初等数学研究(八)轨迹
轨迹学习的方法
轨迹问题的探究性学习韦辉樑2011/09在中学数学中, 关于轨迹的讨论，主要有两类:"几何轨迹" ---- 是指由一个几何结构中的动点而产生的轨迹图形。
"方程的轨迹" ---- 是指由代数方程f(x, y) = 0的解集G={p=(x, y)| f(x, y) =0, x D} 所构成的图像。
构成几何轨迹的要素有3: 几何结构, 主动点, 轨迹点，而轨迹点是受几何结构约束的。
构成方程轨迹的要素有2: 定义域D和方程f(x, y) = 0。
几何轨迹的的学习是初三的课程，方程轨迹的学习是高二的课程，当中包括了用方程来描述几何轨迹的问题-- 求几何轨迹的方程。
研究几何轨迹的方法是:1. 根据给定的条件, 设计并作出相关的几何结构；2. 作出轨迹图形。
由于初中课程的限制，结果并不要求推导轨迹方程，重要的是设计并作出相关的几何结构。
研究方程轨迹的方法是:1. 根据给定的条件, 由公式或其他方法，建立能表达该条件的数学方程f(x, y) = 0和定义域D；2. 解方程、描点，得到轨迹的图像。
高中课程的重点是建立方程。
建立方程要靠数学思维、数学方法和演译推理，最好还是用人脑纸笔作业。
解方程和作图主要是一些大量的重覆而繁琐的工作, 宜借助电脑完成。
如果研究的是几何轨迹的方程，则首先要作出相关的几何结构，作出几何轨迹，这有助于建立方程的思考，并对所得方程进行检验-- 方程轨迹与几何轨迹是否重合。
无论是作几何结构或函数图像都要借助工具，下面问题将在DM_Lab环境中进行探究。
一. 几何轨迹的探究几何轨迹的探究着重在几何结构的设计。
下面以"平面内到两定点距离之“和、差、积、商”为定值的点的轨迹"为例。
1. 平面内到两定点距离之和为定值的点的轨迹操作参考图例说明方法1 1. 用作两点F1和F2；2. 用以F1为心作圆F1,半径R> |F1F2|;3. 用在圆周上取一点A;4. 用作线段AF1,AF2;5. 用作AF2中垂线BC交AF1于C;6. 选蓝色，用跟踪点C;7. 用点一下A点，建立自动动画。
初数研究期中答案B 卷
B M A O' O
6 12
8. 10<x<14 或 2<x< 2 7 封 9. 线共点 10. 110° 三、解答题（18 分） 1. ADEF 是平行四边形.证明:将△ABC 绕 B 点顺时针旋转 60°得△FBE,则 FE=AC,而 AC=AD, 于是 FE=AD,类似地,AF=DE,所以 ADEF 为平行四边形(也可用三角形全等证之).
-1-
系(部：
D
密
-2-
密
封
线
-4-
密
封
线
学号：
安康学院 2007 — 2008 学年第二学期 期中考试试题答案（B 卷）
课程名称 初等数学研究 课程编号 1201107 考试班级 06 数教(1)(2)_ 任课教师 李善明
讨论:以 OA 为直径的圆若与 BC 相交时,有二解;相切时,有一解;相离时,无解.
线
五、轨迹题（14 分）
探求：因为 M 是 AB 的中点，则 OM⊥AB（O 为定圆心），动点 M 对定线段 OA 的视 角为 90°，M 点的轨迹应当是以 OA 为直径的圆. 证明:完备性,由探求知,弦 AB 之中点 M 在以 OA 为直径的圆上. 纯粹性,设 M 是以 OA 为直径的圆上任一点,连接 AM 交⊙O 于点 B,连 OM,则 OM⊥AB, 故 M 是 AB 的中点,即 M 点合于条件, 所以合于条件的点之轨迹是以 OA 为直径的圆.
