离散数学二元关系与运算

(1) (F1)1 = F
(2) domF1 = ranF，ranF1 = domF
(3) (F G) H = F (G H)
(4) (F G)1 = G1 F1
(5) F (G∪H) = F G∪F H (对∪的分配律)
(6) F (G∩H) F G∩F H (对∩的半分配律)
s(R) = R∪R = R∪{<b,a>,<c,b>,<d,c>,<c,d>,<a,a>} ={<a,b>,<b,c>,<c,d>,<d,c>,<b,a>,<c,b>,<a,a>}
例4.5 下列关系都是整数集Z上的关系，分别求 出它们的定义域和值域：
(1) R1={<x, y> | x, y Z xy} (2) R2={<x, y> | x, y Z x2+y2=1} (3) R3={<x, y> | x, y Z y=2x} (4) R4={<x, y> | x, y Z |x|=|y|=3}
(3) R3={<x, y> | x, y Z y=2x} 解： domR3 = Z， ranR3 = {偶数}
(4) R4={<x, y> | x, y Z |x|=|y|=3} 解： domR4 = ranR4 = ( ? )
二、关系的常用运算
(1) 逆： F是任意关系，F的逆F1={<x,y> | yFx} (2) 合成： F、G是任意两个关系，F与G的合成
记作：F G={<x,y> | (z)(xGzzFy)}
(3) 限制： 关系F在集A上的限制，记作： F | A={<x,y> | xFyxA}
(4) 象： 集A在关系F下的象F[A] = ran(F | A)
例4.6 设F，G是N上的关系，其定义为： F = {<x, y> | x, yNy = x2} G = {<x, y> | x,yNy = x+1}
二、二元关系的表示方法
A上关系的表示法
1. 关系矩阵： 设A={x1, x2, …, xn)，R是A上的关系， 令：
1 rij =
0
若xi R xj 若xi R xj
(i, j = 1,2,…, n)
r11 r12 r1n
则 (rij)nxn = r21
r22
r2n
是R的关系矩阵
rn1
解： 关系矩阵 ：
1100 0011 0000 0100
关系图 ：
1
2
4
3
§4.2 关系的运的定义域： domR = {x | (y)<x, y>R} (即R中有序组的第一个元 素构成的集合)
关系R的值域：
ranR ={y | (x)<x, y>R} (即R中有序组的第二个元 素构成的集合)
求 G1，F G，G F，F |{1,2}，F[{1,2}]
解：由定义知： G1 = {<y, x> | y, xNy = x+1}
列出G1 中的元素就是 G1 = {<1,0>,<2,1>,<3,2>,…,<x+1, x>,…}
为了求F G，可以先直观表示如下： 对任何xN x G x+1= Z F Z2 = y 即 y = (x+1)2
§4.1 二元关系的概念
一、二元关系的概念
1. 二元有序组：由两个元素x和y按一定顺序 排成二元组，记作：<x，y> 。
如： 平面直角坐标系中点的坐标
二元有序组的性质 (1) 当x y时，<x，y> <y，x> (2) <x，y> = <u，v>，当且仅当x = u，y = v
(1)、(2)说明有序组区别于集合
自反闭包 记作 r(R) 对称闭包 记作 s(R) 传递闭包 记作 t(R) 由A求r(R)，s(R)，t(R)的过程叫闭包运算。
二、计算方法
为了有效地计算关系R的各种闭包， 先引进关系的幂运算概念。
幂运算：设RAA，kN，约定 (1) R0 = IA = {<x, x> | xA} (2) R1 = R (3) Rk+1 = Rk R
二元关系：如果一个集合的元素都是二元有 序组，则这个集合称为一个二元 关系，记作：R 。
如果<x, y> R ，记作 x R y 如果<x, y> R ，记作 x R y
从A到B的二元关系：设A，B为集合，A B的任 何子集所定义的二元关系叫做从 A到B的二元关系。
