弹性力学教程

4.应力边界条件: 5.位移边界条件:
ui u
0
j
在Su上
6.连续性条件：弹塑性区交界面上 15个未知量，15个方程，可按位移法或应力法求解，比弹性求解还困难。
§4.5理想塑性材料的增量型本构关系
Lery-Mises理论： 1，理论假设： ⑴在塑性区总应变等于塑性应变（忽略弹性应变部分）
dij d ij d ij d ij
s 2 s ,M 条件：
s 3s
2
设： ， | | 2
1
1
2
3
12
， | | 2
1 13
3
，
| | 2
2 23
3
单两个较大的主剪切应力的绝对值之和达到某一数值时，材开始屈服。
1 | 13 | | 12 | 1 2 3 s ， | 2 1 | 13 | | 23 | 1 2 3 s ， | 2
2 2
实验图在
P
45
三、结论 1、Mises屈服条件较Tresca、最大偏应力理论更符合实验。 2、Mises、Tresca屈服条件主要适合于延性金属材料。 3、双剪应力屈服条件也适合于岩石及土体材料。
一、后继屈服条件的概念 1、单向拉伸
§3.4 后继屈服条件及硬化模型
2、复杂应力状态下
3、后继屈服条件（硬化条件）
材料各向同性时，用坐标选择无关的量
f 1， 2， 3 0
或 f 1， 2， 3 0
因为屈服与平均应力无关，所以 二、屈服曲面 1、初始屈服曲面：在复杂应力状态下，初始屈服函数在应力 空间中表示一个曲面，称为初始屈服曲面
由达到初始屈服的各种应力状态点集合而成。
2、屈服轨迹 应力矢量


4 1、用应力偏张量不变量表示： J 2 k 2 3 2、几何图形如前。
平面应力状态下， 3
0
12 - 1 2 22 4k 2 椭圆。
3、优缺点： 优点：考虑了中间应力对屈服的影响，屈服曲线最简，数学处理上 容易，较精确。 缺点：未考虑平均应力的影响。（对岩石类材料不适用）
3、随动硬化模型 认为材料在塑性变形的方向上被硬化，而在其相反方向上被同等软化。考虑包辛格 效应。屈服面的大小，形状不变，只是整体平移了。 4、组合硬化模型 认为后继屈服面的形状，大小和位置一起随着塑性变形的发展而变化。
第4章塑性本构关系
增量理论（流动理论） levy-Mises理论，Prandtl-Reuss理论 全量理论（形变理论） H.Hencky理论，Naday.依留申 §4.1加载与卸载准则 一、理想弹塑性材料的加载与卸载准则
残余应力残余应变
§4.4全量理论的基本方程及边值问题的提法
1.平衡方程:
ij , j Fi 0
ij
1 ( i . j j .i ) 2
2.几何方程
3.本构方程:
1 2 kk kk E 3 eij Sij 2 ( )
dijnj dTi 在ST上
'
2 2 3 1 1 s = 2 2 ( 1 3) 6 (2 2 1 3)

1 s
3
=
2 3

最大偏应力屈服条件：

1 s
3
=
3 | |

4
二、薄圆管受拉力和扭矩联合作用（Taylor—Quinney，1931）

P = ， z 2Rh
⑵体积变形是弹性的。
e
p
p
dkk
当体积不可压缩时，
1 2 dkk E
dkk 0
d
1 2 1 0 E 2
⑶
de ij dSijd 0
p
－－比例系数，决定于质点的位置和加载水平
2本构关系
p de ij dSij d ij dSij dij d Sij p 忽略弹性应变 d kk 0 p
对于理想塑性材料：后 继屈服面与初始屈服面 重合。 服面与初始屈服面不重 合。 对于硬化材料：后继屈
后继屈服面又称为硬化面或加载面。 后继屈服条件（硬化条件）：确定材料处于后继弹性状态还是塑性状态的准则。 后继屈服函数（硬化函数、加减函数）：表示屈服条件的函数关系。
（ij，h） 0
（塑性条件） 由弹性状态进入塑性状态属于初始屈服。 1、初始屈服函数 简单应力状态：拉伸 剪切
s ， -s 0
s ， - s 0
一般应力状态：6个独立应力分量
f x， y， z， xy， yz， zx 0 或 f ij 0 ——初始屈服函数

12
|| 23 |

12
|| 23 | |
1、几何表示
2、应力偏量不变量表示：

3J2
s
'
2 2 max sin sin ， 1 0 3 3
' 1 1 3 3 J 3 sin 3 3 ' 2 2 ( J 2)
3，说明： A 应变增量与应力偏量主轴重合，即应变增量与应力的主轴方向重合。 B 应变增量的分量与应力偏量的分量成比例。
4.
的确定：
3 mises 屈服条件 = 2
=
s s
ij
ij
1 2 2 【（ 1 2 ） （ 2 3 ） （ 3 1 ) 2 】 s 2 3 p p d ij d ij 2
加载
中性变载
卸载
中性变载为强化材料所特有。
§4.2弹性应力-----应变关系
一、广义虎克定律：
1 x x （y z） E
y
1
E

y
（z x）
1 z z （y x） E
yz
yz G
xz
G
zx
xy
xy
P R g 2 2 2 3 = = 2 R g 1 3
2
P=0 时， =-1 P= R g 时， =0
2
简单拉伸 纯剪切 压缩
3
P=2 R g 时， =1
2
Tresca 屈服条件：

wk.baidu.com1 s
=1
4 2 1 2 Mise 屈服条件： J 2 = k = s 3 3
后继屈服条件与初始屈服条件相同
f（ij） 0
f 方向----屈服面外法线方向 ij

