切线长定理与弦切角定理(邦德讲义)

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第七节切线长定理及弦切角

教师姓名学生姓名学管师学科数学年级上课时间月日：00--- ：00 课题第七节切线长定理及弦切角教学目标切线长定理的内容及弦切角都是性质应用教学重难点切线长定理与弦切角定理的应用教学过程【知识要点】一、切线长定理：1．切线长概念：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的，叫做这点到圆的切线长．2．切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．3．切线长定理：①从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，②圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，①PA=PB ②PO平分APB． 4．两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．二、弦切角定理：1．弦切角概念：理解体弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线．·AO C DBP2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．3．弦切角定理的推论：推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等．三三角形的内切圆与圆四点外切三角形⑴内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. ⑵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心【典型例题】例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若PO=13㎝，PED ∆的周长为24㎝，40APB ∠=︒，求：①⊙O 的半径；②EOD ∠的度数．例2 如图，⊙O 分别切ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，若,,BC a AC b AB c ===．（1）求AD 、BE 、CF 的长；（2）当90C ∠=︒，求内切圆半径r ．A· E PDB CO· EFDCOAB· EF D CO AB例3 如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，ACB ∠的平分线CE 交AB 于D ，交⊙O 于E ，⊙O 的切线EF 交CB 的延长线于F ．求证：2AE AD EF =⋅例4 如图，AB 为⊙O 的弦，CD 切⊙O 于P ，AC CD ⊥于C ，BD CD ⊥于D ，PQ AB ⊥于Q ．求证：2PQ AC BD =⋅【课堂专练】1．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，OP 与⊙O 相交于点M ,以下结论，错误的是（） A 、OP AB ⊥ B 、 C 、APO BPO ∠=∠ D 、M 是PAB ∆的外心2．若⊙O 的切线长和半径相等，则两条切线所夹的角的度数为：（） A 、30︒ B 、45︒ C 、60︒ D 、90︒ 3．四边形中，有内切圆的是（）A 、平行四边形B 、菱形C 、矩形D 、以上答案都不对 4．如图，直线BC 切⊙O 于点A ，则图中的弦切角共有（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、6个5．如图，AB 为⊙O 的直径，DB 、DC 分别切⊙O 于B 、C ，若25ACE ∠=︒，则D ∠为（） A 、50︒ B 、55︒ C 、60︒ D 、65︒AM DM = QDPCABBACDE·A OCDEB· A OPBM DFEOABC6．圆的外切平行四形一定是形．7．圆外切梯形的周长为24cm ，则它的中位线的长是㎝．8．如图，AB 是⊙O 的直径，CE 切⊙O 于C ，CD AB ⊥于D ．若60,3ECB CD ∠=︒=，则sin A = ，BD = ．9．如图，⊙O 是ABC ∆的内切圆，D 、E 、F 为切点，::4:3:2A B C ∠∠∠=，则DEF ∠= °．FEC ∠= °．10．直角三角形的两条直角边为5㎝、12㎝，则此直角三角形的外接圆半径为㎝，内切圆半径为㎝．11．如图，直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于点E 、F 、G ，且AB ∥CD ，若OB=6㎝，OC=8㎝，则BOC ∠= ，⊙O 的半径= ㎝，BE+CG= ㎝． 12．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AB 交OP 于点M ，若2,OM cm AB PB ==，则⊙O 的半径是㎝．13．如图，四边形ABCD 是直角梯形，以垂直于底的腰AB 为直径的⊙O 与腰CD 相切于E ，若此圆半径为6㎝，梯形ABCD 的周长为38㎝，求梯形的上、下底AD 、BC 的长．·AOC D BE·A O CDBEF· AO CD BE FG· A OPBM · A O D BCE14．如图，AB 为⊙O 的直径，过B 作⊙O 的切线，C 为切线上一点，连OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于D ．（1）求证：2CE CD CB =⋅．（2）若2AB BC ==，求CD 的长．【闯关练习】 1．如图，Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，切线DE 交AC 于E ．求证：12DE AC =．2．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 、BC 、CD 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B 、C 、DO 交AE 于F ，OC 交BE 于G ．求证：（1）CO DO ⊥（2）四边形EFOG 是矩形；（3）2FG AD BC =⋅．A · O DBCE · A O DBCE· A ODBCE3．如图，⊙O 的直径AB=12㎝，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ，设,AD x BC y ==．（1）求y 与x 的函数关系，并说明是什么函数？（2）若x 、y 是方程22300t t m -+=的两根，求x 、y 的值．（3）在（2）的条件下求COD ∆的面积．4．已知：如图7－176，圆内接四边形ABCD 的AB 边经过圆心，AD ，BC 的延长线相交于E ，过C 点的切线CF ⊥AE 于F ．求证：（1）△ABE 为等腰三角形；（2）若 BC=1cm ，AB=3cm ，求EF 的长．5．如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F ．（1）求证：2AB AE BC =⋅；（2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF 的长．· AOB F CNMED ·AODBC EF6．已知：如图7－169，PA，PB分别切⊙O于A，B，PCD为割线交⊙O于C，D．若 AC=3cm，AD=5cm，BC= 2cm，求DB的长．7．已知：在图7－165中，PA切⊙O于A，AD平分∠BAC，PE平分∠APB，AD=4cm，PA=6cm．求EP的长．课后小结上课情况：课后需再巩固的内容：配合需求：家长_________________________________ 学管师_________________________________组长签字。

