错误；由f(x)与y =sinx 的图象的交点个数可判断选项D 正确．本题考查了分段函数的应用，函数的零点，数形结合的思想等知识，属于中档题．12.答案：ACD解析：因为2S n =3−a n ，当n ≥2时，2S n−1=3−a n−1，两式相减得，2a n =a n−1−a n ，即3a n =a n−1，当n =1时，2S 1=3−a 1，解得a 1=1，所以数列{a n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，A 正确；所以a n =(13)n−1，b n=na n 3=n ⋅(13)n−2，S n=3−(13)n−12，则b 1=3，b 2=2，B 显然不成立；又S nan=3−(13)n−12×(13)n−1=3n −12，C 正确；T n =13+232+⋅⋅⋅+n−13n−1+n3n ，13T n =132+⋅⋅⋅⋅⋅+n−13n+n 3n+1，两式相减得，23T n =13+132+⋅⋅⋅⋅+13n −n3n+1=13(1−13n )1−13−n 3n+1=12(1−13n )−n3n+1，所以T n =34(1−13n )−n2⋅3n >0，所以2T n −S n =32(1−13n )−n 3n −32(1−13n )=−n3n <0，所以SnT n>2，D 正确．故选：ACD ．由已知结合数列的项与和的递推关系及等比数列的定义和求和公式可检验选项A ，C ；结合数列的单调性定义及数列的项的值可检验选项B ；利用错位相减法求出T n ，然后利用比较法可检验选项D ．本题主要考查了数列的项与和的递推公式的应用，还考查了等比数列的通项公式及求和公式，错位相减求和，属于中档题．13.答案：−12解析：因为AB =AC ，四边形ABCD 为菱形，所以∠ABC =π3，∠BAD =2π3，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−12，故答案为：−12．化简可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合数量积的运算公式，计算可得结果．本题考查了平面向量数量积的性质及应用，属于基础题．14.答案：12解析：由f(x)=x +√4−x ，得f′(x)=12√4−x ， ∴f′(3)=1−2×√4−3=12．∴函数f(x)=x +√4−x 的图象在点(3,4)处切线的斜率为12．故答案为：12．求出原函数的导函数，得到函数在x =3处的导数值，则答案可求．本题考查导数的几何意义及应用，关键是求出原函数的导函数，是基础题．15.答案：8−√157解析：∵锐角A 满足方程tanα=4sinα，可得cosα=14，则sinα=√1−cos 2α=√154，所以tanα=√15，所以tan(α−π4)=tanα−tanπ41+tanαtanπ4=√15−11+√15=8−√157，故答案为：8−√157．化简已知等式可得cosα，进而求得sinα，即可得到tanα，再利用两角差的正切函数公式即可求得答案．本题考查了两角差的三角函数公式，属于基础题．解析：∵抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0)， ∴直线AB 的方程可设为x =ty +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线AB 与抛物线方程{x =ty +1y 2=4x ，化简整理可得，y 2−4ty −4=0，由韦达定理可得，y 1+y 2=4t ，y 1y 2=−4， ∵P 为该抛物线准线上的动点，∴可设P(−1,m)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1−m)=(ty 1+2,y 1−m)， PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2−m)=(ty 2+2,y 2−m)， ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(ty 1+2)(ty 2+2)+(y 1−m)(y 2−m)=(t 2+1)y 1y 2+(2t −m)(y 1+y 2)+4+m 2=(2t −m)2≥0．故答案为：0．根据已知条件，结合向量的数量积公式，以及韦达定理，即可求解．本题主要考查抛物线的性质，掌握向量的数量积公式，以及韦达定理是解本题的关键，属于中档题．17.答案：解：(1)设{a n }的公比为q ，则q =a 4+a 2a 3+a 1=2．因为a 1+a 3=a 1+4a 1=10，所以a 1=2，所以{a n }的通项公式为a n =2×2n−1=2n ． (2)由(1)知S n =2−2n+11−2=2n+1−2．因为Sn a n=2n+1−22n =2−12n−1．所以S 1a 1+S 2a 2+⋅⋅⋅+S na n=2n −1−12n 1−12=2n −2+12n−1．解析：(1)利用等比数列的通项公式，结合已知条件求解公比，然后求解通项公式． (2)化简通项公式，然后利用分组求和，求解即可．本题考查数列求和，等比数列的简单性质的应用，是中档题．18.答案：解：(1)选择条件①由sinAsinB +sinBsinA +1=c 2ab 及正弦定理，可得ab +ba +1=c 2ab，则a 2+b 2−c 2=−ab ，由余弦定理，得cosC =a 2+b 2−c 22ab =−ab 2ab=−12．因为0<C <π，所以C =2π3．由(a +2b)cosC +ccosA =0及正弦定理，可得(sinA +2sinB)cosC +sinCcosA =0，即sinAcosC +cosAsinC =−2sinBcosC ．即sin(A +C)=−2sinBcosC ．在△ABC 中，A +B +C =π，所以sin(A +C)=sin(π−B)=sinB ，即sinB =−2cosCsinB ，因为0<B <π，所以sinB ≠0，所以cosC =−12．因为0<C <π，所以C =2π3．选择条件③ 由√3asinA+B 2=csinA 及正弦定理，可得√3sinAsinA+B 2=sinCsinA ，因为sinA ≠0，所以√3sin A+B 2=sinC ．在△ABC 中，A +B +C =π，可得sin A+B 2=cos C2，故√3cos C2=2sin C2cos C2．因为0<C <π，所以cos C 2≠0，则sin C 2=√32，故C =2π3．(2)由正弦定理，得ab sinAsinB =(csinC )2，所以ab =(c sinC )2sinAsinB =(√7sin 2π3)2×314=2．所以△ABC 的面积S =12absinC =12×2×sin2π3=√32．解析：(1)依据选择条件分别计算即可求得C 的大小；(2)由正弦定理，得absinAsinB =(csinC )2，可求得ab 的值，从而可求面积．本题考查了解三角形的应用，正弦定理和余弦定理的综合应用，特殊角的三角函数值的运用，三角恒等变换以及三角形面积公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．19.答案：解：(l)当a =b ≠0时，函数f(x)=a(e x +e −x )的定义域为R ．因为对任意的x ∈R ，都有−x ∈R ，且f(−x)=a(e −x +e x )=f(x)，所以f(x)为偶函数． (2)因为当a ，b ∈(0,1)时，f(x)的最小值为√2，所以f(x)=ae x +be −x ≥2√ae x ⋅be −x =2√ab =√2，即ab =12，所以b =12a <1，所以12<a <1，所以2−2a >0，2a −1>0，所以11−a+21−b=11−a+21−12a=11−a+4a 2a−1=11−a+22a−1+2=22−2a+22a−1+2=(22−2a+22a−1)×[(2−2a)+(2a −1)]+2=2(2a−1)2−2a+2(2−2a)2a−1+6≥2√4+6=10当且仅当2−2a =2a −1，即a =34，b =23时，等号成立，所以11−a +21−b 的最小值为10．解析：(1)利用函数的奇偶性的定义，判断函数的奇偶性即可．(2)利用基本不等式求解函数的最小值，通过“1”的代换，求解最小值即可．本题考查函数的奇偶性的判断，基本不等式求解函数的最值的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.答案：解：(1)第一步，将10人的样本随机5份作为一组，剩余5份作为另一组．任取一组，若呈阳性，则该组记为Ⅰ组；若呈阴性，则另一组记为Ⅰ组．第二步，将Ⅰ组的样本随机分为两组，2人一组记为Ⅱ组，3人一组记为Ⅲ组．第三步，对Ⅱ组样本进行检测，若呈阳性，再任取这2人中的1人的样本对其进行检测即可得知患病人员，因此，共检测3次；若呈阴性，则阳性样本必在Ⅲ组内，再逐一检测，2次即可得知患病人员，因此，共检测4次．对Ⅲ组样本进行检测，若呈阳性，再逐一检测，2次即可得知患病人员，因此，共检测4次；若呈阴性，则从Ⅱ组样本中任取一人的样本进行检测，即可得知患病人员，因此，共检测3次．综上所述，最多需做4次检测．(2)X 的可能取值为0，1，2．P(X =0)=12×12×23×23=19 C 被感染而D 未被感染的概率P 1=(1−14)×23×23×23=29， D 被感染而C 未被感染的概率P 2=14×(1−49)=536，则P(X =1)=P 1+P 2=1336，P(X =2)=1−19−1336=1936， X 的分布列为：EX =0×19+1×1336+2×1936=1712．解析：(1)应用随机分组检测设计检测步骤，并根据各步检测结果判断所需的检测频数，即可确定最多只需做4次检测的方案．(2)X 的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，进而写出其分布列，根据分布列求出期望即可．本题考查检测方案的确定、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：(1)设M(x,y)，P(x 0,y 0)，则由题意可知{x =x 02y =y 0①因为P 在圆x 2+y 2=16上，所以x 02+y 02=16，将①代入，并化简可得x 216+y 24=1．因为M 为线段PQ 的中点，所以P 与Q 不能重合，所以E 的方程为x 216+y 24=1(y ≠0)．(2)联立{y =−x +mx 216+y 24=1得5x 2−8mx +4m 2−16=0，则Δ=64m 2−80(m 2−4)=16(20−m 2)>0，因为l 不经过原点，所以0<m 2<20．设A ，B 两点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8m 5，x 1x 2=4m 2−165，|AB|=√1+(−1)2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2⋅√20−m 25，又O 到直线l 的距离d =√2，所以这个平行四边形的面积S =12×|AB|×d ×2=√2×4√2×√20−m 25=4√m 2(20−m 2)5≤4×m 2+20−m 225=8，当且仅当m 2=20−m 2，即m =±√10(满足0<m 2<20)时，等号成立，故这个平行四边形面积的最大值为8．解析：(1)设M(x,y)，P(x 0,y 0)，由题设得到它们坐标之间的数量关系，再根据P 在圆上代入方程求M 的轨迹方程．(2)联立直线与M 的轨迹方程，根据Δ>0求m 的范围，设A ，B 分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，应用韦达定理、弦长公式求|AB|，由点线距离公式求O 到直线l 的距离，应用面积公式可得平行四边形的面积关于m 的函数，应用基本不等式求最值．本题主要考查轨迹方程的求解，椭圆中的四边形面积问题，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．22.答案：解：(1)f′(x)=a x −1=a−x x(x >0)．①若a ≤0，则f′(x)<0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减． ②若a >0，令f′(x)=0，得x =a ．当x ∈(0,a)时，f′(x)>0；当x ∈(a,+∞)时，f′(x)<0．所以f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减．(2)不等式f(x)≤1x −2e 等价于alnx −x −1x +2e ≤0在(0,+∞)上恒成立，令g(x)=alnx −x −1x +2e ，则g′(x)=ax−1+1x 2=−x 2−ax−1x 2．对于二次函数y =x 2−ax −1，Δ=a 2+4>0，所以其必有两个零点．又两零点之积为−1，所以两个零点一正一负，设其中一个零点x 0∈(0,+∞)，则x 02−ax 0−1=0，即a =x 0−1x 0．此时g(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,+∞)上单调递减，故g(x 0)≤0，即(x 0−1x 0)lnx 0−x 0−1x 0+2e ≤0，设函数ℎ(x)=(x −1x )lnx −x −1x +2e ，则：ℎ′(x)=(1+1x 2)lnx +1−1x 2−1+1x 2=(1+1x 2)lnx ．当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)<0；当x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0．所以ℎ(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．又ℎ(1e )=ℎ(e)=0，所以x 0∈[1e ,e]，由a =x 0−1x 0在[1e ,e]上单调递增，得a ∈[1e −e,e −1e ]．故a 的取值范围为[1e −e,e −1e ]．解析：本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的求法，极值点的判断，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．(1)求出导函数，利用a 的范围，判断导函数的符号，推出函数的单调区间即可．(2)不等式f(x)≤1x −2e等价于alnx−x−1x+2e≤0在(0,+∞)上恒成立，构造函数，通过函数的导数，利用二次函数的性质，说明极值点一正一负，设函数ℎ(x)=(x−1x )lnx−x−1x+2e，利用导函数，结合函数的单调性，转化求解a的范围即可．。

