计量经济学与stata——第一章

1 回归的本质
计量经济学的一般模型：
y = F(β, X ) +ε
E[ε ] = 0 E[εε ′] = σ 2Ω
回归是计量经济学的核心，理解回归的本质，对于掌握计量经济的理论与方
法至关重要。回归的本质用语言来描述其实很简单，就是：
对于一组随机变量 y 和 X ，如果 y 和 X 存在特定的关系，为分析 y 和 X 之
随机变量 y 和 X 的所有取值（即总体），来得到真实的 β 。
基于这两点，真实的模型形式 F (β , X ) 和 β 无法得到，只能利用估计方法和
样本数据去尽可能得到与真实 F (β , X ) 和 β 偏差或者误差最小的 Fˆ (β , X ) 和 βˆ ，
即
min E[( y − Fˆ (βˆ, X ))]2
dY
dY
2）平均消费倾向（APC） C 随着收入的增加而减少。 Y
对应的计量经济模型为：
C =α + βY +ε
（3）
模型的假设： 0 < β < 1，α > 0
如果现在从历史记录中或者观察到n个样本，通俗的说就是n套 C 和Y 的数
据，即（ Ct ，Yt ）， t = 1, 2,", n ，于是有如下一组方程：
2.1 统计关系与确定性关系...............................................................................................3 2.2 回归关系、相关关系与因果关系...............................................................................4 2.3 术语与符号...................................................................................................................4 2.4 数据类型.......................................................................................................................4 2.5 计量经济学的估计框架...............................................................................................5 2.6 经典计量经济学的方法论...........................................................................................5
3
讨论的是变量为确定性变量之间的关系（ C = α + βY + ε 讨论的是不是确定性变 量的关系？）。
2.2 回归关系、相关关系与因果关系
回归关系与因果关系：尽管回归分析所研究的是因变量与自变量之间的相依关 系，但这种依赖关系并不是指这些变量之间具有因果关系。计量经济学分析的关 系只是统计意义上的关系。硬要扯上“因果“，计量经济学中多指Granger因果 关系。因果关系需要理论经济学家或者经济规律来确定。 回归关系与相关关系：所谓相关是指两个变量之间线性关联程度的度量，在线 性代数中，相关是对共线性的度量，计量经济学的相关与这一概念一致。而回归 分析的目的不仅是研究变量之间的相关性，重要的是，通过模型能揭示经济变量 之间的相互影响（相依性），其目的之一是在给定自变量的条件下，预测因变量 所对应的均值。
好的估计。最小二乘法能够使得这个标准达到最小，OLS的最小化标准见附录。
总体回归曲线 E(Ci /Yi ) =α + βYi
样本回归曲线 Cˆi = αˆ + βˆYi
Cn C4
C3
来自百度文库
C2 Cˆ2
e2
ε2
C1
Y1
Y2
Y3 Y4
Yn
图 1-1 OLS 回归本质的图示解
2 计量经济学的一些基本概念和术语
2.1 统计关系与确定性关系
2.3 术语与符号
以下对变量的称号，在大量的文献中常出现，不同的研究对象和不同的研究
目的，导致对变量的称号不同，但其基本含义是一致的。
因变量 Dependent variable
解释变量 Explanatory variable
被解释变量 Explained variable 自变量 Independent variable
5
7. 预测； 8. 利用模型进行控制或制定政策。
以上的步骤并不一定循序而进，也非绝对缺一不可，而是经典计量经济方法
论的主要内容。以下仍以凯恩斯消费理论为例来说明上述方法过程。
1.陈述凯恩斯消费理论：人们的收入增长导致消费增长，但消费增长没有收 入增长得快，即边际消费倾向小于 1。
2.设定消费的数理经济学模型：凯恩斯消费理论仅陈述了收入和消费这两个 变量之间的正相关关系，但没有给出具体的函数形式。数理经济学所给出的关系
3 Stata简单介绍.........................................................................................................8 4 第一章附录：.........................................................................................................8
4.1 诺贝尔经济学奖与计量经济学...................................................................................8 4.2 相关数学基础.............................................................................................................14 4.3 本章相关数学证明.....................................................................................................19
