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刚体对轴的转动惯量 J 练习
1. 由长l 的轻杆连接的质点如图所示， 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系 对过A垂直于纸面的轴的转动惯量
4m
J = 2ml 2 + 3m(2l ) 2 + (4m + 5m)( 2l ) 2 = 32ml
2
m
l l l
2m
3m
A
l
5m
2. 一长为 L 的细杆， 的细杆，质量 m 均匀分布 ，求该杆对垂 直于杆， 直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。 分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。 解：(1) 轴过中点
ρ=
4 2 2 mr dr 2 dJ = dm ⋅ r = 3 R3
m 4 3 πR 3
dm = ρ dV
J = ∫ dJ = ∫
0
R
2 mr 4 dr 2 2 = mR R3 5
注意： 注意：对同轴的转动惯量具有可加减性。 对同轴的转动惯量具有可加减性。 同轴圆柱 r1 r2 o m m 2
1
J z = J 2 + J1 m 2 r22 m1 r12 = + 2 2
i i i
与 i 有关
第三项： 第三项：
r r ∑ ri′ × m i v i′
i
各质点相对于质心角动量的矢量和
反映质点系绕质心的旋转运动， 反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关， 的选择无关，
r 描述系统的内禀性质： 描述系统的内禀性质： L自旋
于是： 于是：
r L自旋
r L轨道
r r r r r × m i v′ L = rc × Mv c + ∑ ri′ i r r = L轨道 + L自旋
r r r 即： L轨道 = rC × M v C
r r r r r r r L = rc × ∑ mi vi + ∑ ri′× mi vc + ∑ ri′× mi vi′
i i i
第二项： 第二项：
∑
i
r r ri ′ × m i v c =
r rc =
i
∑
i
r r m i ri ′ × v c = M
刚体对z 刚体对z轴的总角动量为： 轴的总角动量为：
dm
Lz = ∫ dLz = ∫ r ωdm = ω ∫ r dm = Jω
2 2
式中
J = ∫ r dm
2
刚体对轴的转动惯量
二、刚体对轴的转动惯量 1. 定义
J = ∑ ri 2 mi
i
刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该 质点到转轴距离的平方之积求和。 质点到转轴距离的平方之积求和。 若质量连续分布， 若质量连续分布，则
r p1
i i i
r r r ri = rc + ri′ Q r r r v i = v c + v i′
有'：对质心 无'：对参考点
rr r r1rc r 2
r cp2
r ri′ θ θ
rr p pii
∴
与i无关
r r r r L = ∑ (rc + ri′) × m i v i
i i i
Lz = ∑ Liz =∑ ri miω = ω ∑ ri mi =Jω
2 2 i i
2
i
式中
J = ∑ ri mi
i
刚体对轴的转动惯量
对质量连续分布的刚体： 对质量连续分布的刚体：
z
r o r
ω
r v
r r r dLo = r × dmv r r 2 d L z = r × d m v = d mr ω
*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋 转运动的强弱。 转运动的强弱。 *必须指明参考点， 必须指明参考点，角动量才有实际意义。 角动量才有实际意义。
2. 质点系角动量
r r r r r r L = ∑ Li = ∑ ri × pi = ∑ ri × mi vi
系统内所有质点对同一参考点 系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和 同一参考点角动量的矢量和
o o
mi r m r ri i ri
r r r r r = rc × ∑ m i v i + ∑ ri′ × m i (v c + v i′ ) r r r r r r = rc × ∑ m i v i + ∑ ri′× m i v c + ∑ ri′× m i v i′
