平面向量的应用举例-沪教版教案
八年级数学下册227平面向量2教案沪教版五四制
八年级数学下册227平面向量2教案沪教版五四制即有向线段是向量的几何直观表示.如果有向线段AB 表示一个向量,通常就直接说向量AB.这个向量的长度记作│AB │,它是一个数量.向量还可用一个小写的粗体英文字母表示, 如a 、b 、c 、…;也可以在字母上方加上箭头表示,如a 、b 、c ….一个平移可以用有向线段来描述,也可以用向量来描述.如图,△ABC 按照向量AA ′作平移 新课探索三（2）通常我们所研究的向量只含有大小和方向两个要素,用有向线段表示向量时,与有向线段的起点位置无关,即起点不同但“同向且等长”的那些有向线段表示同一个向量.通常所说的向量是“自由向量”,两条不同的有向线段分别表示的向量有可能是同一向量.为了表述的方便,我们有时也把有向线段的起点和终点称为它所表示的向量的起点和终点.指明了起点的向量为位置向量.“两个点的相对位置差”通常用位置向量来描述.这两个位置向量,是两个向量.新课探索四（1）例题1如图,四边形ABCD 和四边形EFGH 分别是平行四边形和梯形,梯形中EF ∥HG.图中有向线段都表示向量,它们的起点和终点分别是所在四边形的顶点.(1)用符号表示各个向量;(2)每个四边形的对边上的两个向量,它们的方向是相同还是相反?它们的长度是否相等?新课探索四（2） 向量与的方向相同,长度相等;向量与的方向相反,长度相等;向量与的方向相同,长度不相等;向量与的方向既不相同也不相反,长度不相等. 我们把上图中与这两个向量叫做相等的向量;与这两个向“自由向量”，因此也就有了位置不同，但大小与方向相同的有向线段表示同一向量．而对特别说明了位置的“位置向量”，则位置不同，但大小与方向相同的有向线段表示不同向量．强调通常意义的向量不考虑位置，解释为什么不同的有向线段可能表示同一向量．强调本课所说向量都指自由向量．正确找出图形中的向量，加深对向量的理解；理解方向相同或不同的向量．。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.7 平面向量 教案
22.7 平面向量教学目标：1、理解平面向量的概念，掌握向量的几何表示及符号表示，理解向量的模、相等向量、相反向量、平行向量等概念。
2、经历将实际情景中有大小有方向的量抽象为向量的过程，培养学生的数学抽象素养；通过向量的几何表征，提高学生数形结合的能力。
3、通过向量历史的介绍，让学生感受向量在现实生活中以及在数学、物理学科中的重要应用，初步体会学习向量的意义。
教学重点、难点：重点：向量的概念及其几何表示、三种向量间的特殊关系。
难点：将实际情景中有方向有大小的量抽象为向量。
教学过程：一、从物理背景中引入问题1：小船从点A出发，速度是4米/秒，请问2秒后它位置移动到哪里？问题2：小船从点A出发，一直朝北开，请问2秒后它位置移动到哪里？1综合上面的两个问题，看来只知道速度的大小或者只知道速度的方向都无法帮我们解决上面这2个实际问题，所以我们需要重新审视“速度”这个量，它是不是只有大小或者只有方向呢？问题3：那么大家学过的什么知识也有类似的特点？力问题4：你对一个物体施加6牛的力，你能把它表示出来吗？二、讲授新课1、给这种既有大小又有方向的量取个名字？为什么你叫它_____？2、向量的图形表示是什么？3、设计向量的符号；4、微视频《向量的发展史》；【设计意图】让学生感受到虽然亚里士多德在解决力学问题时使用了向量的一些性质，但没有将其抽象为向量，而距离古希腊两千多年的今天，数学家们已经把向量研究成为一门理论，一门学科工具。
今更胜于昔！5、小结向量的三种符号表示；【设计意图】从符号的发展可以看到数学是在数学家们的努力下不断进步的。
23 H G F E 6、向量的模及其符号表示。
三、 例题讲解例题1 四边形ABCD 是平行四边形，四边形EFGH 是梯形，梯形中EF ∥HG.图中有向线段都表示向量，它们的起点和终点分别是所在四边形的顶点。
（1）用符号表示各个向量；（2）每个四边形的对边上的两个向量，它们的方向是否相同或相反？它们的长度是否相等？【设计意图】由此例题得出相等向量、相反向量、平行向量的概念。
2019-2020年高二数学上 8.4《向量的应用》教案(2) 沪教版
一、教学内容分析向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用．本小节的重点是结合向量知识证明数学中直线的平行、垂直问题，以及不等式、三角公式的证明、物理学中的应用． 二、教学目标设计1、通过利用向量知识解决不等式、三角及物理问题，感悟向量作为一种工具有着广泛的应用，体会从不同角度去看待一些数学问题，使一些数学知识有机联系，拓宽解决问题的思路．2、了解构造法在解题中的运用． 三、教学重点及难点重点：平面向量知识在各个领域中应用． 难点：向量的构造．四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习与回顾1、提问：下列哪些量是向量？（1）力 （2）功 （3）位移 （4）力矩2、上述四个量中，（1）（3）（4）是向量，而（2）不是，那它是什么？ ［说明］复习数量积的有关知识． 二、学习新课 例1（书中例5）向量作为一种工具，不仅在物理学科中有广泛的应用，同时它在数学学科中也有许多妙用！请看 例2（书中例3）证法（一）原不等式等价于)1(2212122212121x y y x y y x x +≤，由基本不等式知（1）式成立，故原不等式成立． 证法（二）向量法［说明］本例关键引导学生观察不等式结构特点，构造向量，并发现（等号成立的充要条件是）例3（书中例4）［说明］本例的关键在于构造单位圆，利用向量数量积的两个公式得到证明． 二、巩固练习1、如图，某人在静水中游泳，速度为 km/h.（1）如果他径直游向河对岸，水的流速为 4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？答案：沿北偏东方向前进，实际速度大小是8 km/h．（2）他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少？答案：朝北偏西方向前进，实际速度大小为km/h．三、课堂小结1、向量在物理、数学中有着广泛的应用．2、要学会从不同的角度去看一个数学问题，是数学知识有机联系．四、作业布置1、书面作业：课本P73, 练习8.4 4２、（补充）（1）已知作用于同一物体的两个力、，||=5N，||=3N，、所成的角为，则|+|= 7 ; +与的夹角为．［说明］力的分解与合成是向量在物理中运用的典型例子之一．（2）上网查阅柯西——许瓦兹不等式有关知识并整理一些证法．［说明］①柯西——许瓦兹不等式是一个著名不等式，教学时应加以渗透数学史的教学，并且通过对不同证明方法的整理可以感受数学知识的有机联系以及解决问题的多样性．②以小组形式，时间为一星期为宜．一、教学内容分析这一节重点介绍矩阵的三种基本运算：矩阵的加减、实数与矩阵相乘、矩阵的乘法.例2、例3是二阶矩阵的加、减法；例6是二阶矩阵与23阶矩阵的乘法；这三个例题是矩阵的基本运算.必须掌握好矩阵基本运算，并掌握它们的运算律.例7、例8是矩阵的实际应用题，说明矩阵可用于处理一些复杂的数据问题.二、教学目标设计1、理解和掌握矩阵的运算及其运算律;2、提高分析矩阵的实际问题和解决矩阵的实际问题的能力.三、教学重点及难点1、提高矩阵的运算能力是重点;2、矩阵乘法是教学难点.四、教学流程设计:五、教学过程设计（一）情景引入小王、小李在两次数学考试中答对题数如下表表示：填空题每题4分，选择题4分，解答题每题10分.1、观察：2、思考（1）：如何用矩阵表示他们的答对题数？他们期中、期末的成绩？思考（2）：如果期中占40%，期末占60%，求两同学的总评成绩3、讨论：今天如何通过矩阵运算来研究上述问题？（二）学习新课1、矩阵的加法（1）引入记期中成绩答题数为A 期末答题数为B确定两次考试的小王，小李的各题型答题总数的矩阵C（2）矩阵的和（差）当两个矩阵A，B的维数相同时，将它们各位置上的元素加（减）所得到的矩阵称为矩阵A，B的和（差）,记作：A+B（A-B）（3）运算律加法运算律：A+B=B+A加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）（4）举例：P80 例2，例32、数乘矩阵（1）引入：计算小王、小李各题型平均答题数的矩阵（2）矩阵与实数的积设为任意实数，把矩阵A 的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数的乘积矩阵.记作：A（3）运算律：（为实数） 分配律： ； 结合律： （4）举例：P81 例43、矩阵的乘积（1）引入：P83的两次线性变换 （2）矩阵的乘积：一般，设A 是阶矩阵，B 是阶矩阵，设C 为矩阵如果矩阵C 中第i 行第j 列元素是矩阵A 第i 个行向量与矩阵B 的第j 个列向量的数量积，那么C 矩阵叫做A 与B 的乘积.记作：C=AB （3）运算律 分配律：， 结合律：，注：交换律不成立，即 （4）举例例1（1） （2）（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011211724543 （4）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-724543011211（5）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-122645243011211 答案：1） 2) 3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4591019617 4) 5)注：（1）（2）结果不同.（3）（4）结果不同，说明矩阵乘法交换律不成立.例2：P85 例8（三）回归情景：讨论如何使用矩阵运算进一步研究小王、小李的考试成绩.（四）课堂练习：P83，P86（五）课堂小结（六）布置作业：见练习册七：教学设计说明1、通过情景题小王、小李的成绩情况引入矩阵运算，说明矩阵运算的重要性.2、课堂按“加减法→数乘→乘法”展开研究，层层深入，重在掌握2阶，3阶的矩阵的基本运算.3、对矩阵运算律只进行总结，不进行证明.旨在今后学生能灵活地使用运算律进行运算.这里特别强调乘法的交换律不成立.这是学生思维上不易接受点，在过去的学习的实数运算、集合运算、向量运算的不同之处，必须引起重视.4、加强了实际问题的分析，说明矩阵在实际问题中的重要运用.5、。
