计算器的在最小二乘法中的应用方法
(完整版)最小二乘法
的关系吗？
提示 对于单变量样本数据而言，平均数是样本数据的中 心，类似地，对于双变量样本数据，假设样本点为(x1，y1)， (x2，y2)，…，(xn，yn)，记－x ＝n1(x1＋x2＋…＋xn)，－y ＝n1(y1 ＋y2＋…＋yn)，则(－x ，－y )为样本点的中心，回归直线一定 过这一点．
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i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 yi 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3 xiyi 1.8 5.6 6.4 12 12.6 11.4 12.6 14.7 17.6 23
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2．回归直线方程求解的方法步骤 根据最小二乘法的思想和公式，利用计算器或计算机，可 以方便地求出回归方程． 求线性回归方程的步骤： 第1步：列表xi，yi，xiyi；
第 2 步：计算－x ，－y ，
第3步：代入公式计算b，a的值； 第4步：写出回归方程y＝a＋bx. 利用回归直线对总体进行估计：
利用回归直线，我们可以进行预测．若回归方程为y＝bx
＋a，则x＝x0处的估计值为：y＝bx0＋a.
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题型一 求线性回归的方程
【例1】 某地10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下 表：
年收入 x(万元)
2 4 4 6 6 6 7 7 8 10
年饮食支出 y(万元) 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3
（x1－－x ）（y1－－y ）＋（x2－－x ）（y2－－y ）＋…＋（xn－－x ）（yn－－y ） （x1－－x ）2＋（x2－－x ）2＋…＋（xn－－x ）2
最小二乘法
4.最小二乘法线性拟合我们知道，用作图法求出直线的斜率a 和截据b ，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据处理方法，求出的a 和b 误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a 和截据b 是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX 关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a 和b 。
显然，关键是如何求出最佳的a 和b 。
(1) 求回归直线设直线方程的表达式为：bx a y += (2-6-1)要根据测量数据求出最佳的a 和b 。
对满足线性关系的一组等精度测量数据（x i ，y i ），假定自变量x i 的误差可以忽略，则在同一x i 下，测量点y i 和直线上的点a+bx i 的偏差d i 如下：111bx a y d --=222bx a y d --=n n n bx a y d --=显然最好测量点都在直线上（即d 1=d 2=……=d n =0），求出的a 和b 是最理想的，但测量点不可能都在直线上，这样只有考虑d 1、d 2、……、d n 为最小，也就是考虑d 1+d 2+……+d n 为最小，但因d 1、d 2、……、d n 有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d 1|+|d 2|+……+ |d n |又不好解方程，因而不可行。
现在采取一种等效方法：当d 12+d 22+……+d n2对a 和b 为最小时，d 1、d 2、……、d n 也为最小。
取（d 12+d 22+……+d n 2）为最小值，求a 和b 的方法叫最小二乘法。
令 ∑==ni idD 12＝2112][i i ni ni ib a y dD --==∑∑== (2-6-2)D 对a 和b 分别求一阶偏导数为：][211∑∑==---=∂∂ni i n i i x b na y a D][21211∑∑∑===---=∂∂ni i n i i n i i i x b x a y x b D 再求二阶偏导数为：n a D 222=∂∂； ∑==∂∂n i i x b D 12222 显然： 0222≥=∂∂n a D ； 021222≥=∂∂∑=n i i x b D 满足最小值条件，令一阶偏导数为零：011=--∑∑==ni i ni ix b na y(2-6-3)01211=--∑∑∑===ni i ni i ni ii x b x a yx (2-6-4)引入平均值： ∑==ni i x n x 11； ∑==n i i y n y 11；∑==n i i x n x 1221； ∑==ni i i y x n xy 11则： 0=--x b a y02=--x b x a xy （2-6-5） 解得： x b y a -= （2-6-6）22xx y x xy b --=（2-6-7）将a 、b 值带入线性方程bx a y +=，即得到回归直线方程。
计算器的使用
计算器的使用计算器是一种常见的电子设备，用于进行数学运算。
它可以快速准确地完成各种复杂的计算，大大提高了人们的工作效率和生活质量。
在本文中，我们将探讨计算器的使用方法，以及如何充分利用计算器来解决各种数学问题。
一、计算器的基本功能现代计算器通常具有基本算术运算（加、减、乘、除）功能，以及多种复杂运算功能，如平方、开方、百分比、三角函数等。
