偶然误差的处理(精)

§1.2偶然误差的处理

在这一节里，我们假定在没有系统误差存在的情况下，来讨论偶然误差问题。

一、测量结果的最佳值——多次测量的平均值

对某一物理量进行测量时，最好进行多次重复测量。根据多次重复测量的结果，可能获得一个最接近真值的最佳值。

在相同条件下，对某物理量x进行了n次重复测量，其测量值分别

当测量次数无限增多时，根据偶然误差的性质可以证明：该平均值

作为测量的结果。

二、算术平均绝对误差

真值无法得到，误差也就无法估算。由于平均值是最佳值，可以把它作为近真值来估算误差。一般定义测量值与平均值之差为“偏差”或“离差”，它们与误差是有区别的。然而当测量次数很多时，“偏差”会接近误差。在以下讨论中，不去严格区分“偏差”和误差，把它们统称为误差。

取

量结果表达式可写为

三、标准误差——方均根误差a

在现代实验测量中，通常用标准误差来衡量一组测量值的精密度，标准误差就是均方根误差。物理量x的标准误差用σx表示，它的定义是：当测量次数无限多时，有

测量次数不可能无限多，根据误差理论，当测量次数有限时，(1-4)式应改写成：

(1-5)式是n次重复测量中单次测量的标准误差，n次测量结果平均

当偶然误差用标准误差来表示时，测量结果应写为

四、相对误差

我们把测量结果及其偶然误差写为x±Δx的形式，其中x是测量值，它可以是一次测量值，也可以是多次测量的平均值；Δx是绝对误差，它可以是一次测量中绝对误差的绝对值，也可以是平均绝对误差或标准误差。在对同一对象采用不同精度的仪器或测量方法来测量时，Δx能够表示出测量的不同精确度。但对不同对象进行测量时，却反映不出不同的精确度。例如，用米尺测量两物体的长度，测量结果为：

x1=100.00±0.05cm，x2=10.00±0.05cm，两者的绝对误差相同，均为0.05cm，但误差点测量值的比例不同，前者的精确度高于后者。因此，引入相对误差，它可以评价上述两测量结果精确度的差别。相对误差通常用百分比表示，所以又称为百分比误差。相对误差E定义为

(1-8)式中的x通常取平均值，也可以用公认值或理论值代替。

例对某电压测量的数据处理(见表1-1)。

表1-1电压的测量

在计算过程中，误差一般取一位且应与测量值的尾位对齐，误差的尾数只进不退。

本例中的偶然误差分别用平均绝对误差、标准误差、平均标准误差来表示时，其对应的测量结果为

U=10.00±0.02V；U=10.00±0.03V；U=10.00±0.02V。

五、间接测量的误差估算

物理实验中的被测量N，往往通过与直接测量量的函数关系计算出来。我们称N为间接测量量或复合量。

计算间接测量量值时，是将各直接测量量的平均值代入有关函数式求出。由于各直接测量量的平均值均有误差，因此计算的结果也必然具有一定的误差，这

称为误差的传递，其误差的大小取决于各直测量误差的大小以及函数的具体形式。

设间接测量量与若干个直测量有下述函数关系：

N＝f(x，y，…) (1-9)

x，y，…表示直测量。对上式求全微分，得：

式中，d x，d y，…和dN都是微小改变量，可以看成是各量值的误差，并分别用Δx，Δy，…和ΔN代替它们，则绝对误差公式表示为

(1-11)式称为函数误差算术传递的基本公式。将(1-10)式两边平方后略去高阶小项，得

根据(1-11)式和(1-13)式，我们把常用函数的误差算术传递公式和标准误差传递公式列成表1-2以备查用。

表1-2常用函数的误差传递公式

例测得一金属圆柱体的质量m=162.38±0.01g，长度1=39.92±0.01mm、直径d=24.927±0.002mm，求其密度和误差

若题设中的误差为平均绝对误差，用误差算术传递公式：

求得其密度为ρ=(8.335±0.003)g·cm3

若题设中的误差为标准误差，用标准误差传递公式：

求得其密度为ρ=(8.335±0.003)g·cm3