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段［学习目标］1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

（PA长）2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD. 连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.（特殊情况）用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理（记忆的方法方法）圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

切线长定理弦切角和圆有关的比例线段通用版

切线长定理弦切角和圆有关的比例线段一. 本周教学内容：切线长定理、弦切角和圆有关的比例线段1. 切线长的概念：在经过圆外一点的切线上这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。

3. 弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，一边和圆相切的角叫做弦切角。

4. 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。

5. 弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等。

6. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

7. 相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

8. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

9. 切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

二. 重点、难点：重点是和圆有关的比例线段，难点是运用和圆有关的比例线段分析问题和解决问题。

易错点分析：1. 要注意切线和切线长，这是两个不同的概念，前者是直线，后者是线段的长。

2. 注意弦切角与圆心角、圆周角的区别与联系，它们的空间位置不同，但在度数上有很密切的联系。

另外弦切角的三个条件缺一不可。

弦切角与切线有着密切的联系，做题时，遇到弦切角找到切点要连结半径，这样就有垂直的关系。

3. 相交弦定理、切割线定理及它们的推论，它们的结论都是线段的等积式，而不是比例式，它们可用来解关于计算和证明的题目。

等积式中的各线段要记牢，不要记混。

【例题分析】例1. 求证：圆外切四边形的两组对边的和相等。

A FB G ED H C已知：四边形ABCD 为⊙O 的外切四边形，E 、F 、G 、H 分别为切点。

求证：AB ＋CD ＝AD ＋BC 证明： AE AF O E F 、为⊙的切线，且切点为、∴====∴+++=++++=+AE AF BF BG DE DH CH CGAF FB DH CH AE BG DE CGAB CD AD BC，同理，，即例2. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 、BF 为⊙O 的切线，CF 切⊙O 于D ，DE AB ⊥于E ，交BC 于G ，求证：DG ＝EGF分析：因为AC//DE//BF ，所以可考虑成比例的线段来证明线段相等。

34第三课时切线长定理用课件

22cm
知识小结
直角三角形的外接圆与内切圆
1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__________，半径为___________.
2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在__________，半径r=___________.
a
b
c
斜边中点
斜边的一半
三角形内部
课前训练
1、已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C.（1）写出图中所有的垂直关系；（2）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA的长.
练习
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，连结PO，则度。
P
B
O
A
二、填空
25
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（）
A
A 16cm
D 8cm
C 12cm
B 14cm
D
C
B
E
A
P
例2、如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆的切线PA、PB，连结PO交⊙O于F，过F作⊙O切线分别交PA、PB于D、E，如果PO＝10cm，求△PED的周长。
数学探究
思考：连结AB，则AB与PO有怎样的位置关系？为什么？
（2）填空：AB+CD AD+BC（>,<,=)
=
DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM
比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：角的关系
圆的外切四边形：边的关系
练习四已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。