首先，我们需要了解计算器上各个按键的功能以及对应的符号和操作方法。
不同型号的计算器可能会有略微的差异，请详细阅读使用手册以了解具体操作方法。
二、基本运算的操作方法在进行基本运算时，我们首先需要输入数字。
通过计算器上的数字键盘，依次按下相应的数字键即可输入数字。
输入完毕后，我们可以通过运算符号键选择所需的运算符，例如加号、减号、乘号和除号等。
接下来，再次输入数字，并按下等号键，计算器将会自动完成相应的运算，并在显示屏上显示结果。
三、复杂运算的操作方法对于复杂运算，如平方、开方、百分比和三角函数等，我们需要使用计算器上的特殊功能键。
以求平方根为例，我们需要先输入欲开方的数字，然后按下开方键（通常是一个根号符号），再按下等号键即可得到平方根的结果。
类似地，其他复杂运算也都有相应的功能键，使用方法大体相同。
四、注意事项在使用计算器时，有几个注意事项需要我们特别留意。
首先，要注意输入数字时的准确性，特别是在输入长数字串或小数时要仔细核对。
其次，在进行复杂运算时，需要确认所输入的数字和运算符号的位置是否正确，以免得到错误的结果。
最后，要定期更换计算器的电池，以确保其正常工作。
五、计算器的应用范围计算器的使用范围非常广泛，几乎可以应用于所有需要进行数学计算的领域。
在日常生活中，我们可以使用计算器计算购物总价、还贷款的利息等。
在学习和工作中，计算器可以帮助我们解决各种繁琐的数学问题，提高计算的准确性和速度。
六、计算器的进一步发展随着科技的不断发展，计算器也在不断更新换代。
现代计算器不仅具备更强大的计算能力，还融入了更多的应用功能，例如单位换算、公式推导等。
小学数学计算器的使用
小学数学计算器的使用计算器是一种用于进行数学计算的工具。
在小学数学学习中，学生们可以通过使用计算器来辅助他们完成一些复杂的数学计算。
在正确的指导下，使用计算器可以提高小学生的计算效率和准确性。
下面将介绍一些小学数学计算器的使用方法。
一、认识计算器首先，学生们需要认识计算器的各个按键和功能。
计算器通常有数字按键、运算符按键、清除按键等。
数字按键用于输入数字，运算符按键用于进行四则运算和其他数学运算，清除按键用于清除输入的内容。
二、加法和减法的使用使用计算器进行加法和减法的计算非常简单。
只需要按照计算顺序依次输入数字和运算符即可。
比如计算3+5，首先输入3，然后按加号（+）键，最后输入5，再按等号（=）键，计算器会显示结果。
三、乘法和除法的使用乘法和除法在小学数学中也是常见的运算。
使用计算器进行乘法和除法的计算也非常简单。
比如计算3×5，首先输入3，然后按乘号（×）键，最后输入5，再按等号键，计算器会显示结果。
同样的，计算10÷2，首先输入10，然后按除号（÷）键，最后输入2，再按等号键，计算器会显示结果。
四、括号的使用有时候在计算过程中需要用到括号，计算器也能很好地支持括号的输入和计算。
比如计算2×（3+4），首先输入2，然后按乘号键，接下来按左括号键（（），然后输入3，再按加号键，接着输入4，最后按右括号键（）），再按等号键，计算器会显示结果。
五、小数和分数的使用在小学数学中，小数和分数的概念也需要学生了解和应用。
使用计算器进行小数和分数的计算也很简单。
比如计算1.5+2.3，首先输入1.5，然后按加号键，接下来输入2.3，最后按等号键，计算器会显示结果。
同样的，计算1/2+2/3，首先输入1，然后按除号键，接下来输入2，再按加号键，接着输入2，最后按除号键，再输入3，最后按等号键，计算器会显示结果。
六、检查计算结果使用计算器进行数学计算时，有时候会输入错误，或者计算结果有误。
几种软件在物理实验数据处理中的应用比较
上 画好 等 间距 的纵横 直线 ， 以相交点 为 数据测 定点 ， 数据输 入计 算机 ， 由事 先 编好 的 Ｍ Ｔ Ａ． Ｌ Ｂ程序 加 以处 理 ， Ａ 直接得 到导 电玻璃 表 面 电势 的分 布 图和 等势 线 及 电 力线 。 文献 － 利 ３ ｊ
几 种 软 件在 物 理 实 验 数 据 处 理 中的应 用 比较
原 安 娟 王 吉有
（ 京 工 业 大 学 ， 京 ，００２ 北 北 １０２ ） 摘 要 本 文 对 几 种 常 用 于 物 理实 验 数 据 处 理 软 件 的 功 能 和 在 数 据 处 理 中 的 应 用进 行 了说 明 ， 比 较 了它 们 之 间 的不 同 之 处 ， 结 了 各 个 软 件 的 优 缺 点 和 适 用 对 象 ， 相 关 并 总 为 人 员 选 择 适 用 的软 件 提 供 了参 考 意见 。 关 键 词 软 件 ； 据 处 理 ； 理 实 验 数 物
在 大 学物理 实验 中 ， 用最 小二 乘法 处理 实 验数据 ， 常使用 计算 器 的统计 功能 来 间 常 通 接计 算 ， 计算 量大 ， 极易 出现 按键错 误 ， 且不 方 便 核查 核对 ， 时费 力 ， 时也 无 法 找 出误 耗 同 差较 大甚 至错 误 的数据 点 。文献 】 中以复 摆 实验 为例 ， Ｍａａ 用 ｔｂ语 言编 写 程 序 文件 ： ｓ ｌ ｌｙ ｘ
数据 的 图示 ， 些工 作 可 以利 用 高版本 Ｅ ｃｌ 这 ｘ ｅ 中的 内置工 作表 函数得 到 很方便 地 解决 。
２ １ 辅 助分 析 ， 现粗 差数 据 的剔除 ． 实
高中高三数学《最小二乘法》教案、教学设计
a.作业难度适中，既要涵盖基础知识的巩固，也要涉及一定程度的拓展和提高。
b.鼓励学生在完成作业过程中，积极思考、主动探究，培养解决问题的能力。
c.注重培养学生的数学表达和写作能力，要求学生在解题报告中清晰阐述思路和方法。
3.作业布置要求：
a.学生按时完成作业，保持字迹工整，书写规范。
3.介绍相关系数的概念和意义，通过实例讲解，让学生理解相关系数如何衡量两个变量之间的线性关系。