一、选择题（24 分） 1（D） 2（A） 3（D） 4（B） 5（C） 6（C） 学生姓名： 二、填空题（30 分） 1. 如果两角是对顶角,那么这两角相等. 2. 直接证法与间接证法,分析法与综合法,归纳法与演绎法. 3. 完备性(充分性) 纯粹性(必要性). 4. 无刻度的直尺与圆规. 5. 三角形的外心,重心,垂心所在直线. 6. 顶点数(V)、面数(F)、棱数(V)之间的关系, V＋F－E=2. 7. 年级： 7（C） 8（A）
初等数学研究(八)轨迹-PPT
题设：△ABC为定三角形， P为动 点 ， E、F、G分 别 是从P向△ABC的三边AB、 BC、CA引垂线所得的垂 足，并且E、F、G三点共 线。
求：P点的轨迹。
A
E· B
F
· C·
·G
P
小结： 前面共介绍了初等几何中探求轨迹问题
常见的五种方法，但在探求轨迹时，我们还 应注意以下两点：一、必须注意轨迹的界限， 否则就会出现有瑕的轨迹二、必须仔细、周 密、全面地审题，要注意挖掘题设条件中蕴 含着的多种情况。
综合 (1)、(2)命题得证。
关于轨迹上的特殊点
极限点――题设图形处于极限位置时产生的点； 临界点――在轨迹端点处的极限点； 终止点――处在轨迹端点位置，本身又属于轨迹，不是
临界点。 这些特殊点对于确定轨迹图形的形状、大小和位置
有时起着决定性作用，通常在解决轨迹的讨论部分，应 指出哪些是特殊点才算完整。 静点――相对于轨迹上的一般动点，位置确定的点。 另外还有孤立点等。
2.第二类型
命题的结论中给出了轨迹图形的形状， 而对其大小(如果有大小可言)和位置叙述不 完全，或没有涉及。
如：平面内到两个定点距离相等的点的 轨迹，是一条直线。
这类轨迹命题同样具有定理的形式。但在 解题方面与第一类型又有所不同。首先需要探 知轨迹的大小和位置。因此，解决这类命题的 方法步骤大致为： ①探求轨迹图形的位置和大小，使其基本轮廓 确定；
CP · ·
上一个特殊点。当C点移动到AB弧
A D
·
B
O
的中点M的位置时，OP＝CD＝OM，
即P点与M点重合，因此M是轨迹上
的又一特殊点。
给定的半圆及条件皆关于 OM 对 称 ， 所 以 轨 迹 也 应 以 OM为对称轴。
轨迹方程的求解总结-精选文档
轨迹方程的求解总结轨迹方程的求解是高中数学中一个重难点，下面查字典高中数学网为大家总结了轨迹方程的求解知识点，希望对大家所有帮助。
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系——建立适当的坐标系;②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);③列式——列出动点p所满足的关系式;④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
高中学生研究性学习成果展示(146)：《轨迹》解析
《轨迹》解析广东肇庆中学高二（7）班组长：陈天佑组员：刘秀锋黄奕鹏严嘉城甘德华甘奕麒梁洪辉1定义符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹．轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）．平面轨迹一般是曲线，空间轨迹一般是曲面。
【例如】A，B是两个定点，k（>0）是一个常数，满足MA:MB=k的动点M的轨迹：在平面上表示一条直线（k=1）或一个圆周（k≠1）；在空间内表示一条平面（k=1）或一个球面（k≠1）。
【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
2解法一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合；⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式；⒌检验.二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等.⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法.⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法.⒊相关点法：用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P 的坐标（x0,y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法.⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法.⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法.*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系——建立适当的坐标系；②设点——设轨迹上的任一点P（x，y）；③列式——列出动点p所满足的关系式；④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X,Y的方程式，并化简；⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