重庆市三峡名校联盟高三数学12月联考试题理新人教A版

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}==N M ,2,1,0｛x ｜x=2a ,M a ∈｝，则集合=N M A ．{}0B ．{}1,0C ．{}2,1D ．{}2,02．直线10x y -+=与圆22(1)2x y -+=的位置关系是A.相离B.相切C.相交且过圆心D.相交但不过圆心3．曲线2y x =在点(1,1)P 处的切线方程为 A.2y x = B.21y x =- C.21y x =+ D.2y x =- 4．若复数2(2)(32)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为 A. 0或2 B. 2 C. 0 D. 1或2 5. 函数()()lg 72f x x g x x ==-与图象交点的横坐标所在区间是 A ．（1，2） B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（1，5）6．已知24:ππ<<a p ，x x f q a tan log )(:=在),0(+∞内是增函数，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设数列{a n }是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为S n ，且S 1 S 2、S 4成等比数列，则14a a 等于 A.3 B ．4 C ．6 D.78. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且sin 2sin ,sin A B a bC c--=则角A的大小为A.6π B.4π C.3π D.23π9. 已知,a b R +∈，直线6ax by +=平分圆04222=+--+m y x y x 的周长，则A ．6B ．4C ．3D ．310．定义域为[]b a ,的函数)(x f y =图象上两点),()),(,()),(,(y x M b f b B a f a A 是)(x f y =图象上任意一点，其中[]1,0,)1(∈-+=λλλb a x .已知向量)1(λλ-+=k ≤对任意[]1,0∈λ恒成立，则称函数)(x f 在[]b a ,上“k 阶线性近似”．若函数xx y 1-=在1,3上“k 阶线性近似”，则实数的k 取值范围为A ．[)+∞,0B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,121 C ．423,33D ．42+3,33第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20,x y -=则椭圆22221x y a b+=的离心率_________e = 12.观察下列不等式1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为______________. 13.知幂函数13()n y xn N *-=∈ 的定义域为(0,)+∞ ，且单调递减，则n =__________.考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答O ，若三题全做，则按前两题给分． 14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AB 是半径等于3的圆O 的直径，CD 是圆O的弦，BA ，DC 的延长线交于点P.若PA =4，PC =5，则 ∠CBD= ．15．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ与圆2=ρ的公共点个数是________．16. （不等式选讲选做题）已知函数2()log (12)f x x x m =++--．若关于x 的不等式1)(≥x f 的解集是R ，则m 的取值范围是 .三、解答题：本大题6个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分13分）已知函数2()ln .f x x x ax =++（1）当3,()a y f x =-=时求函数的极值点；（2）当24,()0(1,)a f x x =-+=+∞时求方程在上的根的个数。

