概率论与数理统计_第七章_参数估计_第四节_区间估计

一、区间估计的基本概念
另外定义中的表达式 P{ ( X 1 , X 2 ,, X n ) ( X 1 , X 2 ,, X n )} 1 还可以描述为 :
若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n)
每个样本值确定一个区 间( , ),
每个这样的区间或包含 的真值或不包含 的真值,
四、极大似然估计
它是在总体类型已知条件下使用的一种参数估 计方法 . 它首先是由德国数学家高斯在 1821年提出的 . 然而,这个方法常归 功于英国统计学家费歇 .
Gauss
费歇在1922年重新发现了这 一方法，并首先研究了这种方法 的一些性质 .
Fisher
四、极大似然估计
极大似然估计法的思想 极大似然估计法，是建立在最大似然原理 的基础上的求点估计量的方法。最大似然原理 的直观想法是：在试验中概率最大的事件最有 可能出现。因此，一个试验如有若干个可能的 结果A,B,C, …, 若在一次试验中，结果A出现， 则一般认为A出现的概率最大。
按伯努利大数定理, 在这样多的区间中,
包含真值的约占 100(1 )%, 不包含的约占 100 %.
一、区间估计的基本概念
例如 若 0.01, 反复抽样1000 次,
则得到的1000 个区间中不包含 真值的约为 10个.
一、区间估计的基本概念
2、置信区间的求法 在求置信区间时，要查表求分位点.
四、极大似然估计
极大似然估计定义：
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本 的 联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为
f ( x1 , x2 , xn ; θ )
当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：
L( )
f (x1, x2 ,…, xn;
)
这里 x1, x2 ,…, xn 是样本的观察值 .
三、矩估计法
的函数,记为：
μi μi (θ1 , θ2 ,, θk )
从这 k 个方程中解出
i=1,2, … ,k
θ j θ j ( μ1 , μ2 ,, μk )
j=1,2中的诸 μi ,
即可得诸 θ j 的矩估计量 ：
ˆ θ ( A , A ,, A ) θ j j 1 2 k
四、极大似然估计
似然函数：
L( ) f (x1, x2 ,…, xn; )
L( )看作参数 的函数，它可作为 将以多大可 能产生样本值 x1, x2,… ,xn 的一种度量 .
极大似然估计法就是用使 L( )达到最大值的 ˆ去估计 . 即
ˆ为 的极大似然估计值 . 而相应的统计量 称 ( X ,, X ) θ 1 n 称为 θ 的极大似然估计量 .
查正态分布表得
使
一、区间估计的基本概念
由标准正态分布的上 分位点的定义知
X P z / 2 1 , / n
即 PX z / 2 X z / 2 1 , n n
一、区间估计的基本概念
关于定义的说明
被估计的参数虽然未知, 但它是一个常数 , 没有随机性, 而区间( , )是随机的.
因此定义中下表达式 P{ ( X 1 , X 2 ,, X n ) ( X 1 , X 2 ,, X n )} 1 的本质是 :
随机区间( , ) 以 1 的概率包含着参数 的真值, 而不能说参数以 1 的概率落入随机区间 ( , ).
参数估计
第四节 参数的区间估计
一、区间估计的基本概念
前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算
得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅
是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似 值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好 弥补了点估计的这个缺陷 .
一、区间估计的基本概念
1、 置信区间定义 设 是 一个待估参数，给定 X1,X2,…Xn确定的两个统计量 若由样本
)<b”作等价变形,得到如下形式
即 于是 就是 的100( 1 )％的置信区间.
一、区间估计的基本概念
可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个
待估参数
和估计量T 的函数U(T,
), 且U(T, )
的分布为已知, 不依赖于任何未知参数 .
而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是
否已知，是怎样的类型，至关重要.
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
三、矩估计法
矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出来 的 .由辛钦大数定理 , 若总体 的数学期望 有限, 则有
二、单正态总体的区间估计
统计量
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
二、单正态总体的区间估计
满足
P{θ θ θ} 1 α
则称区间 ( θ , θ ) 是 的置信水平（置信度 )为 1 的置信区间.
和 分别称为置信下限和置信上限.
一、区间估计的基本概念
可见， 对参数 作区间估计，就是要设法找出两个 只依赖于样本的界限(构造统计量).
一旦有了样本，就把
估计在区间
内.

