分数阶微积分的产生及演变

现在，基础数学研究和工程应用研究中最 常用的有以下四种分数阶微积分的定义： Grunwald-Letnikov分数阶微积分， RiemannLiouville分数阶微积分，Caputo型分数阶导数和 Riesz分数阶微积分。 Grunwald-Letnikov定义是 差分格式定义，与Riemann-Liouville等定义比较， 该定义较少地被用于数学理论分析。然而，它 在微积分方程理论和数值计算方面使用较多。 Riemann-Liouville定义采用微分—积分形式，避 免了极限求解，在数学理论研究中起着重要作 用。
(2)分数阶微积分的数值求解、分数阶微积分定 义的扩展与延伸(如分形导数的一些性质与分析； 正定分数阶微积分的性质与应用)。 (3)分数阶微积分不同于整数阶微积分的性质研 究，分数阶微积分的积分变换，如傅里叶变换、 拉普拉斯变换、z变换等。以上都是分数阶微积 分理论研究的重要方向。
现在，虽然分数阶微积分的定义已被提出， 但是分数阶微积分的理论体系还有待进一步的 扩充与完善，如时间分数阶微积分定义的统一 问题。空间分数阶导数的定义问题更为严重， 在现阶段，空间分数阶微积分的定义在数值计 算中较为使用的是Grunwald-Letnikov定义与 Riesz-Feller定义，其次是Riemann-Liouville定义。 多维空间分数阶定义方面，比较成功的是分数 阶拉普拉斯定义，但是该定义也比较繁琐，现 阶段还未见应用到微分方程的求解中。
进入21世纪以来，分数阶微积分建模方法 和理论在高能物理、反常扩散、复杂粘弹性材 料力学本构关系、系统控制、流变性、地球物 理、生物医学工程、经济学等诸多领域有了若 干非常成功的应用，凸显了其独特优势和不可 代替性，其理论和应用研究在国际上已成为一 个热点。
另外，分数阶微积分的非局域性质，导致 分数阶导数控制方程数值模拟的计算量和存储 量随问题规模的增大而增加得比相应整数阶方 程快得多，一些计算整数阶方程十分有效的数 值方法对分数阶方程也完全失效。而且，目前 大多数的分数阶微积分方程模型还是唯象模型， 其内在的物理和力学机理还不是很清楚，有待 进一步的深入研究。
四 Caputo分数阶微积分
ห้องสมุดไป่ตู้ 五 空间分数阶拉普拉斯算子的Riesz 定义
六 总结
分数阶微积分的理论主要的研究内容包括： (1)分数阶微积分定义的修正与完善。现在分数 阶微积分的定义有十几种，而这些定义之间又 存在密切的联系。但是，由于定义的使用范围、 涉及的初值条件等不相同，所以在应用方面存 在一些不确定性，因此分数阶微积分定义的分 类与统一是一项非常有意义的开创性工作。
为了方便实际问题的建模，在黏弹性材料 的研究中引入了另一种分手阶微积分的定义， 即Caputo微分。Caputo定义在建模应用及积分 变换中满足的初始条件以整数阶微积分的形式 给出，现在实际问题建模过程中广泛应用 Caputo定义。
二 Grunwald-Letnikov分数阶微积分
三 Riemann-Liouville分数阶微积分
只有在分数阶微积分的定义比较完善的情 况下，分数阶微积分才能更广泛地应用于自然 学科的各个领域。 还有需要指出的就是分数阶微积分的性质 还没有完全被揭示出来，如傅里叶变换、拉普 拉斯变换、分数阶微积分与整数阶微积分的联 系与区别等。
分数阶微积分的产 生及演变
一 引言
分数阶微积分是一个古老而新鲜的概念。 早在整数阶微积分创立的初期，就有一些数 学家，如L‘hospital、Leibniz等开始考虑它 的含义。然而，由于缺乏应用背景支撑等多 方面的原因，它长期以来并没有得到较多的 关注和研究。随着自然科学和社会科学的发 展、复杂工程应用需求的增加，尤其是20世 纪七八十年代以来对分形和各种复杂系统的 深入研究，分数阶微积分理论及其应用开始 受到广泛关注。