(完整)切线长定理与弦切角定理.知识精讲(-) -教师版

中考内容中考要求A B C直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系;会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题;能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩概念切线长定理定理相关结论概念切线长定理与弦切角定理弦切角定理定理相交弦定理圆幂定理切割线定理割线定理一、切线长定理1、切线长的概念在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．BAPO【注意】在新课讲解时需要讲解为什么从圆外一点引圆的两条切线．切线长定理与弦切角定理中考大纲知识精讲知识网络图3、相关结论（1）圆的两条平行切线,切点间的线段是直径. （2)圆外切四边形的两组对边和相等. （3）圆外切平行四边形是菱形。

（4）圆心和圆外这点的连线垂直平分两切点的连线. 【注意】：切线是直线，切线长是线段长;二、弦切角定理(选讲） 1、弦切角顶点在圆上,一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角. 2、弦切角定理定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

推论：两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等【注意】1、明确弦切角所夹的弧是在弦切角内部的一条弧。

2、弦切角必须具备的三个条件：（1）顶点在圆上（2)一边与圆相切(3)一边与圆相交3、弦切角和圆周角的联系与区别弦切角可以看做是圆周角的一边绕顶点旋转到圆相切时所成的角，顶点都在圆上。

弦切角的一边是过顶点的弦，另一边是切线上以切点为端点的一条射线，而圆周角的两边均是弦。

三、圆幂定理(选讲） 1、相交弦定理（1)相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．如图,弦AB 和CD 交于⊙O 内一点P ，则PA PB PC PD ⋅=⋅．P ODC A【证明】如图，AB 、CD 为⊙O 的两条任意弦.相交于点P ，连接AD 、BC ，由于B ∠与D ∠同为弧AC 所对的圆周角，因此由圆周角定理知:B D ∠=∠，同理A C ∠=∠，所以PAD PCB ∽△△. 所以有：PA PDPC PB=，即：PA PB PC PD ⨯=⨯．PDCBA（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． 2、切割线定理如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的切线，AD 是⊙O 的割线，则题意中满足2AB AC AD =⋅．ODCB A3、割线定理从从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A 、B ；C 、D ,则有··PA PB PC PD =1、圆的切线长定理是解决圆内求线段长、角度数，证明线段相等和成比例等的重要工具,在解题过程中常： (1）连结圆心和切点构造直角三角形; （2）连结圆心和圆外这一点构造角平分线；（3）连结两切点等构造等腰三角形或垂直关系。

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理讲义

2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE：AE的值。

解：由切线长定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE设CE为x，在Rt△ADE中，由勾股定理∴，，例2.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。

切线长定理用 ppt课件

（2）写出图中所有的全等三角形.
（3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
解：(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB
A
(2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB
△ACP≌△BCP.
E
O
D
C
P
(3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)
求证： AD+BC=AB+CD 证明：由切线长定理得
C N
∴AL=AP，LB=MB,NC=MCD，
DN=DP
M O
P
∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
AL
B
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．切线长定理用
想一想
A
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，往往需
当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径,简称“做垂直,证半径。”
切线长定理用
切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径
几何应用: ∵L是⊙O的切线，
∴OA⊥L
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这
.O
条半径的直线是圆的切线.
1.经过半径的外端； 2.与半径垂直．
Rt△ABC的内切圆的半径 r.
解：设Rt△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F，
连结OD、OE、OF则OA⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB。
A
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切

圆的切线、切线长、线切角

圆的切线、切线长定理与弦切角定理一、圆的切线：1切线的判定：________________________________________________________2 .切线的性质： _________________________________【运用举例】、切线长定理1、切线长:我们把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长2、切线长定理：符号语言：：PA PB 是0O 的切线，A 、B 是切点，二，PA=PB 【运用举例】例 1.在厶 ABC 中, AB=5cm BC=7cm AC=8cr ® O 与 BC ACAB 分别相切于 D 、E 、F ,则 AF= ________ , BD= _______ 、CF=____________________________例2.如图，已知CB 是。

