偶然误差的处理(精)
实验误差分析及数据处理
u + Δu = f (x + Δx, y + Δy,z + Δz)
由泰勒公式，并略去误差的高次项，得
115
地球物理实验
u + Δu = f (x, y,z) + ∂f Δx + ∂f Δy + ∂f Δz
∂x ∂y ∂z
或
Δu = ∂f Δx + ∂f Δy + ∂f Δz
∂x ∂y ∂z
该式即为误差传递公式。 例如我们通过直接测量圆柱形试件的直径D及高H来计算试件的体积V。
前面提到测量值=真值+误差，这里误差包含了系统误差和偶然误差，则测量值=真值+
系统误差+偶然误差，当系统误差修正后，误差主要即是偶然误差。在多次测量中，偶然误
差是一随机的变量，那么测量值也就是一随机变量，我们则可用算术平均值和标准误差来
描述它。
算术平均值 X ：
X
=
1 n
n
∑
i =1
xi
式中xi为第i次测量的测量值，n为测量次数，当n→∞时， X →xt（真值），但是当n增加到 一定程度时， X 的精度的提高就不显着了，所以一般测量中n只要大于10就可以了。
明误差在 ± 1.96s 以外的值都要舍去，这里
1.96s=1.96×1.12=2.19
我们以算术平均值代表真值，表中第4个测量值的偏差 di 为2.4，在 ± 2.19 以外，应当舍
去，再计算其余9个数据的算术平均值和标准误差，有
m = ∑ mi = 416.0 = 46.2
n
9
∑ s =
d
2 i
偶然误差是一种不规则的随机的误差，无法予测它的大小，其误差没有固定的大小和 偏向。
误差分析和数据处理讲解
误差和分析数据处理1 数据的准确度和精度在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。
这说明在测定中有误差。
为此我们必须了解误差产生的原因及其表示方法，尽可能将误差减到最小，以提高分析结果的准确度。
1.1 真实值、平均值与中位数（一）真实值真值是指某物理量客观存在的确定值。
通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。
严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。
科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。
故“真值”在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的“公认值”）。
（二）平均值然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称为最佳值。
一般我们称这一最佳值为平均值。
常用的平均值有下列几种：（1）算术平均值这种平均值最常用。
凡测量值的分布服从正态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。
n x n x x x x ni in ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察的次数。
（2）均方根平均值n x n x x x x n i in∑=++==1222221 均（3）加权平均值设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。
∑∑=++++++===n i i n i ii n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211式中；n x x x 21、——各次观测值；n w w w 21、——各测量值的对应权重。
10 误差分类与处理方法
2 误差分类与处理
2）相对误差
相对误差：绝对误差与被测量真值的比值，常用百
分数表示，即
x 100%
x0
相对误差比绝对误差能更好地说明测量的精确程度。在上面的例子中10.001 100% 10
0.01%
2
0.01 100% 200
0.005%
显然，后一种长度测量仪表更精确。
2 误差分类与处理
测量条件
引•起误 在实际相同条件下，对同一被测量进行多次等精度测
差的原
因 量时，由于各种随机因素（如温度、湿度、电源电压波
动、磁场等）的影响，各次测量值之间存在一定差异，
这种差异就是随机误差。
误差特点
•
