文科数学-平面向量专题复习
2023年高考数学(文科)一轮复习——平面向量的数量积及平面向量的应用
第3节 平面向量的数量积及平面向量的应用考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).3.已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ结论 符号表示 坐标表示模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角 cos θ＝a ·b|a ||b | cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0|a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤（x 21＋y 21）（x 22＋y 22）1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )(4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等.2.已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，4)，则(a －b )·a ＝( ) A.－14 B.－4C.4D.14答案 B解析 由题意得a －b ＝(－1，－3)， 则(a －b )·a ＝－1－3＝－4.3.已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A.－3B.－2C.2D.3答案 C解析 因为BC→＝AC →－AB →＝(3，t )－(2，3)＝(1，t －3)，所以|BC →|＝12＋（t －3）2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC→＝2×1＋3×0＝2. 4.(2022·江南名校模拟)已知平面向量a ，b ，满足|a |＝|b |＝1，若(2a －b )·b ＝0，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6B.π4C.π3D.2π3答案 C解析 由(2a －b )·b ＝0，可得a ·b ＝12b 2＝12. 设向量a ，b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12.又θ∈[0，π]，所以向量a ，b 的夹角为π3.5.已知AB→＝(－1，2)，点C (2，0)，D (3，－1)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________；向量CD →在AB →方向上的投影为________.答案 －322 －355解析 因为CD →＝(1，－1)，向量AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD→|＝－322，同理CD→在AB →方向上的投影为AB →·CD →|AB→|＝－355.6.(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 由题意得c ＝(3，1)＋(k ，0)＝(3＋k ，1).又a ⊥c ，所以a·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.考点一 向量数量积的基本概念及运算1.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a －b )等于( ) A.2 B.－1C.－6D.－18答案 D解析 由题意知cos 〈a ，b 〉＝sin 17π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π3＝－sin π3＝－32，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3，b ·(2a －b )＝2a ·b －b 2＝－18.2.若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝( ) A.0B.4C.－92D.－172答案 D解析 由题意得(2k －1)×1－4×k ＝0，解得k ＝－12，即m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，所以m ·n ＝－2×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×1＝－172.3.(2020·北京卷)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12()AB →＋AC →，则|PD →|＝__________；PB →·PD →＝__________. 答案5 －1解析 法一 ∵AP →＝12(AB →＋AC →)， ∴P 为BC 的中点.以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0，2)，P (2，1)， ∴|PD→|＝（2－0）2＋（1－2）2＝ 5.易得PB→＝(0，－1)，PD →＝(－2，1)， ∴PB →·PD →＝(0，－1)·(－2，1)＝－1.法二 如图，在正方形ABCD 中，由AP→＝12(AB →＋AC →)得点P 为BC 的中点，∴|PD→|＝12＋22＝ 5.PB →·PD →＝PB →·(PC →＋CD →)＝PB →·PC →＋PB →·CD →＝－PB →2＋0＝－1. 感悟提升 解决向量数量积的运算问题的三个思路(1)直接使用定义(已知两个向量的模与夹角)或利用数量积的坐标公式求解. (2)把两个向量各自用已知的向量表示，再利用运算律和定义计算.(3)建立平面直角坐标系，把求解的两个向量用坐标表示，再利用坐标计算法，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 考点二 向量数量积的性质及应用 角度1 夹角与垂直例1 (1)已知向量a ＝(1，1)，2a ＋b ＝(4，2)，则向量a ，b 的夹角为( )A.π3B.π6C.π4 D.π2(2)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A.a ＋2b B.2a ＋b C.a －2bD.2a －b答案 (1)C (2)D解析 (1)设向量a 和b 的夹角为θ，因为a ＝(1，1)，2a ＋b ＝(4，2)，所以b ＝(4，2)－2(1，1)＝(2，0)，所以cos θ＝a·b |a ||b |＝（1，1）·（2，0）2×4＋0＝22.又0≤θ≤π，所以θ＝π4.(2)易知a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12，则b ·(a ＋2b )＝52≠0，b ·(2a ＋b )＝2≠0， b ·(a －2b )＝a ·b －2b 2＝－32≠0，b ·(2a －b )＝0. 因此b ⊥(2a －b ). 角度2 平面向量的模例2 (1)(2022·南昌模拟)设x ，y ∈R ，a ＝(x ，1)，b ＝(2，y )，c ＝(－2，2)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|2a ＋3b －c |＝( ) A.234B.26C.12D.210(2)已知a ，b 是单位向量且a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值是________.答案 (1)A (2)2＋1解析 (1)因为a ⊥c ，所以a ·c ＝－2x ＋2＝0，解得x ＝1，则a ＝(1，1). 因为b ∥c ，所以4＋2y ＝0，解得y ＝－2， 则b ＝(2，－2)，所以2a ＋3b －c ＝(10，－6)，则|2a＋3b－c|＝234.(2)法一由a·b＝0，得a⊥b.如图所示，分别作OA→＝a，OB→＝b，作OC→＝a＋b，则四边形OACB是边长为1的正方形，所以|OC→|＝ 2.作OP→＝c，则|c－a－b|＝|OP→－OC→|＝|CP→|＝1.所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，|OP→|取得最大值2＋1.故|c|的最大值是2＋1.法二由a·b＝0，得a⊥b.建立如图所示的平面直角坐标系，则OA→＝a＝(1，0)，OB→＝b＝(0，1).设c＝OC→＝(x，y)，由|c－a－b|＝1，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上.所以|c|max＝2＋1.法三易知|a＋b|＝2，|c－a－b|＝|c－(a＋b)|≥||c|－|a＋b||＝||c|－2|，由已知得||c|－2|≤1，所以|c|≤1＋2，故|c|max＝2＋1.感悟提升 1.两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，若a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.2.若题目给出向量的坐标，可直接运用公式cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22求解.没有坐标时可用公式cos θ＝a·b|a||b|.研究向量夹角应注意“共起点”，注意取值范围是[0，π].3.向量模的计算主要利用a2＝|a|2，把向量模的运算转化为数量积运算，有时借助几何图形的直观性，数形结合，提高解题效率.训练1 (1)(2022·太原质检)已知平面向量a＝(4，－2)，b＝(1，－3)，若a＋λb与b 垂直，则λ＝()A.－2B.2C.－1D.1(2)已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝3，则|e1－e2|＝________.答案(1)C(2)1解析(1)∵a＋λb与b垂直，∴(a＋λb)·b＝a·b＋λb2＝4＋6＋10λ＝0，解得λ＝－1.(2)法一由|e1＋e2|＝3，两边平方，得e21＋2e1·e2＋e22＝3.又e1，e2是单位向量，所以2e1·e2＝1，所以|e1－e2|2＝e21－2e1·e2＋e22＝1，所以|e1－e2|＝1.法二 如图，设AB →＝e 1，AD →＝e 2，又e 1，e 2是单位向量，所以|AB →|＝|AD →|＝1，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，连接AC ，BD ，所以AC →＝e 1＋e 2，DB →＝e1－e 2，因为|e 1＋e 2|＝3，即|AC →|＝3，所以∠ABC ＝120°，则∠DAB ＝60°，所以|DB →|＝1，即|e 1－e 2|＝1.考点三 平面向量的综合应用 角度1 平面向量与平面几何例3 (1)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形D.等腰直角三角形(2)已知A ，B 是半径为2的⊙O 上的两个点，OA →·OB →＝1，⊙O 所在平面上有一点C 满足|OA→＋OB →－OC →|＝1，则向量OC →的模的取值范围是________. 