(完整版)初等数学研究答案
2。
对自然数证明乘法单调性：设a，b，c∈N则(1）若a＝b，则ac＝bc（2）若a＜b，则ac＜bc(3）若a＞b，则ac＞bc证明：（1）设命题能成立的所有c组成的集合M.∵a·1=b·1∴1∈M假设c∈M即则(ac) ′= （bc）′﹤＝﹥ac + 1 = bc + 1重复以上过程a次，可得到ac + a = bc + a = bc + b即a(c+1) = b(c+1）∴c∈M由归纳公理知M = N。
所以命题对任意自然数c成立（2)若a 〈 b，则有k∈N，使得a + k = b,由(1) (a + k)c = bcac + kc = bc﹤＝﹥ac < bc(3）依据（2)由对逆性可得。
7.设=(3+13) / 2 ，=（ 3-13） / 2 , An= （n-n）/ 13（n=1,2,…。
.).（1）以为根作一元二次方程(2) 证明A n+2=3A n+1+A n；(3) 用数学归纳法证明A3n 是10的倍数；解：（1）∴由韦达定理得以为根作一元二次方程为：X2—3X-1=0(2）证：3A n+1+A n=3（n+1—n+1）/13 +(n-n)/13=()（n+1—n+1) /13+（n-n）/13=n+2 —n+2 —n+1 +n+1 +n—n)/13 =n+2 -n+2）/13=A n+2(3) 证：①当n=1时，有A3 =10，则 10｜ A3.②假设当n=k时，有10｜ A3k则当n=k+1时，A3k+3 = 3A 3k+2+A3k+1=3(3A 3k+1+A3k) +A3k+1=10 A 3k+1 +3 A3k10|10 A 3k+1 ， 10| 3A3.∴10|10 A 3k+3由①②得，对∀n∈N*,有10｜ A3n。
9.证明整数集具有离散性.证明:要证明整数集具有离散性，即要证明在任意两个相邻的整数a与a′之间不存在整数b，使a<b< a′。
初等几何课件(轨迹的基本概念)
2）轨迹未必是曲线 给定了条件或性质 C 有多种多样，有的条件决定的轨迹可能是些孤立的点，有 的可能充满某个区域。
轨迹
二、轨迹的证明的两个基本要求
1、两个基本要求 1）完备性
符合某个条件 C 的任意点都在图形 F 上（或其等效命题） ， 即符合某个条件 C 的点没有遗漏。
2）纯粹性 图形 F 上的任意点都符合某个条件 C（或其等效命题） ，即没有 鱼目混珠的点或冒充的点。
2）图形 F 上的任意点都符合某个条件 C。
轨迹
3、轨迹与曲线
轨迹本来是来自质点运动的路线，许多人常把轨迹与曲线等同起来，其实 作为抽象出来的数学概念，它已脱离了原始的直观意义，且与之大相径庭。
1）曲线未必是轨迹
我们随手画一条曲线，若找不出其上的点所共有的特性（给定了条件或性质 C） ，就不 能称之为轨迹
定直线所成的角； 3、 到两平行的定直线等远的点的轨迹，是平行于它们的一条直线，即两平行
线的公垂线段的中垂线； 4、 到定直线的距离为定长的点的轨迹，是平行于定直线的两条直线，各在定
直线的一侧且距定直线等于所设定长； 5、 6、 到定点的距离为定长的点的轨迹是以定点为圆心、定长为半径的圆； 对定线段的视角为 (0 2d ) 的点的轨迹是对称于定线段（所在直线）的
轨迹
2、不漏的反例
不证明完备性而只证明纯粹性，就有可能漏掉一些本属于条件C所规定的点的轨迹
3、不滥之反例
只证明完备性，不证明纯粹性，虽然能保证符合条件的点没有遗漏，但是可 能有鱼目混珠的点或冒充的点，从而出现扩大轨迹范围的错误。
轨迹
三、轨迹命题的类型
. .位置. 大小 第一类型轨迹命题: 明确给出轨迹的形状 轨迹第二类型轨迹命题: 只给出轨迹的形状 . , 位置.和大小没有提及回提而 不全 第三类型轨迹命题: 轨迹的形状. .位置.和 大小均未给出
轨迹方程的求法PPT教学课件
的性质可得 : y0 1 1 , y0 1 2. x0 m,x0 Nhomakorabea22
2
解得
:
x0
4 4m 5
,
y0
2m 5
3
,
点B '( x0 ,
y0 )在椭圆上,( 4
4m )2 5
4( 2m 5
3)2
4,
整理得2m m 3 0解得m 1或m 3 2
点P的轨迹方程为y 2x 1或y 2x 3 , 2
刷油漆
镀铬
涂油
一.防止金属的腐蚀 二.回收利用废旧金属
三.合理有效开采矿物 四.寻找金属的代用品
P
引直线x y 2的垂线,垂足为N . Q
求线段QN的中点P的轨迹方程.
O
x
人类生活离不开金属
金属元素在自然界中的存在
金属元素在自然界中分布很广，极少数不活泼的
金属（如金、银等）以单质形式存在；
金属元素在地壳中的含量
元素名称 质量分数/% 元素名称 质量分数/%
铝（Al）
7.73
镁（Mg）
例1.如图,已知动圆过定点(1, 0), 且与直线x 1相切。求 动圆圆心轨迹C的方程.
