第二章第一节曲面的概念显式方程和隐式方程表示

第二章 曲面的表示与曲面论

第一节 曲面的显式方程和

隐式方程

一、由显式方程表示的曲面

设2D R ⊂是有界闭区域， 函数R D f →:连续。我们称函数f 的图像

}),(),,(:),,{()(3

D y x y x f z R z y x f G ∈=∈= 为一张曲面，它展布在D 上， 称这个曲面是由显式方程

D y x y x f z ∈=),(),,(

所确定的。

通常用∑表示一个曲面。

二、几种常见的曲面

例1 在空间直角坐标系中，中心在坐标原点、半径为a 、在xy 平面上方的那个半球面（称为上半球面），它的显式方程为

2

22y x a z --=，D y x ∈),(， 其中

}:),{(222a y x y x D ≤+=，即D 是xy 平面上以原点为中心、半径为a 的圆盘。

显然，下半球面的方程为

2

22y x a z ---=，D y x ∈),(； 同样可给出左半球面、右半球面的方程式。

例2 点集

}1,0,,:),,{(=++≥z y x z y x z y x

是3R 中的一块等边三角形。

这块曲面有显式表达

y x z --=1，D y x ∈),(，

其中}1,0,:),{(≤+≥=y x y x y x D 。

例 3 由方程axy z =，2),(R y x ∈，

（常数0>a ），所确定的曲面称为双曲抛物面。

由于这曲面在在xy 平面的上的，第一、第三象限中，在xy 平面的上

方，而在第二、第四象限中是在xy 平面的下方，因此在原点)0,0,0(的近旁，曲面呈鞍的形状，俗称马鞍面。

例4 旋转曲面的方程

1设在xz 平面上有一条显式曲线)0(),(b x a x f z ≤≤≤=。

如果固定z 轴不动，让xz 平面绕着z 轴旋转 360，那么这一条曲线就扫出一张曲面，称之为旋转曲面∑。

设∑∈),,(z y x ，它在过点),0,0(z 平行于xy 平面的平面上，以),0,0(z 为中心，半径为

r 的圆周上

（)(r f z =），

222r y x =+， 于是得这个旋转曲面∑的方程为):(),(222222b y x a D y x f z ≤+≤+=。

曲线⎩

⎨⎧=≤≤≤=,00),(y b x a x f z

称为这个旋转曲面∑的发生线。

为了了解旋转曲面的几何形态，通常看一看发生线的形状就足够了。

例如 曲面

222),(,R y x y x z ∈+=，

是一个旋转曲面，

这是一个圆锥面；

它的发生线是直线

)0,0(,=≥=y x x z 。

曲面

22y x z +=，2),(R y x ∈，

是一个旋转抛物面，因为它的发生线是抛物线)0,0(,2

=≥=y x x z

2 把xz 平面上的曲线

),0)()((b x a x f x f z ≤≤≥=

绕x 轴旋转一周，那么这条曲线就扫

出一张曲面，称之为旋转曲面∑。

设∑∈),,(z y x ，它在过点)0,0,(x 平行于yz 平面的平面上，以)0,0,(x 中心，半径为)(x f 的圆周上。 显然，曲面∑的方程为

222))((x f z y =+，

由此得旋转曲面在z 正方向的方程为22))((y x f z -=，D y x ∈),(， 其中D 是旋转曲面在xy 平面的投影区域，

b x a x f y x f y x D ≤≤≤≤-=),()(:),{(。 例如 把xz 平面上曲线22x a z -=， 绕x 轴旋转一周，所得旋转曲面

方程为2222a z y x =++ 。

三、曲面的隐式表示

例如，

}0:),,{(2222=-++a z y x z y x 表示中心在原点，半径为a 的球面，

这个球面上的点完全可以用方程02222=-++a z y x 的解),,(z y x 来表示。

一般地，设三元函数F 定义在区域3

R D ⊂，区域D 中所有满足方程 0),,(=z y x F ， （2） 的点集组成一张曲面，称为由方程

（2）所确定的隐式曲面。 例如，0122

2222=-++c z b y a x 表示椭球面；

0)(2

22=+-y x z 表示锥面。 四、曲面的切平面和法向量 设D z y x p ∈=),,(0000是隐式曲面

（2）上的一点，任意作一条过点0p 的曲面上的曲线Γ，设Γ有参数方程

)(),(),(t z z t y y t x x === 并且参数0t 对应着点0p ，将参数方程的三个分量代入（2），得到一个

关于t 的恒等式

0))(),(),((≡t z t y t x F ，

对上式双方在点0t 处求导， 得到

0)()()()()()(000000='∂∂+'∂∂+'∂∂t z p z

F t y p y F t x p x F 用向量的内积来表示，上式乃是 ()0)(),(),()(),(),(000000='''⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂t z t y t x p z F p y F p x F ， 这表明：曲线Γ在点0p 的切向量与向量

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇)(),(),()(0000p z F p y F p x F p F （3） 垂直，由于Γ是曲面上过点0p 的任

一条曲线，而（3）是一个固定的向量，这表明：曲线上过点0p 的任何曲线在点0p 的切线是共面的。这个平面称为曲面（2）在0p 的切平面，而向量（3）称为曲面（2）在点0p 处的一个法向量，所以，曲面（2）在点0p 处的切平面的方程是