i i i
r r r r r r r L = rc × ∑ mi vi + ∑ ri′× mi vc + ∑ ri′× mi vi′
dm
−L 2
o
x
L 2
x
L L m 1 3 2 2 2 2 m 2 J = ∫ r dm = ∫ x dm = ∫ L x x dx = L − L L 3 2 − m 1 L3 L3 1 2 2 = + = mL
L 3 8 8 12
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
L
x
J = ∫ r dm = ∫ x dm = ∫
练习 5.求长 5.求长 L、质量 m 的均匀杆对 z 轴的转动惯量 用多种方法求： 用多种方法求： 解1：
J z = ∫ l 2 dm =
A
z
L 4
o
L
m
C
B
m 2 7 2 l d l mL = ∫ L 48 −L 4
2 2
3L 4
1 m L 1 3m 3L 7 2 解2： J z = J oA + J oB = + = mL 3 4 4 3 4 4 48
2 2
L
0
m x dx L
2
m1 3 L 1 2 = x = mL L3 0 3
3. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量
dl
r
R
dθ θ
m
dm
解：取离轴线距离相等的点的 集合为积分元
o
ds = 2πrdl = 2πR sin θ ⋅ R dθ
m σ= 2 4πR
1 d m = σ d s = m sin θ d θ 2
i
r L
r L自旋
r L轨道
3. 定轴转动刚体的角动量 转轴
z
角速度
ω
r
z r
o
转动 平面
ω
刚体上任一质点 mi 转轴与其转动平面交点
mi 绕
o圆周运动半径为 r i
r r r 的角动量： Lio = ri × mi vi mi 对 o 的角动量：
r 大小：Lio = ri mi vi = mi ri 2ω Lio ⇒ r 方向：沿ω r 2 r Lio = mi ri ω 即
L 1 7 L 2 解3： J z = J C + m = mL + m = mL2 48 4 12 4
2
2
§5.2 角动量的时间变化率 力矩 1、质点角动量的时间变化率
r r r L=r×p
r r r dL d r r dr r r dp = (r × p) = × p + r × dt dt dt dt r r dr r r r r Q × p = v × p = v × mv = 0 dt r r dL r dp r r ∴ =r× = r ×F dt dt
学时： 学时： 6
Hale Waihona Puke Baidu
§5.1 角动量 转动惯量 力矩
一、角动量 问题： 问题：将一绕通过质心的固定轴转动的圆 盘视为一个质点系， 盘视为一个质点系，系统总动量为多少？ 系统总动量为多少？
r r p总 = MvC = 0
M
C
ω
由于该系统质心速度为零， 由于该系统质心速度为零，所以， 所以，系统总动量为 零，系统有机械运动， 系统有机械运动，总动量却为零？ 总动量却为零？ 说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。 说明不宜使用动量来量度转动物体的机械运动量。
1 d m = mR 2 sin 3θ d θ 2
2
d J = r d m = (R sin θ
2
)
2
J =
∫ dJ =
π
∫
0
1 2 2 3 mR sin θ d θ = mR 2 3
4. 求质量 m ,半径 R 的球体对直径的转动惯量 解：以距中心
R
r ，厚 dr 的球壳
2
r
dr
为积分元
o
m
d V = 4π r d r
第二项
r r r M 2 = r × F⊥
z ⊥
方向平行于轴， 方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态， 其效果是改变绕轴转动状态， r r 称为力对轴的矩， 称为力对轴的矩，表为代数量： 表为代数量： M = ± r × F
r r 垂直于 r 和 p 组成的平面， 组成的平面， 服从右手定则。 服从右手定则。
o
z
r r
r L
o
y
r⊥
r r
m
θ
r p
p⊥
物理意义： 物理意义：
o′
r r′
m
θ
设m 作直线运动