特点：随机误差表示了测量结果偏离其真实值的分
散情况。一般分布形式接近于正态分布。
•
消除方法：可采用在同一条件下，对被测量进行足
误差分类与处理方法
梁长垠 教授
误差分类与处理方法
1
误差基本概念
2 误差分类与处理
3
1 误差基本概念
• 一、误差概念 • 真值（True value） ：任何一个量的绝对准确
值。
• 约定真值：与真值的差可以忽略而可以代替真 值的值。
• 误差（error） ：用测量仪表对被测量进行测 量时，测量的结果与被测量的约定真值之间的 差。
为1.0的仪表，在使用时它的最大引用误差不超过±1.0％，也就
是说，在整个量程内它的绝对误差最大值不会超过其量程的±1％。
在具体测量某个量值时，相对误差可以根据精度等级所确定
的最大绝对误差和仪表指示值进行计算。
2 误差分类与处理
例1 一台测量仪表，其标尺范围为0－400℃。已知其绝对误
误差分析和数据处理
误差和分析数据处理1 数据的准确度和精度在任何一项分析工作中,我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品,虽然经过多少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。
这说明在测定中有误差。
为此我们必须了解误差产生的原因及其表示方法,尽可能将误差减到最小,以提高分析结果的准确度。
1。
1 真实值、平均值与中位数（一)真实值真值是指某物理量客观存在的确定值.通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。
严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。
科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多,则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均,在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。
故“真值”在现实中是指观察次数无限多时,所求得的平均值(或是写入文献手册中所谓的“公认值”)。
(二）平均值然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值,只能是近似真值，或称为最佳值.一般我们称这一最佳值为平均值。
常用的平均值有下列几种:（1）算术平均值这种平均值最常用。
凡测量值的分布服从正态分布时,用最小二乘法原理可以证明:在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。
n x n x x x x ni in ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值;n ――观察的次数.（2）均方根平均值n x n x x x x n i in∑=++==1222221 均（3）加权平均值设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。
∑∑=++++++===n i i n i ii n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211式中;n x x x 21、—-各次观测值；n w w w 21、—-各测量值的对应权重。
实验数据的误差与结果处理(精)
7
2.2 实验数据处理及结果评价 2.2.1 数理统计的几个基本概念
1. 总体(universe)（或母体）——分析研究的对象 的全体 2. 样本(swatch)（或子样）——从总体中随机抽取 一部分样品进行测定所得到的一组测定值 3. 个体(individual)——样本中的每个测定值xi 4. 样本容量(capacity of sample)（或样本大小）— 样本中所含个体的数目，用n表示
1 x (79.58 79.45 .... 79.38)% 79.50% 6
s
2018年9月28日7时8分
X
i X
2
n 1
0.09%
SX S / 6 0.04%
14
2.2 实验数据处理及结果评价
2.2.3 置信度与置信区间
偶然误差的正态分布曲线：
对于有限次测定,结果的平均 值与总体平均值 关系为 ： s x t sx x t n