答案 (1)A (2)[6－1，6＋1]解析 (1)因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，所以CB →·(AB →＋AC →)＝0，即CB →⊥(AB →＋AC→)，所以△ABC 的中线和底边垂直，所以△ABC 是等腰三角形. (2)以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，A (2，0).由OA →·OB→＝1，|OA →|＝|OB →|＝2，得∠AOB ＝π3，于是B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，62，设C (x ，y )，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3222＋⎝⎛⎭⎪⎫y －622＝1.问题转化求圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3222＋⎝⎛⎭⎪⎫y －622＝1上一点到原点距离的取值范围. 原点到圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫322，62的距离为6，又圆的半径为1，所以|OC →|的取值范围为[6－1，6＋1].角度2 平面向量与解三角形例4 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ， sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c .解 (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，0<C <π， 所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m ·n ＝sin C . 又m ·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12. 又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3.(2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ， 由正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB→－AC →)＝18， 所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36，所以c ＝6.感悟提升 1.以平面几何为载体的向量问题有两种基本解法：(1)基向量法：恰当选择基底，结合共线定理、平面向量的基本定理进行向量运算. (2)坐标法：如果图形比较规则，可建立平面直角坐标系，把有关点与向量用坐标表示，从而使问题得到解决.2.解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题.训练2 (1)在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是BC 的中点，P 是线段AD 上一动点，则AP →·CP →的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0C.[－1，0]D.[－1，1](2)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE ＝2EA ，AD 与CE 交于点O .若AB →·AC →＝6AO →·EC→，则AB AC的值是________.答案 (1)B (2) 3解析 (1)画出图形如图所示，分别以DC ，DA 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，故A (0，3)，C (1，0). 设P (0，t )(t ∈[0，3])，则AP →·CP →＝(0，t －3)·(－1，t )＝t 2－3t . 根据二次函数的性质可知，当t ＝0或t ＝3时，AP →·CP →取得最大值0，当t ＝32时，AP →·CP →取得最小值，为⎝ ⎛⎭⎪⎫322－3×32＝－34，故AP →·CP →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0.故选B.(2)法一 如图，过点D 作DF ∥CE 交AB 于点F ，由D 是BC 的中点，可知F 为BE 的中点.又BE ＝2EA ，则知EF ＝EA ，从而可得AO ＝OD ，则有AO →＝12AD →＝14(AB →＋AC →)，EC →＝AC→－AE →＝AC →－13AB →， 所以6AO →·EC→＝32(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →－13AB → ＝32AC →2－12AB →2＋AB →·AC →＝AB →·AC →，整理可得AB →2＝3AC →2，所以AB AC ＝ 3.法二 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示.设E (1，0)，C (a ，b )， 则B (3，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32，b 2.⎭⎬⎫l AD ：y ＝ba ＋3x ，l CE：y ＝b a －1（x －1）⇒O ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34，b 4. ∵AB →·AC →＝6AO →·EC→，∴(3，0)·(a ，b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34，b 4·(a －1，b )， 即3a ＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋3）（a －1）4＋b 24，∴a 2＋b 2＝3，∴AC ＝3，∴AB AC ＝33＝ 3.极化恒等式一、极化恒等式1.极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]极化恒等式表示平面向量的数量积运算可以转化为平面向量线性运算的模，如果将平面向量换成实数，那么上述公式也叫“广义平方差”公式.2.极化恒等式的几何意义：平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即a ·b ＝14(|AC |2－|BD |2). 3.极化恒等式的三角形模式：在△ABC 中，若M 是BC 的中点，则AB →·AC →＝AM →2－14BC →2.二、极化恒等式的应用 1.求数量积例1 设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a·b 等于( ) A.1B.2C.3D.5答案 A解析 ∵a·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14×(10－6)＝1，∴a·b ＝1. 2.求最值例2 如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴，y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC →·OB→的最大值是________.答案 2解析 如图，取BC 的中点M ，AD 的中点N ，连接MN ，ON .则OC →·OB→＝OM →2－14. 因为OM ≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32， 当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号， 所以OC →·OB →的最大值为2. 3.求模长例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A.1B.2C. 2D.22答案 C解析 设OA→⊥OB →，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， D 为线段AB 的中点，显然OD →＝a ＋b 2，|DC →|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12，上式表明，DC →是 有固定起点，固定模长的动向量，点C 的轨迹是以22为半径的圆，因此，|c |的最大值就是该轨迹圆的直径 2. 4.求数量积最值(或取值范围)例4 (2022·郑州调考)已知等边△ABC 内接于圆O ：x 2＋y 2＝1，且P 是圆O 上一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最大值是( ) A. 2B.1C. 3D.2答案 D解析 设D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，易知|DM→|＝34， 则P A →·(PB →＋PC →)＝2 P A →·PD → ＝2×14[(P A →＋PD →)2－(P A →－PD →)2] ＝12[(2PM →)2－(2DM→)2] ＝2(PM→2－DM →2)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫PM →2－916， 当点P 在AD 的延长线与圆的交点处时，|PM →|max＝54，所以P A →·(PB →＋PC→)≤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2516－916＝2.故选D.1.在等腰三角形ABC 中，点D 是底边AB 的中点，若AB →＝(1，2)，CD →＝(2，t )，则|CD→|＝( )A. 5B.5C.2 5D.20答案 A解析 由题意知AB →⊥CD →，∴1×2＋2t ＝0，∴t ＝－1，∴|CD→|＝22＋（－1）2＝ 5.2.设向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，3)，c ＝(2，1)，且(a －λb )⊥c ，则λ等于( ) A.3 B.2C.－2D.－3答案 A解析 由题意得a －λb ＝(1＋λ，1－3λ). 又∵(a －λb )⊥c ，c ＝(2，1)，∴(a －λb )·c ＝0，即2(1＋λ)＋1－3λ＝0， ∴λ＝3.3.(2021·青岛调研)如图所示，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝AD ＝4，CD ＝8.若CE →＝－7DE →，3BF →＝FC →，则AF →·BE→＝( )A.11B.10C.－10D.－11答案 D解析 以A 为坐标原点，建立直角坐标系如图.则A (0，0)，B (4，0)，E (1，4)，F (5，1)，所以AF →＝(5，1)，BE →＝(－3，4)，则AF →·BE →＝－15＋4＝－11.4.a ，b 为平面向量，已知a ＝(2，4)，a －2b ＝(0，8)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A.－45B.