O 的切线，C 是切点，0B 交。

O 于点D ，/ B = 30，BD = 6 cm,求BC例3、如图，PA 、PB 切。

0于点A 、B ,点C 是。

0上一点，且/ ACB=65°，求/ P 的度数.例2、如图，PA PB 是。

0的切线，切点分别是A 、B ,直线EF 也是。

0的切线，切点为Q,交PA PB 为E 、F 点，已知PA=12cm ，求△ PEF 的周长.例4、已知：如图AB 是。

0的直径，P 是AB 上的一点（与A 、B 不重合），QP 丄AB ，垂足为P ，直线QA 交。

0于点C 点，过C 点作。

0的切线交直线QP 于点D ，求证：△ CDQ 是等腰当P 点在AB 的延长线上时，其他条件不变，这个结论还成立吗？试说明例3、已知：如图，P 为。

0外一点，PA PB 为。

0的切线，A 和B 是切点，BC 是直径.求证：AC// 0P例4.如图，AB 、CD 分别与半圆0切于点A 、D , BC 切。

0于点E ,若AB = 4, CD = 9,求O O的半径。

切线长定理、弦切角、和圆有关的比

初三中考冲刺之几何证明、解答题技巧切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段定理的掌握。

1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

3.弦切角、顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于PPA·PB＝PC·PD连结AC、BD，证：△APC∽△DPB相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于PPC2＝PA·PB用相交弦定理切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

切线长及切线长定理

一、切线长定理：1．切线长概念：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R，叫做这点到圆的切线长．2．切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．3．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．二、弦切角定理：1．弦切角概念：理解体弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线．2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求△PCD的周长．(2) 如果∠P=46°,求∠COD的度数如图，△ABC中,∠C =90º,它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半径r.如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.一、选择题1．如图，P是⊙O外一点，PA.PB分别与⊙O相切于A.B两点，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线，分别交PA.PB于D.E,若△PDE的周长为20cm,则PA长为。

2.如图，AB.AC与⊙O相切于B.C∠A=50°，点P是圆上异于B.C的一动点，则∠BPC的度数是。

3．如图，若⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，且⊙O的半径为2，则CD的长为。

3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( )A．21 B．20 C．19 D．184. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4题图5题图6题图5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的( ) A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于( )A．21 B．20 C．19 D．18二、填空题6．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为点D 、E 、F ，若∠DEF=52o ，则∠A 的度为________．6题图 7题图 8题图7．如图，一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________． 8．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o ，则∠BOC 为____________度．8．如图，在R t △ABC 中，∠A=90°，⊙O 分别与AB,AC 相切于E.F ，圆心O 在BC 上，若AB=a,AC=b,则⊙O 的径为。

圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

3.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB切⊙O于P，PC、PD为弦，图中几个弦切角呢（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。

5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7.与圆有关的比例线段定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于P.PA·PB＝PC·PD.连结AC、BD，证：△APC∽△DPB.相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于P.PC2＝PA·PB.用相交弦定理.切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证：△PTB∽△PAT切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦P'C·P'D＝r2－OP'2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长P'O交⊙O于M，延长OP'交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

直线与圆切线长定理弦切角

直线与圆切线长定理弦切角直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的三种位置关系如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么（1）直线l和圆O相交d2. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