4.针对本节课的重点和难点，采用举例、讲解、练习等多种教学方法，帮助学生理解和掌握最小二乘法。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，每组选择一个实际问题，如身高与体重的关系、温度与用电量的关系等，运用最小二乘法进行分析。
b.鼓励学生在完成作业时，互相讨论、交流，共同解决问题。
c.教师在批改作业时，要关注学生的解题过程，及时发现学生的错误和薄弱环节，并进行针对性的指导。
4.作业评价：
a.作业评价以鼓励为主，关注学生的进步，提高学生的自信心。
b.对于学生在作业中表现出的创新思维和优秀成果，教师要给予充分肯定和表扬。
c.针对学生在作业中的共性问题，教师要及时进行讲解和辅导，确保学生掌握本节课的内容。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.最小二乘法的推导及其在实际问题中的应用是本章节的教学重点。学生需要理解最小二乘法的原理，掌握其计算步骤，并能运用该方法解决实际问题。
2.相关系数的理解和计算是教学难点。学生对相关系数的概念及其在实际问题中的应用容易产生混淆，需要教师进行详细讲解和引导。
3.数学建模能力的培养是本章节的另一个重点。学生需要学会从实际问题中抽象出数学模型，运用最小二乘法求解，并分析结果。
计算器的使用与技巧
计算器的使用与技巧计算器是一种常见的电子设备，被广泛应用于各行各业。
无论是在学习、工作还是日常生活中，计算器都可以帮助我们进行各种数值计算和数据处理。
本文将为大家介绍使用计算器的一些基本技巧和注意事项。
一、基本操作与功能1.1 打开与关闭计算器将计算器的电源开关调至“ON”位置即可打开计算器。
通常，在不使用计算器时，建议将电源开关调至“OFF”位置，以节省电池电量并延长电池使用寿命。
1.2 四则运算计算器最基本的功能之一就是进行四则运算。
通过按下数字键、加减乘除符号键和等号键，可以轻松进行加法、减法、乘法和除法运算。
例如，要计算3加5等于几，只需按下“3 + 5 =”即可得出结果。
1.3 百分比计算计算器可以非常方便地进行百分比计算。
要计算一个数的百分之几，只需将该数乘以百分数，然后按下等号键即可得出结果。
例如，要计算100的30%，只需输入“100 × 30 =”。
1.4 括号计算在复杂的数学运算中，括号的使用可以改变运算顺序。
计算器同样支持括号计算。
要进行括号计算，只需按下左括号键、输入相应的运算式，再按下右括号键即可。
例如，要计算(3 + 5) × 2，只需输入“（3+ 5）× 2 =”。
二、高级操作与技巧2.1 科学计数法科学计数法是一种用于表示非常大或非常小的数的方法。
计算器可以方便地进行科学计数法的运算。
要输入一个科学计数法，可以使用“EE”键（表示10的幂）。
例如，要输入3×10^5，可以输入“3 × 10 EE5 =”。
2.2 统计与数据处理除了基本的四则运算，计算器还可以进行统计和数据处理。
一些高级的计算器具备统计功能，可以计算均值、标准差等统计指标。
此外，还可以使用计算器进行数据排序、查找和删除等操作。
2.3 单位转换一些计算器具备单位转换功能，可以进行长度、重量、温度等单位之间的转换。
通过输入数值和原始单位，再选择目标单位，计算器可以迅速完成单位转换计算，非常便捷。
计算器每个键的使用方法
计算器每个键的使用方法计算器是一种用于进行数学运算的小型电子设备。
它通常包含一系列按钮，每个按钮对应一个特定的数学运算或功能。
下面是一些常见的计算器按钮和它们的使用方法：1.数字键：计算器通常有0到9的数字键，用于输入数字。
按下相应的数字键即可输入该数字。
2.小数点键：小数点键用于输入小数。
按下小数点键即可在数字中插入一个小数点。
3.加法键（+）：加法键用于执行加法运算。
按下加法键后，输入第一个数字，再按下“=”键输入第二个数字，计算器将显示两个数字的和。
4.减法键（-）：减法键用于执行减法运算。
按下减法键后，输入第一个数字，再按下“=”键输入第二个数字，计算器将显示两个数字的差。
5.乘法键（x）：乘法键用于执行乘法运算。
按下乘法键后，输入第一个数字，再按下“=”键输入第二个数字，计算器将显示两个数字的乘积。
6.除法键（÷）：除法键用于执行除法运算。
按下除法键后，输入第一个数字，再按下“=”键输入第二个数字，计算器将显示两个数字的商。
7.百分号键（%）：百分号键用于计算百分数。
按下百分号键后，输入一个数字，然后按下“=”键，计算器将显示该数字的百分之一8.平方根键（√）：平方根键用于计算一个数字的平方根。
按下平方根键后，输入一个数字，然后按下“=”键，计算器将显示该数字的平方根。
9.正负号键（+/-）：正负号键用于改变一个数字的正负。
按下正负号键后，输入一个数字，然后按下“=”键，计算器将显示该数字的相反数。
10.清除键（C）：清除键用于清除计算器的输入。
按下清除键后，计算器将清除所有已输入的数字和运算符。
11. 删除键（Del）：删除键用于删除已输入的最后一个字符。
按下删除键后，计算器将删除最后一个输入的数字或运算符。
12.等于键（=）：等于键用于执行计算，并显示结果。
按下等于键后，计算器将按照已输入的数字和运算符进行运算，并显示结果。
13.存储键（M+、M-、MR、MC）：存储键用于存储和检索计算器中的数值。
初中数学七年级上册《用计算器进行运算》参考教案
