线性电阻电路的一般分析方法

I3 由于I2已知，故只列写两个方程
7 节点a：–I1+I3=6
避开电流源支路取回路：
b
7I1＋7I3=70
3. 2 回路电流法 (loop current method)
基本思想： 以假想的独立回路电流为独立变量。各支路电 流可用回路电流线性组合表示。
a
i1
i2
i3
R1
R2
+ il1 + il2
R3
uS1
uS2
–
–
b
回路电流分别为il 1， il 2 支路电流可由回路电流求出
i1= i l 1 i2= i l 2- i l 1 列写KVL方程
i3= i l 2
绕行方向和回路电流方向取为一致
U 0
UR US
电阻压降
电源压升
回路电流法：以回路电流为未知变量列写电路方程分析电
路的方法。
i1 R1
R3 R11=R1+R2 自电阻
R22=R2+R3 自电阻 R12=-R2 ， R21=-R2 互电阻
uSl1= uS1-uS2 回路1中所有电压源电压升的代数和
uSl2= uS2 回路2中所有电压源电压升的代数和
R11 il 1+R12 il 2= uSl1 R21 il1+R22 il2= uSl2
例3 列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。 R3
_ Ui + il3 R4
+
US1_ R1
IS R_2 il1 US2
+
il2
R5
方法1
* 引入电流源的端电压变量 (R1+R2) il1-R2 il2 =US1+US2+Ui -R2 il1+(R2+R4+R5) il2 -R4 il3=-US2 -R4 il2 +(R3+R4) il3=-Ui
6 84
L是连通图的一个子图，构成一条闭合 路径，并满足：(1)连通，(2)每个节点 关联2条支路
23
12 75
不是 回路
5
84
回路
特点
1）对应一个图有很多的回路 2）基本回路的数目是一定的，为连支数
3）对于平面电路，网孔数为基本回路数
l bl b (n 1)
基本回路(单连支回路) 基本回路具有独占的一条连枝
(5) 校核 选一新回路 U =?=E
例2 用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。
1
2
① 将看VCVS作独立源建立方程；
I1+ 2V
_
I2 I3
il1 3
U2 +
il2
将②代入①，得
I4 1
+ –3U2
il3
I5
4il1-3il2 =2 -3il1+6il2 –il3=-3U2 ①
2
-il2 +3il3=3U2
基本割集
只含有一个树枝的割集。割集数＝n-1
连支集合不能构成割集
3.2 KCL和KVL的独立方程数
1.KCL的独立方程数
2
1
2
1 43
3
6
5
4
结论
1 i1 i4 i6 0 2 i1 i2 i3 0 3 i2 i5 i6 0 4 i3 i4 i5 0
1 + 2 + 3 + 4 =0
i3
un1 un2 R3
i4
un1 un2 R4
i5
un2 R5
un1 R1
un2 R2
un1 un2 R3
un1 un2 R4
iS1
iS2
iS3
un1 un2 R3
un1 un2 R4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
un2 R5
iS3
整理，得
1111
11
( R1
R2
R3
R4 ) un1
( R3
R4 )un2
6
4
5
2
1
3
5 2
1
3
6
2 13
结论
支路数＝树枝数＋连支数 ＝结点数－1＋基本回路数
割集Q (Cut set )
Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质： (1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 (2)任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。
6
1 9
4
3
7
28 5
6
1 9
4
3
7
28 5
割集：（1 9 6）（2 8 9）（3 6 8）（4 6 7）（5 7 8） （3 6 5 8 7）（3 6 2 8）是割集吗？
例
有6个支路电流，需列写6个方程。
2
KCL方程:
i2 R2 i3
1
1
R4
2 i4
R3
3
1 i1 i2 i6 0
2 i2 i3 i4 0
3 i4 i5 i6 0
R1 i1
3 4 R5 i5
取网孔为基本回路，沿顺时 针方向绕行列KVL写方程:
i6 回路1 u2 u3 u1 0
R5
元件的串联及并联 组合作为一条支路
n4 b6
抛开元 件性质
n5
1 2
b8
8 3 5 4
1
3
5
2
4
6
7
6
一个元件作 为一条支路
有向图
（1）连通图
图G的任意两节点间至少有一条路经 时称为连通图，非连通图至少存在两 个分离部分。
(2) 子图
若图G1中所有支路和结点都是图G中 的支路和结点，则称G1是G的子图。
+ uS1
–
a
i2 R2
uil1S2 +
il2
–
b
i3 回路1：R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0 R3 回路2：R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
得 (R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
iS1
iS2
iS3
11
111
( R3
R4 )un1
( R3
R4
R5 ) un2
i S3
令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5
上式简记为 iS
G11un1+G12un2 = isn1
1
G21un1+G22un2 = isn2
iS3 un1 1 i3
un2 R3 2
i R1 1 iS2
3. 3 节点电压法 (node voltage method)
节点电压法：以节点电压为未知变量列写电路方程分析电
路的方法。
例
iS3 un1 1 i3
un2 R3 2
(1) 选定参考节点，标明其 余n-1个独立节点的电压
(2) 列KCL方程：
iS1
i1 R1 iS2
R2 i4 R4 i2
i5 R5
a
例
I1
I2
I3 b=3 , n=2 , l=3
R1
R2
E1
E2
R3
变量：I1 , I2 , I3
KCL KVL
a:
-I1-I2+I3=b 0 一个独立方程
b: I1+I2-I3= 0
I1R1-I2R2=E1-E2 I2R2+I3R3= E2 I1R1+I3R3= E1
二个独立方程
规律 KCL: n - 1 KVL: b - (n - 1)
树 (Tree)
T是连通图的一个子图满足下列条件：
(1)连通
(2)包含所有节点
不
(3)不含闭合路径
是
树
树
树支：构成树的支路 连支：属于G而不属于T的支路
特点
1）对应一个图有很多的树 2）树支的数目是一定的：
bt n 1
连支数： bl b bt b (n 1)
回路 (Loop)
123 75
0 : 无关
网孔电流法：对平面电路，若以网孔为独立回路，此 时回路电流也称为网孔电流，对应的分 析方法称为网孔电流法。
