最新椭圆常用结论及其推导过程资料
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椭圆中重要结论
一 椭圆中的一些不等关系
（1）设椭圆（22
221(0)x y a b a b
+=>>），00(,)P x y 是椭圆上任意一点，12,F F 为
椭圆的两个焦点，则：
① 0a x a -≤≤，0b y b -≤≤
例 已知12,F F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点，P 是椭圆上的一点且
212PF PF c =，则此椭圆离心率的范围是______.
② b PO a ≤≤（其中上下顶点距离坐标原点最近，左右顶点距离坐标原点最远） ③122PF PF c -≤.
例 若椭圆上存在一点P ，使得P 到两个焦点的距离之比为2:1，则此椭圆离心
率的取值范围是______.1
[,1)3
④到左焦点最近的点是左顶点，最远的是右顶点.到右焦点最近的是右顶点，最远的是左顶点.
例 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b c a b
+=>>>的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆
心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的
最小值不小于()2a c -，则椭圆的离心率取值范围为______.3[,52
④过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为a
b 2
2
二 椭圆焦点三角形的结论
（1）已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF 中,21θ=∠PF F 则2
tan
221θ
b S PF F =∆
例 已知12,F F 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且
12PF PF ⊥，若12PF F 面积为9，则短轴长为_____.3
练习椭圆22
194
x y +
=的焦点为12,F F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，
点P 的横坐标的取值范围为_______. (
（2）已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三
角形21F PF ，若12PF PF 最大，则点P 为椭圆短轴的端点，且最大值为2a . 例 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,
P
使得2122PF PF b =，则椭圆的离心率e 的取值范围_________.
（3）已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三
角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点
例 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,
P
使得1290F PF ︒∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围_________.
（4）已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形
21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ
例 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,
P
使得,120021=∠PF F 则椭圆的离心率e 的取值范围_________.2
三 椭圆的中点弦问题
（1）在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>中，若直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，点
00(,)P x y 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为，则
2
020MN
y b k x a
=- （2）在椭圆22
221(0)y x a b a b
+=>>中，若直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，点
00(,)P x y 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为，则
2
020MN
y a k x b
=-
例1 椭圆221169x y +
=，以点(1,2)M -为中点的弦所在直线的斜率为_____.（9
32
）
例2已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交E
于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-，则椭圆的方程为_________.
（22
1189
x y +
=）
练习1 已知椭圆2217525y x +
=的一条弦的斜率为3，它与直线1
2
x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为_____. 11
(,)22
-
练习2已知椭圆22
17525y x +
=，则它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为_____.
0(22
x y x +=-
<<