切线长定理练习题

切线长定理练习题1. 如图，已知AO为Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90∘，ACBC =43，以O为圆心，OC为半径的圆分别交AO，BC于点D，E，连接ED并延长交AC于点F．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求tan∠CAO的值．（3）若⊙O的半径为4，求CFAD的值．2. 如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB // CD，OB=6cm，OC=8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．3. 如图，⊙O的直径AB=2，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙于E，交AM于D，交BN于C．设AD=x，BC=y．（1）求证：AM // BN．（2）探究y与x的函数关系．4. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60∘．（1）求∠BAC的度数；（2）当OA=2时，求AB的长．5. 已知，如图，AB、AC是⊙O得切线，B、C是切点，过BC^上的任意一点P作⊙O的切线与AB、AC分别交于点D、E。

（1）连接OD和OE，若∠A=50∘，求∠DOE的度数．（2）若AB=7，求△ADE的周长．6. 如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．7. 如图，AC是⊙O的直径，∠ACB=60∘，连接AB，分别过A、B作圆O的切线，两切线交于点P，若已知⊙O的半径为1，求△PAB的周长．8. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，M是BC^的中点，OM交⊙O的切线BP于点P．（1）判断直线PC和⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若sin∠BAC=0.8，⊙O的半径为2，求线段PC的长．参考答案与试题解析2019年3月19日初中数学一、解答题（本题共计 8 小题，每题 10 分，共计80分）1.【答案】证明：作OH⊥AB于H．∵OA平分∠CAB，OC⊥BC，OH⊥AB，∴OH＝OC，∴AB是⊙O的切线．∵AC:BC＝4:3，∴可以假设AC＝4k，BC＝3k，则AB＝5k，∵∠ACO＝90∘，∴OC⊥AC，∴AC是⊙O的切线，∵AH是⊙O的切线，∴AH＝AC＝4k，BH＝k，设OC＝r，∴OB＝3k−r，在Rt△OBH中，(3k−r)2＝r2+k2，∴r=43k，∴tan∠CAO=OCAC =43k4k=13，连接CD，∵EC是直径，∴∠EDC＝90∘，∴∠DCF+∠DCO＝90∘，∠DCO+∠CED＝90∘，∴∠DCF＝∠CED，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠ACD，∵∠DAF＝∠CAD，∴△ADF∽△ACD，∴AD2＝AF⋅AC，∵r＝4，∴k＝3，∴AC＝9，OA＝3√10，AD＝3√10−3，∴(3√10−3)2＝9⋅AF，∴AF＝11−2√10，∴CF＝AC−AF＝9−11+2√10=2√10−2，∴CFAD=√10−23√10−3=23．【解析】（1）作OH⊥AB于H．只要证明OH＝OC即可；（2）假设AC＝4k，BC＝3k，则AB＝5k，因为AC是⊙O的切线，AH是⊙O的切线，推出AH＝AC＝4k，BH＝k，设OC＝r，推出OB＝3k−r，在Rt△OBH中，(3k−r)2＝r2+k2，求出r与k关系即可解决问题；（3）想办法求出AD、CF即可解决问题；2.【答案】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；∵AB // CD，∴∠ABC+∠BCD=180∘，∴∠OBE+∠OCF=90∘，∴∠BOC=90∘；（2）由（1）知，∠BOC=90∘．∵OB=6cm，OC=8cm，∴由勾股定理得到：BC=√OB2+OC2=10cm，∴BE+CG=BC=10cm．（3）∵OF⊥BC，∴OF=OB⋅OCBC=4.8cm．【解析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180∘，则有∠OBC+∠OCB=90∘，即∠BOC=90∘；（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．3.【答案】（1）证明：∵AM和BN是⊙O的两条切线，∴AB⊥AD，AB⊥BC ，∴AM // BN．（2）解：作DF⊥BN交BC于F，∵AB⊥AM，AB⊥BN．又∵DF⊥BN，∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90∘，∴四边形ABFD是矩形，∴BF=AD=x，DF=AB=2，∵BC=y，∴FC=BC−BF=y−x；∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE切⊙O于E，∴DE=DA=xCE=CB=y，则DC=DE+CE=x+y，在Rt△DFC中，由勾股定理得：(x+y)2=(x−y)2+22，整理为：y=1x，∴y与x的函数关系为：y=1x．