练习：
1.如图,已知定点A(2, 0),定圆 M : ( x 2)2 y2 25, P是M上 的动点, 线段AP的中垂线与MP 交于Q , 求Q的轨迹.
y P
Q MO A
x
2.矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB 边所在直线的方程为x-3y-6=0，AD边所在直线的方程 为3x+y+2=0. （1）求矩形ABCD外接圆的方程； （2）若动圆P过点N（-2，0）， 且与矩形ABCD的外接圆外切， 求动圆P的圆心的轨迹方程.
巧解初中数学“轨迹”问题
一尧直线型 揖准备知识铱 1.到已知线段的两个端点距离相等的点的轨迹袁是这 条线段的垂直平分线曰 2.到已知角的两边距离相等的点的轨迹袁是这个角的 平分线曰 3.到已知直线的距离等于定长的点的轨迹袁是与该直 线平行袁且与之距离等于定长的两条直线曰 4.到两条平行线距离相等的点的轨迹袁是和这两条平 行线平行且到这两条平行线距离相等的直线遥 例题 1院如图袁在 Rt吟ABC 中袁AB=AC袁D 是 BC 中点袁动点
接 CD袁则蚁D越蚁A袁BC=BD窑sinD=2r窑sinA曰若蚁A 为钝角
如图 2袁则 BC=2r窑sin(180毅-蚁A)遥
3.弧长要减二倍角院已知吟ABC 外接圆已O 半径为 r袁 则定角在运动过程中袁顶点走过的路径为一段弧长袁其所对 圆心角度数是 360 度减去该定角的度数的 2 倍遥
若蚁BAC 为锐角,
解院(1)B(0袁2)曰(2)略遥
(3)过 C 点作 CH彝x 轴于 H 点袁
则蚁DHC=90毅遥
疫CD彝DB袁亦蚁BDO+蚁CDH=90毅遥
疫蚁OBD+蚁BDO=90毅袁亦蚁OBD=蚁HDC遥
解法 3渊教给初三学生冤院深入思考和分析袁我们就会发 现袁该题的本质是野定边对定角冶袁不难发现袁AB 为定值 2袁而 吟OAB 中袁AB 的对角蚁AOB 始终为定值 90毅袁 根据上面的 野定弦定角必有圆冶袁可以构造吟OAB 的外接圆已E袁点 E 为 AB 中点袁我们把 AB 固定袁则点 D 固定袁此时点 O 就变为动 点袁 问题转化为求已E 上一动点 O 到圆外一定点 D 距离的 最大值袁显然袁当动点尧圆心以及圆外定点三点共线时距离 最大遥
No.01,2019 Serial No.326
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沪教版版数学八上19.6《轨迹》(第1课时)ppt课件
解： 如图所示，轨迹是 线段AB的垂直平分线.
A
B
四、例题讲解
例题2 说出下列点的轨迹是什么图形，并画出图形. (2) 已知两个定点A、B，这两点的距离为3厘米， 说出到点A、B的距离之和为3厘米的点的轨迹.
PA+PB>AB=3cm
分析：联结AB.
P
解： 如图所示，轨迹
是线段AB.
P2A 3cm B P1
六、课堂小结：
求点的轨迹问题时： 1.可以先作出符合条件的几个图形，
找出符合条件的几个点. 2.通过前面作图，再通过想象基本轨迹
猜测得出这样的点的轨迹. 3.通过两方面进一步来验证结论，
注意排除某些不符合条件的点.
归纳
是一个图形
点的轨迹：一般的我们把符合某些条件的所有的 点的集合叫做点的轨迹.
点的轨迹必须具备两方面的条件： ①图形上的每一点都符合某个条件. ②符合某个条件的每一点都在图形上.
四、例题讲解
例题1 作图并说明符合下列条件的点的轨迹 （不要求证明）：
(1)经过定点A且半径为1cm的圆的圆心.