例1 用回路法求各支路电流。
I1 R1
+ US1_
I2 R2
il1 + US2_
I3 il2
R3 il3
I4 R4 + _ US4
解 (1) 设独立回路电流(顺时针)
(2) 列 KVL 方程
n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
2.KVL的独立方程数
KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1)
结 n个结点、b条支路的电路, 独立的 论 KCL和KVL方程数为：
(n 1) b (n 1) b
3.1 支路电流法 (branch current method )
支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程。
R6 + uS –
回路2 回路3
u4 u5 u3 0
结合元件特性消去支路电压得： u1 u5 u6 uS
R2i2 R3i3 R1i1 0 R4i4 R5i5 R3i3 0
R1i1 R5i5 R6i6 uS
支路电流法的一般步骤：
(1) 标定各支路电流（电压）的参考方向；
推广到 l 个回路 其中
R11il1+R12il2+ …+R1l ill=uSl1
R21il1+R22il2+ …+R2l ill=uSl2 …
Rl1il1+Rl2il2+ …+Rll ill=uSll
Rkk: 自电阻(为正) ，k =1 , 2 , , l
+ : 流过互阻两个回路电流方向相同 Rjk: 互电阻 - : 流过互阻两个回路电流方向相反
例2.
I1 7
+ 70V
–
解2.
I1 7
+ 70V
–
列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）
a
I2
1
11 +
6A
U
_
2
b
a I2
11 1
6A
解1. I3
(1) n–1=1个KCL方程：
节点a：–I1–I2+I3=0
7
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：
7I1–11I2=70-U
11I2+7I3= U 增补方程：I2=6A
iR出= iS入 i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3
0 -i3-i4+i5=-iS3
例
iS3 un1 1 i3
un2 R3 2
iS1
i1 R1 iS2
R2 i4 R4 i2
i5 R5
0
i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3 -i3-i4+i5=-iS3
i1
un1 R1
i2
un1 R2
复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压 和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同 可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。
网络图论
图论是拓扑学的一个分支，是富有 趣味和应用极为广泛的一门学科。
A
B
D
A
C
哥尼斯堡七桥难题
B
D
C
1. 电路的图
R1 R2
i
R3 R4
+
_
uS
1. 支路电流法
以各支路电流为未知量列写电路方 程分析电路的方法。
对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电 流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方程，便 可以求解这b个变量。
2. 独立方程的列写
（1）从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程 （2）选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程
(R1+R2) il1 -R2 il2 = US1- US2
-R2 il1 + (R2+R3) il2 - R3 il3 = US2 -R3 il2 + (R3+R4) il3= -US4
(3) 求解回路电流方程，得 il1 , il2 , il3 (4) 求各支路电流： I1= il1 , I2= il2 – il1 , I3= il3- il2 ,I4=- il3
令 R11=R1+R2 代表回路1的总电阻（自电阻） R22=R2+R3 代表回路2总电阻（自电阻） R12=-R2 ， R21=-R2 代表回路1和回路2的公共电阻（互电阻）
i1 R1
+ uS1
–
a
i2 R2
uil1S2 +
il2
–
b
i3
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
** 增加回路电流和电流源电流的关系方程
IS= il1- il3
方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅 属于一个回路, 该回路电流即 IS 。
R3
_ Ui + il3
R4
+ US1_
R1
IS R_2 il1 US2
+
il2
R5
il1 =IS -R2 il1+(R2+R4+R5) il2 +R5 il3=-US2 R1 il1+R5 il2 +(R1+R3+R5) il3=US1
② 找出控制量和回路电流关系。
U2=3(il2 – il1) ②
解得
il1=1.19A
il2 =0.92A 各支路电流为：il3=-0.51A
I1= il1 =1.19A , I2= il1- il2 =0.27A , I3= il2 =0.92A
I4= il2 –il3=1.43A , I5= il3 =-0.52A
第2章 线性电阻电路的一般分析方法
重点：
1. 熟练掌握电路方程的列写方法： 支路电流法 回路电流法 节点电压法
2. 掌握含运算放大器的电路的分析方法。
线性电路的一般分析方法
(1) 普遍性：对任何线性电路都适用。 (2) 系统性：计算方法有规律可循。 方法的基础
（1）电路的连接关系—KCL，KVL定律。 （2）元件的电压、电流关系特性。
R2 i R4 i4
i5 R5
02
标准形式的节点电压方程
1111
11
( R1
R2
R3
R4 ) un1
( R3
R4 )un2
iS1
iS2
iS3
11
111
( R3
R4 )un1
( R3
R4
R5 ) un2
i S3
G11=G1+G2+G3+G4 节点1的自电导，等于接在节点1上 所有支路的电导之和
(2) 选定(n–1)个节点，列写其KCL方程； (3) 选定b–(n–1)个独立回路，列写其KVL方程；
(元件特性代入)
(4) 求解上述方程，得到b个支路电流；
(5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。
支路电流法的特点：
支路法列写的是 KCL和KVL方程， 所以方程列 写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的 情况下使用。