5. 样本平均值
1 x xi n
6. 极差: 表示数据的分散程度
2018年9月28日7时8分
R xmax xmin
8
2.2 实验数据处理及结果评价
2.2.2 少量数据的统计处理 1. 平均偏差
平均偏差又称算术平均偏差，用来表示一组数据的精密度 平均偏差： 相对平均偏差：
1 1 d xi x d i n n
s——有限次测定的标准偏差 n——测定次数
t 值表 ( t——某一置信度下的几率系数)
置信度——真值在置信区间出现的几率 置信区间——以平均值为中心，真值出现的范围 讨论： 1. 置信度不变时: n 增加，t 变小，置信区 间变小 2. n不变时：置信度增加， t变大，置信区 间变大 2. n， t不变时：s增加，置信区间变大，准 确度降低 2018年9月28日7时8分
(完整版)测量误差的分类以及解决方法
测量误差的分类以及解决方法1、系统误差能够保持恒定不变或按照一定规律变化的测量误差，称为系统误差。
系统误差主要是由于测量设备、测量方法的不完善和测量条件的不稳定而引起的。
由于系统误差表示了测量结果偏离其真实值的程度，即反映了测量结果的准确度，所以在误差理论中，经常用准确度来表示系统误差的大小。
系统误差越小，测量结果的准确度就越高。
2、偶然误差偶然误差又称随机误差，是一种大小和符号都不确定的误差，即在同一条件下对同一被测量重复测量时，各次测量结果服从某种统计分布；这种误差的处理依据概率统计方法。
产生偶然误差的原因很多，如温度、磁场、电源频率等的偶然变化等都可能引起这种误差；另一方面观测者本身感官分辨能力的限制，也是偶然误差的一个来源。
偶然误差反映了测量的精密度，偶然误差越小，精密度就越高，反之则精密度越低。
系统误差和偶然误差是两类性质完全不同的误差。
系统误差反映在一定条件下误差出现的必然性；而偶然则反映在一定条件下误差出现的可能性。
3、疏失误差疏失误差是测量过程中操作、读数、记录和计算等方面的错误所引起的误差。
显然，凡是含有疏失误差的测量结果都是应该摈弃的。
解决方法：仪表测量误差是不可能绝对消除的，但要尽可能减小误差对测量结果的影响，使其减小到允许的范围内。
消除测量误差，应根据误差的来源和性质，采取相应的措施和方法。
必须指出，一个测量结果中既存在系统误差，又存在偶然误差，要截然区分两者是不容易的。
所以应根据测量的要求和两者对测量结果的影响程度，选择消除方法。
一般情况下，在对精密度要求不高的工程测量中，主要考虑对系统误差的消除；而在科研、计量等对测量准确度和精密度要求较高的测量中，必须同时考虑消除上述两种误差。
1、系统误差的消除方法(1)对测量仪表进行校正在准确度要求较高的测量结果中，引入校正值进行修正。
(2)消除产生误差的根源即正确选择测量方法和测量仪器，尽量使测量仪表在规定的使用条件下工作，消除各种外界因素造成的影响。
分析化学中的误差与数据处理(精)
第3章分析化学中的误差与数据处理一、选择题1．下列叙述错误的是（）A．误差是以真值为标准的，偏差是以平均值为标准的，实际工作中获得的所谓“误差”，实质上仍是偏差B．对某项测定来说，它的系统误差大小是不可测量的C．对偶然误差来说，大小相近的正误差和负误差出现的机会是均等的D．标准偏差是用数理统计方法处理测定的数据而获得的2．四位学生进行水泥熟料中SiO2 , CaO, MgO, Fe2O3 ,Al2O3的测定。
下列结果（均为百分含量）表示合理的是（）A．21.84 , 65.5 , 0.91 , 5.35 , 5.48 B．21.84 , 65.50 , 0.910 , 5.35 , 5.48C．21.84 , 65.50 , 0.9100, 5.350 , 5.480 D．21.84 , 65.50 , 0.91 , 5.35, 5.483．准确度和精密度的正确关系是（）A．准确度不高，精密度一定不会高B．准确度高，要求精密度也高C．精密度高，准确度一定高D．两者没有关系4．下列说法正确的是（）A．精密度高，准确度也一定高B．准确度高，系统误差一定小C．增加测定次数，不一定能提高精密度D．偶然误差大，精密度不一定差5．以下是有关系统误差叙述，错误的是（）A．误差可以估计其大小B．误差是可以测定的C．在同一条件下重复测定中，正负误差出现的机会相等D．它对分析结果影响比较恒定6．滴定终点与化学计量点不一致，会产生（）A．系统误差B．