2021年高三(上)12月综合练习数学试卷

2021年高三（上）12月综合练习数学试卷一、填空题（共14小题，每小题3分，满分42分）1．（3分）设集合A={5，log2（a+3）}，B={a，b（a，b∈R）}，若A∩B=1，则A∪B={﹣1，1，5} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：利用两个集合的交集的定义求得a 的值和 b 的值，进而得到集合A、B，依据并集的定义求得A∪B．解答：解：由题意可得 log2（a+3）=1，∴a=﹣1，∴b=1．∴集合A={5，1}，B={﹣1，1}，∴A∪B={﹣1，1，5}，故答案为{﹣1，1，5}．点评：本题考查集合的表示方法、两个集合的交集、并集的定义和求法，求出a，b的值是解题的关键．2．（3分）（xx•静安区一模）（文）若实数x满足对任意正数a＞0，均有x2＜1+a，则x的取值范围是[﹣1，1]．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；转化思想．分析：实数x满足对任意正数a＞0，均有x2＜1+a⇔f（a）=a+1﹣x2，a＞0，则由一次函数要在a＞0上恒成立，从而可得f（0）＞0．解答：解：实数x满足对任意正数a＞0，均有x2＜1+a令f（a）=a+1﹣x2，a＞0则由一次函数的性质可得f（0）=1﹣x2≥0 ﹣1≤x≤1故答案为：[﹣1，1]点评：解决本题的灵魂在于“转化”，先将不等式转化为函数问题，转化为关于a的一次函数问题，最终得以解决．很多问题在实施化难为易中得以解决．构造函数也是本题的一个解题的技巧．3．（3分）已知函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2），若∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，则实数m最小值是2．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，知f（x）在（m，+∞）上单调递增，则（m，+∞）为函数f（x）增区间的子集，根据复合函数单调性的判断方法求出f（x）的增区间，由集合包含关系可得m的范围，注意函数定义域；解答：解：由x2﹣x﹣2＞0解得x＜﹣1或x＞2，所以函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），y=x2﹣x﹣2=在（﹣∞，）上递减，在（，+∞）上递增，又x＜﹣1或x＞2，所以y=x2﹣x﹣2的减区间为（﹣∞，﹣1），增区间为（2，+∞），而y=lgu递增，所以f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1），增区间为（2，+∞），由∀a、b∈（m，+∞），都有[f（a）﹣f（b）]（a﹣b）＞0，知f（x）在（m，+∞）上单调递增，所以（m，+∞）⊆（2，+∞），故m≥2，所以实数m的最小值为2，故答案为：2．点评：本题考查函数单调性定义及复合函数单调性的判断，复合函数单调性的判断方法为“同增异减”．4．（3分）已知不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x＜，则m的取值范围是[﹣，]考点：充要条件．专题：计算题．分析：先求出不等式|x﹣m|＜1的解集，再由不等式|x﹣m|＜1成立的充分不必要条件是＜x ＜来确定m的取值范围．解答：解：∵|x﹣m|＜1，∴﹣1＜x﹣m＜1，∴m﹣1＜x＜m+1，∵m﹣1＜x＜m+1成立的充分不必要条件是＜x＜，∴，解得﹣．故m的取值范围是[﹣]．故答案：[﹣]．点评：本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用．5．（3分）设函数f（x）在定义域R内恒有f（﹣x）+f（x）=0，当x≤0时，，则f（1）=．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件判断出函数是奇函数，由f（0）=0求出a的值，再由奇函数的定义得f（1）=﹣f（﹣1），代入所给的解析式求值．解答：解：由f（﹣x）+f（x）=0，得f（x）=﹣f（x），∴函数f（x）在定义域R内是奇函数，即f（0）=0，∵当x≤0时，，∴=0，解得a=，∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣（）=，故答案为：．点评：本题考查了函数奇偶性的应用，即根据奇函数的性质求值，再利用奇偶性对应的关系式，将所求的函数值的自变量的范围转化到已知范围内求解，考查了转化思想．6．（3分）若直线（a2+2a）x﹣y+1=0的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是（﹣2，0）．考点：直线的一般式方程．专题：计算题．分析：由题意可得直线的斜率a2+2a＜0，解之即可．解答：解：由题意可得直线的斜率a2+2a＜0，即a（a+2）＜0，解得：﹣2＜a＜0，故实数a的取值范围是（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）点评：本题考查直线的倾斜角和斜率，涉及一元二次不等式的解法，属基础题．7．（3分）（xx•浙江二模）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．考点：等比数列的性质．专题：计算题；压轴题．分析：先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比赛数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．解答：解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．8．（3分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图所示，则函数表达式为y=﹣4sin．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：综合题．分析：观察函数的图象可得，函数的最小值﹣4，且在一周期内先出现最小值，所以A=﹣4 由图可得周期T=16，代入周期公式T=可求ω在把函数图象上的最值点代入结合已知φ的范围可得φ的值解答：解：由函数的图象可得最大值为4，且在一周期内先出现最小值，所以A=﹣4观察图象可得函数的周期T=16，ω=又函数的图象过（2，﹣4）代入可得sin（φ）=1∴φ+|φ|＜，∴φ=函数的表达式y=﹣4sin（）点评：本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，其步骤一般是：由函数的最值求解A，（但要判断是先出现最大值或是最小值，从而判断A的正负号）由周期求解ω=2πT，由函数图象上的点（一般用最值点）代入求解φ；9．（3分）过点P（1，1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为x+y﹣2=0．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．解答：解：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP垂直即可．又已知点P（1，1），则k OP=1，故所求直线的斜率为﹣1．又所求直线过点P（1，1），故由点斜式得，所求直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．（3分）函数f（x）=ax2+bx+c，其中a＜0，对∀x∈R，恒有f（x）=f（4﹣x），若f（1﹣3x2）＜f（1+x﹣x2），则x的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由∀x∈R，恒有f（x）=f（4﹣x），知f（x）的图象关于x=2对称，又由a＜0得f（x）的单调区间，根据1﹣3x2及1+x﹣x2的取值范围及函数单调性可得其大小关系，解出即可．解答：解：由∀x∈R，恒有f（x）=f（4﹣x），知f（x）的图象关于x=2对称，又a＜0，所以f（x）在（﹣∞，2]上递增，在[2，+∞）上递减，而1﹣3x2≤1＜2，1+x﹣x2=﹣＜2，故由f（1﹣3x2）＜f（1+x﹣x2），得1﹣3x2＜1+x﹣x2，即2x2+x＞0，解得x＜﹣或x＞0，故答案为：（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．点评：本题考查二次函数的单调性及其应用，属中档题．11．（3分）（xx•安徽模拟）已知{a n}是等比数列，a2=2，，则S n=a1+a2+…+a n（n∈N*）的取值范围是[4，8）．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：首先根据条件求出q=，a1=4，然后由前n项和公式求出S n==8﹣8×（）n﹣1=8﹣（）n+2＜8，进而由a1，求出结果．解答：解：∵{a n}是等比数列，a2=2，，∴a5=a2q3=2×q3=∴q=∴a1=4，∴S n==8﹣8×（）n﹣1=8﹣（）n+2＜8 又∵a1=4∴4≤S n＜8 故答案为[4，8）点评：本题考查了等比数列的前n项和公式，求出数列的公比和首项是解题的关键，同时做题过程中要细心．属于基础题．12．（3分）已知函数f（x）=x3+2x，对任意的t∈[﹣3，3]，f（tx﹣2）+f（x）＜0恒成立，则x的取值范围是（﹣1，）．考点：函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：确定f（x）为单调递增的奇函数，再利用对任意的t∈[﹣3，3]，f（tx﹣2）+f（x）＜0恒成立，建立不等式，即可求x的取值范围．解答：解：∵f（x）=x3+2x，∴f（﹣x）=﹣x3﹣2x，∴函数是奇函数；∵f（tx﹣2）+f（x）＜0，∴f（tx﹣2）＜f（﹣x）求导函数可得f′（x）=x2+2＞0，∴函数是R上的增函数∴tx﹣2＜﹣x∴tx﹣2+x＜0∵对任意的t∈[﹣3，3]，f（tx﹣2）+f（x）＜0恒成立，∴∴﹣1＜x＜故答案为：（﹣1，）．点评：本题考查恒成立问题，考查学生的计算能力，确定f（x）为单调递增的奇函数是关键．13．（3分）在平面直角坐标系中，设直线l：kx﹣y+=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，，若点M在圆C上，则实数k=±1．考点：直线与圆相交的性质；相等向量与相反向量．专题：直线与圆．分析：把直线与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x A+x B，然后利用直线方程求得y A+y B的表达式，进而可求得M的坐标，利用点M在圆C上，即可求实数k的值．解答：解：由直线kx﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，联立两方程得：（1+k2）x2+2kx﹣2=0∴x A+x B=﹣，y A+y B=kx A++kx B+=∵，∴M（﹣，）代入圆x2+y2=4可得∴k=±1故答案为：±1点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质，平面向量的基本性质，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（3分）（普通班做）设函数f（x）=lnx+x2+ax．若f（x）在其定义域内为增函数，则a的取值范围为[﹣2，+∞）．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：函数的性质及应用．分析：f（x）在其定义域内为增函数可转化成只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0恒成立，建立不等关系，解之即可．解答：解：f（x）的定义域为（0，+∞）．方程2x2+ax+1=0的判别式△=a2﹣8，①当△≤0，即﹣2 ≤a≤2 时，2x2+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，此时f （x）为增函数．②当△＞0，即a＜﹣2 或a＞2 时，要使f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，只需在（0，+∞）内有2x2+ax+1≥0即可，设h（x）=2x2+ax+1，由得a＞0，所以a＞2 ．由①②可知，若f（x）在其定义域内为增函数，a的取值范围是[﹣2 ，+∞）．故答案为：[﹣2，+∞）．点评：本题以函数为载体，主要考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，属于中档题．二、解答题（共6小题，满分0分）15．对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．若f（x）=lnx+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（1，1+）．考点：函数的值域．专题：计算题；压轴题；新定义．分析：由于f（x）在定义域{x|x＞0} 内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极大值为：g （e）=1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+ 时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k 的取值范围．解答：解：∵f（x）=lnx+x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+a=ka，lnb+b=kb，即a，b为方程lnx+x=kx 的两个不同根．∴k=1+，令1+=g（x），令g'（x）==0，可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=1+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于1，因此当1＜k＜1+ 时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程k=1+ 有两个解．故所求的k的取值范围为（1，1+），故答案为（1，1+）．点评：本题主要考查利用导数求函数的值的方法，体现了转化的数学思想，属于基础题．16．（xx•盐城二模）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且．（1）求证：；（2）若cos（A﹣C）+cosB=1，求角B的大小．考点：解三角形．专题：解三角形．分析：（1）由条件可得cosB=，再利用基本不等式证得成立．（2）由cos（A﹣C）+cosB=1，可得sinAsinC=．再由可得sin2B=sinA•sinC=，求得sinB=，可得B的值．解答：解：（1）∵由条件可得cosB==≥=，故成立．（2）∵cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC=1，∴sinAsinC=．再由可得sin2B=sinA•sinC=，∴sinB=，故B=．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式，根据三角函数的值求角，属于中档题．17．（xx•丰台区一模）已知m∈R，，，．（Ⅰ）当m=﹣1时，求使不等式成立的x的取值范围；（Ⅱ）求使不等式成立的x的取值范围．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：综合题．分析：（1）将m=﹣1代入向量，，然后用向量的数量积运算表示出•整理成•=x2+x﹣1，然后解绝对值不等式|x2+x﹣1|＜1，即可得到答案．（2）根据向量数量积的坐标运算先表示出＞0，然后对m的不同取值进行分类讨论，即可得到x的范围．解答：解：（Ⅰ）当m=﹣1时，，.=x2+x﹣1．∵，∴解得﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜1．∴当m=﹣1时，使不等式成立的x的取值范围是{x|﹣2＜x＜﹣1或0＜x＜1}．（Ⅱ）∵，∵，所以x≠﹣m∴当m＜0时，x∈（m，0）∪（1，+∞）；当m=0时，x∈（1，+∞）；当0＜m＜1时，x∈（0，m）∪（1，+∞）；当m=1时，x∈（0，1）∪（1，+∞）；当m＞1时，x∈（0，1）∪（m，+∞）．点评：本题主要考查向量的数量积运算、绝对值不等式的解法和分式不等式的解法．求解分式不等式时一般求其等价的整式不等式，切记莫忘分母不等于0这个先决条件．18．已知﹛a n﹜是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．（Ⅰ）当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；（Ⅱ）当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m+k ，a n+k，a l+k也成等差数列．考点：等差关系的确定；等差数列的性质．专题：计算题；证明题．分析：（Ⅰ）根据题意，写出等比数列﹛a n﹜的前n项和是解决本题的关键，利用S1，S3，S4成等差数列寻找关于q的方程，通过解方程求出字母q的值；（Ⅱ）根据S m，S n，S1成等差数列，利用等比数列的求和公式得出关于q的方程式是解决本题的关键，注意分类讨论思想和整体思想的运用．解答：解：（Ⅰ）由已知得出a n=a1q n﹣1，S3=a1+a2+a3=a1（1+q+q2），S4=a1+a2+a3+a4=a1（1+q+q2+q3），根据S1，S3，S4成等差数列得出2S3=S1+S4，代入整理并化简，约去q和a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=；（Ⅱ）当q=1时，该数列为常数列，若S m，S n，S l成等差数列，则也有a m+k，a n+k，a1+k成等差数列；若q≠1，由S m，S n，S1成等差数列，则有2S n=S1+S m，即有，整理化简得2q n﹣1=q m﹣1+q l﹣1，两边同乘以a1，得2a1q n﹣1=a1q m﹣1+a1q l﹣1，即2a n=a m+a l，两边同乘以q k即可得到2a n+k=a m+k+a l+k，即a m+k ，a n+k，a l+k成等差数列．点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查学生判断等差数列的方法，考查学生的方程思想和分类讨论思想，转化与化归思想，考查学生的运算能力．19．已知圆心为O，半径为1，弧度数为π的圆弧上有两点P，C，其中=（如图）．（1）若P为圆弧的中点，E在线段OA上运动，求的最小值；（2）若E，F分别为线段OA，OC的中点，当P在圆弧上运动时，求的最大值．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意可得C为的中点，设OE=x（0≤x≤1），计算=，利用二次函数的性质求得它的最小值．（2）以O为原点，BA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出E、F的坐标，设P（x，y），则x2+y2=1（y≥0），计算，可得当x+y取得最小值时，取得最大值，计算求得结果．解答：解：（1）由题意= 可得C为的中点，设OE=x（0≤x≤1），则=，所以当时，的最小值为．（2）以O为原点，BA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，，设P（x，y），则x2+y2=1（y≥0），∴，故当x=﹣1 且y=0时，x+y取得最小值为﹣1，所以，的最大值是1﹣（﹣）=．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，数量的坐标形式的运算，二次函数的性质应用，属于中档题．20．（xx•崇明县二模）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足，n∈N*．数列{b n}满足，n∈N*，T n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式a n和数列{b n}的前n项和T n；（2）若对任意的n∈N*，不等式恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定；数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由，n∈N*．分别令n=1和2，可分别求出数列的首项和公差，代入可得数列{a n}的通项公式，由，n∈N*，可由裂项相消法得到数列{b n}的前n项和T n；（2）由（1）中T n的表达式，然后分n为奇数和n为偶数两种情况，分别求出实数λ的取值范围，综合分类讨论结果，可得答案．精品文档实用文档（3）由（1）中T n 的表达式，结合等比数列的性质，可构造关于m ，n 的方程，根据1＜m ＜n 及m ，n 均为整数，可得答案．解答：解：（1）在a n 2=S 2n ﹣1中，令n=1，n=2，得，即（2分）解得a 1=1，d=2，（3分）∴a n =2n ﹣1．∵==（ ﹣ ），∴Tn=（1﹣+﹣+…+﹣ ）=．（5分）（2）①当n 为偶数时，要使不等式λT n ＜n+8•（﹣1）n 恒成立，即需不等式λ＜=2n++17恒成立．（6分）∵2n+≥8，等号在n=2时取得．∴此时λ需满足λ＜25．（7分）②当n 为奇数时，要使不等式λT n ＜n+8•（﹣1）n 恒成立，即需不等式λ＜=2n ﹣﹣15恒成立．（8分）∵2n ﹣是随n 的增大而增大，∴n=1时，2n ﹣取得最小值﹣6．∴此时λ需满足λ＜﹣21．（9分）综合①、②可得λ的取值范围是λ＜﹣21．（10分）（3）T 1=，Tm=，Tn=，若T 1，T m ，T n 成等比数列，则（）2= （），即 =．（11分）由=，可得 =＞0，即﹣2m 2+4m+1＞0，（12分）∴1﹣＜m ＜1+．（13分）又m ∈N ，且m ＞1，所以m=2，此时n=12．因此，当且仅当m=2，n=12时，数列 {T n }中的T 1，T m ，T n 成等比数列．（14分）点评：本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力28507 6F5B 潛[21001 5209 刉a[35736 8B98 讘v34312 8608 蘈32610 7F62 罢 30655 77BF 瞿-29762 7442 瑂32164 7DA4 綤。