七年级上册《用计算器进行运算》教学目标：1．会使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算. 2．经历运用计算器探求规律的活动，发展合情推理能力.3．能运用计算器进行实际问题的复杂运算.教学重点与难点:重点：利用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算.难点：用计算器探求规律的活动.教法与学法指导：教法：引导探究法．学法：师生合作，自主交流.教学准备：教师制作的课件．教学过程：一、创设情境，激发兴趣师：同学们，大家都去过超市吧？它每天都有很多顾客，当顾客推着满满一车物品去付款时，营业员总是能在很短的时间内告诉他应该付多少钱，为什么营业员会算得那么快呢，你知道吗？生：他们用计算器计算的.师：对，今天这节课我们就来一起学习用“计算器计算”.（出示课题）【设计意图】感受数学无处不在，感受科学技术的重要性，激发学生的好奇心.二、学习用计算器计算问：你了解计算器吗？今天假如你是一位计算器的推销员，你打算怎样向大家介绍你手中的这款计算器的构造？（同桌之间相互说一说后再全班交流）生（边指边说）：这是显示器，下面是键盘，有数字键，运算符号键和功能键，它们是用不同的颜色来表示的.【设计意图】不同型号的计算器的功能和操作方法也不完全相同，因此在使用前一定要先看使用说明书.但对于一些简单的操作，方法还是相同的，开机按ON/C关机按OFF.用计算器计算问：同学们利用手中的计算器计算表中的算式，同位看看结果是否一样，同时注意按键顺序.任务按键顺序结果41.9×(－0.6) 41.9?()-0.6=－25.1412 12x4= 2.0736我们的结果是一样的.例用计算器计算：（3.2－4.5）×23-25师：现在请你们同桌之间说说你是怎样用计算器计算器这两道题的.（同桌交流）生1：我是仿照上面的例子（3.2－4.5）×23-25，计算器显示的结果为－12110按S D ? 键切换到小数格式19.16666667.这是一个近似数. 师：这两位同学计算的结果非常正确，通过计算这两题，我们可以发现，用计算器计算时只要从左往右依次按键就可以了.如果要转化成小数可以按S D ?键.现在我们要来比一比谁算的最快，请准备好生：我是这样操作的，先按0键，再按小数点，再依次按0、9、2，再按“÷”再按1.15再按“×”再按25，最后按“=”，结果是2.【设计意图】培养学生的动手操作能力，体验科学计算器操作简便，快捷高效的优越性，通过对简单运算的尝试操作，归纳和发现科学计算器的按键顺序与手写算式的顺序保持一致，从而培养学生的发现能力和耐心、细心，一丝不苟的学习习惯．练习：做一做我有一个易拉罐它的高为10cm ，半径2.5cm ，我列的算式为π×22×10，由于π取3.14，所以我计算的结果为125.6和商标上的数据一样．师：（拿起易拉罐看了看）这位同学做的非常好，同学们掌声鼓励．【设计意图】激发学生的求知欲，培养学生的学习兴趣，陶冶学生的数学情感，通过身边的事例说明数学源于生活．3.巩固练习：用计算器计算12.236÷（－2.3）和书本上的习题【设计意图】熟悉计算器上有关按键的功能,掌握按键的操作顺序,体验计算器强大的计算功能,感受数学程序思想,通过做一做的活动,进一步熟练计算器的操作,使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去，从而改变学生的学习方式．用计算器探索规律师：了解了计算工具的作用，并能用计算器进行计算，那么计算器还有没有其他的作用呢，下面我们就来一起探索.课件出示利用计算器计算，观察结果的结构特征，写出一个猜想，再用计算器验证.今天同学们表现都很棒结果正确，通过这组练习你们有什么体会？生：计算器还可以帮助我们探索规律.师：看来计算器的作用还真不小.【设计意图】激发学生的学习兴趣，培养学生开拓创新的精神.5.辨证地看待计算器的使用师：最后我们来一次比赛，分两组：一组用计算器，一组用笔算.愿意用计算器的请举手先出示：3+7= 2×5= 25×4= 198+2=再出示：28042+13208= 172×56= 25144÷449=师：从这次比赛中，你有什么感想？生：对于一些可以直接看出结果的题目如果用计算器计算会比较慢，而对于一些大数目的计算用计算器比较好.因此，在实际应用时我们应该根据需要合理使用计算器，不可过分的依赖计算器来计算.【设计意图】培养了学生用辩证的思想去看问题.三、课堂小结今天这节课我们学习了用计算器计算，你有什么体会？你觉得我们今天的学习对你有用吗，能不能说说？培养学生有条理地阐述自己观点的表达能力，提高学生的参与意识四、布置作业必做题：课本第73页知识技能第1题.选做题：课本第73页问题解决第2、3、4题.板书设计教学反思：在教学中发现，学生的动手能力很强，操作熟练快捷，获悉按键功，所以教师应该放心的让学生去操作发现按键功能，不必教师讲解，而且教师讲解远比不上学生自己实践的效果好，但应注意的是学生发现按键功能后教师要及时总结，条理地展示给学生，便于学生记忆，熟悉各键的功能.学生体验到用科学计算器处理复杂计算的优越性后，必然会产生对计算器的依赖心理，在今后的学习过程中，学生离不开计算器的现象普遍存在，影响了笔算、心算的学习，所以在本节课后，应随时控制计算器的使用，教育学生不能处处使用计算器，而应按学习要求，适当使用计算器.由于计算器的型号不同，所以使用方法步履，只要求学生熟悉计算器的使用方法即可．。
最小二乘法一阶线性拟合二阶曲线拟合的C语言程序实现
一、最小二乘法原理与计算方法
对于 m 组测量数据，选取
( x) a0 a1 x a2 x 2
二、1 阶 2 阶拟合功能子函数和计算表达式
通过分析以上系数计算式中各项计算式，写出全部需要用到的子函数：
通过对照系数表达式里各个项的计算表达，写入主函数进行拟合计算。设定输入的数据格式为（x[ i ]，y[ i ]） ，用 户输入数据的个数为 c，计算表达式程序代码如下： 1 阶直线拟合：
2 阶曲线拟合：
三、主函数代码
四、用 MATLAB 验证程序的运行结果
第一组：选择 y=x+1 进行线性拟合检验，可见 2 阶拟合对于线性关系，二次项系数为 0
第二组：选择 y=x^2+1入部分的设计参考了[物理实验计算器.