若A=B，叫做 A上的二元关系； 若|A|＝n，则|AA|＝n2。 AA的所有子集有2n2 个。 就是说，A上有2n2个不同的二元 关系，其中包括空关系、全域 关系UA和恒等关系IA。
整除，即yRx，从而R是对称的； 如果A中三
个元素x，y，z满足xRy， yRz，则x y，yz 被3整除，由于xz=(xy)+(yz)，所以xz被3
整除，从而xRz即R具有传递性。
§4.4 关系的闭包运算
一、定义
闭包：设RAA，那么，包含R而使之具有自反 性质的最小关系，称之为R的自反闭包； 包含R而使之具有对称性质(传递性质)的 最小关系，称之为R的对称(传递)闭包。
积运算的性质
(1) 若A，B中有一个空集，则笛卡儿积是空集， 即： B = A =
(2) 当AB，且A，B都不是空集时，有ABBA
(3) 当A，B，C都不是空集时，有(AB)C A(BC) 因为(AB)C中的元素< <x,y>, z>，而A(BC)中 的元素为< x, <y, z> > 。
例4.1 设A={a,b}，B={0,1,2} ，求AB，BA 解：根据笛卡儿积的定义知
A B = {<a,0>, <a,1>, <a,2>, <b,0>, <b,1>, <b,2> } B A = {<0, a>, <0, b>, <1,a>, <1,b>, <2,a>, <2,b>} 一般地：如果|A|=m，|B|=n，则 |AB|=|BA|=m n
(5) F (G∪H) = F G∪F H的证明： 任取<x, y> <x, y>F (G∪H) (z)(<x, z>(G∪H)<z, y>F)
(z)((<x, z>G∪<x, z>H)<z,y>F) (注意对括号的顺序)
(z)(<x, z>G<z, y>F>∪(<x,z>H<z,y>F)) <x, y>F G∪<x, y>F H ∴ F (G∪H) = F G∪F H
(4) A(B∪C) = (AB)∪(AC) (对∪的分配律)
(B∪C)A = (BA)∪(CA)
(?)
A(B∩C) = (AB)∩(AC)
(?)
(B∩C)A = (BA)∩(C A)
(?)
我们证明：
A(B∪C) = (AB)∪(AC)
证明思想
要证明两个集合相等，通常有两种方法： 一是证两个集合相互包含； 二是利用已有的 集合运算的性质(算律和已证明过的公式)，仿 照代数恒等式的证明方法，一步步从左(右)边 推出右(左)边，或从左、右边分别推出同一个 集合式子。一般说来，最基本的集合相等关 系要用第一种证法，比较复杂的集合相等关 系用第二种方法更好，但第二种方法的使用 取决于我们对算律和常用公式的熟练程度。
例4.3 设A = {a,b}，写出P(A)上的包含关系R ：
解： P(A) = {,{a},{b}{a,b}} R = {<, >, < ,{a}>, <{,{b}>,<{a, b}>, <{a},{a}>,<{a},{a, b}>, <{b},{b}>, <{b},{a, b}>, <{a, b},{a, b}>}
因此 F G = {<x,y> | x,yNy = (x+1)2} 同理可求 G F = {<x,y> | (?)} (自己做！)
发现 F G G F
F |{1,2} = {<1,1>,<2,4>} F [{1,2}] = ran(F |{1,2}) = {1,4}
关系运算的性质：设F、G、H、为任意关系，则有：
例4.7 设A={1,2,…,10}，对于A上的关系 R={<x,y> | (xy)/3I}
I为整数集，问R有哪些性质？
解：逐条性质加以验证R={<x,y> | (xy)/3I}
任取A中元素x，由于(xx)/3=0，所以R 是自反的； 又设A中任意两个元素x,y，如果
xRy，即xy可被3整除，则yx也一定可被3
= {，{1}，{2}，{1,2}} {1,2} = {<,1>，<,2>，<{1},1>，<{1},2>，
<{2},1>，<{2},2>， <{1,2},1>，<{1,2},2>} n阶笛卡儿积：
A1 A2 …An = {(x1,x2,… xn) | x1A1x2A2 …xnAn}
3、二元关系的数学定义