《精编》重庆市高三数学12月月考试题文新人教A版.doc

绝密★启用前2021-2021学年度重庆市青木关中高2021级12月月考试题数学〔文科〕一、选择题〔共10小题，每题5分，共50分。

〕 1．集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,那么AB =A ．}{3,5 B ．}{3,6 C ．}{3,7 D ．}{3,9 2．假设条件p ：305x x -≤+，条件q ：652-<x x ，那么p 是q 的〔〕 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 3．以下程序执行后输出的结果是〔〕A ． –1B ． 0C ． 1D ． 24．,a b 为不相等的正实数，那么2,,2a b abab a b++三个数的大小顺序是 2.2a b ab A ab a b +>>+ 2.2a b ab B ab a b +≥≥+2.2ab a b C ab a b +>>+ 2.2a b ab D ab a b+>>+5．四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如以下列图，那么四棱锥P ABCD -的外表积为A. 221+（）a 2B. 2a 2C. 12+（）a 2D. (2+2)a26．圆2216x y +=上的点到直线30x y --=的距离的最大值是〔〕 A．0 7．在ABC ∆中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边，且22sin sin (sin sin )sin A C A B B -=-，那么角C 等于( )ABCD8．一同学在电脑中打出如下假设干个圆：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，假设依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2 012个圆中共有●的个数是〔〕 A ．61 B ．62 C ．63 D ．649．向量(2,1),(1,)a b k ==且a 与b 的夹角为锐角，那么k 的取值范围是〔〕Ａ．∞（-2,+） B 1)(,)2+∞ C ．(,2)-∞- D ．(2,2)- 10．21F F 、分别是双曲线C ：2222x y a b-=〔a ＞0，0b >〕的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线1F B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，假设F F ,那么C 的离心率是〔〕二、填空题〔此题共5分，把答案填写在答题卡相应的位置上。