问1：圆满足什么条件？
经过定点A且半径为1cm
A
问2：这些圆有_无__数__个？
问3：这些圆的圆心与定点A 有什么关系？
这些圆的圆心与点A的距离为1cm
自主小结：
求点的轨迹问题时： 1.可以先作出符合条件的几个图形，
_这__条__线__段__的__垂__直__平__分__线 （2）在一个角的内部（包括顶点）且到角两边
距离相等的点的轨迹是_这__个__角__的__角__平__分线 （3）到定点的距离等于定长的点的轨迹是
_以__这__个__定__点__为__圆__心__、__定__长__为__半__径__的__圆__._
初等数学研究教学大纲
初等数学研究教学大纲《初等数学研究》教学大纲Elementary Mathematics Research一、本大纲适用专业数学与应用数学。
二、课程性质与目的1. 课程目标（1）使学生了解初等数学的研究对象，明确初等数学在数学学科中的地位、作用以及本课程与中学数学的联系；（2）使学生理解初等数学中的概念、原理、法则、方法等；（3）使学生掌握初等数学的理论体系和结构以及初等数学中的重要的思想方法；（4）使学生学会运用高等数学的理论和观点分析研究初等数学，熟练地运用重要的思想方法解决初等数学中的问题；（5）使学生对中学数学新课程改革的基本思想和内容的设置有个较为全面地了解和认识，并产生自己的思考；（6）使学生提高分析、认识和处理中学数学教材的水平，培养学生独立思考、探索研究、分析和解决问题的能力，以及养成数学的思维习惯；（7）为学生今后从事数学教师职业提供必要的专业训练和知识准备，以及辅导中学生研究数学问题所需的基本方法。
2. 与其它课程的关系《初等数学研究》是在学习了《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》等专业基础课的基础上开设的，并且与后继课程《现代教育学》、《教育心理学》、《数学课程与教学论》、《数学方法论与数学史》等教育理论，《几何画板与flash制作》、《竞赛数学》等紧密结合。
3. 开设学期按培养方案规定的学期开设。
三、教学方式及学时分配序号主要内容主要教学方式学时1 第一章数系面授讲课 42 第二章解析式面授讲课 63 第三章方程与函数面授讲课84 第四章数列面授讲课 65 第五章排列与组合面授讲课 26 第六章算法面授讲课 27 第七章平面几何问题与证明面授讲课 48 第八章初等几何变换面授讲课 29 第九章几何轨迹面授讲课 210 第十章几何作图问题面授讲课 211 第十一章立体几何面授讲课 2四、教学内容、重点第一章数系1. 教学目标（1）了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则；（2）掌握自然数的基数理论及整数环的构造；（3）理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，弄清自然数、整数运算的概念及其运算律，掌握有理数大小比较的法则、有理数的运算法则和有理数域的性质；（4）理解无理数、实数概念，掌握实数大小比较的法则、实数的运算法则和实数域的性质；（5）理解复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数域的性质。
求轨迹的几种求法
A C
O O2
x
探索与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动 圆圆心到两定点的距离的和与差不放。
S A B
C A S B A B
例3： 变式 2：
经过点 A(5,0)且与 圆 C ( x 5) y 49 相 外切的圆的圆心 P 的轨迹方程
2 2
169
M
P
13-r C
r r Ａ
问题2
程是________.
解析:设P(x,y), ∵点P是线段AQ垂直平分线上的一点, ∴|PA|=|PQ|, ∴|PA|+|PC|=|PC|+|PQ|=4>2,
∴点P的轨迹是以点A､C为焦点的椭圆,
且a=2,c=1,b2=3, ∴点P的轨迹方程为 . x2 y 2 1 4 3
例2：求下列动圆圆心M的轨迹 (1)与圆C:(x+2)2 +y2 =4内切,且过点A(2,0);
1、如图，圆C：(x+1)2+y2=9内一点A(1，0)，与圆 上一动点Q的连线AQ的垂直平分线交CQ于P．当Q在 圆C上运动一周时，则动点P的轨迹方程为________．
Q
y
P C A
x
问题2
2、已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一 个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|=|PF2|，那 么动点Q的轨迹是 （ ） (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线 Q y
M N A
5
x2 y2 点P的 轨 迹 方 程 为 1( x 2) 4 5
-20
-10
B
P
-5
8. (能力题,中) 设Q是圆C:(x+1)2+y2=16上的动点,另有A(1,0),线段
初中数学动点轨迹问题解法探究
初中数学动点轨迹问题解法探究作者：曾立萱来源：《读写算》2018年第10期摘要在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，借助引参量、消参数的代数方法发现动点坐标、动点之间的联系。
也可以借助常见的几何模型探究几何动态中动点形成轨迹的过程，利用轨迹思想解决几何中线段最值问题、求动点的轨迹长度的问题。
