空间向量的应用----求空间角与距离

空间向量的应用----求空间角与距离

一、考点梳理

1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考查常规解题方法的同时，更多地关注向量法（基向量法、坐标法）在解题中的应用。坐标法（法向量的应用），以其问题（数量关系：空间角、空间距离）处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后的高考中，还会继续体现法向量的应用价值。

2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下：

1)求直线和直线所成的角

若直线AB 、CD 所成的角是α，cos α=|,cos |>

AB |

|||CD AB CD AB =

2).利用法向量求线面角

设θ为直线l 与平面α所成的角，ϕ为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角，则有2

π

ϕθ=

-或2

π

ϕθ=

+。

特别地0ϕ=时， 2

π

θ=

，l α⊥；2

π

ϕ=

时，0θ=，l α⊂或l α。计算公式为：

||sin cos ||||

v n v n θϕ==

或

||

sin sin()cos (0)2||||||||

v n v n v n v n v n πθϕϕ=-=-=-=<

3).利用法向量求二面角

设1n 、2n 分别为平面α、β的法向量，二面角l αβ--的大小为θ，向量1n 、2n 的夹角为ϕ，则有θϕπ+=或θϕ=。

计算公式为：

4).利用法向量求点面距离

如图点P 为平面外一点，点A 为平面内的任一点，平面的法向量为n ,过点P 作平面α的垂线PO ，记∠OPA=θ，则点P 到平面的距离

θ

cos ||||PA PO d ==

5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面

间的距离，以及平行平面间的距离等。其一，这三类距离都可以转化为点面间的距离；其二，

异面直线间的距离可用如下方法操作：在异面直线上各取一点A 、B ，AB 在n 上的射影长即

为所求。n 为异面直线AD 、BC 公共垂直的方向向量，可由0n AD ⋅=及0n BC ⋅=求得，

其计算公式为：

||||

n AB d n =

。其本质与求点面距离一致。

向量是新课程中引进的一个重要解题工具。而法向量又是向量工具中的一朵厅葩，解题方法新颖，往往能使解题有起死回生的效果，所以在学习中应起足够的重视。

二、范例分析

例1 已知ABCD 是上、下底边长分别为2和6，3将它沿对称轴1

OO n α

A P

O

θ

折成直二面角，如图所示，（1）证明：1AC BO ⊥；（2）求二面角1O AC O --

的大小。

分析：题干给出一个直二面角和一条对称轴1OO ，易知1OO OB ⊥，1OO OA ⊥，故有着明显的建系条件；另外给出梯形的边长、高，则各点坐标较易求得。用坐标法求解，可避开二面角的寻找、理推等困挠，只需先求面与面OAC 的法向量，再用公式计算便可。

第（1）问的作用在于证明1O B ⊥面OAC ，也就找到了一个法向量；而面1O AC 的法向量可用由0n AC ⋅=及10n O C ⋅=求得，只是解出x 、y 、z 关系后，对z 的取值要慎重，可先观察二面角的大小是锐角、直角，还是钝角。

解：（1）证明：由题设知1OO OA ⊥、1OO OB ⊥，所以AOB ∠是所折成的直二面角的平面角，即OA OB ⊥。故可以O 为原点，OA 、OB 、1OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标第，如图，则相关各点的坐标是：

(3,0,0)A ，(0,3,0)B ，(0,1,3)C ，1(0,0,3)O ，从而，(3,1,3)AC =-1(0,3,3)BO =-，

13330AC BO ⋅=-+⨯=，即1AC BO ⊥。

（2）解：因为103330C BO ⋅=-+⨯=，所以

1OC BO ⊥。

由（1）1AC BO ⊥，所以1BO ⊥平面OAC ，1BO 是平面OAC 的一个法向量。

设(,,)n x y z =是平面1O AC 的一个法向量，由10330

00n AC x y z y n O C ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩

⎩ 取3z =，得(1,0,3)n =。

设二面角1O AC O --的大小为θ，由n 、1BO 的方向可知1,n BO θ=<>， 所以1113

cos cos ,4

||||

n BO n BO n BO θ=<>=

=

，即二面角1O AC O --的大小是3arccos

4

。 感悟：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎淡化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。

（2）利用坐标法求解和距离，关键是有明显或较为明显的建系条件，从而建立适当的空间直角坐标系——尽可能多地使空间的点在坐标轴上或坐标平面内，正确表达已知点的坐标。

在立体几何数量关系的解决中，法向量的运用可以使问题简单化，其难点在于掌握和应用法向量解决空间解和距离求法的常用技巧与方法，特别是体会其中的转化和思想方法。

例2．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，