人教版_选修2-1_第三章_空间向量试卷(含答案)

第三章 空间向量与立体几何

（时间：120分钟，满分：150分）

第I 卷（选择题）

班别 姓名 成绩

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

A.15，12 B ．5，2 C ．－15，－12 D ．－5，－2 解析：选A.a ∥b ，则存在m ∈R ，使得a ＝m b ，又a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(6,2μ－1,2)，则有 ⎩⎪⎨⎪

⎧ λ＋1＝6m ，0＝m (2μ－1)，2λ＝2m ，

可得⎩⎨⎧

λ＝15

，μ＝1

2.

2．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)三点，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形

解析：选A .AB →＝(3,4，－8)，BC →＝(2，－3,1)，CA →

＝(－5，－1,7)， ∴BC →·CA →＝－10＋3＋7＝0. ∴BC ⊥CA. ∴△ABC 是直角三角形．

3．已知向量(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（ ） A ．1 B ．

15 C ．35 D ．7

5

【答案】D 试题分析：依题意可得(1,,2),2(3,2,2)ka b k k a b +=--=-，由()(2)ka b a b +⊥-可得

()(2)0ka b a b +⋅-=，所以3(1)240k k -+-=，解得7

5

k =

，选D. 4．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(－2，－1,1)，c ＝(3,1,0)，则|a －b ＋2c |等于( )

A ．310

B ．210 C.10 D ．5 解析：选A.|a －b ＋2c |＝

(a －b ＋2c )2，

∵a －b ＋2c ＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(9,3,0)，

∴|a －b ＋2c |＝92＋32＋0＝310. 5．给出下列命题： ①已知a ⊥b ，则a ·(b ＋c )＋c ·(b －a )＝b ·c ；

②A 、B 、M 、N 为空间四点，若BA →、BM →、BN →

不能构成空间的一个基底，则A 、B 、M 、N 四点共面； ③已知a ⊥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底；

④已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则基向量a ，b 可以与向量m ＝a ＋c 构成空间另一个基底． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选C.当a ⊥b 时，a ·b ＝0，a ·(b ＋c )＋c ·(b －a )＝a ·b ＋a ·c ＋c ·b －c ·a ＝c ·b ＝b ·c ，故①正确；

当向量BA →、BM →、BN →不能构成空间的一个基底时，BA →、BM →、BN →

共面，从而A 、B 、M 、N 四点共面，故②正确；

当a ⊥b 时，a ，b 不共线，任意一个与a ，b 不共面的向量都可以与a ，b 构成空间的一个基底，故③

错误；

当{a ，b ，c }是空间的一个基底时，a ，b ，c 不共面，所以a ，b ，m 也不共面，故a ，b ，m 可构成空间的另一个基底，故④正确．

6．已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0, 4),C(2,-2,3),则与的夹角θ的大小是( )

(A) (B)π (C) (D)π 【答案】B 【解析】由题意知

=(-2,-1,3),

=(-1,3,-2),故cos θ=

==-, 所以θ=π.

7．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )

A ．P(2,3,3)

B ．P(－2,0,1)

C ．P(－4,4,0)

D ．P(3，－3,4)

解析：选A.逐一验证法，对于选项A ，MP →

＝(1,4,1)， ∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．

8．已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC

中点，则MN →

等于( )

A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D.23a ＋23b －12

c 解析：选B.因MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →

)－23OA →＝12b ＋12c －23

a .

考点：1.空间向量的坐标运算；2.空间向量垂直的条件；3.空间向量的数量积.

9．已知非零向量a,b 及平面α,若向量a 是平面α的法向量,则a ·b=0是向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内的( )

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】C

【解析】∵a,b 是非零向量,且a 是平面α的法向量,∴当a ·b=0时,向量b 所在的直线平行于平面α或在平面α内,反之也成立.

10．已知(2,2,5)u =-，(6,4,4)v =-，u ，v 分别是平面α，β的法向量，则平面α，β的位置关系式 A ．平行 B ．垂直 C ．所成的二面角为锐角 D ．所成的二面角为钝角 【答案】B

试题分析：由(2,2,5)u =-，(6,4,4)v =-，可得262(4)540u v ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以u v ⊥，而u ，

v 分别是平面α，β的法向量，所以αβ⊥，选B.

考点：空间向量在解决空间垂直中的应用.

11．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为DD 1的中点,O 为底面ABCD 的中心,P 为棱A 1B 1上任意一点,则直线OP 与直线AM 所成的角是( )

(A) (B) (C) (D) 【答案】D

【解析】结合图形建立空间直角坐标系,通过向量的坐标运算可知AM ⊥OP 恒成立,即AM 与OP 所成的角为. 12．如图,正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G 分别是线段AE,BC 的中点,则AD 与GF 所成的角的余弦值为( )