－35C.35D.45答案 B解析 设b ＝(x ，y )， 则有a －2b ＝(2，4)－(2x ，2y ) ＝(2－2x ，4－2y )＝(0，8)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ＝0，4－2y ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，故b ＝(1，－2)，|b |＝5，|a |＝25，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝2－85×25＝－35，故选B.5.已知e 1，e 2是两个单位向量，λ∈R 时，|e 1＋λe 2|的最小值为32，则|e 1＋e 2|等于( ) A.1 B. 3C.1或 3D.2答案 C解析 设向量e 1，e 2的夹角为θ，则e 1·e 2＝cos θ，因为|e 1＋λe 2|＝1＋λ2＋2λcos θ＝（λ＋cos θ）2＋1－cos 2θ，且当λ＝－cos θ时，|e 1＋λe 2|min ＝1－cos 2θ＝32，得cos θ＝±12，故|e 1＋e 2|＝2＋2cos θ＝1或 3.6.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(2b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A. 2 B.2C. 5D.52答案 C解析 ∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，且(a －c )·(2b －c )＝2a ·b －c ·(a ＋2b )＋c 2＝0，∴c 2＝c ·(a ＋2b )， ∴|c |2＝|c |·|a ＋2b |cos 〈c ，a ＋2b 〉， ∴|c |＝|a ＋2b |cos 〈c ，a ＋2b 〉＝5cos 〈c ，a ＋2b 〉.∵cos 〈c ，a ＋2b 〉∈[－1，1]， ∴|c |的最大值是 5.7.(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a·b ＝1，则|b |＝________. 答案 3 2解析 由|a －b |＝5得(a －b )2＝25， 即a 2－2a ·b ＋b 2＝25， 结合|a |＝3，a ·b ＝1， 得32－2×1＋|b |2＝25， 所以|b |2＝18，|b |＝3 2.8.(2021·广东六校联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (3，1)在以原点O 为圆心的圆上.已知圆O 与y 轴正半轴的交点为P ，延长AP 至点B ，使得∠AOB ＝90°，则BP →·OA→＝________，|BP →＋OA →|＝________.答案 2 2 3解析 由题意可得圆O 的半径r ＝（3）2＋12＝2，所以P (0，2)，则直线AP 的方程为y －2＝2－10－3(x －0)，即y ＝－33x ＋2.设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－33x ＋2，则OA→＝(3，1)，OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－33x ＋2.由∠AOB ＝90°，可得OA →·OB →＝0，所以3x －33x ＋2＝233x ＋2＝0，解得x ＝－3， 所以B (－3，3)， 所以BP→＝(3，－1)， 所以BP →·OA→＝3×3＋(－1)×1＝2， |BP→＋OA →|＝|(3，－1)＋(3，1)|＝|(23，0)|＝2 3. 9.(2022·太原模拟)已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AD ＝1，BC ＝2，M 是AB 边上的动点，则|MC →＋MD →|的最小值为________. 答案 3解析 以BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，M (0，b )，且0≤b ≤a ，由于BC ＝2，AD ＝1. ∴C (2，0)，D (1，a ).则MC→＝(2，－b )，MD →＝(1，a －b )， ∴MC→＋MD →＝(3，a －2b ). 因此|MC→＋MD →|＝9＋（a －2b ）2，∴当且仅当a ＝2b 时，|MC→＋MD →|取得最小值3.10.已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值.解 (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x . 若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾， 故cos x ≠0，于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.11.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C ＝2A ，cos A ＝34. (1)求cos C ，cos B 的值； (2)若BA →·BC→＝272，求边AC 的长. 解 (1)cos C ＝cos 2A ＝2cos 2A －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18，所以sin C ＝378，sin A ＝74，所以cos B ＝－cos(A ＋C )＝sin A sin C －cos A cos C ＝74×378－34×18＝916.(2)因为BA →·BC→＝272，所以ac cos B ＝272，即ac ＝24①.又a sin A ＝csin C ，C ＝2A ，所以c ＝2a cos A ＝32a ②. 由①②解得a ＝4，c ＝6， 所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝16＋36－2×4×6×916＝25，所以b ＝5，即边AC 的长为5.12.△ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，|AO →|＝|AC →|，则BA →在BC→方向上的投影等于( ) A.－32B.32C.32D.3答案 C解析 △ABC 外接圆的半径等于1，其圆心O 满足AO →＝12(AB →＋AC →)，所以点O 在BC 上且O 为BC 的中点，如图，所以BC 是△ABC 外接圆的直径.故∠BAC ＝90°.因为|CO→|＝|AO →|＝|AC →|， 所以△OAC 是等边三角形，所以∠ACB ＝60°，所以∠ABC ＝30°.在Rt △ABC 中，|AB →|＝|BC →|sin 60°＝ 3.所以BA→在BC →方向上的投影为 |BA →|·cos ∠ABC ＝|BA →|·cos 30°＝3×32＝32，故选C.13.(2022·安徽五校联盟质检)已知点O 是△ABC 内部一点，且满足OA→＋OB →＋OC →＝0，又AB →·AC →＝23，∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为( )A.32B.3C.1D.2答案 C解析 由AB →·AC →＝23，∠BAC ＝60°，可得AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝12|AB →||AC →|＝23， 所以|AB→||AC →|＝43， 所以S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin ∠BAC ＝3.又OA→＋OB →＋OC →＝0， 所以O 为△ABC 的重心，所以S △OBC ＝13S △ABC ＝1.14.已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤ 2.设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是__________.答案 2829解析 因为单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，所以|2e 1－e 2|2＝5－4e 1·e 2≤2，即e 1·e 2≥34.因为a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，a ，b 的夹角为θ，所以cos 2θ＝（a ·b ）2|a |2|b |2＝[（e 1＋e 2）·（3e 1＋e 2）]2|e 1＋e 2|2·|3e 1＋e 2|2 ＝（4＋4e 1·e 2）2（2＋2e 1·e 2）（10＋6e 1·e 2）＝4＋4e 1·e 25＋3e 1·e 2. 不妨设t ＝e 1·e 2，则t ≥34，cos 2θ＝4＋4t 5＋3t， 又y ＝4＋4t5＋3t 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞上单调递增， 所以cos 2θ≥4＋35＋94＝2829，所以cos2θ的最小值为2829.。
高三数学平面向量知识点与题型总结材料(文科)
适用标准知识点概括一 . 向量的基本观点与基本运算 1、向量的观点：①向量：既有大小又有方向的量 向量不可以比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是随意的， 0 与随意愿量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量） ：方向同样或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向同样的向量 2、向量加法：设 AB a, BC b ，则 a + b = AB BC = AC（ 1） 0a a 0 a ；（ 2）向量加法知足互换律与联合律；AB BC CDPQ QR AR ，但这时一定“首尾相连” ．3、向量的减法：① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量②向量减法：向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差，③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向 a的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作 λ a ，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ） a a ； （Ⅱ） 当0 时， λ a 的方向与 a 的方向同样； 当 0 时， λ a 的方向与 a 的方向相反；当0时， a 0 ，方向是随意的5、两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得 b = a6、平面向量的基本定理：假如e 1 ,e 2 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一直量a ，有且只有一对实数 1 ,2 使： a1e12e 2 ，此中不共线的向量e 1, e 2 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底二 . 平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示：平面内的任一直量 a 可表示成 axiyj ，记作 a =(x,y) 。