准则
f dij 0 ij f dij <0 ij
加载
卸载
二、强化材料准则 A 点屈服面 0 准则
dij >0 ij dij =0 ij dij <0 ij
=
1 代入应变增量： = d

s
令 d =
p
2 3
d

p ij
d

p ij
————等效塑性应变增量
1
2 p p 2 p p 2 p p 2 （d 1 d 2） （d 2 d 1 ） （d 3 d 1 ） = 【 + + 】2 3
4、k 值的确定 简单拉伸：

1
s
0，

2
3
0
T 条件 k s ，M 条件： k s 2 2 纯剪切：

1
， 2 0 ，

3

T 条件： k

s
，M 条件： k
3 2 s
∴ T 条件:
三、双应力屈服条件（最大偏应力屈服条件 认为在一点的应力状态中，除了最大主剪切应力τ13外，其他的主剪切应力也将影响材 料的屈服。（有两个独立）
静水压力影响不影响屈服，只决定于 ， 所以SP直线为屈服面上 的点，所以屈服面为一柱面，且平行L直线。 屈服轨迹：屈服曲面与 平面的交线。
3、屈服轨迹的性质 基本假设a、均匀各向同性材料。 b、没有包辛格效应。 c、塑性变形与平均应力无关。 性质：（1）屈服曲线是一条将原点包围在 内部的封闭曲线； （2）材料的初始屈服只有一次。 （3）屈服曲线对称于AA’,BB’,CC’的轴。
h ------硬化参数
二、几种硬化模型 1、单一曲线假设 认为对于塑性变形中保持各向同性的材料，在简单加载的情况下，各应力分量成比例增加， 其硬化特性可由应力强度 和应变强度的确定函数关系来表示： ，且该函数的 形式与应力状态形式无关，而仅与材料特性有关。
2、等向硬化模型 认为后继屈服面在应力空间中的形状和中心位置保持不变，随着塑性变形的增加，逐渐等 向的扩大。不计静水压力和包辛格效应
G
改写
或写为：
二.偏量形式的本构关系
其中
（五个独立方程，因为
）
由
得
所以.本构关系为：
结论 1.体积变形是弹性的。 2.应力偏量与应变偏量成比例。 3.等效应力与等效应变成比例。 三.卸载胡克定律 服从弹性规律（增量形式）
§4.3 全量型本构关系
伊柳辛理论（小弹性塑性变形理论） 1假设 ①体积变形是弹性的 ②应力偏量与应变偏量相似且同轴
max k
k——试验常数
1、主应力 2、主应力次序未知
已知
平行于L的正六边形柱面。外接圆半径：2k
2 3
如：平面应力状态 令
3 0
的平面斜截所得的图形
3、应力不变量表示Tresca条件：
令 s1 s 2 s3 有： s1 - s 3 2k
4、优缺点 优点：条件是主应力的线性函数，主应力方向已知时，方便。 缺点：忽略了中间应力的影响，且屈服曲线有角点，数学上不方便。
1， 2， 3 2，1， 3 均在屈服曲线 上，对称于AA’。
（4）屈服曲线对称于 AA’,BB’,CC’的直线。 在屈服曲线上，所以屈服曲线 是一条包含原点，在其内部的封闭外凸曲线，且具有6条对称轴，由12条相 同弧段所组成。
§3.2几种常用的屈服条件
一、Tresca屈服条件（最大剪应力条件） 当最大剪应力达到一定的数值时，材料就开始屈服。

z

T 2
Rh
2
1 2 2 z 0 1 z z 2 2 2 r 0 1 2 2 3 z z z 0
2 =

1
2
2
3
=
P
3
P
2
4T 2
2
R
T=0，P>0， =-1 P=0,T≠0， =0 Tresca 屈服条件： 1
③存在单质对应关系
2本构关系
简单加载定理 简单加载：加载过程中，材料内任一点的应力状态。。的各分量都按同一比 例增加。 t→单调递增的正参数 2，简单加载定理 四个条件：①变形是微小的。 ②材料是不可压缩的 ③外载荷按比例单调增长，若有位移边界，只能为零位移边界。 ④材料的 曲线具有 形式
满足，则为简单加载。 3适用范围：满足简单加载条件。 三，卸载定理： 卸载时，按弹性规律变化。
6
§3.3 屈服条件的实验验证
一，薄圆管受拉力和内压的联合作用（Lode，1926年）
已知：平均半径为R，壁厚为h，h<<R 由材力知：
gR P h ， 2Rh ，

r
0
若 > z ，则 1 = ， 2 = z ， 3 = r =0
2
简单拉伸 纯剪切
3 2
2
s 2
z 3 z 1 s s 1 2 2 2 4 Mises 屈服条件： z z z s 4
1 z 3 4 s 4 z 4 z 1 s s
J2 - 3 3J 3 1 cos sin -1 1 0 3 K 3 2 2 J 2
二、Mises屈服条件 认为当形状变形比能达到一定数值是，材料开始屈服。即
1 1 - 2 2 2 - 3 2 3 - 1 2 41 k 2 6E 3E 1 - 2 2 2 - 3 2 3 - 1 2 8k 2