2021年高三上学期第二次联考数学理含答案

2021年高三上学期第二次联考数学理含答案一、选择题.本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡的相应位置.1.设，则＝（）A． B． C． D．2.命题“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，3.下列函数中，既是偶函数又在区间上递增的函数为（）A． B． C． D．4.一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（）A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒5.函数的零点位于（）A． B． C． D．6.“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7.函数的图象可能是（）D 1C 1B 1A 1D CBAxyπ6π35π63- 3OA B C D 8.如图：正方体，棱长为1，黑白二蚁都从点出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中）.设黑白二蚁走完第xx 段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是 ( )A ． 1 B. C. D. 0二、填空题.本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 . 请把答案填在答题卡的相应位置. 9.函数的定义域为____________.10.若函数是函数且的反函数，且函数的图像经过点，则 ____________. 11.已知函数，则的值为____________.12.如图是函数()sin(),(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>>< 的图象，则其解析式是____________.13.由曲线与直线、直线所围成的图形的面积为____________.14.设函数,若对任意实数，函数的定义域为，则的取值范围为____________.三、解答题.本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15．（本小题满分12分）已知函数,（1）求的值；（2）若，求.16.（本小题满分12分）设函数,（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值.17．（本小题满分14分）设函数,（1）求函数的最小正周期，并求在区间上的最小值；（2）在中，分别是角的对边，为锐角，若，，的面积为，求.18.（本小题满分14分）已知函数（1）若函数在处的切线垂直轴,求的值；（2）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；（3）讨论函数的单调性.19.（本小题满分14分）已知函数（1）设为函数的极值点，求证: ；（2）若当时，恒成立，求正整数．．．的最大值.20.（本小题满分14分）设函数2* ()1,(,)1!2!!nnx x xf x x R n Nn=-++++∈∈（1）证明对每一个，存在唯一的，满足；（2）由（1）中的构成数列，判断数列的单调性并证明；（3）对任意，满足（1），试比较与的大小.xx届六校十月联考理科数学参考答案一.选择题二.填空题9. 10. 11.12. 13. ____1____ 14.三.解答题15．（本小题满分12分）已知函数,（1）求的值；（2）若，求.解:（1）……2分……4分……5分（2）……7分……8分……9分……10分= ……12分16.（本小题满分12分）设函数,（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最值.解：(1)……2分令 ……3分的变化情况如下表：……5分由上表可知的单调递增区间为和,单调递减区间为. ……6分（2）由（1）可知函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ……7分的极大值 ……8分的极小值 ……9分又， ……10分 ……11分函数在区间上的最大值为，最小值为 . ……12分17．（本小题满分14分）设函数,（1）求函数的最小正周期，并求在区间上的最小值；（2）在中，分别是角的对边，为锐角，若，，的面积为，求. （资料苏元高考吧广东省数学教师QQ 群：179818939）解：（1）()21cos 2sin cos 22x f x x x x x -==+ ……3分所以函数的最小正周期为 ……4分因为，所以.所以当时，函数在区间上的最小值为. ……7分（2）由得：.化简得：，又因为，解得：. ……10分由题意知：，解得，又， ……12分由余弦定理：()()22222cos 21cos 25a b c bc A b c bc A =+-=+-+=， . ……14分18. （本小题满分14分）已知函数（1）若函数在处的切线垂直轴,求的值；（2）若函数在为增函数，求的取值范围； (3) 讨论函数的单调性.解：（1）因为，故， ……1分函数在处的切线垂直轴，所以 ……3分（2）函数在为增函数，所以当时，恒成立，分离参数得：，从而有：. ……7分（3）2()()(2)(2)ln g x f x a x x a x a x =-+=-++22(2)(1)(2)()2(2)a x a x a x x a g x x a x x x-++--'=-++== ……10分令，因为函数的定义域为，所以（1）当，即时，函数在上递减，在上递增； ……11分（2）当，即时，函数在上递增，在上递减，在上递增 ……12分（3）当，即时，函数在上递增； ……13分（4）当，即时，函数在上递增，在上递减，在上递增. ……14分19.（本小题满分14分）已知函数（1）设为函数的极值点，求证: ；（2）若当时，恒成立，求正整数的最大值.解：（1）因为，故, ……2分为函数的极值点,, ……3分即,于是,故……5分(2)恒成立,分离参数得……7分则时，恒成立，只需，，记，，……9分在上递增，又，在上存在唯一的实根，且满足，……11分当时，即；当时，即,,故正整数的最大值为……14分20.（本小题满分14分）设函数2* ()1,(,)1!2!!nnx x xf x x R n Nn=-++++∈∈（1）证明对每一个，存在唯一的，满足；（2）由（1）中的构成数列，判断数列的单调性并证明；（3）对任意，满足（1），试比较与的大小.解:（1）显然,当时,,故在上递增. ……2分又，221111()()(1())1111112222()11()()1()01222!!222212nn n n n f n -=-++++<-++++=-+=-<-故存在唯一的，满足 ……4分（2）由（1）知在上递增因为所以21111111111()1()02!!(1)!(1)!n n n nn n n n n n n n x x x x f x x f x n n n ++++++++++=-+++++=+=++ ……6分（资料苏元高考吧广东省数学教师QQ 群：179818939），由（1）知在上递增故，即数列单调递减. ……9分 (3) 由（2）数列单调递减，故而21()102!!(1)!()!nn n pn pn pn pn pn p n p n p x x x x f x x n n n p +++++++++=-+++++++=++ ……11分两式相减：并结合，以及211111!!11!!(1)111111k kkn pnn p nn pn n p k k n k n pn pn p n pk n k n k n n pk n x x x x x k k x k k k k k k n n p n ++++==+++++=+=+=++=+--=+<≤<-⎡⎤=-=-<⎢⎥-+⎣⎦∑∑∑∑∑∑ 所以有 ……14分35914 8C4A 豊30109 759D 疝}22072 5638 嘸40741 9F25 鼥kM20286 4F3E 伾24667 605B 恛26537 67A9 枩/P`32426 7EAA 纪<。

2021年高三上学期12月联考试题数学(文) 含答案

2021年高三上学期12月联考试题数学（文）含答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A ．1B ．C ．D ．2．已知集合，，则( )A ． B. C. D.3．已知向量，若与平行，则实数的值是（）A ．4B ．1C ．D ．4．设，则“”是“”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数的零点的个数为（）A ．0 B. 1 C ． 2 D ． 36．已知等比数列为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2) ＝5a n ＋1，则数列的公比q ＝（）A ．2或12 B. 2 C ．12D ．-2 7．若,则,则的值为（）A ．B ．C ．D ．8．执行如右图所示的程序框图，则输出的结果为（）A ．B ．C ．D ．9．欧拉是科学史上一位多产的、杰出的数学家！他1707年出生在瑞士的巴塞尔城，渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都令人惊叹不已。

特别是，他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，即使在他双目失明以后，也没有停止对数学的研究。

在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。

如果你想在欧拉的生日、大学入学日、大学毕业典礼日、第一篇论文发表日、逝世日这5个特别的日子里（这五个日子均不相同），任选两天分别举行班级数学活动，纪念这位伟大的科学家，则欧拉的生日入选的概率为（）A ．B ．C ．D ．10．已知三棱锥外接球的表面积为，底面为正三角形，其正视图和侧视图如图所示，则此三棱锥的侧面积为（）A ．B ．C ．D ．正视图侧视图 411．已知函数，若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值是（）A． B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）Array二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。

《精编》重庆市高三数学12月月考试题理新人教A版.doc

2021级高三上12月月考卷数学〔理科〕〔时间：120分钟总分值150分〕 I 卷选择题〔50分〕一、选择题〔每题5分，共50分，每题只有一个正确答案〕 1、i 为虚数单位，计算21(1)1ii i+-+=-〔〕 A 、i - B 、i C 、1- D 、12、假设双曲线22221(,0)x y a b a b -=>的渐近线方程为2y x =±，那么该双曲线的离心率为〔〕ABD3、集合2{0},{21}1x A xB x x x +=≤=-≤≤-，那么“x A ∈〞是 “ x B ∈〞的〔〕A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 4、如以下列图，输出结果为〔〕A 、3B 、7C 、8D 、9 5、以下命题中真命题的个数是〔〕①“2,0x R x x ∀∈->〞的否认是“2,0x R x x ∃∈-<〞； ②假设211x ->，那么101x <<或10x<； ③4,21x N x *∀∈+是奇数。

A 、0B 、1C 、2D 、36、如图是一个空间几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕 A 、12π B 、8π C 、6π D 、4π7、三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，假设每个村最多去2个人，那么不同的分配方法种数是〔〕 A 、240 B 、120 C 、60 D 、128、一直线与圆222()()(0)x a y b r r -+-=>相交于A 、B 两点，且A 、B 两点关于直线22x y += 对称，那么过点(2,2)(,4)a b P b Q a --、两点的直线的斜率的最小值为〔〕 A、2 C 、1 D、俯视图•左视图正视图第6题图9、()f x 是定义在R 上的函数，且对任意x R ∈都有(2)(2)4(2)f x f x f +=-+，假设函数(1)y f x =+的图象关于点(1,0)-对称，且(1)3f -=，那么(2013)f =( ) A 、0 B 、3- C 、3 D 、610、定义在(0,1)上的函数()f x ，对任意,(1,)m n ∈+∞且m n <时，都有11()()f f m n -=()1m n f mn --.记21(),55n a f n N n n *=∈++，那么在数列{}n a 中，128a a a +++=( )A 、1()5fB 、1()4fC 、1()3fD 、1()2fII 卷非选择题〔100分〕二、填空题〔每题5分，共25分，只需将最后结果填到答题卡上对应的位置〕 11、在等比数列{}n a 中，各项都是正数，且13212,,2a a a 成等差数列，那么公比q = ___； 12、5)2x的展开式中常数项为；13、抛物线220y x =上各点和点(10，0)所连的线段中点的轨迹方程是；14、平面点集2{(,)1,1},{(,)}A x y x y B x y y x =≤≤=≥，假设向A 中随机投掷一点P ，那么点P 落在区域A B 中的概率为。

2021届重庆市南开中学高三上学期第二次质量检测数学试题(解析版)

第 1 页共 6 页 2021届重庆市南开中学高三上学期第二次质量检测数学试题
一、单选题
1．已知集合{}2log (1)0A x
x =-<∣，{22}B x x =-<≤∣，则A B =（） A ．(1，2)
B ．(1，2]
C ．[－2，2)
D ．(－2，2]
【答案】A 【解析】根据对数函数的单调性化简集合A ，再根据集合的交集运算可的结果.
【详解】
由2log (1)0x -<得011x <-<，即12x <<，所以{|12}A x x =<<，
又{22}B x
x =-<≤∣，所以A B ={|12}x x <<.
故选：A.
【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性解不等式，考查了集合的交集运算，属于基础题. 2．设i 为虚数单位，如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数(1)i z +⋅的点是（）
A ．M
B ．N
C ．P
D ．Q
【答案】C 【解析】首先根据题意得到2z i =-，从而得到(1)3i z i +⋅=+，即可得到答案.
【详解】
由图知：2z i =-，(1)(1)(2)3i z i i i +⋅=+⋅-=+，
在复平面内对应的点为()3,1，为P 点.
故选：C
【点睛】
本题主要考查复数的乘法运算，同时考查复数的几何意义，属于简单题.。