关键词轨迹意识；引参量；消参数；几何动态；最值；运动路径；四点共圆；辅助圆；隐轨迹中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）10-0147-02在初中阶段常见的动点轨迹一般有四种类型：直线型、圆弧型、抛物线型、双曲线型。
对于用二次函数来表示动点的轨迹是高中函数重点学习内容，本文不以具体阐述。
对于几何动点轨迹问题是近年中考的热点，也是难点。
本文借助几种常见的类型题，带领同学们强化轨迹思想，学会利用轨迹思想解决几何中线段最值问题、求动点的轨迹长度的问题。
在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量：数量或位置关系。
学生在解决此类问题时经常不知所措，究其原因是不能发现“动”中的“静”。
如何“化动为静”呢？可以借助引参量、消参数的代数方法发现动点的坐标、动点之间的联系。
也可以用“中垂线的性质定理”、“点到直线的距离”、“圆的定义”、“四点共圆”的条件去探究几何动态中动点形成轨迹的过程。
类型一：动点旋转型——探究动点的轨迹是直线例1：如图1，已知A（8，0），P（0，m），线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB位置，连接BA、OB，求BO+BA的最小值？解析：主动点是P，动点B因P的变化而变化，但点B随着点P的运动而动，问题的关键是找出动点B的运动轨迹。
由旋转可知是等腰直角三角形，过点B作轴的垂线，构造“K型全等”，求得点B（），消去参数，发现动点B的运动轨迹是直线。
从而将问题转化为“将军钦马”问题模型：即作点O关于直线的对称点（-8，8），连结AC与直线相交于点B，此时BO+BA的最小值=AC=本题的解析关健是从动点B的坐标（）中想到消去参数，得一次函数的表达式，从而化“动点轨迹”为定直线。
高中数学知识点：轨迹方程的求解
高中数学知识点：轨迹方程的求解以下是作者为大家整理的关于《高中数学知识点：轨迹方程的求解》，供大家学习参考！符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全部所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹．轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯洁性（也叫做必要性）；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）．【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描写。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标；⒉写出点M的集合；⒊列出方程=0；⒋化简方程为最简情势；⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相干点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够肯定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相干点法：用动点Q的坐标x，y表示相干点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标（x0，y0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相干点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，常常先寻觅x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一样步骤①建系——建立适当的坐标系；②设点——设轨迹上的任一点P（x，y）；③列式——列出动点p所满足的关系式；④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简；⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
轨迹
四、参数法
如果动点P(x，y)的坐标之间的 关系不易找到，可考虑将x，y用一个 或几个参数来表示，消去参数得轨迹 方程，此法称 ，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线 l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P， 求点P的轨迹方程.
二、相关点法（代入法）
相关点法也称 “ 代入法 ” ， 如果轨迹动点P(x，y）依赖于另一动 点Q（a，b），而Q又按某个规律运 动，则可先用x，y表示a，b，再把a， b代入它满足的条件便得到动点P的 轨迹方程。
三、定义法
若动点轨迹的条件符合某一基本 轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物 线、圆等)，可用定义直接探求。
O'
= 6+12 = 18 ＞ 6 = |BC|，
A
故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，
以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，
可求得动点P的轨迹方程为：
x2 y2 + =1
81 72
(y ≠0)
E P D
B Cl
总结
轨迹问题是高考中的一个热点和重点， 在历年高考中出现的频率较高，考查学生 的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和 解决问题的能力。以上给出了处理轨迹问 题的几种常用方法，希望同学们把握重点。
