电磁场二章习题解答

第二章习题解答

2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为423004

9

U d x ρε--=-

，式中阴极板位于0x =，阳极板位于x d =，极间电压为0U 。如果040V U =、1cm d =、横截面210cm S =，求：（1）0x =和x d =区域内的总电荷量Q ；（2）2x d =和x d =区域内的总电荷量Q '。

解 （1） 4323

000

4

d ()d 9d

Q U d x S x τ

ρτε--==-=⎰⎰

11004

4.7210C 3U S d

ε--=-⨯ （2） 432002

4d ()d 9d

d Q U d x S x τρτε--'

'=

=

-=⎰

⎰11004(10.9710C 3U S d ε--=-⨯ 2.2 一个体密度为732.3210C m ρ-=⨯的质子束，通过1000V 的电压加速后形成等速的

质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。

解 质子的质量271.710kg m -=⨯、电量191.610C q -=⨯。由

2

1

mv qU = 得 61.3710v ==⨯ m 故 0.318J v ρ== 2A m

26(2)10I J d π-== A

2.3 一个半径为a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷，球体以匀角速度ω绕一个直径

旋转，求球内的电流密度。

解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球内任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为

sin r φωθ=⨯=v r e ω

球内的电荷体密度为

3

43

Q

a ρπ=

故 33

3sin sin 434Q Q r r a a

φ

φω

ρωθθππ===J v e e 2.4 一个半径为a 的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球表

面的面电流密度。

解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球面上任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为

sin a φωθ=⨯=v r e ω

球面的上电荷面密度为

2

4Q a σπ=

故 2

sin sin 44S Q Q a a a

φφω

σωθθππ===J v e e 2.5 两点电荷18C q =位于z 轴上4z =处，24C q =-位于y 轴上4y =处，求(4,0,0)处

的电场强度。

解 电荷1q 在(4,0,0)处产生的电场为

1

113014q πε'-=

='-r r E r r

电荷2q 在(4,0,0)处产生的电场为

22230244

4q πε-'-=='-e e r r E r r 故(4,0,0)处的电场为

122+-=+=

e e e E E E

2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷

l ρ，求垂直于圆平面的轴线上z a =处的电场强度

(0,0,)a E ，设半圆环的半径也为a ，如题2.6 图所示。

解 半圆环上的电荷元d d l l l a ρρφ''=在轴线上z a =处的电场强度为

d φ'=

=E

(cos sin )

φφφ''-+'e e e

在半圆环上对上式积分，得到轴线上z a =处的电场强度为

(0,0,)d a ==⎰E E

2

[(cos sin )]d z x y ππφφφ'''-+=⎰e e

e 2.7 三根长度均为L ，均匀带电荷密度分别为1l ρ、2l ρ和3l ρ地线电荷构成等边三角形。设1l ρ=22l ρ=32l ρ，计算三角形中心处的

电场强度。

解 建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为

tan 3026

L d L =

=o 则

11

1003(cos30cos150)42l l y

y

d L

ρρπεπε=-=E e e o o

2

120033(cos30sin 30)()

28l l x y y L L ρρπεπε=-+=-E e e e e o o

3130033(cos30sin 30)()28l l x y y L L

ρρπεπε=-=E e e e e o o 故等边三角形中心处的电场强度为

123=++=E E E E

111000333()()288l l l y

y y L L L ρρρπεπεπε-+=e e e e e 1

034l y

L

ρπεe

题 2.6图

1l

题2.7图

2.8 －点电荷q +位于(,0,0)a -处，另－点电荷2q -位于(,0,0)a 处，空间有没有电场强度0=E 的点？

解 电荷q +在(,,)x y z 处产生的电场为

12

2

232

0()4[()]

x y z x a y z

q

x a y z πε+++=

+++e e e E

电荷2q -在(,,)x y z 处产生的电场为

222232

0()24[()]x y z x a y z q x a y z πε-++=-

-++e e e E (,,)x y z 处的电场则为12=+E E E 。令0=E ，则有

2

2

232

()[()]

x y z x a y z x a y z +++=

+++e e e 2

2

232

2[()][()]

x y z x a y z x a y z -++-++e e e

由上式两端对应分量相等，可得到

2223222232()[()]2()[()]x a x a y z x a x a y z +-++=-+++ ① 222322232[()]2[()]y x a y z y x a y z -++=+++ ②

2223222232[()]2[()]z x a y z z x a y z -++=+++ ③

当0y ≠或0z ≠时，将式②或式③代入式①，得0a =。所以，当0y ≠或0z ≠时无解； 当0y =且0z =时，由式①，有

33()()2()()x a x a x a x a +-=-+

解得

(3x a =-±

但3x a =-+

不合题意，故仅在(3,0,0)a --处电场强度0=E 。

2．9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为σ。证明：垂直于平面的z 轴上0z z =处的电场强度E 中，有一半是有平面上半径为03z 的圆内的电荷产生的。

解 半径为r 、电荷线密度为d l r ρσ=的带电细圆环在z 轴上0z z =处的电场强度为

0223200d d 2()

z

r z r

r z σε=+E e 故整个导电带电面在z 轴上0z z =处的电场强度为

0022322212

00000

d 1

2()2()2z z z

r z r z r z r z σσσεεε∞

∞

==-=++⎰E e e e 而半径为03z 的圆内的电荷产生在z 轴上0z z =处的电场强度为

022320000

d 1

2()42

z

z z

r z r r z σσεε'==-==+E e e e E 2.10 一个半径为a 的导体球带电荷量为Q ，当球体以均匀角速度ω

绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度B 。

解 球面上的电荷面密度为

2

4Q a σπ=

题2.10图