初等数学研究(八)轨迹
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精品课件
1.第一类型
命题的结论中明白的给出了轨迹图形的
形状、大小(如果有大小可言)和位置。
如：平面内到两个定点距离相等的点的 轨迹是以两定点为端点的线段的垂直平分线。
这类命题具有定理的形式，解题时只需要进行证 明即可。证明步骤是：
①证完备性；②证纯粹性；③下结论。
精品课件
2.第二类型
命题的结论中给出了轨迹图形的形状，
精品课件
完备性、纯粹性的等价命题
(1′)完备性：不在图形F上的点都不符合条件C；
(2′)纯粹性：不符合条件C的点都不在图形F上。
也就是说(1)
(1′)，(2)
(2′)，
所以，轨迹的证明可取：(1)(2)；(1)(2′)；(1′)(2)； (1′)(2′)四种不同的形式(其实质相同)
一般先选择(1)(2)证明，非必须，一般不用其他方法。
精品课件
例题选讲
例1.求证：
对定线段 AB 张 的角 等 于定 角 α 的点P的轨迹，是以AB 为弦，所含的圆周角 等于α的两个弧：弧 AmB和弧Am′B。
精品课件
PP
P′P. ·m ·
·α
α
α
Leabharlann Baidu
A
B
·P ·
m′ ·
·
P
PP
二、原人教版中学教材中六个基本轨迹定理
中学几何课本中的六个基本轨迹定理：
B
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(2)纯粹性
l
设P′是⊙O上的任一点，连 AP′并延长至C′点，使 P′C′=AP′,连BP′并延长到D′ 点，使P′D′= BP′，则ABC′D′
是一个平行四边形，对角线交点为
P′。
D P
A
.O .
P′ D′
C B
C′
由于O、P′分别是AB、BD′的中点，因而AD′=2OP′，
而P′在⊙O上，1 Ol P′=
②证明［包括证完备性、纯粹性、下结论］
③讨论：即研究给定的条件对轨迹图形的影响。 (有些特殊的点、线问题)
精品课件
3.第三类型
命题中只给出了题设条件，没有结论，属于问
题形式，故称为轨迹问题。
如:求平面内到两个定点的距离相等的点的轨迹。
解决此类问题的方法步骤与第二类型轨迹命题 类似：①探求轨迹图形的形状、和位置；②证明；③ 讨论。探求过程可能较繁难，这是轨迹命题中最难的 一种类型。
而对其大小(如果有大小可言)和位置叙述不
完全，或没有涉及。
如：平面内到两个定点距离相等的 点的轨迹，是一条直线。
精品课件
这类轨迹命题同样具有定理的形式。但
在解题方面与第一类型又有所不同。首先需要
探知轨迹的大小和位置。因此，解决这类命题
的方法步骤大致为：
①探求轨迹图形的位置和大小，使其基本轮廓 确定；
P.
E
由探求可知，凡符合条 件的点都在以CD为直径的圆上。
等于定长的两条直线; 5.和已知点的距离等于定长线段的点的轨迹,是
线段为半径的圆;
精品课件
连结这两点的线段的垂直 平分这两条已知直线所成 和这两条直线平行并且距 和这条直线平行并且距离
以已知点为圆心,以定长
三、轨迹命题的三种类型
轨迹命题的一般形式是“具有××性质的 点的轨迹是××图形”。其中命题的题设部分 就是轨迹的条件C，结论部分就是轨迹的图形F。 由于对轨迹的图形F的叙述的方式不同，轨迹命 题通常分为三种类型。
临界点。 这些特殊点对于确定轨迹图形的形状、大小
和位置有时起着决定性作用，通常在解决轨迹的讨论部 分，应指出哪些是特殊点才算完整。 静点――相对于轨迹上的一般动点，位置确定的点。 另外还有孤立点等。
精品课件
第二类型
解决这类 命题与第一类命题 比较，需增加探求 过程，即通过合理 的猜测或预测确定 轨迹图形的大小 (有大小可言)和位 置，再如同第一类 命题进行证明、讨 论。
第八讲 轨迹及探求
精品课件
一、轨迹的意义 1.轨迹定义：满足某种条件C的一切点所构成的图形F，
称为符合条件C的点的轨迹。 2.关于轨迹的证明：要判定一个图形F是符合条件C的点
轨迹，必须从以下两方面去证明： (1)符合条件C的所有点都在图形F上；(完备性) (2)图形F上的点都符合条件C。(纯粹性)
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17
例4. 和两个定点距离等于定比(不等于1)的点的轨迹是
一个圆周，称为阿氏圆。
已知：A、B为两定点。求：点P的轨迹，使 PA︰ PB=m(常数) (m≠1)
探求：倘若P点合
乎条件，易知P点关于直线
AB的对称点也合乎条件，
即所求圆周应以AB为对称
轴，那么圆周直径就在直
线 AB上了。
精品课件
精品课件
四、轨迹命题举例(一)
第一类型
例3. 一底边固定而
其邻边为定长的平行四边形的对
角线的交点的轨迹，为以固定底
边的中点为圆心，以定长为直径
的圆。
精品课件
已知：AB为定线段，另一
l
定长为 l (如图)，ABCD是以线
段AB为一边、邻边 AD=l 的一
DP
C
平行四边形，⊙O是以AB中点
A
·
.O B
1、2、3、4、5、6
这六个基本轨迹定理，在以后的证(解)
题或其他轨迹命题的证明中，可直接引用而不必证
明。
精品课件
1.到两个已知点的距离相等的点的轨迹,是
平分线; 2.和两条相交直线距离相等的点的轨迹,是
角的两条互相垂直的直线; 3.和两条平行直线距离相等的点的轨迹,是
离相等的一条直线; 4.和一条直线的距离等于定长线段的点的轨迹,是
P.
