零输入响应和零状态响应

由于rz(sk)(0)0， r z ( k )( s 0 ) r z ( k )( s 0 ) r ( k )( 0 ) r ( k )( 0 ) =跳变值
故
r(k) zs
(0
)
=跳变值，即系数Azsk 由跳变值确定。
精选
6
[例2]：已知电路图，求
① i(0 )i,(0 )i( ,0 )i,(0 )；
t
1
t
eRCet
RC
t 0
d
d
eRCvc
d
wenku.baidu.com
t
1
eRCed
0 RC
t
eRCvc
tvc
0
1 RC
t
eRCed
0
t
vc t eRCvc 0
1
t
1(t)
eRC e
d
RC 0
零输入
零状态
只与起始状态有关 只与输入有关，卷积形式
精选
3
③
e(t) HH[[..]]
r(t)=H[e(t)]+H[{x(0-)}]
可得
Azs1 0
Azs 2
20 3
故 rzs(t)230e2t sin23tu(t)
iii)完全响r(应t)rz(it)rz(s精t选)23e 02 t si2 n 3tu (t)
10
二．起始状态与激励源的等效转换
在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。 即可以将原始储能看作是激励源。
电容器的等效电路
②满足方程：
c 0 d d n n r z t ( t s ) .. .c n .1 d d .r z .( t t s ) . c n r z( t s ) E 0 d d m m c ( t t) .. E .m n 故 rzs (t ) 含特解rp ( t )，即 rzs(t) Azsekkt rp(t) k1 ③初始条件：
当t≥0+时，e(t)20V，故
d2i dt2
di dt
i
0
③由当冲- 激函<t数<+匹配时法，e 求(t出) ：1i(0 0 1 ) u 0 i((t0 ) 故) dd0 2t2i，i(0dd)tiii(0 10) (t1 )
i(0)0A，i(0)0A/，s故i(0)i(0)0A ，
i(0 )i(0 ) 1 0 1A 0/s
精选
9
④ i)零输入：特征根为 1 j 3 ，故可设
由izi((i0t) )e 01 2tA(A ，z i1 (i0c)o 2 03s A t 2/可A sz知2 is2Aizi12 n 3 t0)，Azi2 0，即 izi(t) 0
ii)零状态：t≥0+特解 ip(t) 0，故可设
由iz(sitz )( s0 e) 2 t (iA (z0 1 sc ) o i(2 0 3 s) A 0 z2 ssiz i(s n 2 0 3 )) i(0 ) i(0 ) 10
§ 2.4 零输入响应和零状态响应
• 主要内容
•零输入、零状态响应 •系统起始状态与激励源等效转换 •系统响应的划分 •线性时不变系统概念的扩展
• 重点：零输入响应与零状态响应 • 难点：系统起始状态与激励源等效转换
精选
1
一、零输入、零状态响应
1．概念的引出
①上节课：完全响应=自由响应+强迫响应， 其中自由响应待定系数由冲激函数匹配法求出
{x(0-)}
精选
4
2．零输入响应的定义与待定系数确定
①定义：没有外加激励信号作用，完全由起始状态所产生
的响应，即 rz(it)H[{x(0)}
②满足方程：c0d dn nr tz(it) .. .cn 1d drzt(it)cnrz(it)0
n
故 rzi (t) 是一种齐次解形式，即rzi(t) Azikekt
ii)电感电流不跳变：i(0)i(0)0A iii)电容电压不跳变：vc(0)vc(0)1V 0 L d d (t)i te (0 ) v c(0 ) i(0 )R 2 1 0 0 1 0 i(0)10A/s
精选
8
② C 1id t L d d ti R i e (t) d d t2 2 i d d ti i d d te (t)
零输入响应＋零状态响应 (Zero-input+Zero-state)
k1
其中，1,2......n 为互不相等的n个系统特征根。
③初始条件：r z (k) i(0 ) r z (k) i(0 ) r(k)(0 )
即齐次解 rzi (t ) 的待定系数用r(k)(0) 确定即可！
精选
5
3．零状态响应的定义与待定系数确定
①定义：起始状态为0，只由激励产生的响应rzs(t)H[e(t)]
1t
vc(0)C0ic()d
t0
电路等效为起始状态为零的电容器与电压源 vc(0)ut的
串联
iC (t) C vC(0)
等效电路中的
vC (t)
电容器的起始
精选 状态为零
12
iL(t) L
vL(t)
电感的等效电路
iL(0)0， t0
1
iL(t)L
tvL()d
L 1 0 vL(
电感的等效电路
外加激励源
系统的完全响应
共同作用的结果
可以看作 起始状态等效激励源
系统的完全响应 = 零输入响应 + “零状态响应”
(线性系统具有叠加性)
精选
11
iC (t) C
vC (t)
电容器的等效电路
vC(0)0,t0
1
vc(t)C
tic()d
C 1 0 ic()dC 10tic()d
②③写写出出t-≥ 0<+的t<微+ 分的方微程分；方程，求i(0 )i,(0 )i( ,0 )i,(0 )
④求t≥0+的完全响应，指出零输入响应和零状态响应。
20V+ -
2 S 1F 1H
+C L 1
+ e(t) -10V
-
i(t) 1Ω R
精选
7
解：① i) i(0)0A，i(0)0As/
②本节讲另一种求法：完全响应=零输入响应+零状态响应
[例1]：已知电容起始电压vc(0-)，求vc(t) (t>0)
R
+
+ e(t) _
+
vc(0-_)
vc(t)
C
_
精选
2
解：
d dt
vc
t
1 RCvc
t
1 et
RC
t
eRC
d dt
vc
t
R1CeRtCvc
t
1
t
eRCet
RC
d
dt
t eRCvc
1t )dL0vL()dt
iL(0)L 10 tvL()d,(t0)
故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源 iL(0)u(t的)
并联。
vL(t)
i L (t )
L
iL精(选0 )
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三．系统响应划分
自由响应＋强迫响应 (Natural+forced)
暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state)