⎧ C1 = α + βY1 + ε1 ⎪⎪⎨⎪C"2"= "α +"β"Y2"+"ε2 ⎪⎩Cn = α + βYn + εn
（4）
关键的问题是：如何找到一个对参数α 和 β 的“好”的估计，使模型（3）
能尽可能准确的描述消费与收入的关系？
总体回归（也可称为真实的回归）是 E(Ci / Yi ) = α + βYi 。 假设现在已有一个估计αˆ 和 βˆ ，那么对于 n 个样本中的第 i 项数据点的估计
理解回归的例子：凯恩斯消费函数、OLS、一元线性回归（双变量回归）
凯恩斯消费函数是一个典型的一元线性回归模型，根据凯恩斯的经济理论，
消费和收入存在密切的联系，如果用 C 表示消费，Y 表示收入，则最简单与最常
见的凯恩斯消费函数理论模型可表示为：
C =α + βY
（2）
函数满足以下条件：
1
1）边际消费倾向 β （MPC） dC 位于 0 和 1 之间，即 0 < dC < 1 ；
被预测变量 Predict variable 预测元 Predictor
被回归因子 Regress variable 回归元 Regressor
响应变量 Response variable 控制变量 control variable
内生变量 Endogenous variable 外生变量 Exogenous variable
ei 通常成为残差。
进而可得：
（7）
2
Ci = α + βYi + εi = αˆ + βˆYi + ei
对任何一对估计值αˆ 和 βˆ ，残差平方和是：
（8）
n
n
∑ ∑ ei2 = (Ci − αˆ − βˆYi )2
i =1
i =1
（9）
使得这个残差平方和最小的估计αˆ 和 βˆ ，即是在现有数据下对参数α 和 β 最
由前述，计量经济学的核心内容是回归分析，回归分析所讨论的是随机变量 ，因此回归分析讨论的是随机变量之间的相依性，随机变量之间的相依性即为统 计关系。与之不同的是变量间的确定性关系，如数学里变量 x 和 y 之间的某种函
数关系， y = f (x) （例如：圆面积 = f (π ,半径) = π ⋅半径2 ），这种确定性关系所
（1）
使得（1）成立的 Fˆ (β , X ) 即是 y 对于 X 的条件数学期望：
Fˆ (βˆ, X ) = E[ y / X ]
注：从参数估计的角度来说，对于不同的估计方法，比如OLS（最小二乘估计法）、
MLE（最大似然估计法）、GMM（矩估计或广义矩估计法），最小化均方误差的 表述不尽相同，但本质是一样的。
理论
计量经济学
应用
经典
非经典
抽样估计框架
贝叶斯估计框架
图 2-1 计量经济学的分类与估计框架
2.6 经典计量经济学的方法论
一般而言，经典计量经济学方法论仍支配着经济学的实证或应用，以及其它 的社会科学和行为科学。经典计量经济方法论包括以下几个方面：
1. 陈述经济学理论或感兴趣的假设； 2. 设定表述经济学理论的数理经济学模型； 3. 设定相应的计量经济学模型（或统计模型）； 4. 采集数据； 5. 估计计量经济模型的参数； 6. 基于所估计的模型进行假设检验；
2.5 计量经济学的估计框架
一般而言，计量经济学可以分为理论计量经济学和应用计量经济学，理论计 量经济学是以方法论为主要内容的方法论，而应用计量经济学则以方法论和应用 相融合而形成主要内容，而且方法论尽量简化。以抽样分析为主的计量经济学称 为经典计量经济学，而以贝叶斯分析为主要方法论的计量经济学称为非经典计量 经济学。如
第一章 引言
目录
1 回归的本质.............................................................................................................1 2 计量经济学的一些基本概念和术语.....................................................................3
4
（2）横截面数据（cross section data）。横截面数据即是对一个或多个变量 在同一个时间对于多个对象所观测或记录的数据，如人口普查，不同的省同时在 一个时点上记录的人口数量、性别、受教育程度、年龄等就构成一个横截面数据。
（3）时间序列和横截面数据混合的数据（panel data），即纵向为时间序列 数据，横向为不同的对象，这一类数据称为Panel或Pooling数据。
间的相互影响，或用 X 去预测 y ，需要知道 y 和 X 的模型形式以及模型中参数 β
的值，但是，由于——
1、正确的模型形式 y = F (β , X ) 未知，只能尽可能去逼近它（注：这涉及经
济理论模型及模型设定的问题）。
2、即使假定模型的形式 y = F (β , X ) （不包括 β ）已被确定，也不可能穷尽
2.4 数据类型
（1）时间序列数据（time series data）：对某个变量连续或不连续观测或 记录的数据，如每日的股票价格，每年的收入和消费，每年的GDP等，计量经济 学一般使用有规则的观测数据，如每天，年，季等。还有一些变量用来定义分类， 如性别、工作或失业，受教育程度是大学毕业或非大学毕业等，这一类变量称为 分支变量或分类变量，根据分类的多少，分为二分支或多分支变量。基于时间序 列数据建立的计量经济学称为时间序列计量经济学
可写为：
Cˆi = αˆ + βˆYi 式（5）也称作对 E(Ci / Yi ) 的估计。
与第 i 项数据点相联系的随机干扰项可表示为： εi = Ci − E(Ci / Yi )
8 εi = Ci −α − βYi 则随机干扰项的一个估计就是：
（5） （6）
ei = Ci − Cˆi 8
ei = Ci − αˆ − βˆYi