..
AB
在线段AB及延长线上分别
取C、D，并使AC︰CB=AD︰DB=m,
P.
则C、D合乎条件，故轨迹可能是
以CD为直径的圆周。
.. .
.
AC B
D
连PC、PD，则PC、PD分别为
△PAB中∠APB的内、外角平分线，因而
PC⊥PD，可见P确为以CD为直径的圆周上
一点。
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证明：(1)完备性
。
2
因此，AD′=2OP′1 l=2×
2
=l 。
即⊙O上任一点(与AB的交点除外)均为以AB为一边，定长
l为邻边的平行四边形的对角线交点。
综合 (1)、(2)命精品课题件 得证。
15
关于轨迹上的特殊点
极限点――题设图形处于极限位置时产生的点； 临界点――在轨迹端点处的极限点； 终止点――处在轨迹端点位置，本身又属于轨迹，不是
为圆心， l 为半径的圆。 2
求证：这样的平行四边形的
对角线交点的轨迹就是⊙O.
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证明：(1)完备性
l 设P为平行四
边形ABCD的对角线AC、 BD的交点，连OP，则 因O是AB的中点，P是 BD的中点，知OP是 △ABD的中位线，从 而 OP1AD1l
，即点2P在⊙o2上
DP
C
A
..O·O
1.第一类型
命题的结论中明白的给出了轨迹图形的
形状、大小(如果有大小可言)和位置。
如：平面内到两个定点距离相等的点的 轨迹是以两定点为端点的线段的垂直平分线。
这类命题具有定理的形式，解题时只需要进行证 明即可。证明步骤是：
①证完备性；②证纯粹性；③下结论。
精品课件
2.第二类型
命题的结论中给出了轨迹图形的形状，
精品课件
完备性、纯粹性的等价命题
(1′)完备性：不在图形F上的点都不符合条件C；
(2′)纯粹性：不符合条件C的点都不在图形F上。
也就是说(1)
(1′)，(2)
(2′)，
所以，轨迹的证明可取：(1)(2)；(1)(2′)；(1′)(2)； (1′)(2′)四种不同的形式(其实质相同)
一般先选择(1)(2)证明，非必须，一般不用其他方法。
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例题选讲
例1.求证：
对定线段 AB 张 的角 等 于定 角 α 的点P的轨迹，是以AB 为弦，所含的圆周角 等于α的两个弧：弧 AmB和弧Am′B。
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PP
P′P. ·m ·
·α
α
α
Leabharlann Baidu
A
B
·P ·
m′ ·
·
P
PP
二、原人教版中学教材中六个基本轨迹定理
中学几何课本中的六个基本轨迹定理：
B
精品课件
(2)纯粹性
l
设P′是⊙O上的任一点，连 AP′并延长至C′点，使 P′C′=AP′,连BP′并延长到D′ 点，使P′D′= BP′，则ABC′D′
是一个平行四边形，对角线交点为
P′。
D P
A
.O .
P′ D′
C B
C′
由于O、P′分别是AB、BD′的中点，因而AD′=2OP′，
而P′在⊙O上，1 Ol P′=
②证明［包括证完备性、纯粹性、下结论］
③讨论：即研究给定的条件对轨迹图形的影响。 (有些特殊的点、线问题)
精品课件
3.第三类型
命题中只给出了题设条件，没有结论，属于问
题形式，故称为轨迹问题。
如:求平面内到两个定点的距离相等的点的轨迹。
解决此类问题的方法步骤与第二类型轨迹命题 类似：①探求轨迹图形的形状、和位置；②证明；③ 讨论。探求过程可能较繁难，这是轨迹命题中最难的 一种类型。
而对其大小(如果有大小可言)和位置叙述不
完全，或没有涉及。
如：平面内到两个定点距离相等的 点的轨迹，是一条直线。
精品课件
这类轨迹命题同样具有定理的形式。但
在解题方面与第一类型又有所不同。首先需要
探知轨迹的大小和位置。因此，解决这类命题
的方法步骤大致为：
①探求轨迹图形的位置和大小，使其基本轮廓 确定；
P.
