量子力学期末复习提纲、试卷及答案(知识点体系概括)

量子力学期末复习提纲、试卷（知识点体系概括）第一章绪论

1、了解黑体辐射、光电效应和康普顿效应。

2、掌握玻尔—索末菲的量子化条件公式。

3、掌握并会应用德布罗意公式。期中考）

4、了解戴维逊-革末的电子衍射实验。

第二章波函数和薛定谔方程

1、掌握、区别及计算概率密度和概率

2、掌握可积波函数归一化的方法期中考）

3、理解态叠加原理是波函数的线性叠加

4、掌握概率流密度矢量*

5、理解定态的概念和特点

6、掌握并会应用薛定谔方程求解一维无限深方势阱中粒子的波函数及对应能级（期中考）

7、掌握线性谐振子的能级

8、定性掌握隧道效应的概念及应用。期中考）

第三章量子力学中的力学量

1、会算符的基本计算

2、掌握厄米算符的定义公式，并能够证明常见力学量算符是厄米算符。57

3、了解波函数归一化的两种方法

4、掌握动量算符及其本征方程和本征函数期中考）52、57

5掌握角动量平方算符和z分量算符各自的本征值，本征方程期中考）

6、掌握三个量子数n,l,m的取值范围。

7、了解氢原子体系转化为二体问题65

8、掌握并会求氢原子处于基态时电子的最可几半径期中考）67

9、掌握并会证明定理属于不同本征值（分立谱）的两个本征函数相互正交期中考）69

10、力学量算符F的本征函数组成正交归一系的表达式（分立谱和连续谱）期中考）70

????11、理解本征函数的完全性，掌握波函数按某力学量的本征函数展开（分立谱），会求展开系数，理解展开系数的意义。

12、掌握两个计算期望值的公式，会证明其等价性，74

能应用两公式计算期望值期中考）74

13、掌握坐标、动量算符之间的对易关系，掌握角动量算符之间的对易关系。77

14、掌握并会证明定理:如果两个算符有一组共同本征函数，而且本征函数组成完全系，则两个算符对易78

15、掌握不确定关系不等式。期中考）80

第四章态和力学量的表象（4.1~4.3节）

1、理解和掌握什么是表象

2、理解不同表象中的波函数描写同一状态。

3、理解态矢量和希尔伯特空间

4、了解算符F在Q表象中的表示形式，算符在其自身表象中的表示

形式。

掌握每章后边的小结内容（没讲过的除外）

分析：

1、掌握、区别及计算概率密度和概率

8、掌握并会求氢原子处于基态时电子的最可几半径 （期中考）

12、掌握两个计算期望值的公式，会证明其等价性

能应用两公式计算期望值

9、掌握并会证明定理属于不同本征值（分立谱）的两个本征函数相互正交 （期中考）

14、掌握并会证明定理如果两个算符有一组共同本征函数，而且本征函数组成完全系，则两个算符对易 （期中考）

2、掌握厄米算符的定义公式，并能够证明常见力学量算符是厄米算符

试卷

1、德布罗意的物质波理论认为粒子的能量E 、动量P 与物质波的频率v 和波长λ的关系为

( νh E = )、( n h p

λ=或λ

h p = ) 。 2、量子力学中用（波函数）描写微观体系的状态。

3、()2,t r Ψ 是粒子t 时刻（在r 处的概率密度），()2,t p c

是粒子t 时刻（具有动量p 的概率密度）。

4、扫描隧道显微镜是利用（隧道效应）制成的。

5、氢原子电子的第n 个能级是（2

n ）度简并的。 6、F ˆ的本征值λ组成连续谱，则本征函数λφ的正交归一性表达式（ 书P70

()λλτφφλλ'-='

⎰δd * ）。 7、坐标和动量的不确定关系式（()()4

222 ≥∆∆x p x 或()()2 ≥∆∆x p x ）。 8、如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的（共同本征函数）。

二、求角动量算符的对易关系[]

y

x L L ˆ,ˆ（5分） 证明：书P77

三、证明当氢原子处于基态时，电子在与核的距离为0a r =(玻尔半径)处出现的概率最大（10分）书P67

四、证明厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。（10分） 证明：书P69

五、一粒子在一维势场,()0,,x a U x a x a x a ∞<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪∞>⎩

中运动，求粒子的能级和对应的波函数（20

分）

解：书P26例题

六、设t=0 时，粒子的状态为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+=kx kx A x cos 21sin )(2ψ 求此时粒子的动量期望值和

动能期望值。（20分）

解：书P92习题3.6

七、（1）写出动量算符x p

ˆ的本征函数()x x p ψ，本征方程。求粒子处于()x x p ψ态时的坐标概率分布函数()2

x x p ψ。 （2）求处于坐标算符x

ˆ的本征态()()x x x x '-='δψ态中粒子的动量概率分布函数()2

x x p c '。 （3）并通过两个结果文字解释坐标和动量的不确定关系。（15分）