试剂误差C．仪器误差D．偶然误差7．下列误差中，属于偶然误差的是（）A．砝码未经校正B．容量瓶和移液管不配套C．读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准D．重量分析中，沉淀的溶解损失8．可用于减少测定过程中的偶然误差的方法是（）A．进行对照试验B．进行空白试验C．进行仪器校准D．增加平行试验的次数9．下列有效数字位数错误的是（）A．[H＋]=6.3×10-12mol／L (二位) B．pH=11.20(四位)C．CHCl=0.02502mol／L (四位) D．2.1 (二位)10．由计算器算得9.250.213341.200100⨯⨯的结果为0.0164449。
误差以及数据处理
定义
粗大误差是由于观测者疏 忽或外界干扰引起的误差， 其大小和方向都是不定的。
产生原因
观测者的疏忽、记录错误、 外界干扰等。
特性
单次测量结果明显偏离正 常值，且多次测量结果的 平均值也不稳定。
02
数据处理方法
数据清洗
数据预处理
对原始数据进行必要的预处理，包括数据格式化、缺失值处理、 异常值处理等。
误差处理
误差来源识别
识别并分类误差来源 是误差处理的第一步， 这有助于确定哪些因 素最可能导致误差。
误差估计
对每个来源的误差进 行量化评估，这可以 通过统计分析、实验 或经验公式来完成。
误差校正
根据误差的性质和量 级，可以采用不同的 校正方法，如系统校 准、数据平滑等。
预防措施
为了避免误差的产生， 可以采取一系列预防 措施，如提高测量设 备的精度、标准化操 作流程等。
03 特性
单次测量结果难以预测，但大量测量结果的平均 值是稳定的。
系统误差
01 定义
系统误差是由某些固定因素引起的误差，其大小 和方向是固定的。
02 产生原因
测量工具的固有偏差、实验方法的缺陷、理论公 式的近似等。
03 特性
单次测量结果具有一致性，多次测量结果的平均 值也不变。
粗大误差
01
02
03
案例分析
例如，某医院进行一项临床试验，通过误差处理发现实验 数据存在偏差，经过重复实验和数据校准后，得到了更为 准确的结果。
气象数据误差传递
01
气象数据误差来源
气象数据误差可能来源于观测站网布局、观测仪器、观测方法等方面，
如观测误差、传输延迟等。
02
误差和时间传递，空间传递是指误差随
偶然误差的处理(精)
§1.2偶然误差的处理在这一节里，我们假定在没有系统误差存在的情况下，来讨论偶然误差问题。
一、测量结果的最佳值——多次测量的平均值对某一物理量进行测量时，最好进行多次重复测量。
根据多次重复测量的结果，可能获得一个最接近真值的最佳值。
在相同条件下，对某物理量x进行了n次重复测量，其测量值分别为沁x2,x n o用§表示它们的算术平均值〔简称平均值），得：+■…+n当测量次数无限增多时，根据偶然误差的性质可以证明：该平均值将无限接近于真值。
所以，平均值?又称为测量结杲的最佳值，常把它作为测量的结果。
二、算术平均绝对误差真值无法得到，误差也就无法估算。
由于平均值是最佳值，可以把它作为近真值来估算误差。
一般定义测量值与平均值之差为“偏差”或“离差”，它们与误差是有区别的。
然而当测量次数很多时，“偏差”会接近误差。
在以下讨论中，不去严格区分“偏差”和误差，把它们统称为误差。
在多次重复测量中，每次测量值绍与平均值?的差，取绝对值，用△绍表示，则有称应为算术平均绝对误差，简称为算术平均误差或平均绝对误差。
测 量结果表达式可写为x=x±Axo(1-3)三、标准误差一方均根误差a在现代实验测量中，通常用标准误差来衡量一组测量值的精密度，标准误差就是均方根误差。
物理量x 的标准误差用a 表示，它的定义是：当测量次数无x限多时，有测量次数不可能无限多，根据误差理论，当测量次数有限时，(1-4)式应改写成：S=J 占詐"凡(1_5)(1-5)式是n 次重复测量中单次测量的标准误差，n 次测量结果平均值§的标淮误差又称为平均标淮误差，用。
乔表示，则上式应写成Ax=—SAx-oni=i(1-2)(1-Q当偶然误差用标准误差来表示时，测量结果应写为四、相对误差我们把测量结果及其偶然误差写为x±Ax 的形式，其中x 是测量值，它可以是一次测量值，也可以是多次测量的平均值；△x 是绝对误差，它可以是一次测量中绝对误差的绝对值，也可以是平均绝对误差或标准误差。
第二章 误差和分析数据的处理(改)