2 平面向量的坐标运算：(1) 若 ax 1 , y 1 ,b x 2 , y 2 ，则 a b x 1 x 2 , y 1 y 2(2) 若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1(3) 若 a =(x,y) ，则 a =( x,y)(4) 若 a x 1 , y 1 ,b x 2 , y 2 ，则 a // b x 1 y 2 x 2 y 1 0(5) 若 ax 1 , y 1 ,bx 2 , y 2 ，则 a bx 1 x 2y 1 y 2文档大全适用标准若 ab ，则 x 1 x 2 y 1 y 2 0三．平面向量的数目积 1 两个向量的数目积：已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱ cos叫做 a 与 b 的数目积（或内积） 规定 0 a 02 向量的投影：︱ b ︱ cos=a b∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射影| a |3 数目积的几何意义： a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系：a aa 2 | a |25 乘法公式建立：a b a b a 2b 222a b ；222a ba 2 2ab b 2a 2ab b6 平面向量数目积的运算律：①互换律建立： a b b a②对实数的联合律建立：a b a b a b R③分派律建立：a b c a c b cc a b特别注意：（ 1）联合律不建立： a b ca bc ；（ 2）消去律不建立a b a c 不可以获得 b c（ 3） a b =0 不可以获得 a = 0 或 b = 07 两个向量的数目积的坐标运算：已知两个向量a ( x , y ),b ( x , y )，则 a· b = x 1x 2 y 1 y 211228 向量的夹角： 已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA = a , OB =b , 则∠ AOB= （ 00180 0 ）叫做向量 a与 b 的夹角cos = cos a,ba b = x 1 x 2 y 1 y 22ab222x 1y 1x 2y 2当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时， θ =00，当且仅当 a 与 b 反方向时 θ =1800，同时 0 与其余任何非零向量之间不谈夹角这一问题文档大全适用标准9 垂直：假如 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b 10 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ ba ·b ＝ Ox 1x 2y 1 y 2 0 平面向量数目积的性质【练习题】1、给出以下命题：①两个拥有共同终点的向量，必定是共线向量；②若 A ， B ，C ，D 是不共线的四点，则 AB ＝ DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；③若 a 与 b 同向，且 |a |>|b |，则 a >b ；④ λ， μ为实数，若 λa ＝μb ，则 a 与 b 共线． 此中假命题的个数为 ( )A ．1B ． 2C ．3D ． 42．设 a 0 为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若 a 与 a 0 平行，则 a ＝ |a |a 0 ；③若a 与 a 0 平行且 |a |＝ 1，则 a ＝ a 0.上述命题中，假命题的个数是()A ．0B ． 1C ．2D ． 33、设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若 AB ＝ a ＋ b ， BC ＝ 2a ＋ 8b ， CD ＝ 3(a － b )．求证： A ， B ， D 三点共线； (2)试确立实数 k ，使 k a ＋ b 和 a ＋k b 共线．4、已知两点 A(4,1)， B(7，－ 3)，则与 AB 同向的单位向量是 ()A.3，－4B. － 3， 4555 5 C. － 4，3D.4，－ 35 5555、在△ ABC 中， M 为边 BC 上随意一点， N 为 AM 中点， AN ＝ λAB ＋ μAC ，则 λ＋ μ的值为 ()1B.1A. 231C.4D ． 16、已知两个单位向量e 1， e 2 π的夹角为，若向量 b 1＝e 1－2e 2，b 2＝ 3e 1＋ 4e 2，则 b 1 ·b 2＝ ________.37、已知 |a |＝ 1， |b |＝2， a 与 b 的夹角为 120 °， a ＋ b ＋ c ＝ 0，则 a 与 c 的夹角为 ()A ．150 °B ． 90°文档大全适用标准C ．60°D ． 30°8、已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数， 若向量 a ＋b 与向量 k a － b 垂直，则 k ＝ ________.9、设向量 a ， b 知足 |a |＝ 1， |a － b |＝ 3， a ·(a － b )＝ 0，则 |2a ＋ b |＝ ()A ．2B ．2 3C ．4D ．43110、已知向量 a ＝ (sin x,1)， b ＝ cos x ，－ 2 . (1)当 a ⊥ b 时，求 |a ＋ b |的值；(2)求函数 f(x)＝ a ·(b －a )的最小正周期．11、已知 f( x)＝ a ·b ，此中 a ＝ (2cos x ，－ 3sin 2 x)， b ＝ (cos x,1)( x ∈R )．(1)求 f(x)的周期和单一递减区间；(2)在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ，c ， f(A)＝－ 1， a ＝ 7， AB ·AC ＝3，求边长 b 和c 的值 (b>c)．12、如图，在ABC 中， OA a ， OB b,M 为 OB 的中点， NB为 AB 的中点， P 为 ON 、 AM 的交点，则 AP 等（）A21 B2 1MNaPab3b3 33C1 2 D1 a2ab3b333O A13．△ ABC 中， AB 边的高为 CD ，若 CB ＝ a ， CA ＝ b ， a ·b ＝ 0， |a |＝ 1， |b |＝ 2，则 AD ＝( )1122A. 3a － 3bB.3a － 3b3 34 4 C.5a － 5bD.5a －5b14． (2012 郑·州质检 )若向量 a ＝ (x － 1,2)， b ＝ (4， y)互相垂直，则 9x ＋ 3y的最小值为 ()A ．12B ． 2 3C ．32D ． 615． (2012 ·西省四校联考山 )在△ OAB(O 为原点 )中， OA ＝ (2cos α，2sin α)， OB ＝(5cos β，5sin β)，若 OA OB＝－ 5，则△ OAB 的面积 S ＝ ( )·文档大全适用标准3 A. 3B. 2 C ．53D. 5 3216、若 a ， b ， c 均为单位向量，且 a ·b ＝ 0， (a － c ) ·(b － c )≤ 0，则 |a ＋ b － c |的最大值为 ()．A. 2－ 1 B ．1 C. 2 D ．217、已知△ ABC 为等边三角形，→→ → → → →AB ＝ 2.设点 P ， Q 知足 AP ＝λAB ， AQ ＝ (1－ λ)AC ，λ∈R ，若 BQ ·CP ＝－ 3，则 λ＝ ( )．211± 2 1± 10 －3±2 2A. 2B. 2C. 2D. 218 如图，已知平行四边形 ABCD 的极点 A(0，0) ，B(4,1) ， C(6,8)．(1)求极点 D 的坐标；(2)若 DE ＝ 2 EC ，F 为 AD 的中点，求 AE 与 BF 的交点 I 的坐标．．【课后练习题】1．以下等式：① 0－a ＝－ a ；②－ (－ a )＝ a ；③ a ＋ (－a ) ＝0；④ a ＋ 0＝ a ；⑤ a － b ＝ a ＋ (－ b )．正确的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．5分析：选C2． (2012 ·州模拟福 )若 a ＋ b ＋ c ＝ 0，则 a ， b ， c ()A ．都是非零向量时也可能没法组成一个三角形B ．必定不行能组成三角形C ．都是非零向量时能组成三角形D ．必定可组成三角形分析：选A3．(2012 威·海质检 )已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C.若 OA ＋ 2 OC ＝ 3 OB ，则|BC |的值为 ()|AB |11 A. 2B.3文档大全适用标准1 1 C.4 D.6分析：选A4．(2012 海·淀期末 )如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三平分点 (凑近 B)，那么 EF ＝ ()A. 21AB －31 AD B.41AB ＋21 ADC.31AB ＋21DAD.21AB －32AD分析：选D5． (2013 揭·阳模拟 )已知点 O 为△ ABC 外接圆的圆心，且 OA ＋ OB ＋ CO ＝ 0，则△ ABC 的内角 A等于 ()A ．30°B ． 60°C ．90°D ． 120 °分析：选A6．已知△ ABC 的三个极点 A 、B 、C 及平面内一点 P 知足 PA ＋ PB ＋ PC ＝ AB ，则点 P 与△ ABC的关系为 ()A ．P 在△ ABC 内部B ．P 在△ ABC 外面C ．P 在 AB 边所在直线上D ．P 是 AC 边的一个三平分点分析：选D7．(2012 ·州五校联考郑)设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，BC 2＝ 16，| AB ＋ AC |＝ |AB－ AC |，则 | AM |＝ ________.答案： 28． (2013 ·庆模拟大 )已知 O 为四边形 ABCD 所在平面内一点，且向量OA ， OB ， OC ， OD 知足等式 OA ＋ OC ＝ OB ＋ OD ，则四边形 ABCD 的形状为 ________．答案： 平行四边形9．设向量 e 1， e 2 不共线， AB ＝ 3(e 1 ＋e 2 )， CB ＝e 2－e 1， CD ＝ 2e 1＋ e 2，给出以下结论：① A ，B ，C 共线；② A ，B ，D 共线；③ B ， C ， D 共线；④ A ， C ，D 共线，此中全部正确结论的序号为________．答案： ④10．设 i ，j 分别是平面直角坐标系 Ox ，Oy 正方向上的单位向量， 且 OA ＝－ 2i ＋ m j ，OB ＝ n i ＋ j ，OC＝ 5i －j ，若点 A ，B ， C 在同一条直线上，且m ＝ 2n ，务实数 m ， n 的值．文档大全m＝ 6，适用标准m＝ 3，或3n＝3，n＝2.x7．已知向量a＝8，2， b＝(x,1)，此中x>0，若(a－2b)∥(2a＋ b)，则x＝________.