切线长定理与弦切角定理(邦德讲义)

【知识要点】 一、切线长定理： 1．切线长概念：

在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R ，叫做这点到圆的切线长． 2．切线长和切线的区别

切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量． 3．切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

要注意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，①PA=PB ②PO 平分APB ∠． 4．两个结论：

圆的外切四边形对边和相等；

圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 二、弦切角定理： 1．弦切角概念：

理解体弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线． 2．弦切角定理：

弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．

3．弦切角定理的推论：

推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等． 【典型例题】

例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若

PO=13㎝，PED ∆的周长为24㎝，40APB ∠=︒，

求：①⊙O 的半径；②EOD ∠的度数．

例2 如图，⊙O 分别切ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，若,,BC a AC b AB c ===． （1）求AD 、BE 、CF 的长；（2）当90C ∠=︒，求内切圆半径r ．

例3 如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，

ACB ∠的平分线CE 交AB 于D ，交⊙O 于E ，⊙O 的切线EF

交CB 的延长线于F ．求证：2AE AD EF =⋅

例4 如图，AB 为⊙O 的弦，CD 切⊙O 于P ，AC CD ⊥于C ，BD CD ⊥于D ，PQ AB ⊥于Q ． 求证：2PQ AC BD =⋅

B

C

【课堂专练】

1．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，OP 与⊙O 相交于点M ,以下结论，错误的是（ ） A 、OP AB ⊥ B 、 C 、APO BPO

∠=∠ D 、M 是PAB ∆的外心

2．若⊙

O 的切线长和半径相等，则两条切线所夹的角的度数为：（

A 、30︒

B 、45︒

C 、60︒

D 、90︒ 3．四边形中，有内切圆的是（ ）

A 、平行四边形

B 、菱形

C 、矩形

D 4．如图，直线BC 切⊙O 于点A ，则图中的弦切角共有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、6个

5．如图，AB 为⊙O 的直径，DB 、DC 分别切⊙O 于B 、C ，若25ACE ∠=︒，则D ∠为（ ） A 、50︒ B 、55︒ C 、60︒ D 、65︒ 6．圆的外切平行四形一定是 形．

7．圆外切梯形的周长为24cm ，则它的中位线的长是 ㎝． 8．如图，AB 是⊙O 的直径，CE 切⊙O 于C ，CD AB ⊥于D ．

若60,3ECB CD ∠=︒=，则sin A = ，BD 9．如图，⊙O 是ABC ∆的内切圆，D 、E 、F 为切点，

::4:3:2A B C ∠∠∠=，则DEF ∠= °．FEC ∠10．直角三角形的两条直角边为5㎝、12㎝， 则此直角三角形的外接圆半径为 ㎝， 内切圆半径为 ㎝．

11．如图，直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于点E 、F 且AB ∥CD ，若OB=6㎝，OC=8㎝，则BOC ∠= ， ⊙O 的半径= ㎝，BE+CG= ㎝． 12．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，AB 交OP 于点M ， 若2,OM cm AB PB ==，则⊙O 的半径是 ㎝． 13．如图，四边形ABCD 是直角梯形，以垂直于底的腰AB 为直径

的⊙O 与腰CD 相切于E ，若此圆半径为6㎝，梯形ABCD 的周长为38㎝， 求梯形的上、下底AD 、BC 的长．

AM DM = C

P

14．如图，AB 为⊙O 的直径，过B 作⊙O 的切线，C 为切线上一点，连OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于D ．（1）求证：2CE CD CB =⋅．（2）若2AB BC ==，求CD 的长．

【闯关练习】

1．如图，Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，切线DE 交AC 于E ．求

证：1

2DE AC =．

2．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 、BC 、CD 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B 、C 、DO 交

AE 于F ，OC 交BE 于G ．求证：（1）CO

DO ⊥（2）四边形EFOG 是矩形；（3）2FG AD BC =⋅．

C

·

A O

D

B

C

E

3．如图，⊙O 的直径AB=12㎝，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 切⊙O 于E ，交AM 于D ，交BN 于C ，设,AD x BC y ==．（1）求y 与x 的函数关系，并说明是什么函数？（2）若x 、y 是方程22300t t

m -+=的两根，求x 、y 的值．（3）求COD ∆的面积．

4．如图，BC 为⊙O 的直径， ，过点A 的切线与CD 的延长线交于点E ．（1）试猜想AED ∠是否等于90︒？为什么？（

2）若:1:2AD ED EA ==

，求⊙O 的半径．

5．如图，梯形

ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F ． （1）求证：2AB AE BC =⋅；（2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF 的长．

AB CD = M