r 以o′为参考点： 为参考点： L′ = 0 r 以 o为参考点： 为参考点： L ≠ 0
o
r r
r p
p⊥
若 r、 p大小相同， 大小相同，则： p⊥ ↑ ， L ↑
2. 对轴的力矩
z
Mz
r r F⊥ F // d o r m
r
r F
r r r r r r M o = r × F = r × ( F// + F⊥ ) r r r r = r × F// + r × F⊥ r r r 第一项 M 1 = r × F//
方向垂直于轴， 方向垂直于轴，其效果是改 变轴的方位， 变轴的方位，在定轴问题 中，与轴承约束力矩平衡。 与轴承约束力矩平衡。
r rc′ =
i
r ∑ mi ri′
i
与 i 无关
M
r × vC
由
r ∑ mi ri M
r ∑ mi ri′ M
∑
i
r r r r ri ′ × m i v c = M rc′ × v c = 0
质心对自己的位矢
r r r r r r r L = rc × ∑ mi vi + ∑ ri′× mi vc + ∑ ri′× mi vi′
质点位矢 合力
r M
rr rr
r F
m
r dL r r =r×F dt r r
大小： 大小：
r F
r × F = rF sin θ = Fd
o
r r
d
θ m
方向： 方向：服从右手螺旋法则 2、力矩 1) 对参考点的力矩
r r r 定义： ： M = r ×F 定义
大小： Fd = Fr sin θ r r 方向： 垂直于 r 和 F 组成的平面 服从右手螺旋法则
第五章 角动量 角动量守恒定律
角动量 转动 惯量 角动量 变化率 力矩 角动量 定理 角动量守 恒定律 空间旋转 对称性
刚体定轴转动定律 重要性： 重要性：中学未接触的新内容 大到星系， 大到星系，小到基本粒子都有旋转运动； 小到基本粒子都有旋转运动； 微观粒子的角动量具有量子化特征； 微观粒子的角动量具有量子化特征； 角动量遵守守恒定律， 角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。 与空间旋转对称性相对应。
z m1 r1 m2 r2
空心圆盘
J z = J 2 − J1 m 2 r22 m 1 r12 = − 2 2
两个常用定理： 两个常用定理：证明见教材92页 平行轴定理
d
J D = J C + md
正交轴定理
2
m
C
D
z
对平面刚体
x
o
y
Jz = J x + J y
教材P.95 一些均匀刚体的转动惯量表
r r p *引入与动量 对应的角量 L ——角动量（ 角动量（动量矩） 动量矩）
动量对参考点（ 动量对参考点（或轴） 或轴）求矩
1. 质点的角动量
r r r r r L = r × p = r × mv
r⊥
m
θ
p⊥
大小： 大小：
r p
L = r mv sinθ = r p⊥ = pr⊥
方向： 方向：右手螺旋法则
i i i
设 M = ∑ mi
r r r r 第一项： ： rc × ∑ m i v i = rc × M v c 第一项
i
i
即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上， 即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上，该 质点对参考点的角动量 以质心为代表， 以质心为代表，描述质点系整体绕参考点的旋转运 动，称为质点系的轨道角动量 称为质点系的轨道角动量。 轨道角动量。
J = ∫ r 2dm 积分元选取： 积分元选取：
λdl
J = ∫ r dm
2
线密度： 线密度： λ , 线元： 线元： d l
面密度： 面密度： σ , 面元： 面元： dS
体密度： 体密度： ρ , 体元： 体元： dV
dm =
σ dS
ρ dV
dm dm
dm
2. 计算 J =
∑r
i
2
i
mi
与刚体总质量有关 与刚体质量分布有关 与转轴的位置有关
r o r
i
r vi
mi
定义： 定义：质点 mi 对 o 点的角动量的大小， 点的角动量的大小，称为质 点对转轴的角动量。 点对转轴的角动量。
r r 2 Liz = r × mi vi = mi ri ω
刚体定轴转动的特点： 刚体定轴转动的特点： (1) 质点均在垂直于转轴的转动平面内， 质点均在垂直于转轴的转动平面内，作半径不 同的圆周运动； 同的圆周运动； r (2) 各质点的角速度 ω 大小相等， 大小相等，且均沿轴向。 且均沿轴向。 刚体对 z 轴的总角动量为： 轴的总角动量为：