答案： 48． P＝{ a|a＝(－ 1,1)＋ m(1,2) ，m∈R} ，Q＝ { b|b＝ (1，－ 2)＋ n(2,3)，n∈R} 是两个向量会合，则P∩Q 等于 ________．答案： { －13，－23 }9．已知向量OA＝ (1，－ 3)，OB＝ (2，－ 1)，OC＝ (k＋ 1，k－ 2)，若 A，B，C 三点能组成三角形，则实数 k 应知足的条件是 ________．答案： k≠ 110．已知 A(1,1)， B(3，－ 1)， C(a， b)．(1)若 A， B， C 三点共线，求a，b 的关系式；(2)若AC＝ 2 AB，求点 C 的坐标．(5，－ 3)．11．已知a＝ (1,0) ，b＝ (2,1)．求：(1)|a＋ 3b|；(2)当 k 为什么实数时， k a－b与a＋3b平行，平行时它们是同向仍是反向？方向相反．12．已知 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM＝ t1OA＋ t2AB .(1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件；文档大全适用标准(2)求证：当t1＝ 1 时，无论t2为什么实数， A， B，M 三点都共线．8．已知向量a， b 夹角为45°，且|a|＝1，|2a－ b|＝10，则 |b|＝ ________.答案：329．已知向量a＝(2，－1)， b＝( x，－2)，c＝(3，y)，若 a∥b，(a＋b)⊥( b－ c)，M(x，y)，N(y，x)，则向量 MN 的模为________．答案：8210．已知a＝ (1,2)，b＝(－ 2， n)，a与b的夹角是45°.(1)求b；(2)若c与b同向，且 a 与 c－ a 垂直，求 c.1c＝2b＝(－1,3)．11．已知 |a|＝ 4， |b|＝ 8，a与b的夹角是120 °.(1)计算：① |a＋b|，② |4a－2b|；(2)当 k 为什么值时， (a＋ 2b)⊥ (k a－b)?即 k＝－ 7 时，a＋ 2b与 k a－b垂直．12．设在平面上有两个向量a＝(cosα，sinα)(0≤°α<360°)， b＝－12，23.(1)求证：向量a＋ b 与 a－ b 垂直；(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．文档大全适用标准α＝ 30°或α＝ 210 °.文档大全。
文科平面向量专题
平面向量专题复习一题型一：向量的加、减法、向量数乘运算及其几何意义1.设P 是ABC △所在平面内的一点，2BC BA BP += ，则（ ）A ．0PA PB += B ．0PC PA += C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++=2.已知a 、b 是两个不共线的向量，若它们起点相同，a 、21b 、t （a +b ）三向量的终点在一直线上，则实数t=_________. 3.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC a = ，BD b = ，则AF = _________4、已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的 中点,则AE BD ⋅= ________.5、已知两个单位向量a ,b 的夹角为60 ,(1)=+-c ta t b ,若0⋅=b c ,则t =_____ 2; 题型二： 平面向量基本定理1、在ABC △中，AB c = ，AC b = ．若点D 满足2BD DC = ，则AD = _________2、 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE = , 则AB 的长为______.123、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+ ，，则λ=23 ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b = ，则AD = ______________ 4455a b - 题型三: 平面向量的坐标表示与运算1、已知()12a = ，，()32b =- ，，当ka b + 与3a b - 平行，k 值为________2、已知向量(1sin )a θ= ，，(13cos )b θ= ，，则a b - 的最大值为_______ 3、设向量)2,1(m a =，)1,1(+=m b ，),2(m c =，若b c a ⊥+)(，则=||a ______24、已知向量(1,0)a = ，()11b = ，，则 （Ⅰ）与2a b + 同向的单位向量的坐标表示为____________；31010,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）向量3b a - 与向量a 夹角的余弦值为____________。
(完整版)高三文科数学第一轮复习-平面向量
1高三文科数学平面向量复习讲义一:若向量1122(,),(,),a x y b x y ==，且0b ≠，则1212//0a b x y y x ⇔-=。
1．（1）已知向量(2,3),(,6),a b x ==，且//a b ，则x=_______。
（2）已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+r r r r r ，2v a b =-rr r ，且//u v r r ，求实数x 的值。
练习1：设31(,sin ),(cos ,)23a b αα==,且有//a b r r ,则锐角=α 。
练习2: 平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，回答下列问题：（1）求c 23-+ （2）求满足a mb nc =+的实数m,n ； （3）若()//(2)a kc b a +-，求实数k ；（4）若满足()()b acd +-//，且||d c -=练习3: (1) 向量(,12),(4,5),(10,)OA k OB OC k ===,当k 为何值时，,,A B C 三点共线？2(2) 已知(1,0),(2,1)a b == ,（1）求|3|a b +； （2）当k 为何实数时，ka b -与3a b +平行， 平行时它们是同向还是反向？.二:若向量1122(,),(,),a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⊥⇔+2：在△ABC 中，∠C ＝90°，(,1),(2,3),AB k AC ==，则k 的值是（ ）A 5B -5C 32D 32-练习：已知向量(3,4),(2,1)a b ==-r r，如果向量a xb +r r 与b r 垂直，则x 的值为 （ ）()A 323 ()B 233 ()C 2 ()D 25-三：若(,)a x y =则222||a x y =+，或||a =3：(1)已知向量(2,2),(5,),a b k =-=，若||a b +不超过5，则k 的取值范围是__________。
高考数学文科一轮总复习平面向量 (2)
诊断基础知识
突破高频考点
培养解题能力
考点三 平面向量共线的坐标表示
【例 3】 平面内给定三个向量 a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数 k； (2)若 d 满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝ 5，求 d 的坐标． 审题路线 (1)分别求出(a＋kc)与(2b－a)的坐标⇒利用向量 平行的充要条件列方程⇒解关于 k 的方程；(2)设 d 的坐标⇒ 根据已知条件列出方程组⇒解方程组，得到 d 的坐标．
∴M→N＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
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规律方法 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则 进行的．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的 坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确 使用．
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【训练 2】 (1)已知பைடு நூலகம்面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量 12a－32b＝________. (2)在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若A→B＝(2,4)， A→C＝(1,3)，则B→D＝________.
B→C＝b，C→A＝c，且C→M＝3c，C→N＝－2b.
(1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n；
(3)求 M，N 的坐标及向量M→N的坐标．
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解 由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝ (15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)， ∴－ －63mm＋ ＋n8n＝＝5，－5， 解得mn＝＝－－11.，
苏教版高中数学平面向量(文科)一轮复习材料
三点共线的证明
向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线平行问题
已知：平面上三点 O、A、B 不共线，求证：平面上任一点 C 与 A、B 共线的充要条件 是存在实数 λ 和 μ，使O→C＝λO→A＋μO→B，且 λ＋μ＝1. 【点拨】 证明充要条件要分两个方向的证明．
【答案】
5．已知 O，A，B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，满足 2A→C＋C→B＝0，则用O→A、 O→B表示O→C＝________.
【解析】 O→C＝O→B＋B→C＝O→B＋2A→C＝O→B＋2(O→C－O→A)，∴O→C＝2O→A－O→B
6．l1、l2是不共线向量，且a＝－l1＋3l2，b＝4l1＋2l2，c＝－3l1＋12l2， 用b、c为基底来表示向量a.
∴存在实数 t1，使得C→M＝t1C→B， ∴(m－14)a＋nb＝t1(－14a＋b)
∴m－14＝－41t1 ， n＝t1
消去 t1 得，4m＋n＝1.②(12 分) 由①②得 m＝17，n＝37，∴O→M＝17a＋37b.…(14 分)
如图 3－1－3 所示，若四边形 ABCD 是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N 分别是 DC、 AB 的中点，已知A→B＝a，A→D＝b，D→C＝c，试用 a、b、c 表示B→C，M→N，D→N＋C→N.