【解析】（1）由AM和BN是⊙O的两条切线，可得AB⊥AD，AB⊥BC，则可证得AM // BN．（2）首先作DF⊥BN交BC于F，可得四边形ABFD是矩形，然后根据切线长定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，则DC=DE+CE=x+y，在直角△DFC中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系．4.【答案】解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，∴AP=BP，∵∠P=60∘，∴∠PAB=60∘，∵AC是⊙O的直径，∴∠PAC=90∘，∴∠BAC=90∘−60∘=30∘．（2）连接OP，则在Rt△AOP中，OA=2，∠APO=30∘，∴OP=4，由勾股定理得：AP=2√3，∵AP=BP，∠APB=60∘，∴△APB是等边三角形，∴AB=AP=2√3．【解析】（1）根据切线长定理推出AP=BP，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠PAB=60∘，求出∠PAO=90∘即可；（2）根据直角三角形性质求出OP，根据勾股定理求出AP，根据等边三角形的判定和性质求出即可．5.【答案】解：（1）连接OB，OC，OD，OP，OE，∵AB，AC，DE分别与⊙O相切，OB，OC，OP是⊙O的半径，∴OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，∴∠OBA=∠OCA=90∘，∵∠A=50∘，∴∠BOC=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘，∵OB⊥AB，OP⊥DE，DB=DP，∴OD平分∠BOP，同理得：OE平分∠POC，∴∠DOE=∠DOP+∠EOP=12(∠BOP+∠POC)=12∠BOC=65∘，（2）∵DB=DP，EP=EC，AB=AC，∴△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DP+EP+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=2AB=14．【解析】（1）连接OB，OC，OD，OP，OE，根据切线的性质和切线长定理得到OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，于是求得∠OBA=∠OCA=90∘，由于∠A=50∘，求出∠BOC=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘，根据OB⊥AB，OP⊥DE，DB=DP，得到OD平分∠BOP，同理得OE平分∠POC，即可得到结论；（2）根据切线长定理得到DB=DP，EP=EC，AB=AC，由等量代换即可得到结果．6.【答案】解：设AF=x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90∘，∴DA⊥AB，∴AD是圆的切线，∵CF是⊙O的切线，E为切点，∴EF=AF=x，∴FD=1−x，∴CF=CE+EF=CB+EF=1+x．∴在Rt△CDF中由勾股定理得到：CF2=CD2+DF2，即(1+x)2=1+(1−x)2，解得x=14，∴DF=1−x=34，∴S△CDF=12×1×34=38．【解析】设AF=x，由切线长定理可得EF=AF=x，则FD=1−x，CF=CE+EF=CB+EF=1+x，利用勾股定理建立方程求出x的值，再根据三角形的面积公式即可求出问题的答案．7.【答案】解：∵PA，PB是圆O的切线．∴PA=PB，∠PAB=60∘∴△PAB是等边三角形．在直角△ABC中，AB=AC⋅sin60∘=2×√32=√3∴△PAB的周长为PA+PB+AB=3√3．【解析】AC是直径，则△ABC是直角三角形，根据三角函数即可求得AB的长，根据切线长定理以及弦切角定理，即可证明△PAB是等边三角形，据此即可求解．8.【答案】解：（1）相切；证明：连接OC；∵点M是弧BC的中点，∴∠BOM=∠MOC；又∵OB=OC，OP=OP，∴△POC≅△POB，∴∠PBO=∠PCO；已知PB是⊙O的切线，即∠PBO=90∘；故∠PCO=∠PBO=90∘，即PC⊥OC；而OC是⊙O的半径，所以PC是⊙O的切线．（2）由圆周角定理知：∠BAC=12∠BOC=∠BOM，∴sin∠BOM=sin∠BAC=0.8；易知：tan∠BOM=43，则PB=OB⋅tan∠BOM=83；∵PC、PB都是⊙O的切线，且切点为C、B，由切线长定理知：PC=PB=83．【解析】（1）连接OC，证OC⊥PC即可，观察图形，可利用全等三角形来求解；已知的等量条件有：OB= OC，OP=OP，而M是弧BC的中点，由圆心角、弧的关系得∠COM=∠BOM，由此可利用SAS判定△POC≅△POB，即可得PC⊥OC，由此得证．（2）首先由圆周角定理可证得∠POB=∠BAC，因此可在Rt△POB中，通过解直角三角形求得PB的长，进而可由切线长定理得到PC的长．。