Zhouzb .
zhouzb889＠]的部分代码，在此表示感谢。
m n i
当 n=1 时，为 1 阶拟合，又称直线拟合，即系数矩阵是一个 2*2 的矩阵，通过线性方程的求解运 算，求得线性回归方程的系数表达式为：
当 n=2 时，为 2 阶曲线拟合，所得到的系数矩阵是一个 3*3 的矩阵【用 aij（i，j=1,2，……）的 形式表达】 ，通过线性方程的求解运算，求得线性回归方程的系数表达式为：
智能仪器设计作业——最小二乘法——高世浩 1223150078
x
i 1 m
m
i
x
i 1
2 i
x
i 1
m
n 1 i
m x yi 0 i 1 i 1 m m n 1 x x y i 1 i i i 1 i 1 m m n xin yi xi2 n i 1 i 1
最小二乘法应用举例
补充材料1 实验数据的处理（上接教材第二章，p.19）注意：（1）用最小二乘法计算斜率k 和截距b 时，不宜用有效数字的运算法则计算中间过程，否则会有较大的计算误差引入。
提倡用计算器计算，将所显示的数值均记录下来为佳。
（2）如果y 和x 的相关性好，可以粗略考虑b 的有效位数的最后一位与y 的有效数字最后一位对齐，k 的有效数字与y n -y 1和x n -x 1中有效位数较少的相同。
（3）确定有效位数的可靠方法是计算k 和b 的不确定度。
直线拟合的不确定度估算：（以b kx y +=为例） 斜率k 和截距b 是间接测量物理量，分别令测量数据的A 类和B 类不确定度分量中的一个分量为零，而求得另一个分量比较简单，最后将两个分量按直接测量的合成方法求出合成不确定度，这种方法被称为等效法。
可以证明，在假设只有y i 存在明显随机误差的条件下（且y 的仪器不确定度远小于其A 类不确定度），k 和b 的不确定度分别为：∑∑-=nx xS S i iyk 22)(∑∑∑∑-==2222)(iiiyikb x x n xS nxS S式中，S y 是测量值y i 的标准偏差，即2)(222---=-=∑∑n b kx yn S i iiy ν根据上述公式即可算出各个系数（斜率k 和截距b ）的不确定度值，初看上去计算似乎很麻烦，但是利用所列的数据表格，由表中求出的那些累加值∑即可很容易算得。
最小二乘法应用举例应用最小二乘法处理物理量的测量数据是相当繁琐的工作，容易出现差错。
因此，工作时要十分细心和谨惯。
为便于核对，常将各数据及计算结果首先表格化。
例：已知某铜棒的电阻与温度关系为：t R R t ⋅+=α0。
实验测得7组数据（见表1）如下：试用最小二乘法求出参量R 0、α 以及确定它们的误差。
表 1此例中只有两个待定的参量R 0和α，为得到它们的最佳系数，所需要的数据有n 、ix 、iy、∑2ix、∑2iy和∑iiyx 六个累加数，为此在没有常用的科学型计算器时，通过列表计算的方式来进行，这对提高计算速度将会有极大的帮助（参见表2），并使工作有条理与不易出错。
Python语言在牛顿环实验数据处理中的应用
Python语言在牛顿环实验数据处理中的应用赵昆涛【摘要】牛顿环实验是大学物理中非常重要的一个实验,但是在实验中需要读取的数据比较多,数据处理的过程很费时间而且容易出错.为此使用Python语言编写了一个图形界面的数据处理程序,分别使用逐差法和绘图法处理实验数据,可以方便地获得最终的计算结果,节省处理数据的时间.并可对结果可视化,帮助理解实验结果.本文采用了一次实验课中对读数显微镜读取的数据作为例子,演示了本程序的使用方法,介绍了数据处理的过程,并且对两种数据处理的方法进行比较.【期刊名称】《物理与工程》【年(卷),期】2016(026)004【总页数】4页(P83-85,91)【关键词】Python;牛顿环;数据处理【作者】赵昆涛【作者单位】华北理工大学冀唐学院,河北唐山 063300【正文语种】中文牛顿环最早被牛顿所发现，是一种典型的光的等厚干涉现象.将一块曲率半径很大的平凸透镜凸面放在一块玻璃平板上，用单色光照射，就可以观察到一些明暗相间的同心圆环，并且距离圆心越远圆环越窄，这些圆环就是牛顿环.牛顿环实验是大学物理必做的光学实验，通过测量牛顿环的直径，利用逐差法可以计算平凸透镜的曲率半径R［1-3］:该实验需要测量几十个读数，还需要计算出相应环的直径，并代入式（1）计算，面对如此大的计算量，无论是手算还是使用计算器都很繁琐，难免会出错，进而影响物理实验的学习效果.为此设计了一个基于Python的图形界面数据处理程序，只要将读出的数据填入对应表格，点击按钮即可快速计算出所需结果.在众多编程语言中，之所以使用Python编写，是因为Python作为一种跨平台的高级编程语言，既具备了传统编程语言功能强大的特点又不失脚本语言的简单易用，使它一直稳居编程语言排行榜前列.同时Python提供了丰富的标准库（模块）来实现各种功能［4-7］.