其中 为连续函数 .
三、矩估计法
这表明 , 当样本容量很大时 , 在统计上 , 可以用 用样本矩去估计总体矩 . 这一事实导出矩估计法.
定义 用样本原点矩估计相应的总体原点矩 , 又
用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的 连续函数, 这种参数点估计法称为矩估计法 .
理论依据: 大数定律
矩估计法的具体做法如下： 设总体的分布函数中含有k个未知参数 θ1 , θ2 ,, θk, 那么它的前k阶矩 μ1 , μ2 ,, μk , 一般都是这 k 个参数
若 X 为连续型随机变量 , 则有
所求置信区间为
一、区间估计的基本概念
同样对于
所求置信区间为
由此可见，置 信水平为 的置信区间是 不唯一的。
一、区间估计的基本概念
例 设X1,…Xn是取自 的样本，
求参数 的置信度为
解 选 的点估计为
的置信区间.
,
明确问题,是求什么 参数的置信区间? 置信水平是多少？
2. 寻找参数
T(X1,X2,…Xn) 3. 寻找一个待估参数 和估计量 T 的函数
U(T, ),且其分布为已知.
一、区间估计的基本概念
4. 对于给定的置信水平 1 ，根据U(T, ) 的分布，确定常数a, b，使得 P(a <U(T, )<b) = 1
5. 对“a<S(T,
（4）最后得到最大似然估计量
ˆ ˆ X , X ,...,X i i 1 2 n
i 1,2,...,m
四、极大似然估计
四、极大似然估计
四、极大似然估计
四、极大似然估计
四、极大似然估计
求最大似然估计量的一般步骤为： （1）求似然函数 L （2）一般地，求出 ln L 及似然方程
ln L 0 i ˆ
i 1,2,...,m
i 1,2,...,m
（3）解似然方程得到最大似然估计值
ˆ ˆ x , x ,...,x i i 1 2 n
一、区间估计的基本概念
需要指出的是，给定样本，给定置信水平 ， 置信区间也不是唯一的. 对同一个参数，我们可以构造许多置信区间. 1.在概率密度为单峰且对称的情形，当a =-b时 求得的置信区间的长度为最短. 2.即使在概率密度不对称的情形，如 2分布， F分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的 置信区间.
这里有两个要求:
一、区间估计的基本概念
1. 要求 以很大的可能被包含在区间 要尽可能大 . 内，就是说，概率 即要求估计尽量可靠.
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度
尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
可靠度与精度是一对矛盾，一般是 在保证可靠度的条件下尽可能提高 精度.
一、区间估计的基本概念
于是得 的一个置信水平为 1 的置信区间
z / 2 , X z / 2 . X n n
这样的置信区间常写成 X z / 2 . n
其置信区间的长度为 2

n
z / 2 .
一、区间估计的基本概念
从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间 的一般步骤如下: 1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间? 置信水平 是多少? 的一个良好的点估计
j=1,2,…,k
矩估计量的观察值称为矩估计值 .
三、矩估计法
三、矩估计法
三、矩估计法
三、矩估计法
三、矩估计法
三、矩估计法
三、矩估计法
三、矩估计法
矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体 是什么分布 . 缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分 布提供的信息 . 一般场合下,矩估计量不具有唯一性 . 其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体 矩用相应样本矩代替带有一定的随意性 .
~ N(0, 1)
寻找一个待估参数和 统计量的函数 ，要求 其分布为已知.
寻找未知参 数的一个良 好估计.