大学数学建模(东华理工大学)

输油管的布置

摘要

本文针对输油管的布设进行分析，从有共用管线和无共用管两方面考虑，分析两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种情形，以假设三家公司估算附加费用比率来计算，建立管线布置几何模型，多元函数求极值利用MATLAB简化计算，用数学建模的方法进行定量分析与评价。

对于问题一，分两种情况讨论：一是无共用管线，二是有共用管线。依据管线布置模型及共用与非共用管线费用的等值关系，构建一元与多元函数，应用多元函数求极值，结合物理镜像原理简化计算最优值，建立数学模型推断不同管线建设费用最省的方案。

对于问题二，考虑到城郊区费用对车站点的影响，建立几何管线布置模型，应用多元函数求极值，及物理镜像原理对所建城郊区车站管线铺设费用数值进行量化，管线铺设费用均相同，城区管线铺设增加工程拆迁与补偿等附加费用以假设比率比算，结合实际情形确定相应管线布置方案，计算出所需费用。

对于问题三，结合一、二问题所建几何模型，进一步分析，根据炼油厂生产能力选用相应油管，管线铺设费用数据套用问题二中模型函数表达公式进行定量分析解算，选用管线布置最佳方案与费用。

关键词：镜像原理、管线费用、多元函数、几何模型

1.问题重述

某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。根据这种模式的实际普遍性，油田设计院希望应用数学模型方法建立管线建设费用最省的设计方案。

问题1:针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，方案设计时，在有共用管线的情况下，考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。

问题2:设计院目前需对一种更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂中的A 厂位于郊区,B 厂位于城区。假设所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示：

请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。

3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A 厂成品油的每千米5.6万元，输送B 厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。推断出管线最佳布置方案及相应的费用。

2.问题分析

题目要求分析共用管线与非共用管线及两者的等值关系对铺设费用的影响，并利用各因素建立最优的管线布置方案。而在铺设管线时需要考虑到：如何确定各个因素在有共用管线与无共用管线间量化，对车站所在位置分析；在知道各因素影响后，怎样在各方案中建立几何模型，应用多元函数求极值选择最合适，最均衡的方法。

对于问题一，在分析铺设有共用管线与非共用管线两种费用情形下，首先把有共用管线布置时，A 厂铺设费用1p ，B 厂铺设费用2p ，共用管线费用3p ，p p p ==21，p p p 23<<；无共用管线布置时，考虑21p p =，21p p ≠。结合这两种布置情况进行

量化，以此可以得到布置方案相应费用数值，也就是量化后的数量指标。

问题二在问题一的基础上，考虑到城郊管线铺设费用不同情形下的影响，对城区铺设增加附加费用进行比率权重计算，然后以分界线分别定量分析车站建城郊进行量化，哪种更合适，对于建立在郊区有哪些优势所在。

对于问题三，在建立输油管布置几何模型下，铺设费用各自的不同来量化考虑，与问题二中所要计算方案相似，同样应用多元函数求极值，MATLAB软件计算，最终以确定极值目标函数来实现最合适的方法。

3.模型假设与符号设定

3.1模型假设

1、不考虑天气、自然灾害因素对管线铺设费用的影响。

2、输油管大小相同，在运输油过程中不考虑泄漏事故。

3、车站所建位置对周围环境没有影响。

4、管线输送成品油型号相同，不考虑共用管线所产生的影响。

5、两家炼油厂生产效率相同。

6、管线铺设接点不影响。

7、铁路线路是直线型

3.2 符号设定

A: 表示炼油厂A

B: 表示炼油厂B

a：表示A厂到铁路线的距离

b:表示B厂到铁路线的距离

c:A厂与B厂铁路线水平距离

M：两厂铺设管线在有共用管线情况下交点

Q：表示管道线与铁路的交点

A:关于A厂在x轴上的对称点

1

B 1：表示B 厂到接点经过城郊区分界线的交点

0p ：表示B 厂到交点1B 路段所增加的附加费用

1p ：表示A 厂到接点M 路段管线铺设费用

2p ：表示B 到接点M 路段管线铺设费用

3p ：表示共用管道管线铺设费用

4p ：表示1B 到接点M 路段管线铺设费用

F ：表示管线铺设费用以及附加费用的总值

W ：表示权量

4.模型的建立与求解

4.1 对于问题一

在管线的选取上，可分为共用管线和非共用管线在费用上的差异建立相应的模型，以下是各模型的建立与求解：

4.1.1 情形1：无共用管线

在铁路上建立坐标系，以铁路OC 为横轴，OA 为竖轴，建立平面直角坐标系，同时利用镜像原理，在OC 上取任意一点()0,x M ,OA 的长度为a ，坐标为()a A ,0，CB 的长度b ，坐标为()b c B ,，AM 的管线费用为1p ，BM 的管线费用为2p ；费用函数：222221)()(x c b p a x p x F -+⋅++⋅=.

讨论：（1）当p p p ==21时 （见图4.1.）并建立几何模型

图4.1：几何示意图 有))(()(2222x c b a x p x F -+++⋅=，)(x F 关于x 的导数，并令

0))

((2222=-+-+⋅=x c b x a x x p dx dF ⇒b a c a x +⋅=. 即：当b

a c a x +⋅=时管线铺设费用值达到最小，最小值为： ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅=+⋅2222)(b a c a c b a b a c a p b a c a F 此时由镜像原理，满足三点成一线使得管线长最短，利用相似三角形原理，可得方程式：()b

a c a x

b x x

c a x c x b a +⋅=⇒⋅=-⋅⇒-=，从而所需的费用也达到最少.(见图

4.2)

图 4.2：镜像原理示意图

（2）当21p p ≠时（见图4.3.）并建立几何模型。