2021年高三上学期12月联考试题数学含答案

2021年高三上学期12月联考试题数学含答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{1,3},{0,1,},{0,1,3},A B a A B a ==⋃==则 ▲ ．2．如果复数为纯虚数，则= ▲ ． 3．如右图程序运行的结果是 ▲ ．4．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他把4枚硬币叠成一摞（如右图），则所有相邻两枚硬币中至少有一组同一面不相对的概率是 ▲ ．5．甲､乙两个样本数据的茎叶图（如右图），则甲､乙两样本方差中较小的一个方差是 ▲ ． 6．已知三个球的半径、、满足，记它们的表面积分别为、、，若，则 ▲ ．7．经过函数上一点引切线与轴、轴分别交于点和点，为坐标原点,记的面积为,则= ▲ ． 8．函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的图象如右图所示，若，则= ▲ ．9．在△ABC 中，所对边的长分别为a ，b ，c ．已知a ＋2c ＝2b ，sinB ＝2sinC ，则＝ ▲ ．10．如右图，线段的长度为，点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作等边三角形，为坐标原点，则的取值范围是 ▲ ．11．已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是 ▲ ． 12．已知函数，则不等式的解集为 ▲ ．(第10题图 )BO CAy x(第4题图 )(第8题图 )（第3题WhileEnd WhilePrint b(第5题图)13．集合{}1007*(,)(1)(2)()6,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈，则集合中的元素个数为 ▲ ． 14．实数，满足如果它们的平方组成公差的等差数列，当取最小值时，= ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点的坐标为，点的坐标为，其中，设（为坐标原点）. （Ⅰ）若，为的内角，当时，求的大小；（Ⅱ）记函数的值域为集合，不等式的解集为集合.当时，求实数的最大值.16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形．求证：（Ⅰ）DE ∥平面ABC 1；（Ⅱ）B 1C ⊥DE ．17．（本小题满分14分）某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求总量（万吨）与的函数关系为，若区域外前4个月的需求总量为20万吨．（Ⅰ）试求出当第个月的石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；（Ⅱ）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆：的离心率为，且右焦点F 到左准线l 的距ABCDA 1B 1C 1E离为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）（1）设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为，当为定值时求的值；（2）在（1）的条件下，当两条切线分别交椭圆于时，试探究是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由． 19．（本小题满分16分）设函数．（Ⅰ）若，函数在的值域为，求函数的零点；（Ⅱ）若，，．（1）对任意的,恒成立, 求实数的最小值； (2)令,若存在使得,求实数的取值范围.20．（本小题满分16分）已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的恒成立.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数k ，使成等比数列，若数列的公差为d ，求d 的所有可能取值之和．高三数学附加题 xx.12.1821．（选修4－2 矩阵与变换）（本小题满分10分）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．22．（选修4－4 坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点P 的直角坐标.23．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x ，y ．记表示的整数部分，如：，设为随机变量，．（Ⅰ）求概率；（Ⅱ）求的分布列，并求其数学期望．24．（本小题满分10分）数学运算中，常用符号来表示算式，如=，其中，. （Ⅰ）若，，，…，成等差数列，且，公差，求证：；（Ⅱ）若，，记，且不等式对于恒成立，求实数的取值范围.高三数学质量检测参考答案 xx.12.18一、填空题：1． 3 2． 3． 96 4． 5．23 6． 7． 8． 9．2410． 11． 12． 13． xx 14．二、解答题：15．解：(Ⅰ)由题意()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+=⋅=32sin 22cos 32sin cos 3sin πωωx x x x x ON OM x f 3分当时，，75130,2,2333366A A A πππππππ<<∴<+<∴+=或， . ……7分（Ⅱ）由()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=3sin 2cos 3sin πωωωx x x x f 得，的值域， ……10分又的解为，故要使恒成立，只需，所以的最大值为2. ……14分16．解：（Ⅰ）如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ．又因为D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，所以DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因为DF 平面ABC 1，AC 1平面ABC 1，故DF ∥平面ABC 1． ……3分同理，EF ∥平面ABC 1．因为DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线，所以平面DEF ∥平面ABC 1． ……5分因为DE 平面DEF ，所以DE ∥平面ABC 1． ……7分（Ⅱ）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形，故B 1C ⊥BC 1． ……9分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线，所以B 1C ⊥平面ABC 1． ……12分而平面DEF ∥平面ABC 1，所以B 1C ⊥平面DEF ，因为DE 平面DEF ，所以B 1C ⊥DE ． ……14分 17．解：（Ⅰ）由条件得，所以 2分，（）． ……4分（Ⅱ）因为，所以()*100116,1030mx x x x mx x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--≤⎪⎩N 恒成立， ……6分()*101116,201m x x x m x ⎧≥-++⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤++⎪⎩N 恒成立， ……8分设，则：，恒成立， ……10分由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得（时取等号），恒成立得（时取等号）． ……13分答：的取值范围是． ……14分 18．解：（Ⅰ）依题意，，解得则，所以椭圆的方程为． ……4分（Ⅱ）（1）依题意，两条切线方程分别为，11由,化简得，同理．所以是方程的两个不相等的实数根， . ……7分因为，所以，所以.据,为定值得：. ……10分（2）由（1）得，，设,则,所以，因为，所以， ……13分所以，所以，，所以． ……16分 19．解：（Ⅰ）当时，① 若，则恒成立，函数单调递减，又函数在的值域为，，此方程无解．……2分② 若，则．（i ）若，即时，，此方程组无解；（ii ），即时，，所以c=3；（iii ），即时，，此方程无解．由①、②可得，c=3．的零点为：． ……6分 (Ⅱ) 由，得：，， ……7分又，对任意的,恒成立．当时，， ……8分又时，对任意的,))2221)12121x x x ⎡⎤-+=-⎣⎦，即时，，实数的最小值是1，即． ……10分 (Ⅲ) 法1：由题意可知，在上恒成立，在上恒成立； ……12分由(Ⅱ)得：在上恒成立， ……13分．又因为当时,，)111)(1)1x x -+≤≤-+．()()()()11)13(1)13(1136136+--++-≤≤+-++x x x x x ϕ，即，，，……15分 .. ……16分法2：]21)1(21[21)1(212)(2222+-++=+-++=x x x x x ϕ，……12分设，则，由下图得：， ∴，，． ……16分20．解：（Ⅰ）法1：设数列的公差为，数列的公比为.因为2112233(1)24()n n n a b a b a b a b n n +*+++⋅⋅⋅+=-⋅+∈N令分别得，，，又所以即，得或，经检验符合题意，不合题意，舍去.所以. ……4分法2：因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ①对任意的恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（） ②①②得，又，也符合上式，所以由于为等差数列，令，则，因为为等比数列，则（为常数），即2(2)(22)0qk k n bq kq b k n qb -+--+-=对于恒成立，，所以．又，所以，故． ……4分（Ⅱ）由，得，设，则不等式等价于．∵，且，∴，数列单调递增. ……6分假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则 ①当为奇数时，得； ② 当为偶数时，得，即．综上，，由是非零整数，可知存在满足条件． ……9分（Ⅲ）易知d =0，成立． ……10分当d>0时，3911382014201438c c d c d =+=⇒=-，，[][]22391(201438)2014(39)2014,38(53)2014(39)20142014,k c c c d k d d k d =⇒-+-=⇒-+-=⨯()()53201439532014d k d ⇒-+-=⨯⎡⎤⎣⎦，()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k ⇒--+-=⇒-=-，395353107(53)395377kd d k d k d ⇒-=-⨯⇒-=-⨯， ……12分*39537739(53)5339537753385338393953535353d d k N d d d d-⨯-+⨯-⨯⨯⨯===-=+∈----，又120143838(53)0530c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩，，，，所以公差d 的所有可能取值之和为．……16分高三数学附加题试卷参考答案 xx.12.1821．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6； ……3分由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2． ……6分解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12 ． ……10分 22．解：因为直线的极坐标方程为，所以直线的普通方程为， 3分又因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的直角坐标方程为， ……6分联立解方程组得或．根据的范围应舍去,故点的直角坐标为． ……10分23．解：（Ⅰ）依题意，实数对（x ，y ）共有16种，使的实数对（x ，y ）有以下6种：，所以； ……3分（Ⅱ）随机变量的所有取值为0，1，2，3，4. 有以下6种：，所以；有以下2种：，所以；有以下1种：，所以；有以下1种：，所以； ……7分所以的分布列为：0 1 2 34()331111701234888161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ……9分答：的数学期望为． ……10分24．解：（Ⅰ）由已知得，等差数列的通项公式为，则01120()(2)n nnn n n n n a C C C C C nC =+++++++因为，所以，所以=. ……4分（Ⅱ）令，则223202(14)22222421n nnn i i a =-=++++==⋅--∑，令，则，所以， ……6分根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n nn nn n n n d C C C C C =--+---++--01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+精品文档，所以，……8分将、代入不等式得，，当为偶数时，，所以；当为奇数时，，所以；综上所述，所以实数的取值范围是. ……10分I29428 72F4 狴gs22730 58CA 壊$22368 5760 坠H.39082 98AA 颪20582 5066 偦a40059 9C7B 鱻U实用文档。

