第二节力的合成与分解、探究力的合成平行四边形定则

§2．2 力的合成与分解、探究力的合成平行

四边形定则

【知识网络】

1．合力单独作用的效果与几个分力共同作用的效果相同（即所谓“等效”）。从作用效果上看，合力与分力可以相互替换。这里的等效实际上是力在改变物体运动状态这一作用效果的等效。

2．力的合成与分解都遵循平行四边形定则。计算时首先要根据题目要求按照力的平行四边形定则作出力的合成或分解的图示，再根据数学知识解三角形求解合力与分力。主要为求解直角三角形问题，对于较简单的斜三角形问题，也可利用正弦定理、余弦定理或相似三角形的知识求解。

3．二力（F 1、F 2)合成的合力(F )的取值范围为：｜F 1－F 2｜≤F ≤（F 1＋F 2）.

在两个分力大小一定的情况下，随着两分力夹角的增大，合力逐渐减小。当两分力夹角为零时，合力最大：F max =F 1+F 2；当两分力夹角为180°，合力最小：F min =｜F 1-F 2｜。

4．把一个已知力分解为两个互成角度的分力，如果没有条件限制，可以分解为无数对分力。要得到确定的答案，必须给出一些附加条件，如已知两个分力的方向、已知一个分力的大小及方向等。

在实际分解中一般要根据力的实际作用效果进行分解，同一个力在不同的条件下产生的效果不同。把一个力根据其效果分解的基本方法是：①先根据力的实际作用效果确定两个分力的方向；②再根据两个分力的方向作出力的平行四边形；③解三角形，计算出分力的大小和方向。三角形的边长代表力的大小，夹角表示方向。

另外一种常用的力的分解方法叫正交分解法，就是把物体受到的各个力都分解到互相垂直的两个方向上去，然后分别求每个方向上的力的代数和。求出了两个正交的方向上的合力后，就可以根据平衡条件或牛顿定律进行列式计算。正交分解法是一种特殊的处理问题的方法，它的本质还是等效替代。这种方法的突出优点是把复杂的力的矢量运算转化为互相垂直方向上的简单的代数运算。特别适用于多力（三个或三个以上的共点力）作用下的物体的平衡或加速问题。因此，对此方法应注意重

点掌握。

二、几点说明

1．将一个力分解为两个分力，由力的矢量三角形法则可知，有惟一解的有以下三种：

①两个分力方向已知；

②一个分力的大小和方向均已知；

③一个分力F 1的大小已知,另一个分力F 2的方向已知（F 1、F 2的夹角为θ），且满足F 1＝F 2sin θ。

应注意，与三条边决定一个三角形的情况不同，若二个分力F 1 、F 2的大小已知，且满足F 1+F 2＞F 时，并不能惟一地确定力矢量三角形（从空间的角度讲，可能有无数个力矢量三角形）即没有惟一解，另外，在一个分力F 1的大小已知，另一个分力F 2的方向已知的情况下，若F 1＞F 2sin θ，力矢量三角形可能有两个，也可能只有一个，因此也没有惟一解（想一想，为什么？）。

2．求合力或分力的主要方法有以下几种： ⑴平行四边形定则，合力F=θcos 2212

22

1F F F F ++；

⑵三角形定则，即不共线的两个共点力与它们的合力构成力三角形 。利用解直角三角形的方法或正弦、余弦定理、相似三角形的相似比相等等几何知识来分析求解相关问题，直观、简捷；

⑶正交分解法。这是一种万能之法，尤其适用于求多个力的合成情况。选取力分解方向的原则是：尽量减少需分解力的个数。

3．平行四边形定则虽然首先通过对力的等效转换研究，由实验确定，但它却是整个中学物理矢量运算的基本定则，物理学中的其他矢量如位移、速度、加速度、动量、冲量、电场强度、磁感强度等矢量合成与分解亦遵从平行四边形定则。

