切线长定理练习题

切线长定理练习题

1. 如图，已知AO为Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90∘，AC

BC =4

3

，以O为圆心，OC为半径的圆分别交

AO，BC于点D，E，连接ED并延长交AC于点F．

（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求tan∠CAO的值．

（3）若⊙O的半径为4，求CF

AD

的值．

2. 如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB // CD，OB=6cm，OC=8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．

3. 如图，⊙O的直径AB=2，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙于E，交AM于D，交BN于C．设AD=x，BC=y．（1）求证：AM // BN．（2）探究y与x的函数关系．

4. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60∘．

（1）求∠BAC的度数；（2）当OA=2时，求AB的长．5. 已知，如图，AB、AC是⊙O得切线，B、C是切点，过BC^上的任意一点P作⊙O的切线与AB、AC

分别交于点D、E。（1）连接OD和OE，若∠A=50∘，求∠DOE的度数．

（2）若AB=7，求△ADE的周长．

6. 如图，边长为1的正方形ABCD的边AB是⊙O的直径，CF是⊙O的切线，E为

切点，F点在AD上，BE是⊙O的弦，求△CDF的面积．

7. 如图，AC是⊙O的直径，∠ACB=60∘，连接AB，分别过A、B作圆O的切线，两切线交于点P，若已知⊙O的半径为1，求△PAB的周长．

8. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，M是BC^的中点，OM交⊙O的切线BP于点P．

（1）判断直线PC和⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若sin∠BAC=0.8，⊙O的半径为2，求线段PC的长．

参考答案与试题解析

2019年3月19日初中数学

一、解答题（本题共计 8 小题，每题 10 分，共计80分）

1.

【答案】

证明：作OH⊥AB于H．

∵OA平分∠CAB，OC⊥BC，OH⊥AB，

∴OH＝OC，

∴AB是⊙O的切线．

∵AC:BC＝4:3，

∴可以假设AC＝4k，BC＝3k，则AB＝5k，

∵∠ACO＝90∘，

∴OC⊥AC，

∴AC是⊙O的切线，∵AH是⊙O的切线，

∴AH＝AC＝4k，BH＝k，设OC＝r，

∴OB＝3k−r，

在Rt△OBH中，(3k−r)2＝r2+k2，

∴r=4

3

k，

∴tan∠CAO=OC

AC =

4

3

k

4k

=1

3

，

连接CD，

∵EC是直径，

∴∠EDC＝90∘，

∴∠DCF+∠DCO＝90∘，∠DCO+∠CED＝90∘，∴∠DCF＝∠CED，

∵OE＝OD，

∴∠OED＝∠ODE＝∠ADF，

∴∠ADF＝∠ACD，

∵∠DAF＝∠CAD，

∴△ADF∽△ACD，

∴AD2＝AF⋅AC，

∵r＝4，

∴k＝3，

∴AC＝9，OA＝3√10，AD＝3√10−3，∴(3√10−3)2＝9⋅AF，

∴AF＝11−2√10，

∴CF＝AC−AF＝9−11+2√10=2√10−2，

∴CF

AD

=√10−2

3√10−3

=2

3

．

【解析】

（1）作OH⊥AB于H．只要证明OH＝OC即可；

（2）假设AC＝4k，BC＝3k，则AB＝5k，因为AC是⊙O的切线，AH是⊙O的切线，推出AH＝AC＝4k，BH＝k，设OC＝r，推出OB＝3k−r，在Rt△OBH中，(3k−r)2＝r2+k2，求出r与k关系即可解决问题；

（3）想办法求出AD、CF即可解决问题；

2.

【答案】

解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；

∵AB // CD，

∴∠ABC+∠BCD=180∘，

∴∠OBE+∠OCF=90∘，

∴∠BOC=90∘；

（2）由（1）知，∠BOC=90∘．

∵OB=6cm，OC=8cm，

∴由勾股定理得到：BC=√OB2+OC2=10cm，

∴BE+CG=BC=10cm．

（3）∵OF⊥BC，

∴OF=OB⋅OC

BC

=4.8cm．

【解析】

（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180∘，则有∠OBC+∠OCB=90∘，即∠BOC=90∘；

（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；

（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．

3.

【答案】

（1）证明：∵AM和BN是⊙O的两条切线，

∴AB⊥AD，AB

⊥BC ，∴AM // BN．

（2）解：作DF⊥BN交BC于F，

∵AB⊥AM，AB⊥BN．

又∵DF⊥BN，

∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90∘，

∴四边形ABFD是矩形，

∴BF=AD=x，DF=AB=2，

∵BC=y，

∴FC=BC−BF=y−x；

∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE切⊙O于E，

∴DE=DA=xCE=CB=y，

则DC=DE+CE=x+y，

在Rt△DFC中，

由勾股定理得：(x+y)2=(x−y)2+22，

整理为：y=1

x

，

∴y与x的函数关系为：y=1

x

．

【解析】

（1）由AM和BN是⊙O的两条切线，可得AB⊥AD，AB⊥BC，则可证得AM // BN．

（2）首先作DF⊥BN交BC于F，可得四边形ABFD是矩形，然后根据切线长定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，则DC=DE+CE=x+y，在直角△DFC中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系．4.

【答案】

解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，

∴AP=BP，

∵∠P=60∘，

∴∠PAB=60∘，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠PAC=90∘，

∴∠BAC=90∘−60∘=30∘．

（2）连接OP，则在Rt△AOP中，OA=2，∠APO=30∘，

∴OP=4，

由勾股定理得：AP=2√3，∵AP=BP，∠APB=60∘，

∴△APB是等边三角形，

∴AB=AP=2√3．

【解析】

（1）根据切线长定理推出AP=BP，根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠PAB=60∘，

求出∠PAO=90∘即可；

（2）根据直角三角形性质求出OP，根据勾股定理求出AP，根据等边三角形的判定和性质求出即可．5.

【答案】

解：（1）连接OB，OC，OD，OP，OE，

∵AB，AC，DE分别与⊙O相切，OB，OC，OP是⊙O的半径，

∴OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，

∴∠OBA=∠OCA=90∘，

∵∠A=50∘，

∴∠BOC=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘，

∵OB⊥AB，OP⊥DE，DB=DP，

∴OD平分∠BOP，

同理得：OE平分∠POC，

∴∠DOE=∠DOP+∠EOP=1

2

(∠BOP+∠POC)=1

2

∠BOC=65∘，

（2）∵DB=DP，EP=EC，AB=AC，

∴△ADE的周长=AD+DE+AE

=AD+DP+EP+AE

=AD+BD+AE+EC

=AB+AC

=2AB=14．

【解析】

（1）连接OB，OC，OD，OP，OE，根据切线的性质和切线长定理得到OB⊥AB，OC⊥AC，OP⊥DE，DB=DP，EP=EC，AB=AC，于是求得∠OBA=∠OCA=90∘，由于∠A=50∘，求出

∠BOC=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘，根据OB⊥AB，OP⊥DE，DB=DP，得到OD平分∠BOP，同理得OE平分∠POC，即可得到结论；

（2）根据切线长定理得到DB=DP，EP=EC，AB=AC，由等量代换即可得到结果．

6.

【答案】

解：设AF=x，

∵四边形ABCD是正方形，