记录的数字不仅表示数量的大小，而且要正 记录的数字不仅表示数量的大小， 确地反映测量的精确程度。 确地反映测量的精确程度。
结果 绝对误差 相对误差 ±0.002% ±0.02% ±0.2% 有效数字位数 5 4 3
0.51800 ±0.00001 0.5180 0.518 ±0.0001 ±0.001
E
绝对误差与相对误差的计算
仪器的绝对误差通常是一个定值，我们可以 仪器的绝对误差通常是一个定值， 相对误差 测量值(x) 真值 真值(µ) 绝对误差 绝对误差(δ) 物品 测量值 (RE%) 用称（ 取较大质量（体积）的试样， 用称（量）取较大质量（体积）的试样，使 0.0002g A 0.2175g 0.2173g 0.1% 测量的相对误差较少， 测量的相对误差较少，在实际工作中意义较 0.0002g B 1% 大。 0.0217g 0.0215g
δ A = xA − µA = 0.2175− 0.2173 = 0.0002 当测量值的绝对 误差恒定时， δB = xB − µB = 0.0217 − 0.0215 = 0.0002 误差恒定时，被
测定的量越大， 测定的量越大， 0.0002 δA RE (A) = % ×100%= ×100%= 0.1% 相对误差越小， 相对误差越小， 0.2173 µA 测定的准确性也 0.0002 δB 就越高。 就越高。 RE (B) = ×100%= % ×100%= 1%
n
i
d=
∑x −x
i =1 i
n
n
=
37.40 + 37.20 + 37.30 + 37.50 + 37.30 = 37.34 5
n
=
0.06 + 0.14 + 0.04 + 0.16 + 0.04 = 0.088 5
偶然误差(精)
偶然误差 偶然误差是由于在测定过程中一系列有关因素微小的 随机波动而形成的具有相互抵偿性的误差。偶然误差的大
小及正负在同一实验中不是恒定的，并很难找到产生的确
切原因，所以偶然误差又称为随机误差。
偶然误差
产生偶然误差的原因有许多。例如，在测量过程中由 于温度、湿度、气压以及灰尘等的偶然波动都可能引起数 据的波动。又如在读取滴定管读数时，估计小数点后第二
位的数值时，几次读数也并不一致。这类误差在操作中难
以觉察、难以控制、无法校正，因此不能完全避免。
ห้องสมุดไป่ตู้
误差数据处理.pptx
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系统误差还具有的规律：
例如，重量法测明矾中铝含量，用氨水作沉淀剂，若氨水中混有硅酸，便与Al(OH)3共沉淀，明矾取样量越大，造成的绝对误差越大，但相对误差基本不变
多次测量系统误差的绝对值保持不变，但相对值随被测组分增大而减小 恒定误差
偶然误差(determinate error)
系统误差（systematic error)
方法误差仪器或试剂误差操作误差
按来源分为
第2页/共46页
方法误差——由于分析方法本身的缺陷或不够完善所引起的误差。通常影响较大。如：溶解损失、终点误差
— 用其他方法校正
对照试验：标准方法、标准样品、标准加入
人，用最完善的方法，最精密的仪器，最纯的试剂对同一样品作多次测定，所得结果也不会完全一样。因此误差总是难免的，只能采取有效的措施提高测定的准确度，使测定结果尽量靠近真实值。
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一、 系统误差特点——原因固定，具单向性、重现性，为可测误差.
§1 误差的分类
根据误差性质
保留三位有效数字
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二.有效数字的修约规则
被修约的数
≤4 舍
≥6 进
= 5
5后面有不为零的任何数时 5进
5后面无数据或为零
5前为偶数 5舍
5前为奇数 5进
留双
如:150.650 10.2150 16.851
1.修约规则：四舍六如五成双
-----150.6
第13页/共46页
准确度和精密度的关系 准确度表示测量结果的正确性 精密度表示测量结果的重现性 精密度高是保证准确度好的前提。 一般情况下，精密度高，准确度不一定高，精密度不高，准确度不可靠。 在消除系统误差的前提下，精密度好，准确度就高。 理想的测定，既要精密度高，又要准确度高。
02第3章误差与分析数据处理(精)