要点：（1）经过半径外端；（2）垂直于这条半径。

3. 切线判定的三种方法（1）切线的定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（2）圆心到直线的距离等于半径（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 4.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；反过来，过切点垂直于切线的直线一定经过圆心，因此可以得到两个推论：推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心5. 关于切线的性质主要有五个①切线和圆只有一个公共点②切线和圆心的距离等于圆的半径③切线垂直于过切点的半径④经过圆心垂直于切线的直线必过切点⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心 6.辅助线规律（1）直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证直线与半径垂直（2）当直线与圆并没明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”，再证圆心到直线的距离等于半径例题讲解例1：已知Rt△ABC的斜边AB＝6 cm，直角边AC＝3 cm.（1）若以C为圆心，2 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________；（2）若以C为圆心，4 cm长为半径的圆和AB的位置关系是_________；（3）若以C为圆心的圆和AB相切，则半径长为_________；（4）若以C为圆心的圆与边AB有一个交点，则圆的半径r的取值范围____________；（5）若以C为圆心的圆与边AB没有交点，则圆的半径r的取值范围______________. 变式练习：1. 已知∠AOB＝30°，M为OA边上一点，以M为圆心、2 cm为半径作⊙M.若点M在OA边上运动，则当OM=_______________ cm时，⊙M与OB相切.第1题第2题第3题2. 如图直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA 上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么秒种后⊙P与直线CD相切．3. 如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O移动到与AC边相切时，OA的长为______． 4. 如图，直线y3x＋3与x轴、y分别相交与A、B两点，圆心P的坐标为(1，0)，圆3P与y轴相切与点O.若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P′的个数是（） A．2B．3C．4D． 5如果⊙M与y轴相交，那么m的取值范围是_____________．5. 在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为(m,0)，半径是2，如果⊙M与y轴相切，那么m=_____；6. 在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆（）A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离7. ⊙O的半径r=5 cm，点P在直线l上，若OP＝5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是______. 8. 以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为_________.9. 如图，P为正比例函数y3x上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y) 2(1)求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标；(2)请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时x的取值范围.10. 如图，形如量角器的半圆O的直径DE＝12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC=12cm.半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上.设运动时间为t(s)，当t=0(s)时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8cm.问：当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？．．11. 如图，在□ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝15㎝．已知⊙O的半径等于3㎝，AB，AD分别与⊙O相切于点E，F．⊙O在□ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止．试求⊙O滚过的路程．A二、切线长定理：1. 切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长和切线的区别切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．3. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 4. 两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．三、弦切角定理：1. 弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线．2. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半． 3. 弦切角定理的推论：推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等．例1：已知PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，若PO=13cm，PED的周长为24cm，APB40，求：（1）⊙O的半径；（2）EOD的度数．例2：如图，⊙O的直径AB=12cm，AM和BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于E，交AM 于D，交BN于C，设AD x,BC y．（1）求y与x的函数关系，并说明是什么函数？（2）若x、y是方程2t30t m0的两根，求x、y的值．（3）求COD的面积．M2巩固练习1. 下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．过圆直径外端点的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．到圆心的距离等于半径的直线2. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（） A．点(0，3)B．点(2，3) C．点(5，1)D．点(6，1)第2题第3题第4题3. 如图，在△ABC中，AB10，AC8，BC6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ长度的最小值是（） A．4.75B．4.8C．5D．4. 如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P=M与轴相交于点A(2，5. 如图，与轴相切于点C，则圆心M的坐标是． 0)，B(8，0)，6. 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r.用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C.假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B，较短边AB＝8cm.若读得BC 长为acm，则用含a的代数式表示r为 .7. 如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上. 求证：PE是⊙O的切线．B8. 已知：如图，是O上一点，半径OC的延长线与过点的直线交于点，OC BC，1AC OB．（1）求证：AB是O的切线；（2）若ACD45°，OC2，求弦CD2的长．9. 如图，⊙O直径AB=4，P在AB的延长线上，过P作⊙O切线，切点为C，连接AC。