轨迹
刘梦曦
什么是轨迹？
定义：一个点在空间移动，它所通过 的全部路径叫做这个点的轨迹。 例1：经过圆外一点连接圆上任一点 线段中点的轨迹 。
轨迹1.gsp
例2：圆上弦的中点轨迹。
轨迹2.gsp
求轨迹方程方法
求轨迹方程的基本方法有：
直接法 相关点法（代入法） 定义法 参数法等
一、直接法
直接法也叫直译法，即根据题目条件， 直译为关于动点的几何关系，再利用解析 几何有关公式（如两点间距离公式、点到 直线距离公式、夹角公式等）进行整理、 化简。这种求轨迹方程的过程不需要特殊 的技巧。
《初等数学研究》课程
《初等数学研究》一、课程的性质目标与任务初等数学研究是高等师范院校数学与应用数学专业的一门选修课程，分初等代数和初等几何两部分。
本课程的教学目的是使学生掌握中学数学教学所需的初等数学的基础理论、基础知识和基本技能；了解数学的内容和知识结构；在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步训练，为教好中学数学打下较坚实的基础。
本课程主要讲授初等几何部分，初等代数部分作为自学内容。
二、课程的内容与基本要求本课程的基本要求是：从中学数学的教学需要出发，并根据中学数学的内容和知识结构，把初等数学的一些基本问题分别组成若干专题，在内容上适当延伸和充实，在理论、观点和方法上予以提高；对各专题的教学，都要着重基本思维方法和基本技能技巧的训练；要求学生认清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养学生的辩证唯物主义观点。
初等几何部分第一章绪论1．几何学的历史简介2．初等几何研究的对象和目的了解几何学发展的四个基本阶段以及初等几何研究的对象和方法第二章几何的证明1．几何证明的概述2．证度量关系3．证位置关系掌握常用的证题方法和技巧第三章几何量的计算1．线段度量2．面积计算3．解三角形掌握勾股定理推广和斯蒂瓦尔特定理及其应用，会计算面积和解三角形。
第四章初等变换1．合同变换及其间的关系2．位似变换和相似变换3．初等变换的应用理解合同变换、位似变换和相似变换等概念，能利用初等变换解题。
第五章轨迹1．基本概念（轨迹的概念与证明方法，轨迹命题的类型）2．常用轨迹命题及其证明3．轨迹的探求理解轨迹的概念，并掌握轨迹命题的证明方法。
掌握常用的几个轨迹命题。
第六章立体图形的一些性质1．直线与平面（直线与平面的各种位置关系，空间作图公法，简单作图题）2．三面角（三面角及其性质，三面角的相等）3．多面体（四面体的一些性质，凸多面体的欧拉定理，正多面体，截面图的画法）4．体积计算（体积概念，拟柱体体积公式，体积计算）掌握空间直线与平面的各种位置关系。
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一、轨迹的意义 1.轨迹定义：满足某种条件C的一切点所构成的图形F，
称为符合条件C的点的轨迹。 2.关于轨迹的证明：要判定一个图形F是符合条件C的点
轨迹，必须从以下两方面去证明： (1)符合条件C的所有点都在图形F上；(完备性) (2)图形F上的点都符合条件C。(纯粹性)
临界点。 这些特殊点对于确定轨迹图形的形状、大小
和位置有时起着决定性作用，通常在解决轨迹的讨论部 分，应指出哪些是特殊点才算完整。 静点――相对于轨迹上的一般动点，位置确定的点。 另外还有孤立点等。
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第二类型
解决这类 命题与第一类命题 比较，需增加探求 过程，即通过合理 的猜测或预测确定 轨迹图形的大小 (有大小可言)和位 置，再如同第一类 命题进行证明、讨 论。
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四、轨迹命题举例(一)
第一类型
例3. 一底边固定而
其邻边为定长的平行四边形的对
角线的交点的轨迹，为以固定底
边的中点为圆心，以定长为直径
的圆。
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已知：AB为定线段，另一
l
定长为 l (如图)，ABCD是以线
段AB为一边、邻边 AD=l 的一
DP
C
平行四边形，⊙O是以AB中点
A
·
.O B
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例题选讲
例1.求证：
对定线段 AB 张 的角 等 于定 角 α 的点P的轨迹，是以AB 为弦，所含的圆周角 等于α的两个弧：弧 AmB和弧Am′B。
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PP
P′P. ·m ·
·α
α
α
A
B
·P ·
m′ ·
·
P
PP
二、原人教版中学教材中六个基本轨迹定理
中学几何课本中的六个基本轨迹定理：
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完备性、纯粹性的等价命题
(1′)完备性：不在图形F上的点都不符合条件C；
(2′)纯粹性：不符合条件C的点都不在图形F上。
也就是说(1)
(1′)，(2)
(2′)，
所以，轨迹的证明可取：(1)(2)；(1)(2′)；(1′)(2)； (1′)(2′)四种不同的形式(其实质相同)
一般先选择(1)(2)证明，非必须，一般不用其他方法。
P.
..
AB
在线段AB及延长线上分别
取C、D，并使AC︰CB=AD︰DB=m,
P.
则C、D合乎条件，故轨迹可能是
以CD为直径的圆周。
.. .
.