2
( n1 1) s1 ( n2 1) s2 n1 n2 2
2
f n1 n2 2
SR为合并的标准偏差(pooled standard deviation) 若t计≥t表，则两组平均值间存在显著性差异，反之无显著性 差异。
解：
t
|x μ| s
n
0.1080 0.1075 0.0005
5 2.24
查表 t0.95，4=2.776。因t< t0.95，4, 故平均值与标 准值之间无显著性差异，测定不存在系统误差。测定 结果可靠。
32
(2）两组平均值的比较
当t检验用于两组测定值的比较时，用下式计 算统计量t
Er Er Ea T Ea T
Ea x T 0.002%
100% －0.06 / 62.38 0.1% 100% 0.002 / 0.042 5%
5
3.1.2 偏差与精密度
精密度表示平行测定的结果互相靠近的程度， 一般用偏差表示。 绝对偏差 ：单次测量值与平均值之差
称样质量应大于0.2g
Ea 0.2 mg 0.2 mg
Er 0.1% 1%
4
例1 测定含铁样品中w(Fe), 比较结果的准确度。 A. 铁矿中，
T 62.38%, x 62.32% Ea x T 0.06%
B. Li2CO3试样中,T 0.042%, x 0.044% A. B.
-3 -2 -1 0 f = 1 2 n-1
3 t
26
总体均值的置信区间 —对μ的区间估计
在一定的置信度P下(把握性),
第二章 误差和分析数据处理
2位
2位
2位
(6) 数据的第一位数大于等于 8, 有效数字可多算一 位： 9.55 4位 ; 8.2 3位
37
1.0008 0.1000 0.0382
43181 10.98%
五 位有效数字 四 位有效数字 二 位有效数字 一 位有效数字 位数模糊
1.98×10-10 三 位有效数字
54
0.05
0.0040
度）是精密度常见的别名。
一般例行分析精密度用相对平均偏差表示就
够了，但在科研中要用标准偏差或相对标准偏差
来表示。
18
3、准确度和精密度的关系
x1
x2
x3
x4
19
一般情况下，精密度高，准确度不 一定高。 精密度不高，准确度不可靠。 在消除系统误差的前提下，精密度 好，准确度就高。 精密度高是保证准确度好的前提 精密度好不一定准确度高
答：不可以。 3、系统误差和偶然误差在起因及出现规律方面，有什 么不同？ 答：系统误差是由确定原因引起的，可重复出现，偶然 误差是由不确定原因引起的，遵循一定的统计规律。
7
4、分析测定中系统误差的特点是： A、由一些原因引起的 B、重复测定会重复出现 C、增加测定次数可减小系统误差 D、系统误差无法消除
☆移液管:25.00mL(4);
☆量筒(量至1mL或0.1mL):25mL(2), 4.0mL(2)
34
有效数字的位数与计算相对误差有关
0.5180g
相对误差=± 0.0001/ 0.5180 ×100%=±0.02%
0.518g
相对误差=± 0.001/0.518 ×100%=±0.2%
35
判断有效数字的位数:
第二章
误差及数据处理(精)
(二) 有效数字的整化(或修约) (2) 若 5 后面均为“0”，则看保留下的 末位数是奇数还是偶数。
5 前为奇则进一， 5 前为偶则舍弃。
27.1850 保留四位有效数字 27.18 0.215 保留两位有效数字 0.22
16.4050 保留四位有效数字
(二) 有效数字的整化(或修约) (2) 若 5 后面均为“0”，则看保留下的 末位数是奇数还是偶数。
5 前为奇则进一， 5 前为偶则舍弃。
27.1850 保留四位有效数字 27.18 0.215 保留两位有效数字 0.22
16.4050 保留四位有效数字 16.40
目前，常采用数理统计方法来处理测定数据。 我们将研究对象的全体称为总体；自总体中随 机抽出的一部分样品称为样本；样本的数目称 为样本容量。
(二) 精密度与偏差
样本的标准偏差 S ：
n
(xi x)2
S i1 n1
式中(n－1)称为自由度，用 f 表示
(三) 准确度与精密度的关系
系统误差 (主要来源)
1.当尾数≤4，舍去;当尾数≥6，进位；
0.53664 保留四位有效数字 0.5366
0.58346 保留四位有效数字 0.5835
2.当尾数=5时 (1) 若 5 后还有数字，则应进位
18.06501保留四位有效数字 18.07
(二) 有效数字的整化(或修约) (2) 若 5 后面均为“0”，则看保留下的 末位数是奇数还是偶数。
准确度
偶然误差
精密度
A、B、C、D 四个分析工作者对同一铁标样 （WFe=37.40%)中的铁含量进行测量，得结果如图 示，比较其准确度与精密度。 A
B
C D
36.00 36.50 测量点
如何减小偶然误差
对测定结果的准确度要求较高时，测定次数为10次左右。
※正确表示分析结果：样本平均值 本相对标准偏差Sr），测定次数n。
x ，样本标准偏差S（样
1． 误差的正确定义是（选择一个正确答案）： a 某一测量值与其算数平均值之差；
b 含有误差之值与真值之差； c 测量值与其真值之差： d 错误值与其真值之差。