37---切线长定理与弦切角

切线长定理与弦切角【切线长定理及其推论】切线长：经过圆外一点作圆的切线，该点与切点间的线段长．【思考】尺规作图：经过圆外一点如何作圆的切线呢？【解答】如图，以为直径作圆交于、两点．切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，切线长相等．如图，．推论：从圆外一点作的两条切线，则两条切线的夹角被平分，且垂直平分切点连线．【证明】△POA ≌△POB ．【弦切角】弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.（弦切角就是切线与弦所夹的角），图中即为.弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半（即圆周角）.图中即：.OP O A B PA PB =P O PO PO AB DAB ∠12DAB BCA BOA ∠=∠=∠OB AOCA例题分析1. 从外一点向此圆引两切线，两个切点为，如果，且和是等边三角形的三个顶点，则该圆的半径是多少？【解答】∵，，∴≌（），即，，在等腰三角形中，由三线合一可知．∵，，∴．2. 是外一点，切于，切于，是直径，求证：AC ∥OP ．【解答】连交于，则．由，，有，则．3. 已知为⊙外一点，P A 、PB 分别切⊙于A 、B ，与相交于点，为弧上一点．求证：．【解答】连，∵，∴∽，．4. 求证：圆外切等腰梯形的高是其上下两底的比例中项．【解答】设为等腰梯形的内切圆．是切点，连，易证为直角三角形，有，但，，即，，而，∴，从而．O A B C 、BC m =B C 、A OB OC =AO AO =Rt ABO ∆Rt ACO ∆HL AB AC =BAO CAO ∠=∠ABC AO BC ⊥30BAO ∠=︒AB BC m ==OB =P O PA O A PB O B BC AB PO E 90CAB ∠=︒PA PB =APE BPE ∠=∠PO AB ⊥//AC OP P O O OP AB M C AB OPC OCM ∠=∠OB 22OC OB OP OM ==⨯OMC ∆OCP ∆OPC OCM ∠=∠O ABCD ,,E G F ,,OA OG OB ABO ∆2OG AG BG =⨯AE ED AG ==BF FC BG ==2AD AG =2BC BG =2EF OG =2111222EF AD BC ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭2EF AD BC =⨯5. 分别切于两点，且，且，，求．【解答】∵，∴，即，∵，∴，即均在上，设，则，， ∵，∴，解得，∴．6. 为正方形一边的中点，与以为圆心，为半径的圆切于点，求证：．【解答】法一：连，设，正方形边长为“”，则，∵，∴，在中，用勾股定理，，∴，解得，即．法二：用∽，得，即，，．7. 已知正方形的内切圆分别切于，是圆的切线，分别在线段上，求证：BE ∥FM ．【解答】不妨设正方形边长为，，，则，在直角中，，，，∵，，，，故，又，故∽，，．PA PB 、O A B 、AB PB AC PC AB PC AC PB ⋅-⋅=⋅-⋅AP PC ⊥2PAB BPC ∠=∠ACB ∠AB PB AC PC AB PC AC PB ⋅-⋅=⋅-⋅()()0AB AC PB PC +-=PB PC =PB PA =PB PA PC ==,,A B C P ACB α∠=22APB ACB α∠=∠=90BPC α∠=︒-22PAB BPC ∠=∠()180229022αα︒-=︒-30α=︒30ACB ∠=︒O ABCD BC AP O OB T 4AT TP =,OT OA PT PC x ==11DP x =-1AT AB ==1AP x =+Rt ADP ∆222AD DP AP +=()()22111x x +-=+14x =4AT TP =ABO ∆OCP ∆AB BO OC PC =11212PC =14PC PT ==1AT AB ==ABCD BC CD DA AB 、、、M N P Q 、、、EF E F 、PD DN 、2PE x =NF y =EF x y =+EDF ∆()()()22211x y x y -+-=+10xy x y ∴++-=()()112x y ++=1x AE +=1y CF +=2AB =1MC =AE MCAB CF=90A C ∠=∠=︒ABE ∆CFM ∆FMC AEB EBC ∠=∠=∠//BE FM ∴Q8. 在△ABC 中，，，的平分线交于，△ABC 的外接圆的切线交的延长线于，求△ANM 的最小角的度数．【解答】，，∵，∴．，即的最小角的度数为．9.是△ABC 的外接圆，的平分线交于，交于，的切线交的延长线于，求证：．【解答】连，∵，∴，，在与中，∵，∴，，∴∽，，即．10. 为半圆直径延长线上一点，切半圆于，且，求的值.【解答】；连接BC ，由已知可得CB PAC P ∆∆∽ 于是，PA 2==BC PC 3AC ，设AC 2,3k BC k == 由°ACB=90∠，得AB=13k ，故213sin ACP=sin ABC=13AC AB =∠∠11. 如图，正方形，，，，求证：过三点圆的圆心在上．