1．如图3－1－1，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的有________．
【答案】 ①②④
图3－1－1
2．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BC＝3DC，则AD＝________. 【解析】 ∵BC＝ AC－AB＝b－c，
【答案】
3．
【解析】
高三文科数学平面向量和三角函数专题
xx 届高三文科数学第二轮复习资料——《平面向量和三角函数》专题1. 证明: βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-．2. 已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f . （1）若54sin =x ，求函数)(x f 的值； （2）求函数)(x f 的值域；（3）画出函数)(x f 在区间[]ππ,-上的图象.3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若C B A C B sin sin sin sin sin 222+=+，且4=⋅，求△ABC 的面积．4. 观察以下等式：4360cos 30sin 60cos 30sin 22=︒︒+︒+︒ 4350cos 20sin 50cos 20sin 22=︒︒+︒+︒4345cos 15sin 45cos 15sin 22=︒︒+︒+︒分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．5. 已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD 的面积6. 已知函数x x x x f 2cos cos sin 3)(+=.（I ）写出函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（II ）若函数)(x f 的图象关于直线0x x =对称，且100<<x ，求0x 的值．7．已知函数()b a x x a x a x f++--=2cos sin 322cos 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，值域为[ －5，1 ]，求常数a 、b 的值．8. 设关于x 的函数y=2cos 2x －2acosx －(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=21的a 值，并对此时 的a 值求y 的最大值9. 已知A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，a ，b ，c 为其对应边，向量.1),sin ,(cos ),3,1(=⋅=-=n m A A n m 且（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若.,cos cos ),1,2(S ABC cbC B AB 的面积求∆==10. 是否存在实数a ，使得函数y=sin 2x+a ·cosx+85a －23在闭区间［0，2π］上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由.11.已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t ()024,:t ≤≤单位小时的函数,记作()y f x =,下表是某日各时的浪高数据: t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经过长期观察,y=f(x)的曲线可近似地看成是函数cos y A t b ω=+ （1）以t 为横坐标,y 为纵坐标在直角坐标系中画出表中数据的散点图;（2）根据以上数据,求函数cos y A t b ω=+的最小正周期T,振幅A 及函数表达式;（3）依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8:00时至晚上20:00时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?12. 海岛上有一座高出水面1000米的山，山顶上设有观察站A ，上午11时测得一轮船在A 的北偏东60°的B 处，俯角是30°，11时10分，该船位于A 的北偏西60°的C 处，俯角为60°， （1）求该船的速度；（2）若船的速度与方向不变，则船何时能到达A 的正西方向，此时船离A 的水平距离是多少？ （3）若船的速度与方向不变，何时它到A 站的距离最近？参考答案1. 证明：如图：在单位圆上任取两点A 、B ，设以OX 为始边，OA 、OB 为终边的角分别为βα,)sin ,(cos ),sin ,(cos )sin ,(cos ),sin ,(cos ββααββαα==∴B A 则∴βαβαsin sin cos cos +=⋅又)cos()cos(αβαβ-=-⋅=⋅OB OA OB OA ∴βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-2.解：（1）53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππΘ，x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x cos sin 3-=53354+=. （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f ，ππ≤≤x 2Θ， 6563πππ≤-≤∴x ， 16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤∴πx ， ∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. (3) 图略3.解：由已知得b 2+c 2=a 2+bc ，A bc a c b bc cos 2222=-+=∴，23sin ;21cos ==∴A A 由8,4cos 4=∴==⋅bc A bc AB AC ，得，32sin 21==∴A bc S4.解:上述各式的共同特点是:一个角的正弦的平方与比这个角大30°的角的余弦的平方和再加上这两个角的正弦与余弦的乘积等于同一个常数3/4．即：43)30cos(sin )30(cos sin 22=++︒++οθθθθ 证明：左边=)30sin sin 30cos (cos sin )30sin sin 30cos (cos sin 22οοοθθθθθθ-+-︒+θθθθθθθθ2222sin 21cos sin 23sin 41cos sin 23cos 43sin -++-+=43)cos (sin 4322=+=θθ5. 解 如图 连结BD ，则有四边形ABCD 的面积S=S △ABD +S △CDB =21·AB ·ADsinA+21·BC ·CD ·sinC ∵A+C=180°，∴sinA=sinC故S=21(AB ·AD+BC ·CD)sinA=21(2×4+6×4)sinA=16sinA由余弦定理，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·AD ·cosA=20－16cosA ．在△CDB 中，BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cosC=52－48cosC ，∴20－16cosA=52－48cosC ，∵cosC=－cosA ，∴64cosA=－32，cosA=－21，又0°＜A ＜180°，∴A=120°，故S=16sin120°=86.解：（I ）21)62sin(2cos 212sin 23cos cos sin 3)(2++=+=+=πx x x x x x x f ππ==∴22T 由226222πππππ+≤+≤-k x k )(Z k ∈，得 63ππππ+≤≤-k x k )(z k ∈)(x f ∴的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππk k )(z k ∈（II ）Θ)(x f 的图象关于直线0x x =对称，2620πππ+=+∴k x 620ππ+=∴k x )(z k ∈ 100<<x Θ 60π=∴x7．解： ()b a x a x a x f++--=22sin 32cos ，b a x a ++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=232cos 2π ．∵ 20π≤≤x ，∴ 32323πππ≤-≤-x ，∴ 1 32cos 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx ．当a > 0时，b ≤ f ( x ) ≤ 3a + b ，∴ ⎩⎨⎧-==+.513b b a ， 解得 ⎩⎨⎧-==.52b a ，当a < 0时，3a + b ≤ f ( x ) ≤ b ．∴ ⎩⎨⎧=-=+.153b b a ， 解得 ⎩⎨⎧=-=.12b a ，故a 、b 的值为 ⎩⎨⎧-==52b a 或 ⎩⎨⎧=-=12b a8.解 由y=2(cosx －2a )2－2242+-a a 及cosx ∈［－1，1］得f(a)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a aa∵f(a)=21,∴1－4a=21⇒a=81∉［2,+∞)或 －22a －2a －1=21，解得a=－1(2,2)∈-，此时，y=2(cosx+21)2+21，当cosx=1时，即x=2k π，k ∈Z ，y max =59. 解:（Ⅰ）1=⋅n m Θ，1cos sin 3=-∴A A ，21)6sin(=-∴πA π<<A 0Θ，πππ6566<-<-∴A ，.66ππ=-∴A .3π=∴A（Ⅱ）,cos cos c b C B =Θ∴由正弦定理，得,sin sin cos cos CBC B =,0cos sin sin cos =-∴C B C B即0)sin(=-C B .B Θ、C 为ABC ∆的内角，.C B =∴ 又,3π=A .3π==∴C B ABC ∆∴为正三角形．,514=+=.345432==∴AB S10.),(2132012385,1cos ,2,12.1cos 0,20.21854)2(cos 2385cos cos 1:max 222舍去解得时则当即时若时当解<==-+==>>≤≤≤≤-++--=-++-=a a a y x a a x x a a a x a x a x y π121854,2cos ,20,1202max =-+==≤≤≤≤a a y a x a a 时则当即若)(423舍去或解得-==a a )(512,12185,0cos ,0,02max 舍去解得时则当即若==-==<<a a y x a a综合上述知，存在23=a 符合题设.11.解: (1) 图略(2) 由表中数据可知:周期T=12，61222πππω===T 由t=0,y=1.5得A+b=1.5；由t=3,y=1.0得b=1.0．解得:A=0.5,b=1， 所以,振幅A=1/2, 16cos 21+=t y π(3) 由题意::y>1时海滨浴场才对冲浪者开放，116cos21>+∴t π，.16cos >∴t πz k k t k ∈+<<-∴,22622πππππ，312312+<<-k t k 即． :,2,1,0,240得令分别为又≤≤t242115930≤<<<<≤t t t 或或所以,在上午8:00至晚上20:00之间有6个小时可供冲浪者运动,即上午9:00至下午5:00.12. 解:（1）如图，)(360tan 1km OB =︒⨯=，),(339)21(3332313||,120),(3330tan 1km BC BOC km OC =-⨯⨯⨯-+=∴︒=∠=︒⨯=而∴船的速度);/(39261h km BCv ==（2）设船到达的正西位置为D （x ，0）， ∵B 的坐标为),23,23()30sin 3,30cos 3(=︒︒ 而C 的坐标为),63,21()150sin 33,150cos 33(-=︒︒ ∵B 、C 、D 三点共线，,23212363232323-=⇒+-=-∴x x )0,23(-∴D ，),(6393631||km CD =+=∴∴==(min),5)(121||h v CD Θ该船在上午11时15分到达正西方向； （3）作OE ⊥BC 于E ，则E 点到A 的距离最近，(min),1390)(263||),(1339352949||),(1323||,120sin ||||||||==∴=-=∴=∴︒⋅=⋅h v ED km DE km OE OC OB BC OE Θ∴=-(min),1318139015Θ船在上午11时1318分时到A 的距离最近.。
2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》平面向量基本定理及坐标表示
2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.2平面向量基本定理及坐标表示最新考纲 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)在等边三角形ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为60°.(×)(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.(×)(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二教材改编2．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．答案(1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，＝5－x ，＝6－y ，＝1，＝5.3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案－12解析由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.题组三易错自纠4．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________.答案5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________.答案(－7，－4)解析根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.答案－6解析因为a ∥b ，所以(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.题型一平面向量基本定理的应用例1如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b.(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b .所以(2－λ)a －b ＝2a －53b.因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，2－λ＝2x ，－1＝－53x ，x ＝35，λ＝45.故λ＝45.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用．跟踪训练1在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案34解析∵CP →＝23CA →＋13CB →，∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，∴2AP →＝PB →，即P 为AB的一个三等分点，如图所示．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC →，而CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →.又CP →＝CA →－PA →＝－AC →＋13AB →，由已知CM →＝tCP →，可得x 2AB →＝AC →＋13AB 又AB →，AC →不共线，＝t 3，1＝－t，解得t ＝34.