1.偶然误差的分布规律 当测定次数无限 多，并且消除系统 误差的情况下，偶 然误差的分布符合 正态分布，可用正 态分布曲线表示： 横坐标(u)：偶然误差 纵坐标(y)：误差出现的概率
u
x
2. 偶然误差的分布具有以下性质
(1) 对称性：偶然误差的分布曲线呈对称分
布; 大小相近的正误差和负误差出现的概 率相等。 (2) 单峰性: 小误差出现的概率大，大误差出 现的概率小，很大误差出现的概率极小。误
答：cBiblioteka 2.误差的绝对值与绝对误差是否相同？ 答：不相同。误差的绝对值是 E r 或 E a ， 绝对误差是Ea。
3.常量滴定管（25mL）读数时可估读到±0.01 mL，若要求滴定 的相对误差小于0.1%，在滴定时，耗用体积应控制为多少？
解：∵ 2 0.01 ≤0.1%，∴V≥20mL。答：耗用体积应
若 Q > Q表 舍弃该数据。 （过失误差造成）
若 Q ≤ Q表 保留该数据。 （偶然误差所致）
例：
测定某药物中Co的含量（10-4）得到结果如下： 1.25, 1.27, 1.31， 1.40，
用4d 法和 Q 值检验法判断 1.40 是否保留。
用 Q 值检验法：可疑值 xn
Q计算
xn xn1 1.40 1.31 0.60 x n x1 1.40 1.25
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§1.2偶然误差的处理
在这一节里，我们假定在没有系统误差存在的情况下，来讨论偶然误差问题。
一、测量结果的最佳值——多次测量的平均值
对某一物理量进行测量时，最好进行多次重复测量。
根据多次重复测量的结果，可能获得一个最接近真值的最佳值。
在相同条件下，对某物理量x进行了n次重复测量，其测量值分别
当测量次数无限增多时，根据偶然误差的性质可以证明：该平均值
作为测量的结果。
二、算术平均绝对误差
真值无法得到，误差也就无法估算。
由于平均值是最佳值，可以把它作为近真值来估算误差。
一般定义测量值与平均值之差为“偏差”或“离差”，它们与误差是有区别的。
然而当测量次数很多时，“偏差”会接近误差。
在以下讨论中，不去严格区分“偏差”和误差，把它们统称为误差。
取
量结果表达式可写为
三、标准误差——方均根误差a
在现代实验测量中，通常用标准误差来衡量一组测量值的精密度，标准误差就是均方根误差。
物理量x的标准误差用σx表示，它的定义是：当测量次数无限多时，有
测量次数不可能无限多，根据误差理论，当测量次数有限时，(1-4)式应改写成：
(1-5)式是n次重复测量中单次测量的标准误差，n次测量结果平均
当偶然误差用标准误差来表示时，测量结果应写为
四、相对误差
我们把测量结果及其偶然误差写为x±Δx的形式，其中x是测量值，它可以是一次测量值，也可以是多次测量的平均值；Δx是绝对误差，它可以是一次测量中绝对误差的绝对值，也可以是平均绝对误差或标准误差。
在对同一对象采用不同精度的仪器或测量方法来测量时，Δx能够表示出测量的不同精确度。
但对不同对象进行测量时，却反映不出不同的精确度。
例如，用米尺测量两物体的长度，测量结果为：
x1=100.00±0.05cm，x2=10.00±0.05cm，两者的绝对误差相同，均为0.05cm，但误差点测量值的比例不同，前者的精确度高于后者。
因此，引入相对误差，它可以评价上述两测量结果精确度的差别。
相对误差通常用百分比表示，所以又称为百分比误差。
相对误差E定义为
(1-8)式中的x通常取平均值，也可以用公认值或理论值代替。
例对某电压测量的数据处理(见表1-1)。
表1-1电压的测量
在计算过程中，误差一般取一位且应与测量值的尾位对齐，误差的尾数只进不退。
本例中的偶然误差分别用平均绝对误差、标准误差、平均标准误差来表示时，其对应的测量结果为
U=10.00±0.02V；U=10.00±0.03V；U=10.00±0.02V。
五、间接测量的误差估算
物理实验中的被测量N，往往通过与直接测量量的函数关系计算出来。
我们称N为间接测量量或复合量。
计算间接测量量值时，是将各直接测量量的平均值代入有关函数式求出。
由于各直接测量量的平均值均有误差，因此计算的结果也必然具有一定的误差，这
称为误差的传递，其误差的大小取决于各直测量误差的大小以及函数的具体形式。
设间接测量量与若干个直测量有下述函数关系：
N＝f(x，y，…) (1-9)
x，y，…表示直测量。
对上式求全微分，得：
式中，d x，d y，…和dN都是微小改变量，可以看成是各量值的误差，并分别用Δx，Δy，…和ΔN代替它们，则绝对误差公式表示为
(1-11)式称为函数误差算术传递的基本公式。
将(1-10)式两边平方后略去高阶小项，得
根据(1-11)式和(1-13)式，我们把常用函数的误差算术传递公式和标准误差传递公式列成表1-2以备查用。
表1-2常用函数的误差传递公式
例测得一金属圆柱体的质量m=162.38±0.01g，长度1=39.92±0.01mm、直径d=24.927±0.002mm，求其密度和误差
若题设中的误差为平均绝对误差，用误差算术传递公式：
求得其密度为ρ=(8.335±0.003)g·cm3
若题设中的误差为标准误差，用标准误差传递公式：
求得其密度为ρ=(8.335±0.003)g·cm3。