本文中主要是以Py Qt模块设计图形用户界面，用NumPy 模块和SciPy模块进行相关计算，用matplotlib模块可视化处理结果.Py Qt是一组与Python绑定的Qt应用程序框架，包含六百多个类，广泛用于图形用户界面的开发，可以运行在包括Windows、MacOS和Linux等多种操作系统平台下［8］.NumPy是Python中用于科学计算的基本模块，它可以提供强大的N维数组对象，继承C/C++和Fortran代码工具，具有线性代数，傅里叶变换，以及随机数等多种工具包，能保证足够快的计算速度.SciPy包含线性代数、积分、插值、特殊函数、统计、常微分方程求解等工具包，可以进行高效的科学计算.Matplotlib是Python最常用的二维绘图库，可以生成多种格式的高质量图表.参照文献［2］中的表格，设计出图形界面，其中n环取第8至17环，m环取第18～27环，界面设计效果如图1.用户可以直接在空格处填写相应的读数，也可以点击导入数据按钮导入特定格式的数据文件.然后点击计算按钮即可计算牛顿环直径和透镜的曲率半径.数据处理的流程为，首先计算牛顿环的直径D，即X右X左，再计算直径平方差，然后按式（1）计算平凸透镜凸面的曲率半径R，最后计算不确定度.由不确定度的定义可得其中A类不确定度为因为B类不确定度Uj无法用统计的方法确定，需要其他信息来估计，所以本程序中只计算了A类不确定度Uj.最终的计算结果如图2.计算曲率半径除了可以用逐差法，还可以用绘图法:以环数j为横轴，直径平方D2为纵轴建立坐标系，将实验数据描点，然后对数据点做线性拟合，计算直线的斜率k.由公式D2j=4Rλk，根据线性拟合出的斜率k即可求出凸透镜凸面的曲率半径R ［9-11］.本文中使用最小二乘法进行数据拟合，Python的科学计算库SciPy中的leastsq 模块可以实现最小二乘法的拟合［12］.选取拟合函数为直线y=a+bx，根据已知的自变量x数列和因变量y数列的值，就可以求出a和b的值，代码如下:使用Matlablib将数据点和拟合结果绘制出来如图3.由图3和图2可以看出，两种方法的结果完全吻合，在这次实验中最小二乘法计算结果的A类不确定度比逐差法要大，但是与逐差法相比绘图法的结果更直观更容易理解.本文设计了一个图形界面的实验数据处理程序，能快速、高效、准确地获得结果，可以避免手算出现错误，使学生将主要精力放在实验的操作和牛顿环本身物理意义的理解上，不需要耗费大量时间进行计算，能显著提高学生学习兴趣，充分调动学生实验的积极性和主动性.【相关文献】［1］王文福，税正伟.大学物理学［M］.北京:科学出版社，2011.［2］张志东，魏怀鹏，展永.大学物理实验［M］.北京:科学出版社，2011.［3］李平.牛顿环实验数据处理方法的回顾与讨论［J］.物理与工程，2002，12（02）:31-33. ［4］沈殊璇，薄亚明.适合于科学计算的脚本语言Python［J］.微计算机应用，2002，23（05）:289-291.［5］丘恩.Python核心编程［M］.北京:人民邮电出版社，2008.［6］吴迪，张星海.Python在热敏电阻测量实验数据处理中的应用［J］.大学物理实验，2013，26（05）:97-100.［7］张若愚.Python科学计算［M］.北京:清华大学出版社，2012.［8］Summerfield，M.Rapid GUI Programming with Python and Qt［M］.New Jersey:Prentice Hall，2007.［9］徐红，宋蓓，王海军，等.牛顿环曲率半径测量的多种数据处理方法［J］.延安大学学报:自然科学版，2014，33（04）:26-30.［10］周新亮，刘应开.用数值计算的方法研究面光源的牛顿环干涉及干涉条纹的可视化［J］.大学物理实验，2013，26（01）: 65-69.［11］徐海英，唐曙光，阚彩侠，等.逐差法和Origin7.0软件在牛顿环实验数据处理中的比较［J］.大学物理实验，2015，28（01）:99-100.［12］Mc Kinney，W.Python for Data Analysis［M］.California: OReilly Media，2012.。
手摇计算器使用简要说明
16、大摇手档板：为销住大摇手之用，将它向前扳动，大摇手即可取出。
加 法 运 算
例题：454+383+495=1332
1、将报数器向左移足，加减钮揿下，清除报数器上及揿数盘上剩余数字，开始运算。
2、在揿数盘上看到第一个被加数为三位数字，即从第三位揿数钮起，自左至右，依次揿下454，大摇手顺摇一转，下字码为454，上字码为黑色“1”。
(三)、求第二位平方根
第一位平方根求出后，就在揿数盘上的原数加“1”，将报数器向左移一位，此时揿数盘上的个位是与下字码上第二节数字的末位在一条垂直线的位次，然后在揿数盘个位数上按“1”(不论连进几位均同于个位上加“1”)，倒摇一转，以后再继续每次于个位加“2”倒摇，此时上字码上的数字就是所求的第二位平方根。
(15)清数揿钮
01、上字码：是表示乘数、商数和次数之用，共十位。当演算乘法时此处显示出来的数字为乘数，其色黑；运算除法时，此处显示出来的数字为商数，其色红；运算加减法时，显示出来的数字为次数，即表示有几个数相加或相减的表示。