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为()A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)答案A解析设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0.(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.答案－2解析由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．跟踪训练2线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝________.答案－2或6解析由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →1－x ＝6，－4＝2－2y ，x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案(3,3)解析方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．命题点2利用向量共线求参数例4(2018·洛阳模拟)已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，c ＝(－5,1)，若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为()A ．－114 B.12C ．2D.114答案B解析因为a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，所以a ＋k b ＝(2＋k ，－1＋k )，又c ＝(－5,1)，由(a ＋k b )∥c得(2＋k )×1＝－5×(k －1)，解得k ＝12，故选B.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”．(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．跟踪训练3(1)(2018·济南模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与3a －b 平行，则实数x 的值是__________________．答案2解析∵a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，∴a ＋b ＝(3，x ＋1)，3a －b ＝(1,3－x )，∵a ＋b 与3a －b 平行，∴3(3－x )－(x ＋1)＝0，解得x ＝2.(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值是________．答案－23解析AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.1．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为()A ．(－8,1)1D ．(8，－1)答案B解析设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)．而12MN →＝12(－8,1)4－3＝－4，＋2＝12，＝－1，＝－32，∴1故选B.2．(2019·山西榆社中学诊断)若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于()A ．(3,1)B ．(4,2)C ．(5,3)D ．(4,3)答案B解析AC →＝AD →＋DC →＝(3,1)，又BD →＝AD →－AB →＝(－1,1)，则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)，所以AC →＋BC →＝(4,2)．故选B.3．(2018·海南联考)设向量a ＝(x ，－4)，b ＝(1，－x )，若向量a 与b 同向，则x 等于()A ．－2B ．2C ．±2D ．0答案B解析由向量a 与b 共线得－x 2＝－4，所以x ＝±2.又向量a 与b 同向，所以x ＝2.故选B.4．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案D解析由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于()A ．22 B.2C ．2D ．42答案A解析因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6．(2019·蚌埠期中)已知向量m A n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C 解析∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3，∴1－cos 2A ＋3sin 2A ＝3，∴A 1，∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈－π6，因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3，故选C.7．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案－54解析AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.8．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．答案(－4，－2)解析∵b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0)．∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a ＝(－4，－2)．9．(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.答案12解析由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.10．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案k ≠1解析若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，k a－b与a＋2b共线；(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋m b且A，B，C三点共线，求m的值．解(1)k a－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－1 2 .(2)方法一∵A，B，C三点共线，∴AB→＝λBC→，即2a＋3b＝λ(a＋m b)，＝λ，＝mλ，解得m＝32.方法二AB→＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC→＝a＋m b＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三点共线，∴AB→∥BC→，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝32.12.如图，已知平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则OC→＝OB1→＋OA1→，因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC→|＝23，所以|OB1→|＝2，|B1C→|＝4，所以|OA1→|＝|B1C→|＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，－12，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，λ－12μ，＝32μ，＝4，＝2.所以λ＋μ＝6.13.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ等于()A ．3B.52C ．2D ．1答案B 解析由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)，∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)，∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)，又∵P 为CD 的中点，∴AP →－μ＝12，＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.14．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为()A ．3B ．22 C.5D．2答案A 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD .∵CD ＝1，BC ＝2，∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)0＝2＋255cos θ，0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤sin φ＝55，cos φ当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.15.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P (如图所示)，若AP →＝λED →＋μAF →，则2λ－μ的值是________．答案0解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (2,2)，D (0,2)，E (2,0)，F (3,1)，所以ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)，则AP →＝λED →＋μAF →＝(－2λ＋3μ，2λ＋μ)，又因为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P ，所以点P 的坐标为(2，2)，AP →＝(2，2)，所以－2λ＋3μ＝2，2λ＋μ＝2，所以λ＝24，μ＝22，所以2λ－μ＝0.16.如图，在同一个平面内，三个单位向量OA →，OB →，OC →满足条件：OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解建立如图所示的平面直角坐标系，由tan α＝7知α为锐角，且sin α＝7210，cos α＝210，故cos(α＋45°)＝－35，sin(α＋45°)＝45.∴点B ，C －35，∴OB →－35，OC →又OC →＝mOA →＋nOB →，m (1,0)＋－35，－35n ＝210，＝7210，＝528，＝728，∴m ＋n ＝528＋728＝322.。
高考文科平面向量知识点
高考文科平面向量知识点高考是对学生多年来所学知识的综合考察，而数学是文科生必考的一门科目。
在数学中，平面向量是一个重要的知识点，也是考试中常常涉及的内容。
下面，将介绍高考文科平面向量的知识点，帮助考生更好地理解和掌握这一部分内容。
一、向量的概念和运算向量是表示有大小和方向的量，常用箭头表示。
在平面上，向量通常用一个有序数对表示，如AB向量可以表示为a = (x, y)。
向量的长度是指从起点到终点的距离，记作|a|。
向量的加法和减法可以通过对应坐标的加减实现，如a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
二、向量的数量积向量的数量积也称点积，是指两个向量间的乘积结果，记作a·b。
计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ。
其中，θ表示两个向量之间的夹角。
数量积的结果为一个实数，具有求模、交换律以及分配律等性质。
三、向量的向量积向量的向量积也称叉积，是指两个向量间的乘积结果，记作a × b。
计算公式为：a × b = |a| |b| sinθ n。
其中，θ表示两个向量之间的夹角，n表示垂直于两个向量所在平面的单位法向量。
向量积的结果为一个向量，其方向遵循右手法则，模长为|a| |b| sinθ。
四、向量的共线与线性运算在平面向量中，如果存在一个实数k，使得a = kb，那么向量a与向量b就是共线的。
共线的向量也叫线性相关向量。
线性运算是指对多个向量进行加法、减法和数量乘法的运算。
线性相关的向量之间可以进行代入消元等操作，进而解出线性方程组。
五、向量的应用平面向量广泛应用于各个学科和职业领域，如物理学、力学、工程、计算机图形学等。
在解决实际问题时，我们可以利用向量进行几何推理、计算机模拟、数据分析等。
例如，在解决运动问题时，可以将速度、加速度等物理量抽象为向量，简化计算过程。
六、习题和应用题为了更好地理解和掌握平面向量的知识，考生可以进行大量的习题和应用题的训练。
高考文科数学平面向量专题(可编辑修改word版)
5 10 2- - - - BQ 平面向量专题一、选择题例 1. ∆ABC 中， AB 边的高为CD ，若CB = a ， CA = b ， a ⋅ b = 0 ， | a |= 1， | b |= 2 ，则 AD =1 1 （A ） a b332 2（B ） a b3 3 3 3（C ） a b5 54 4 （D ） a b55例 2.设 x ∈ R ，向量 a = (x ,1), b = (1, -2), 且 a ⊥ b ，则| a + b |=（A ） （B ） （C ） 2 例 3.设 a ，b 是两个非零向量。
（D ）10 A.若|a+b|=|a|-|b|，则 a⊥bB.若 a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得 b=λaD.若存在实数λ，使得 b=λa，则|a+b|=|a|-|b|a b例 4.设 a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使 = 成立的充分条件是（）| a | | b | A 、| a |=| b | 且 a // b B 、 a = -bC 、 a // bD 、 a = 2b例 5.设向量 a =（1. cos ）与b =（-1， 2 cos ）垂直，则cos 2等于 （）1 A BC .0 D.-1 2211 例 6.已知向量 a = (1,—1)，b = (2,x).若 a ·b = 1,则 x =(A) —1(B) —(C)(D)122例 7.若向量 AB = (1, 2) ， BC = (3, 4) ，则 AC =A. (4, 6)B. (-4, -6)C. (-2, -2)⋅ D. (2, 2)例 8.对任意两个非零的平面向量和 ， 定义=⋅. 若两个非零的平面向量 a ， b 满足 a 与 b 的夹角∈⎛⎫⎧ n ⎫, ⎪ ，且a b 和b a 都在集合⎨ n ∈ Z ⎬中，则a b =⎝ 4 2 ⎭ 5 3 ⎩ 2⎭ 1A.B.C. 1D.2 22例 9.已知向量 a=（x-1,2），b=（2,1），则 a ⊥b 的充要条件 1A.x=-2B.x-1C.x=5D.x=0例 10.在△ABC 中， ∠ A=90°，AB=1，设点 P ，Q 满足 AP =AB ， AQ=(1- ) AC ，∈R 。
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——平面向量基本定理及坐标表示
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × )
(2)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋
μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )
(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的充要条件可以表示成xx12＝yy12.( × )
索引
5.(易错题)已知 A(－1，3)，B(2，－1)，则与向量A→B共线的单位向量是 ___±__35_，__－__54________. 解析 ∵A→B＝(2，－1)－(－1，3)＝(3，－4)， ∴|A→B|＝5.故与向量A→B共线的单位向量坐标为±35，－54.