4．一条直线上的矢量加减是在矢量平行四边形关系中当两分矢量夹角为0°、 180°两种情况下的特例。在实际中很常见，因此应熟练掌握其运算方法：先规定正方向，将和正方向一致的矢量记作正，相反的矢量记作负，再直接加减。对未知矢量，可先假设其方向沿规定的正方向，若求解结果为正，表示其方向与规定的正方向一致，求解结果为负，则表示其方向与规定的正方向相反。 三、探究力合成的平行四边形法则 1．实验方法：

a.先用两个力作用在物体的同一点上，使它产生一定的效果，如把橡皮筋一端固定，拉另一端到某一点O ；

b.再用一个力作用于同一点上，让它产生与第一次

的两个力作用效果相同，即也把橡皮筋拉到点O 。 c.记下各个力的大小、方向、画出各个力的图示，就能研究出力F 与力F1、F2的关系

2．实验结论：合力F 不能简单地用F1、F2的代数和表示，力F 好像是力F1、F2为邻边所做的平行四边形的对角线。

通过作图得出结论：F 与F ′基本重合 3．误差产生原因：

a ．弹簧秤使用前要检查指针是否指在零点。

b ．弹簧秤要与木板表面平行。 【典型例题】

[例1]在已知的一个力的分解中，下列情况具有惟一解的是( )

A ．已知两个分力的方向，并且不在同一直线上

B ．已知一个分力的大小和方向

C ．已知一个分力的大小和另一个分力的方向

D ．已知两个分力的大小

[例2](1)在探究“力合成的平行四边形法则”的实验中，其中的三个实验步骤是：

（a ）在水平放置的木板上垫一张白纸，把橡皮条的一端固定在木板上，另一端拴两根细线，通过细线同时用两弹簧互成角度地拉橡皮条，使它与细线的结点达到某一位置O 点，在白纸上记下O 点和两弹簧秤的读数F 1和F 2。

（b ）在纸上根据F 1和F 2的大小，应用平行四边形定则作图求出合力F 。

（c ）只用一个弹簧秤通过细绳拉橡皮条，使它的伸长量与两个弹簧秤拉时相同，记下此时弹簧秤的读数F'和细绳的方向。

以上三个步骤中均有错误或疏漏，指出错在哪里？ 在（a ）中是__________________________。 在（b ）中是__________________________。 在（c ）中是__________________________。 (2)在《互成角度的两个共点力的合成》的实验中，两个弹簧秤的拉力F 1和F 2已于图12中作出了它们的图示，O 是橡皮条的一个端点，图中每格的长度代表1 N 。

（1） 用作图法作出合力F

的图示； （2） 合力F 的大小是_______N 。

[例3]水平横梁的一端A 插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B ，一轻绳的一端C 固定于墙壁上，另一端跨过光滑滑轮后悬挂一质量为m=10kg 的物体，如图所示。∠ABC=30°,则滑轮受到绳子的作用力大小

为 。(g 取10m/s 2) [例4]如图所示，楔形物倾角为θ=30°，放在水平地面上，轻质硬杆下端带有滑轮，上端顶有1000N 的物体，则当作用于楔形物上的水平推力多大时，才能将重物顶起？并讨论此装置能省力的条件。（不计竖直槽与硬杆之间的摩擦及滑轮与楔形物间的摩擦）

[例5]如图所示，一直角斜槽（两槽面间夹角为90°）对水平面的倾角为θ，一个横截面为正方形的物块恰能沿此斜槽匀速下滑，假定两槽面的材料和槽面

的情况相同，求物块和槽面之间的滑动摩擦系数μ

。

【自我检测】

1．物体受共点力F 1、F 2、F 3作用而做匀速直线运动，则这三个力可能选取的数值为( ) A ．15 N 、5 N 、6 N B ．3 N 、6 N 、4 N C ．1 N 、2 N 、10 N D ．1 N 、6 N 、

8N

2．如图所示，物体静止于光滑水平面M 上，力F 作用于物体O 点，现要使物体沿着OO ′方向做加速运动（F 和OO ′都在M 水平面内）.那么，必须同时再加一个力F ′，这个力的最小值是（ ） A ．Fcos θ B ．Fsin

θ C ．Ftan θ D ．Fcot θ