02、下字码：是表示和数、差数、积数和余数等之用，共有二十位。下字码和上字码是报数器的主要组成部分。当运算加法时，此处显示出来的为和数；运算减法时为差数；运算乘法时为积数；运算除法时为余数。
03、数字揿钮小数指针：为四则运算时数字定位之用，它的正确位置应处于两个揿钮的中间。
04、揿数钮：为四则运算时按置加数被加数、减数被减数、乘数被乘数、除数被除数之用。为了便于识别数字位数，避免差错，揿数钮有两种颜色，从右手起第一、二列表示小数，第三、四、五列表示个位、十位、百位数，第六、七、八列表示千位、万位、十万位数，最后二列表示百万、千万位数。
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最小平方法在回归分析和趋势预测中的应用
最小平方法在回归分析和趋势预测中的应用最小平方法，又称最小二乘法。
其方法的计算依据是利用算术平均数的数学性质，在我们介绍算术平均数的数学性质时，有两条性质分别是：一、各个变量值与平均数的离差之和等于零，用表达式表示即0)(=-∑x x ；二、各个变量值与平均数的离差平方之和为最小值，用表达式表示为最小值=-∑2)(x x 。
这两条数学性质已证明过，我们把它们应用到回归分析和趋势预测中来。
回归分析和时间序列趋势预测中，主要是为求得回归方程或趋势方程，但在求得方程的参数时，就要用到上面的两条数学性质。
最小平方法的数学依据是实际值(观察值)与理论值(趋势值)的离差平方和为最小。
据此来拟合回归方程或趋势方程。
1、利用最小平方法拟合直线回归方程拟合直线回归方程的主要问题就在于估计待定参数a 和b 之值，而用最小平方法求出的回归直线是原有资料的“最佳”拟合直线。
假设直线回归方程为：bx a y c +=，其中a 是直线的截距，b 是直线的斜率，称回归系数。
a 和b 都是待定参数。
将给定的自变量x 之值代入上述方程中，可求出估计的因变量y 之值。
这个估计值不是一个确定的数值，而是y 许多可能取值的平均数，所以用c y 表示。
当x 取某一个值时，y 有多个可能值。
因此，将给定的x 值代入方程后得出的c y 值，只能看作是一种平均数或期望值。
配合直线方程的具体方法如下：∑=-=最小值2)(c y y Q (1) 用直线方程bx a y c +=代入式(1)得：最小值=--=∑2)(bx a y Q (2) 分别求Q 关于a 和Q 关于b 的偏导，并令它们等于0：⎪⎩⎪⎨⎧=---=∂∂=---=∂∂∑∑0))((20)1)((2x bx a y b Q bx a y a Q整理后得出由下列两个方程式所组成的标准方程组：⎩⎨⎧+=+=∑∑∑∑∑2x b x a xy xb na y (3)根据已知的或样本的相应资料x 、y 值代入式(3)，可求出a 和b 两个参数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑∑∑∑∑∑n x b n y a x x n y x xy n b 22)( (4)只要把a 和b 两个参数代入c y ，就可得到直线回归方程bx a y c +=。
8 最小二乘估计2014-2-27
yi
1 4 9 16 25 36 49 64 204
xi
2
xiyi
1 8 27 64 125 216 343 512 1296
1 4 9 16 25 36 49 64 204
从而我们利用最小二 乘估计时，已经失去 了意义，你认为问题 出在哪里呢？
从题目中可看出提供 的数据满足 ， 图像应为曲线方程，而 用最小二乘法进行估计 时得出是线性方程。
散点 (2)应用：利用最小二乘法估计时，要先作出数据的______ 散点图 呈现出线性关系，可以用最小二乘法估 图．如果_______ 散点图 呈现出其他的曲线关系， 计出线性回归方程；如果_______
我们就要利用其他的工具进行拟合．
2．线性回归方程 x1＋x2＋„＋xn y1＋y2＋„＋yn － － 如果用 x 表示 ，用 y 表示 ， n n
1.利用最小二乘估计时，要先作出数据的散点 图，利用散点图观察数据是否具有线性关系。
2.散点图呈现线性关系时，利用最小二乘法估 计出线性回归方程。
3.直线拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现 其他的规律时，我们也可以利用其他的曲线 进行拟合。
• 课后作业
课本第70页的 第8题 复习题一 A组
•谢谢！
回归直线方程求解的方法步骤
根据最小二乘法的思想和公式，利用计算器或计算机，可 以方便地求出回归方程．
求线性回归方程的步骤：
第1步：列表xi，yi，xiyi；
第 2 步：计算－ x ，－ y ，等；
第3步：代入公式计算b，a的值；
第4步：写出回归方程y＝a＋bx.
利用回归直线对总体进行估计： 利用回归直线，我们可以进行预测．若回归方程为y＝bx ＋a，则x＝x0处的估计值为：y＝bx0＋a.
