专题训练(三) 求二次函数表达式的常见类型

专题训练(三)求二次函数表达式的常见类型
►类型一已知三点求表达式
1．已知：如图3－ZT－1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求此抛物线的表达式．
图3－ZT－1
2．如图3－ZT－2①，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分)．
图3－ZT－2
►类型二已知顶点或对称轴求表达式
3．如图3－ZT－3，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是______________．
图3－ZT－3
4．在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的表达式．
5．已知抛物线经过点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求该抛物线的表达式．6．如图3－ZT－4，已知抛物线的顶点为A(1，4)，与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．
图3－ZT－4
►类型三已知抛物线与x轴的交点求表达式
7．抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，则此抛物线的表达式为()
A．y＝x2＋2x＋3 B．y＝x2－2x－3
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2＋2x－3
8．如图3－ZT－5，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，且3AB＝4OC，则抛物线的表达式为______________．
图3－ZT－5
9．已知抛物线的顶点坐标为(1，9)，它与x轴有两个交点，两交点间的距离为6，求抛物线的表达式．
►类型四根据图形平移求表达式
10．一个二次函数图象的形状与抛物线y＝－2x2相同，顶点坐标为(2，1)，则这个二次函数的表达式为______________________________．
11．将抛物线y＝1
2x
2平移，使顶点的坐标为(t，t2)，并且经过点(1，1)，求平移后抛物
线对应的函数表达式．
12．把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到如图3－ZT－6所示的抛物线．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)在抛物线上存在一点M，使△ABM的面积为20，请直接写出点M的坐标．
图3－ZT－6
13．如图3－ZT－7，经过点A(0，－6)的抛物线y＝1
2x
2＋bx＋c与x轴相交于B(－2，
0)，C两点．
(1)求此抛物线的表达式和顶点D的坐标；
(2)将(1)中求得的抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移m(m>0)个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围．
图3－ZT－7
详解详析
1．解：把(－1，0)，(0，－3)，(4，5)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，
c ＝－3，16a ＋4b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.
所以此抛物线的表达式为y ＝x 2－2x －3.
2．解：(1)把(0，3)，(3，0)，(4，3)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得
⎩⎨⎧c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3.
所以抛物线的表达式为y ＝x 2－4x ＋3.
(2)因为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，
所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x ＝2.
(3)阴影部分的面积为2.
3．[答案] y ＝－x 2＋2x ＋3
[解析] ∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，∴b 2
＝1，解得b ＝2. ∵抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)，∴0＝－9＋6＋c ，解得c ＝3，
故抛物线对应的函数表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.
4．解：∵二次函数图象的顶点为A (1，－4)，
∴设该二次函数的表达式为y ＝a (x －1)2－4.将(3，0)代入表达式，得a ＝1， 故该二次函数的表达式为y ＝(x －1)2－4，
即y ＝x 2－2x －3.
5．解：∵抛物线的对称轴是直线x ＝2且经过点A (1，0)，
∴由抛物线的对称性可知，抛物线还经过点(3，0)．
设抛物线的表达式为y ＝a (x －1)(x －3)．
把(0，3)代入表达式，得3＝3a ，
∴a ＝1，
∴该抛物线的表达式为y ＝(x －1)(x －3)，
即y ＝x 2－4x ＋3.
6．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1，4)，
∴设此抛物线的表达式为y ＝a (x －1)2＋4.
∵抛物线过点B (0，3)，
∴3＝a (0－1)2＋4，解得a ＝－1，
∴此抛物线的表达式为y ＝－(x －1)2＋4，
即y ＝－x 2＋2x ＋3.
(2)作点B 关于x 轴的对称点E (0，－3)，连接AE 交x 轴于点P .
设直线AE 的表达式为y ＝kx ＋b ，
则⎩⎨⎧k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩⎨⎧k ＝7，b ＝－3，
∴直线AE 的表达式为y ＝7x －3.
当y ＝0时，x ＝37
， ∴当P A ＋PB 的值最小时，点P 的坐标为(37
，0)． 7．[解析] B 由抛物线与x 轴交于点(－1，0)和(3，0)，设此抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －3)．
又因为抛物线与y 轴交于点(0，－3)，把x ＝0，y ＝－3代入y ＝a (x ＋1)(x －3)，得－3＝a (0＋1)(0－3)，即－3a ＝－3，解得a ＝1，故此抛物线的表达式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3.故选B.
8．[答案] y ＝－x 2＋2x ＋3
9．解：由抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的两个交点分别为(－2，0)和(4，0)， 所以设其表达式为y ＝a (x ＋2)(x －4)．
将(1，9)代入表达式，得9＝a (1＋2)(1－4)，
解得a ＝－1.
所以抛物线的表达式为y ＝－(x ＋2)(x －4)，
即y ＝－x 2＋2x ＋8.
10．[答案] y ＝－2x 2＋8x －7或y ＝2x 2－8x ＋9
11．解：根据题意，得平移后的抛物线的表达式为y ＝12
(x －t )2＋t 2. ∵平移后的抛物线经过点(1，1)，
∴1＝12(1－t )2＋t 2，解得t ＝1或t ＝－13
， ∴平移后抛物线对应的函数表达式为y ＝12(x －1)2＋1或y ＝12(x ＋13)2＋19
， 即y ＝12x 2－x ＋32或y ＝12x 2＋13x ＋16
. 12．解：(1)此抛物线的表达式为y ＝(x ＋1)2－4，即y ＝x 2＋2x －3.
(2)∵当y ＝0时，x 2＋2x －3＝0，解得x 1＝－3，x 2＝1，∴A (1，0)，B (－3，0)，∴AB ＝4.
设点M 的坐标为(m ，n )．
∵△ABM 的面积为20，
∴12
AB ·|n |＝20，解得n ＝±10. 当n ＝10时，m 2＋2m －3＝10，
解得m ＝－1＋14或m ＝－1－14，
∴M (－1＋14，10)或M (－1－14，10)；
当n ＝－10时，m 2＋2m －3＝－10，此方程无解．
故点M 的坐标为(－1＋14，10)或(－1－14，10)．
13．解：(1)∵点A 的坐标为(0，－6)，
∴y ＝12
x 2＋bx －6. ∵该抛物线过点B (－2，0)，
∴12
×(－2)2－2b －6＝0，解得b ＝－2， ∴此抛物线的表达式为y ＝12
x 2－2x －6. ∵y ＝12x 2－2x －6＝12
(x －2)2－8， ∴抛物线的顶点D 的坐标为(2，－8)．
(2)平移后所得新抛物线的表达式为y 1＝12
(x －2＋1)2－8＋m ， 即y 1＝12
(x －1)2－8＋m ， ∴顶点P 的坐标为(1，m －8)．
对于y ＝12x 2－2x －6，令y ＝0，得12
x 2－2x －6＝0，解得x 1＝6，x 2＝－2， ∴C (6，0)，
∴直线AC 的表达式为y ＝x －6，
当x ＝1时，y ＝－5.
∵点P 在△ABC 内，
∴⎩⎨⎧m －8＜0，m －8＞－5，
解得3<m <8.。