2021届联考联合体高三上学期12月联考数学试题及答案

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{10}A x x =-<∣，{}2280B x x x =--≥∣，则()RAB =（）A ．{21}x x -<<∣vsB ．{41}x x -<<∣C ．{2}x x ≤-∣D ．{4}x x ≤-∣2．棱长为2的正四面体的表面积是（）AB ．C ．D ．3．已知函数222,0()1,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩，若()2f a =，则a =（）A ．2B ．1C ．2或1-D ．1或1-4．明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术——“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则tan 2α=（）A ．1235B ．16C ．1237D ．135．已知a b c >>，下列不等式不一定成立的是（）A ．2ac b ab bc +<+ B ．2211a bc c >++ C ．2ab c ac bc +>+D ．2b ac >6．在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别为线段BC ，AB 的中点，直线AE 与直线DF 交于点P ，则||||AP PE = （） A ．25B ．23C ．32D ．527．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且6381n n S n T n +=+，则使得k ka b 为整数的正整数k 的个数是（） A ．3B ．4C ．5D ．68．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为()f x '，且对任意实数x 都有()()1f x f x '+>，则不等式e ()e 1xxf x >-的解集为（） A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列函数中是奇函数，且值域为R 的有（）A ．3()f x x = B ．1()f x x x=+C ．()sin f x x x =+D ．5()f x x -=10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且23n n S a m =+，则（）A ．1m =-B ．{}n a 是等差数列C ．13n n a -=D ．312n n S -=11．设函数sin ()sin xf x x x=+，则下列结论正确的有（）A ．()f x 的图象关于原点对称B ．(1)f x +的图象关于直线1x =-对称C ．()0f x >D ．1()2f x <12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在棱1DD 上，且12DE ED =，F 是线段1BB 上一动点，则下列结论正确的有（）A ．EF AC ⊥B ．存在一点F ，使得1//AEC FC ．三棱锥1D AEF -的体积与点F 的位置无关D ．直线1AA 与平面AEF 所成角的正弦值的最小值为10第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．已知向量(,3)a m =，(1,2)b =-，且()a b b +⊥，则m =________．14．在三棱柱111ABC A B C -中，BC ⊥平面11ABB A ，四边形11ABB A 是正方形，且AB BC =，E 在棱1AA上，且13AE A E =，则异面直线1AC 与BE 所成角的余弦值为________． 15．已知0a >，0b >，且121a b+=，则2ab a b ++的最小值是________． 16．已知函数()432xf x =-+，若函数22()[()]2()1g x f x mf x m =-+-有4个零点，则m 的取值范围是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在递增的等比数列{}n a 中，39a =，2430a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若32log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（12分）在①(cos sin )c A A b +=，②sin cos c B b C +=，③sin tan cos B C B A +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 5B =，ABC 的面积是56，且________，求ABC 的周长．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（12分）随着社会经济的发展，人们生活水平的不断提高，越来越多的人选择投资“黄金”作为理财手段．下面随机抽取了100名把黄金作为理财产品的投资人，根据他们的年龄情况分为[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70]五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计把黄金作为理财产品的投资人年龄的中位数；（结果保留整数）（2）为了进一步了解该100名投资人投资黄金的具体额度情况，按照分层抽样的方法从年龄在[40,50)和[60,70)的投资人中随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取3人进行调查，X 表示这3人中年龄在[40,50)的人数，求X 的分布列及数学期望．20．（12分）菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点E ，8BD =，6AC =，将ACD 沿AC 折到PAC 的位置，使得4PD =，如图所示．（1）证明：PB AC ⊥；（2）求平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，且12PF F 的面积为32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上存在A ，B 两点关于直线1x my =+对称，求m 的取值范围．22．（12分）已知函数2()e 2ax f x x x =--的图象在点(0,1)处的切线方程为1y =．（1）证明：2()1f x x +≥．（2）若0x 是()f x 的极值点，且00x <．若()()12f x f x =，且210x x <<．证明：()120ln 2ln 22x x x ++>+．高三数学试卷参考答案1．A 因为{24}B x x x =≤-≥∣或，所以R{24}B x x =-<<∣．因为{1}A x x =<∣，所以()R{21}AB x x =-<<∣． 2．D 棱长为2的正四面体的表面积是1422⨯⨯=． 3．C 当0a >时，()222af a =-=，解得 2a =；当0a ≤时，2()12f a a =+=，解得1a =-．综上，2a =或1a =-．4．A 由题知六指为12厘米，则121tan 726α==，则2122tan 126tan 211tan 35136ααα⨯===--． 5．D 2()()()()()ac b ab bc a c b b b c a b c b +-+=-+-=--．因为a b c >>，所以0a b ->，0c b -<，所以()()0a b c b --<，则2ac b ab bc +<+一定成立，排除A ；因为a b >，且210c +>，所以2211a bc c >++一定成立，排除B ；因为2()()()()()0ab c ac bc b a c c c a a c b c +-+=-+-=-->，所以2ab c ac bc +>+一定成立，排除C ；当3a =，52b =，1c =时，2b ac >；当3a =，32b =，1c =时，2b ac <，则2b ac >不一定成立．6．B 如图，因为P ，D ，F 三点共线，所以1(1)(1)2AP AF AD AB AD λλλλ=+-=+-．因为点E 为线段BC 的中点，所以1122BE BC AD ==，则12AE AB BE AB AD =+=+．因为A ，P ，E 三点共线，所以AE k AP =，所以1121(1)2k k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得52k =，故||2||3AP PE =．7．C 因为1212k k a a a -+=，所以2121k k Sa k -=-．同理可得2121k k T b k -=-，则21216(21)38166(21)1k k k k a S k b T k k ---+===+-+．当1,2,4,8,16k =时，kka b 为整数，即满足条件的k 的个数为5． 8．B 设()e [()1]xg x f x =-，则()e ()e ()e xxxg x f x f x ''=+-．因为()()1f x f x '+>，所以e ()e ()e xxxf x f x '+>，即e ()e ()e 0xxxf x f x '+->，故()g x 在R 上单调递增．因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以(0)1g =-，不等式e ()e 1x xf x >-，即()(0)g x g >，则0x >．9．AC 由题意可得3()f x x =和()sin f x x x =+都是奇函数，且值域为R ，1()f x x x=+是奇函数，但值域为(,2][2,)-∞-+∞，5()f x x -=是奇函数，但值域为(,0)(0,)-∞+∞．10．ACD 当1n =时，111223S a a m ==+．因为11a =，所以1m =-，则231n n S a =-．当2n ≥时，11231n n S a --=-，所以()111222323233n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即13n n a a -=，即13nn a a -=，则数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列，故13n n a -=，312n n S -=．11．BD 因为sin ()sin xf x x x=+，所以sin()sin ()()sin()sin x xf x f x x x x x--===-+-+，所以()f x 为偶函数，则()f x 的图象关于y 轴对称，故A 错误．因为()f x 的图象关于y 轴对称，所以(1)f x +的图象关于直线1x =-对称，故B 正确．当32x π=时，sin 10x =-<，所以sin 0x x +>，则()0f x <，故C 错误．设()sin (0)g x x x x =->，则()1cos 0g x x =-≥'，从而()g x 在(0,)+∞上单调递增．因为(0)0g =，所以()0g x >，即sin x x >，所以sin 2sin x x x +>．当0x >时，,sin 0x x +>，所以sin 1sin 2x x x <+．因为()f x 是偶函数，所以1()2f x <，故D 正确．12．ABC 如图，连接BD ．易证AC ⊥平面BDEF ，则AC EF ⊥，故A 正确．在1AA 上取一点H ，使得12A H AH =，连接1EC ，EH ，1HB ，易证四边形11B C EH 为平行四边形，则11//C E B H ，11C E B H =．若12BF B F =，易证四边形1AHB F 为平行四边形，则1//AF B H ，1AF B H =，从而1//AF C E ，1AF C E =，故四边形1AEC F 为平行四边形，于是1//AE C F ，故B 正确．设AB a =，三棱锥1D AEF -的体积与三棱锥1F AD E -的体积相等，则1131123239D AEF F AD Ea a V V a a --==⨯⨯⨯⨯=，即三棱锥1D AEF -的体积与正方体的棱长有关，与点F 的位置无关，故C 正确．以1C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系1C xyz -，设3AB =，则(3,3,3)A ，1(3,3,0)A ，(3,0,2)E ，(0,3,)F t ，从而1(0,0,3)AA =-，(0,3,1)AE =--，(3,0,3)AF t =--．设平面AEF 的法向量(,,)n x y z =，则303(3)0n AE y z n AF x t z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，令3z =，得(3,1, 3) n t =--，从而111cos ,||(AA n AA n AA nt ⋅==--即直线1AA 与平面AEF因为03t ≤≤，所以210(3)1019t ≤-+≤， ≤≤，故D 错误．13．1 由题意可得(1,1)a b m +=+．因为()a b b +⊥，所以120m +-=，解得1m =．14 如图，取11A C 的四等分点F （点F 靠近1A ），连接EF ，BF ．易证1///AC EF ，则BEF ∠为异面直线1AC 与BE 所成的角．设114A B =，则5BE =，EF =BF =故cos BEF ∠==． 15．16 因为121a b+=，所以2a b ab +=，所以22242ab a b a b a b a b ++=+++=+1228(42)816b a a b a b a b ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2a =，4b =时，等号成立．16．(3,4) 22()[()]2()10g x f x mf x m =-+-=，即[()(1)][()(1)]0f x m f x m -+--=，解得()1f x m =-或()1f x m =+．由()f x 的图象（图略）可得215215m m <-<⎧⎨<+<⎩，解得34m <<，即m 的取值范围是(3,4)．17．解：（1）由题意可得231324119301a a q a a a q a q q ⎧==⎪+=+=⎨⎪>⎩，解得11a =，3q =．故1113n n n a a q --==．（2）由（1）可得2123n n a -=，则32log 21n n b a n ==-，故2(121)135212n n nS n n +-=+++⋯+-==．18．解：若选①，因为(cos sin )c A A b +=，所以sin (cos sin )sin C A A B +=，又A B C π++=，所以sin sin()B A C =+，所以sin cos sin sin sin cos cos sin C A C A A C A C +=+，即sin sin sin cos C A A C =．因为sin 0A ≠，所以sin cos C C =，即tan 1C =，因为0C π<<，所以4C π=．因为3cos 5B =，所以4sin 5B =，所以43sin sin()525210A B C =+=⨯+⨯=所以::sin :sin :sin 7:5a b c A B C ==，不妨设7a t =，b =，5c t =，则ABC 的面积为175622t ⨯⨯⨯=，解得2t =，从而14a =，b =，10c =，故ABC 的周长为141024a b c ++=+=+．若选②，因为sin cos c B b C +=，所以sin sin sin cos C B B C B +=，因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以sin cos C C +=，4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 14C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭．因为0C π<<，所以5444C πππ<+<，所以4C π=．以下步骤同①若选③，因为sin tan cos B C B A +=，所以sin cos sin cos cos B C C B A C +=，所以sin()cos B C A C +=．因为A B C π++=，所以B C A π+=-，所以sin()sin cos B C A A C +==，因为0A π<<，所以sin 0A ≠，所以cos C =．因为0C π<<，所以4C π=．以下步骤同①．19．解：（1）因为(0.0070.018)100.250.5+⨯=<， (0.0070.00180.030)100.550.5++⨯=>，所以年龄的中位数在[40,50)内．设中位数为m ，则400.30.250.510m -⨯+=，解得48m ≈．（2）由题意可知，100名投资人中，年龄在[40,50)的有30名，年龄在[60,70)的有20名，则利用分层抽样抽取的5人中，年龄在[40,50)的有3名，在[60,70)的有2名，则X 的可能取值为1，2，3，1232353(1)10C C P X C ===，2132353(2)5C C P X C ===，3032351(3)10C C P X C ===， X 的分布列为故()123105105E X =⨯+⨯+⨯=．20．（1）证明：因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，则BE AC ⊥，PE AC ⊥，因为BE ⊂平面PBE ，PE ⊂平面PBE ，且BE PE E =，所以AC ⊥平面PBE ．因为PB ⊂平面PBE ，所以PB AC ⊥．（2）解：取DE 的中点O ，连接OP ，取CD 的中点F ，连接OF ，因为8BD =，所以4DE PE ==．因为4PD =，所以PD PE =，所以PO DE ⊥，由（1）可知AC ⊥平面PBE ，所以平面PBD ⊥平面ABCD ，则PO ⊥平面ABCD ．故以O 为坐标原点，以OF ，OD ，OP 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ．由题中数据可得(3,2,0)A --，(0,6,0)B -，(3,2,0)C -，(0,2,0)D，(0,0,P ，则(3,4,0)AB DC ==-，(0,6,BP =，(0,2,DP =-，设平面P AB 的法向量为()111,,m x y z =，则111134060m AB x y m BP y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令4x =，得(4,3,m =-．设平面PCD 的法向量为()222,,n x y z =，则222234020n DC x y n DP y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令4x =，得(4,3,3)n =，设平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ，则2cos||||914m n m n θ⋅===+．21．解：（1）由题意可得22222131432a b c a b⎧+=⎪=⎪=-⎩，解得2a =，1b =．故椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，因为直线1x my =+过定点(1,0)，所以()()2222112211x y x y -+=-+．因为A ，B 在椭圆上，所以221114x y +=，222214x y +=，所以()()22221212111144x x x x -+-=-+-，整理得()()2212121224x x x x x x -=-+-，所以1283x x +=，所以043x =．因为点M 在直线1x my =+上，所以001x my =+，则013y m=．由221443x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得3y =±则1033m -<<或1033m <<，解得5m <-或5m >．故m的取值范围为5,,55⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 22．证明：（1）因为2()e 2ax f x x x =--，所以()e 22ax f x a x '=--，则(0)20f a =-='，解得2a =，故22()e2x f x x x =--．令22()()e 2xg x f x x x =+=-，则2()2e 2x g x ='-．由()0g x '>，得1x >；由()0g x '<，得1x <． ()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，故()(0)1g x g ≥=，即2()1f x x +≥．（2）由（1）可知22()e 2x f x x x =--，则2()2e 22x f x x =--'．设2()()2e 22x h x f x x ==--'，则2()4e 2x h x ='-．由()0h x '>，得ln 22x >-；由()0h x '<，得ln 22x <-． ()h x 在ln 2,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln 2,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，即()f x '在ln 2,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在ln 2,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， min ln 2()ln 212f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭''．因为22(1)0e f -=>'，ln 2ln 2102f ⎛⎫-=-< ⎪⎝'⎭，所以0ln 21,2x ⎛⎫∃∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，即020e 1x x =+．因为(0)0f '=，所以由()0f x '<，得00x x <<，则()f x 在()0,0x 上单调递减．设()0()2()x f x x f x ϕ=--02422000e e 4444x x x x x x x x -+=-++--，则02420()2e 2e 44x x x x x ϕ-+-'=-++．设02420()()2e2e 44x x x m x x x ϕ-+'==--++，则0242()4e 4e x x x m x -+=-'，因为()00m x '=，且()m x '是减函数，所以当0x x <时，()0m x '>，当0x x >时，()0m x '<，所以()m x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,0x 上单调递减，即()x ϕ'在()0,x -∞上单调递增，在()0,0x 上单调递减．因为()()0200004e 4441440x x x x x ϕ=-++=-+++='，所以()0x ϕ'≤，则()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，因为()00x ϕ=，所以()10x ϕ<，即()()01120f x x f x --<，即()()0112f x x f x -<．因为()()12f x f x =，所以()()0122f x x f x -<．因为2010x x x <<<，所以0102x x x -<，20x x <，且()f x 在()0,x -∞上单调递增，所以0122x x x -<，即0122x x x <+，因为()02002e 220x f x x '=--=，所以0202e 22x x =+，所以02122e 2x x x <++，所以()120ln 2ln 22x x x ++>+．。