实验五 地磁场测定e
实验五 地磁场测定一．概述地磁场作为一种天然磁源，在军事、航空、航海、工业、医学、探矿等科研中有着重要用途。
本仪器采用新型坡莫合金磁阻传感器测量地磁场的重要参量，通过实验可以掌握磁阻传感器定标以及测量地磁场水平分量和磁倾角的方法，了解测量弱磁场的一种重要手段和实验方法，本仪器与其他地磁场实验仪(如正切电流计测地磁场实验仪)相比具有以下优点：1．实验转盘经过精心设计，可自由转动，方便地调节水平和铅直。
内转盘相隔 180，具有两组游标，这样既提高了测量精度，又消除了偏心差。
2．新型磁阻传感器的灵敏度高达50V/T ，分辨率可达8710~10--T ，稳定性好。
用本仪器做实验，便于学生掌握新型传感器定标，及用磁阻传感器测量弱磁场的方法，测量地磁场参量准确度高；3．本仪器不仅可测地磁场水平分量，而且能测出地磁场的大小与方向，这是正切电流计等地磁场实验仪所不能到达的。
本仪器可用于高校、中专的根底物理实验、综合性设计性物理实验及演示实验。
二．仪器技术要求1．磁阻传感器 工作电压 6V ，灵敏度50V/T 2．亥姆霍兹线圈 单只线圈匝数N=500匝，半径10cm. 3．直流恒流源 输出电流0—200.0mA 连续可调 4．直流电压表 量程0—5．测量地磁场水平分量不确定度小于3% 6．测量磁倾角不确定度小于3% 7．仪器的工作电压AC 220±10V 三．仪器外型FD-HMC-2型 磁阻传感器与地磁场实验仪(以下实验讲义和实验结果由复旦大学物理实验教学中心提供)一．简介地磁场的数值比拟小，约510-T 量级，但在直流磁场测量，特别是弱磁场测量中，往往需要知道其数值，并设法消除其影响，地磁场作为一种天然磁源，在军事、工业、医学、探矿等科研中也有着重要用途。
本实验采用新型坡莫合金磁阻传感器测量地磁场磁感应强度及地磁场磁感应强度的水平分量和垂直分量；测量地磁场的磁倾角，从而掌握磁阻传感器的特性及测量地磁场的一种重要方法。
最小二乘法
• 他研究父亲们的身高与儿子们的身高之间 的关系时，建立了回归分析法。
名师点睛
1．回归直线方程的应用 (1)描述两变量之间的依存关系；利用线性回归方程即可 定量描述两个变量间依存的数量关系． (2)利用回归方程进行预测或规定y值的变化，通过控制x的 范围来实现目标．如已经得到了空气中NO的浓度和汽车 流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中 的NO的浓度． (3)注意作回归分析要有实际意义，回归分析前，最好先 作出散点图，确定合适的拟合模型．
最小二乘法
It is applicable to work report, lecture and teaching
自学导引
1．最小二乘法
(1)定义：如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)， 可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y＝a＋bx的接近 程度： _[y_1_－__(_a_＋__b_x_1)_]_2＋__[_y_2_－__(a_＋__b_x_2_)_]2_＋__…__＋__[_y_n－__(_a_＋__b_x_n_)]_2. 使得上式达到_最__小__值__的直线y＝a＋bx就是我们所要求的直 线，这种方法称为_最__小__二__乘__法__．
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
(1)画出散点图； (2)求线性回归方程； (3)关于加工零件的个数与加工时间，判断其是否线性相 关，再利用最小二乘法求其回归方程． [解题流程] 画散点图 → 是否线性相关 → 求线性回归方程 → 预测
从而得到回归直线方程为y＝0.800＋0.172x.
最小二乘法在回归分析和趋势预测中的应用
最小二乘法在回归分析和趋势预测中的应用最小平方法，又称最小二乘法。
其方法的计算依据是利用算术平均数的数学性质，在我们介绍算术平均数的数学性质时，有两条性质分别是：一、各个变量值与平均数的离差之和等于零，用表达式表示即（XX）0；二、各个变量值与平均数的离差平方之和为最小值，用表达式表示为（xX）最小值。
这两条数学性质已证明过，我们把它们应用到回归分析和趋势预测中来。
回归分析和时间序列趋势预测中，主要是为求得回归方程或趋势方程，但在求得方程的参数时，就要用到上面的两条数学性质。
最小平方法的数学依据是实际值（观察值）与理论值（趋势值）的离差平方和为最小。
据此来拟合回归方程或趋势方程。
1、利用最小平方法拟合直线回归方程拟合直线回归方程的主要问题就在于估计待定参数a和b之值，而用最小平方法求出的回归直线是原有资料的“最佳”拟合直线。
假设直线回归方程为：yc a bx，其中a是直线的截距，b是直线的斜率，称回归系数。
a和b都是待定参数。
将给定的自变量x之值代入上述方程中，可求出估计的因变量y之值。
这个估计值不是一个确定的数值，而是y许多可能取值的平均数，所以用yc表示。
当X取某一个值时，y有多个可能值。
因此，将给定的看作是一种平均数或期望值。
配合直线方程的具体方法如下：x值代入方程后得出的yc值，只能Q (y y c)2最小值(1)用直线方程yca bx代入式⑴得：Q (y a bx)2最小值(2)分别求Q关于a和Q关于b的偏导，并令它们等于0:Q2(y a bx)( 1) 0a. 2(y a bx)( x) 0b整理后得出由下列两个方程式所组成的标准方程组：y n a b x xy a x b x2(3)根据已知的或样本的相应资料x、y值代入式（3），可求出a和b两个参数:回归方程。
譬如二次曲线回归方程,y ca bx2cx。
其中有三个待定系数,要设立三个方程求解。
用上述同样的思维，能得到如下的标准方程组:y na b x c . 2xy a x b x22.3x y ax b x2x 3 c x4c x这样也能求解a 、b 、c三个参数。