AC B
D
连PC、PD，则PC、PD分别为
△PAB中∠APB的内、外角平分线，因而
PC⊥PD，可见P确为以CD为直性
②证明［包括证完备性、纯粹性、下结论］
③讨论：即研究给定的条件对轨迹图形的影响。 (有些特殊的点、线问题)
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3.第三类型
命题中只给出了题设条件，没有结论，属于问
题形式，故称为轨迹问题。
如:求平面内到两个定点的距离相等的点的轨迹。
解决此类问题的方法步骤与第二类型轨迹命题 类似：①探求轨迹图形的形状、和位置；②证明；③ 讨论。探求过程可能较繁难，这是轨迹命题中最难的 一种类型。
1、2、3、4、5、6
这六个基本轨迹定理，在以后的证(解)
题或其他轨迹命题的证明中，可直接引用而不必证
明。
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1.到两个已知点的距离相等的点的轨迹,是
平分线; 2.和两条相交直线距离相等的点的轨迹,是
角的两条互相垂直的直线; 3.和两条平行直线距离相等的点的轨迹,是
离相等的一条直线; 4.和一条直线的距离等于定长线段的点的轨迹,是
。
2
因此，AD′=2OP′1 l=2×
2
=l 。
即⊙O上任一点(与AB的交点除外)均为以AB为一边，定长
l为邻边的平行四边形的对角线交点。
综合 (1)、(2)命精品课题件 得证。
15
关于轨迹上的特殊点
极限点――题设图形处于极限位置时产生的点； 临界点――在轨迹端点处的极限点； 终止点――处在轨迹端点位置，本身又属于轨迹，不是
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17
例4. 和两个定点距离等于定比(不等于1)的点的轨迹是
一个圆周，称为阿氏圆。
已知：A、B为两定点。求：点P的轨迹，使 PA︰ PB=m(常数) (m≠1)
探求：倘若P点合
乎条件，易知P点关于直线
AB的对称点也合乎条件，
即所求圆周应以AB为对称
轴，那么圆周直径就在直
线 AB上了。
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1.第一类型
命题的结论中明白的给出了轨迹图形的
形状、大小(如果有大小可言)和位置。
如：平面内到两个定点距离相等的点的 轨迹是以两定点为端点的线段的垂直平分线。
这类命题具有定理的形式，解题时只需要进行证 明即可。证明步骤是：
①证完备性；②证纯粹性；③下结论。
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2.第二类型
命题的结论中给出了轨迹图形的形状，
而对其大小(如果有大小可言)和位置叙述不
完全，或没有涉及。
如：平面内到两个定点距离相等的 点的轨迹，是一条直线。
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这类轨迹命题同样具有定理的形式。但
在解题方面与第一类型又有所不同。首先需要
探知轨迹的大小和位置。因此，解决这类命题
的方法步骤大致为：
①探求轨迹图形的位置和大小，使其基本轮廓 确定；
P.
E
由探求可知，凡符合条 件的点都在以CD为直径的圆上。
等于定长的两条直线; 5.和已知点的距离等于定长线段的点的轨迹,是
线段为半径的圆;
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连结这两点的线段的垂直 平分这两条已知直线所成 和这两条直线平行并且距 和这条直线平行并且距离
以已知点为圆心,以定长
三、轨迹命题的三种类型
轨迹命题的一般形式是“具有××性质的 点的轨迹是××图形”。其中命题的题设部分 就是轨迹的条件C，结论部分就是轨迹的图形F。 由于对轨迹的图形F的叙述的方式不同，轨迹命 题通常分为三种类型。
为圆心， l 为半径的圆。 2
求证：这样的平行四边形的
对角线交点的轨迹就是⊙O.
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证明：(1)完备性
l 设P为平行四
边形ABCD的对角线AC、 BD的交点，连OP，则 因O是AB的中点，P是 BD的中点，知OP是 △ABD的中位线，从 而 OP1AD1l
，即点2P在⊙o2上
DP
C
A
..O·O
B
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(2)纯粹性
l
设P′是⊙O上的任一点，连 AP′并延长至C′点，使 P′C′=AP′,连BP′并延长到D′ 点，使P′D′= BP′，则ABC′D′
是一个平行四边形，对角线交点为
P′。
D P
A
.O .
P′ D′
C B
C′
由于O、P′分别是AB、BD′的中点，因而AD′=2OP′，
而P′在⊙O上，1 Ol P′=