索引
8 6.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝____5____.
1.(2021·西安调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，O→A＝ 23，21，若O→A绕
点 O 逆时针旋转 60°得到向量O→B，则O→B＝( A )
A.(0，1)
B.(1，0)
C. 23，－12
D.12，－
3 2
解析 ∵O→A＝ 23，12，∴O→A与 x 轴的夹角为 30°，
依题意，向量O→B与 x 轴的夹角为 90°，
索引
感悟提升
1.两平面向量共线的充要条件有两种形式： (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0； (2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb. 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当 两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
索引
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平面向量复习试题（必修4）
一、填空题
1．若有以下命题：
① 两个相等向量的模相等； ② 若和都是单位向量，则=； ③ 相等的两个向量一定是共线向量； ④ //，b c //，则c a //；
⑤ 零向量是唯一没有方向的向量； ⑥ 两个非零向量的和可以是零。
其中正确的命题序号是 。
2. 在水流速度为4h km /的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8h km /的速度航行，则船自身航行速度大小为____________h km /。
3. 任给两个向量和，则下列式子恒成立的有________________。
① ||||||+≥+ ② ||||||-≥- ③||||||b a b a +≤- ④ ||||||b a b a -≤-
4. 若3=，5-=且||||=，则四边形ABCD 的形状为________。
5．梯形ABCD 的顶点坐标为)2,1(-A ，)4,3(B ，)1,2(D 且DC AB //，CD AB 2=，则点C 的坐标为___________。
6. ABC ∆的三个顶点坐标分别为),(11y x A ，)(22y x B ，)(33y x C ，若G 是ABC ∆的重心，则G 点的坐标为__________，=++__________________。
7. 若向量)1,1(=，)1,1(-=，)2,1(-=，则=c ___________(用a 和b 表示)。
8. 与向量)4,3(=平行的单位向量的坐标为 ________________。
9. 在ABC ∆中，已知7=AB ，5=BC ，6=AC ，则=•BC AB ________________。
10.设)3,(x =，)1,2(-=，若与的夹角为钝角，则x 的取值范围是 __ ____。
11. 直线l 平行于向量)3,2(-=，则直线l 的斜率为____________。
12. 已知)4,3(-=，)sin ,(cos θθ=)(R ∈θ，则|2|-的取值范围是 _________。
13.已知向量a 、b 不共线，且||||=，则b a +与b a -的夹角为 __________。
14.在ABC ∆中c AB =，a BC = ，b CA =，则下列推导正确的是__ _ 。
① 若0<•b a 则ABC ∆是钝角三角形 ② 若0=•b a ，则ABC ∆是直角三角形
③ 若•=•， 则ABC ∆是等腰三角形 ④ 若||||-=，则ABC ∆是直角三角形 ⑤ 若•=•=•，则△ABC 是正三角形
二、解答题
15.已知=++ 且3||=，1||=，4||=
计算 •+•+•
16、设D 、E 、F 分别是ABC ∆的边BC 、CA 、AB 上的点，且AB AF 21
=
BC BD 31
=，CA CE 41
=，若记=，=，试用，表示DE 、EF 、FD 。
17. 已知4||=a ，2||=b ，且与夹角为120°求 ⑴)()2(+•-； ⑵|2|-； ⑶与+的夹角。
18. 已知向量=)2,1(，=)2,3(- 。
⑴求||+与||-；⑵ 当k 为何值时，向量k +与3+垂直？
⑶ 当k 为何值时，向量k +与3+平行？并确定此时它们是同向还是反向？
19. 已知OP =)1,2(，OA =)7,1( ，OB =)1,5(，设M 是直线OP 上一点，O 是坐标原点 ⑴求使•取最小值时的OM ； ⑵对（1）中的点M ，求AMB ∠的余弦值。
20. 在ABC ∆中，O 为中线AM 上的一个动点，若2=AM
求：)(+•的最小值。
第二章平面向量参考答案
一．填空题：
1.①④；
2.54；
3.②③；
4.等腰梯形；
5.（4，2）；
6.)3
,3(321321y y y x x x ++++，；7.
2321-；8.)54,53(或)54,53(--；89.19-；10.)23,6()6,(---∞ ；11.2
3-；12.]7,3[；13.︒90；14②③④⑤. 二．解答题：
15.因为0222)()(222=•+•+•+++=++•++c a c b b a c b a c b a c b a ， 由4||,1||,3||===，所以0)(21619=•+•+•+++，13-=•+•+•.
16.由题意可得21=，21=,)(3
1)(31+-=-=，)(32+-=，41=，4
3=， 所以n m n n m CE DC DE 12
53241)(32--=++-=+=； m n AF EA EF 2143+=+=；n m n m m BD FB FD 3
161)(3121-=+-=+=. 17.由题意可得16||2=，4||=，4-=•b a
（1）122)()2(2=-•-=+•-；
（2）|2|b a -212=== （3）设a 与b a +的夹角为θ，则2
3cos ==θ，又︒≤≤︒1800θ，所以︒=30θ，a 与b a +的夹角为︒30。
18.因为)2,3(),2,1(-== 所以5||2=，13||=，1=•，
（1）52||==+ ， 4||==-； (2)当向量b a k +与b a 3+垂直时，则有•+)(k 0)3(=+，03)13(2
=+•++k k ，即039)13(5=+++k k 解得5-=k 所以当5-=k 时，向量b a k +与b a 3+垂直；
（3）当向量b a k +与b a 3+平行时，则存在λ使)3(k +=+λ成立，于是⎩⎨
⎧==13λλk 解得31=k ，当31=k 时，)3(3
131k +=+=+，所以31=k 时向量k +与3+平行且它们同向.
19.（1）设),(y x M ，则),(y x =，由题意可知OP OM // 又)1,2(=。
所以02=-y x 即y x 2=，所以),2(y y M ， 则2)2(512205)1,25()7,21(22+-=+-=--•--=•y y y y y y y MB MA ，当2=y 时，•取得最小值，此时)2,4(M ，即)2,4(=。
（2）因为17
174234)
1,1()5,3(cos -=⨯-•-==∠AMB 。
20.因为MB OM OB +=，MC OM OC +=，又MC
MB -=，所以2)2
||||(2||||22)(2-=+⋅-≥-=•=+•OM OM OM ，当且仅当||||=即O 为AM 的中点时，)(+•取得最小值且为2-。