重庆市强基联合体2021届高三数学上学期12月质量检测试题

重庆市强基联合体2021届高三数学上学期12月质量检测试题一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}{}1|,13->∈=<∈=y R y B R x A x ，则=B A （）A. ),1(+∞-B. )0,1(-C. RD. φ2. 若i iz +-=2（其中i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤。

问本持金几何。

”，其意思是“今有人持金出五关，第一关收税金为持金的21，第2关收税金为剩余的31，第3关收税金为剩余税金的41，第4关收税金为剩余税金的,51第5关收税金为剩余税金的61”5关所税金之和，恰好重1斤。

则在此问题中，第3关收税金为（）斤A.101 B.103 C.31 D.109 4．已知抛物线2:4C y x =的焦点F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的交点，若4FP FQ = 则FQ =（）A. 4B.52C.32或 52D.325. 设正实数,,a b c 分别满足cc b b a a2log ,2log ,2354===,则,,a b c 的大小关系为（） A. a c b >> B. c b a >>C. b a c >>D. a b c >>6. 在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若B A ab A b B a a cos cos 2sin cos 22222=+-，则 ABC ∆的形状是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形7. 已知定义在R 上的奇函数()f x ，且其图像是连续不断的，满足03)('<+x f ，则不等式22ln 3)1(+->-x x x f 的解集为（）A. ),0(eB. ),(+∞eC. )1,0(D. ),1(+∞8. 已知正方形ABCD 的边长为2，则正方形ABCD 的内接正MNR ∆（即R N M ,,三点落在正方形三条边上）的面积最大值为（）A. 12 C. D. 8二、多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

重庆市名校联盟2021届高三上学期第二次联合测试(12月)数学试题 扫描版含答案

2021-2022学年重庆市七校联盟高三第二次联考数学试卷含解析

2021-2022学年重庆市高三上学期月考数学试卷(12月份)(含答案解析)

重庆市三峡名校联盟高三数学12月联考试题 理 新人教A版

2021年高三(上)12月综合练习数学试卷

《精编》重庆市高三数学12月月考试题 文 新人教A版.doc

2021年高三上学期第二次联考数学理 含答案

2021年高三上学期12月联考试题 数学(文) 含答案

《精编》重庆市高三数学12月月考试题 理 新人教A版.doc