【解答】HF ABE A ∆∆∽，G DF A E A ∆∆∽，设正方形变成为a 则a AG AH a=，即2a AH AG =⋅，于是过三点圆的圆心在上36B ∠=︒128ACB ∠=︒CAB ∠BC M AN BC N 1801283682CAM MAB ︒-︒-︒∠=∠==︒83644AMN ∠=︒+︒=︒36NAC ABC ∠=∠=︒36844NAM ∠=︒+︒=︒180444492ANM ∠=︒-︒-︒=︒ANM ∆44︒O ACB ∠CE AB D O E O EF CB F 2AE AD EF =⋅BE ACE BCE ∠=∠AE BE =EAB EBA ∠=∠FEB ∆EAD ∆FEB EAB EBA ∠=∠=∠//EF AB AED ABC F ∠=∠=∠FEB ∆EAD ∆AE FE FEAD BE AE==2AE AD EF =⨯P O BA PC O C :2:3PA PC =sin ACP∠ABCD 45EAF ∠=︒EG AC ⊥FH AC ⊥H G B 、、BC H G B 、、BC HG F EDCBA12. 如图，为的弦，切于，于，于，于，求证：．【解答】连，在与中，∵，，∴∽．．同理可证：∽．．即，∴．课后作业【作业1】如图，已知AC 是⊙O直径，P A ⊥AC 于A ，PB 切⊙O 于B ，BE ⊥AC 于E ．若cm ， cm ，求BD 的长．【解答】【作业2】如图，已知QA 切⊙O 于A ，QB 交⊙O 于B 和C 两点，P 是弧上任一点，，，求的度数．【解答】100度．AB O CD O P AC CD ⊥C BD CD ⊥D PQ AB ⊥Q 2PQ AC BD =⋅,AP BP ACP ∆PQB ∆CPA PBQ ∠=∠90C PQB ∠=∠=︒ACP ∆PQB ∆AC APPQ PB=BPD ∆APQ ∆PQ AP BD PB=AP AC PQ PB PQ BD ==2PQ AC BD =⨯6AE =2EC =BC 150AOB ∠=︒50Q ∠=︒P ∠QPDCBAQP DC B A【作业3】如图，已知OA 是⊙O 半径，B 是OA 延长线上一点，BC 切⊙O 于C ，CD ⊥OA 于D ．求证：CA 平分∠BCD ．【解答】提示：证法一延长AO 交⊙O 于点E ，连接EC ，则∠BCA =∠E ，且∠ACD =∠E ．所以∠BCA =∠ACD ．证法二连接OA ，则∠BCA 与∠OCA 互余；又∠ACD 与∠OAC 互余，而∠OCA =∠OAC ，所以∠BCA =∠ACD ．【作业4】如图，已知MN 切⊙O 于A ，弦BC 交OA 于E ，过C 点引BC 的垂线交MN 于D ．求：AB ∥DE ．【解答】提示：连接AC ．先证明A ，E ，C ，D 四点共圆．由此得∠ADE =（∠ACE =）∠MAB ，所以AB //DE ．M。

文档：切线长定理

切线长定理
定理从圆外一点可引出圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
几何语言：∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点
∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切线长定理）
弦切角
弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
几何语言：∵∠BCN所夹的是，∠A所对的是
∴∠BCN=∠A
推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
几何语言：∵∠BCN所夹的是，∠ACM所对的是， =
∴∠BCN=∠ACM
弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；
（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；
（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线．
它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可，比如下图中，均不是弦切角．
（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到
与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．弦切角定理：弦切角等于它所夹的孤对的圆周角．它是圆中证明角相等的重要定理之一．
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

切线长定理与弦切角定理(邦德讲义)

第七节 切线长定理及弦切角

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

切线长定理 弦切角和圆有关的比例线段 通用版

34第三课时切线长定理用课件

(完整)切线长定理与弦切角定理.知识精讲(-) -教师版

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理讲义

切线长定理用 ppt课件

圆的切线、切线长、线切角

切线长定理、弦切角、和圆有关的比

切线长及切线长定理

圆切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

直线与圆切线长定理弦切角

37---切线长定理与弦切角

文档：切线长定理

第七节切线长定理及弦切角

切线长定理弦切角和圆有关的比例线段通用版