E
由探求可知，凡符合条 件的点都在以CD为直径的圆上。
等于定长的两条直线; 5.和已知点的距离等于定长线段的点的轨迹,是
线段为半径的圆;
精品课件
连结这两点的线段的垂直 平分这两条已知直线所成 和这两条直线平行并且距 和这条直线平行并且距离
以已知点为圆心,以定长
三、轨迹命题的三种类型
轨迹命题的一般形式是“具有××性质的 点的轨迹是××图形”。其中命题的题设部分 就是轨迹的条件C，结论部分就是轨迹的图形F。 由于对轨迹的图形F的叙述的方式不同，轨迹命 题通常分为三种类型。
临界点。 这些特殊点对于确定轨迹图形的形状、大小
和位置有时起着决定性作用，通常在解决轨迹的讨论部 分，应指出哪些是特殊点才算完整。 静点――相对于轨迹上的一般动点，位置确定的点。 另外还有孤立点等。
精品课件
第二类型
解决这类 命题与第一类命题 比较，需增加探求 过程，即通过合理 的猜测或预测确定 轨迹图形的大小 (有大小可言)和位 置，再如同第一类 命题进行证明、讨 论。
第八讲 轨迹及探求
精品课件
一、轨迹的意义 1.轨迹定义：满足某种条件C的一切点所构成的图形F，
称为符合条件C的点的轨迹。 2.关于轨迹的证明：要判定一个图形F是符合条件C的点
轨迹，必须从以下两方面去证明： (1)符合条件C的所有点都在图形F上；(完备性) (2)图形F上的点都符合条件C。(纯粹性)
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17
例4. 和两个定点距离等于定比(不等于1)的点的轨迹是
一个圆周，称为阿氏圆。
已知：A、B为两定点。求：点P的轨迹，使 PA︰ PB=m(常数) (m≠1)
探求：倘若P点合
乎条件，易知P点关于直线
AB的对称点也合乎条件，
即所求圆周应以AB为对称
轴，那么圆周直径就在直
线 AB上了。
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四、轨迹命题举例(一)
第一类型
例3. 一底边固定而
其邻边为定长的平行四边形的对
角线的交点的轨迹，为以固定底
边的中点为圆心，以定长为直径
的圆。
精品课件
已知：AB为定线段，另一
l
定长为 l (如图)，ABCD是以线
段AB为一边、邻边 AD=l 的一
DP
C
平行四边形，⊙O是以AB中点
A
·
.O B
1、2、3、4、5、6
这六个基本轨迹定理，在以后的证(解)
题或其他轨迹命题的证明中，可直接引用而不必证
明。
精品课件
1.到两个已知点的距离相等的点的轨迹,是
平分线; 2.和两条相交直线距离相等的点的轨迹,是
角的两条互相垂直的直线; 3.和两条平行直线距离相等的点的轨迹,是
离相等的一条直线; 4.和一条直线的距离等于定长线段的点的轨迹,是
P.
..
AB
在线段AB及延长线上分别
取C、D，并使AC︰CB=AD︰DB=m,
P.
则C、D合乎条件，故轨迹可能是
以CD为直径的圆周。
.. .
.
AC B
D
连PC、PD，则PC、PD分别为
△PAB中∠APB的内、外角平分线，因而
PC⊥PD，可见P确为以CD为直径的圆周上
一点。
精品课件
证明：(1)完备性
。
2
因此，AD′=2OP′1 l=2×
2
=l 。
即⊙O上任一点(与AB的交点除外)均为以AB为一边，定长
l为邻边的平行四边形的对角线交点。
综合 (1)、(2)命精品课题件 得证。
15
关于轨迹上的特殊点
极限点――题设图形处于极限位置时产生的点； 临界点――在轨迹端点处的极限点； 终止点――处在轨迹端点位置，本身又属于轨迹，不是
为圆心， l 为半径的圆。 2
求证：这样的平行四边形的
对角线交点的轨迹就是⊙O.
精品课件
证明：(1)完备性
l 设P为平行四
边形ABCD的对角线AC、 BD的交点，连OP，则 因O是AB的中点，P是 BD的中点，知OP是 △ABD的中位线，从 而 OP1AD1l
，即点2P在⊙o2上
DP
C
A
..O·O