沪教版数学八年级下册22.4《平面向量及其加减运算》教学设计
沪教版数学八年级下册22.4《平面向量及其加减运算》教学设计一. 教材分析《平面向量及其加减运算》是沪教版数学八年级下册第22.4节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了平面向量的概念、模长以及数量积的基础上，进一步学习平面向量的加减运算。
平面向量是高中数学的重要内容，也是学生进一步学习高等数学的基础。
本节内容的教学设计，应该注重让学生理解平面向量加减运算的定义和性质，能够熟练地进行向量的加减运算。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了平面向量的基本概念和性质，具备了一定的数学基础。
但是，对于向量的加减运算，学生可能还存在着一些理解上的困难，比如对向量加减运算的直观理解，以及对向量加减运算的规则的掌握。
因此，在教学设计中，应该注重通过具体的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握平面向量的加减运算。
三. 教学目标1.让学生理解平面向量的加减运算的定义和性质。
2.让学生能够熟练地进行平面向量的加减运算。
3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.向量加减运算的定义和性质。
2.向量加减运算的规则和技巧。
五. 教学方法1.采用讲解法，通过讲解向量加减运算的定义和性质，让学生理解和掌握平面向量的加减运算。
2.采用实践法，通过具体的例子和实际操作，让学生熟练地进行平面向量的加减运算。
3.采用问题解决法，通过解决实际问题，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，以便进行讲解和展示。
2.练习题：准备一些相关的练习题，以便进行操练和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入平面向量的加减运算。
例如，两个人从不同的地点同时出发，相向而行，问他们何时相遇？如何求出他们的相遇点？2.呈现（10分钟）讲解平面向量的加减运算的定义和性质，通过具体的例子，让学生理解和掌握平面向量的加减运算。
3.操练（10分钟）让学生进行实际的操作，解决一些平面向量的加减运算的问题。
沪教版(上海)高二数学上册8.4向量的应用_3课件
即(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
点评：待解决的代数、几何、三角、物理等问题， 只要其表达式能用向量运算来表示，就可以考虑使用向 量方法去试着解决．
本例中 a2＋b2，c2＋d2 与向量的模有联系，而 ac＋bd 与向量的数量积有联系，故可尝试能否设出向量来表示.
[例 2]
向量在几何中的应用
证明：设O→A＝(a，b)，O→B＝(c，d)．
当O→A、O→B至少有一个为零向量时，所证不等式成立；
当O→A、O→B均不是零向量时，设其夹角为 α，则有 cosα
→→
＝
OA·OB →→
＝
|OA|·|OB|
a2＋acb＋2·bcd2＋d2，
∵|cosα|≤1，∴
a2＋acb＋2·bcd2＋d2≤1，
(文)如图所示，在△AOB 中，若 A，B 两点坐标分别 为(2,0)，(－3,4)，点 C 在 AB 上，且平分∠BOA，求点 C 的坐标．
解析：设点 C 坐标为(x，y)
由于 cos∠AOC＝cos∠BOC，且
→→
→→
cos∠AOC＝
OA·OC →→
，cos∠BOC＝
OB·OC →→
，
|OA|·|OC|
一般研究夹角问题总是从数量积入手，研究长度则 从模的运算性质入手，而研究共线、共点问题则多从向 量的加减运算及实数与向量的积着手．
2．用向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中 涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．
|OB|·|OC|
→→ →→ ∴OA→·OC＝OB→·OC，
沪教版高中数学平面向量的基本运算教案2023
沪教版高中数学平面向量的基本运算教案2023教学方案学科：数学学段：高中版本：沪教版教材：数学单元：平面向量的基本运算年级：高中一年级教案名称：平面向量的基本运算教学目标：1. 了解平面向量的概念和基本性质。
2. 掌握平面向量的加法和减法运算规则。
3. 能够根据题目中的条件，进行向量的运算。
4. 运用向量的基本运算解决实际问题。
教学内容：平面向量的基本运算教学准备：1. 教师准备：黑板、粉笔、课件、教材、练习题。
2. 学生准备：课本、笔、纸。
教学步骤：Step 1：引入教师可以通过举例子的方式引入向量的概念。
例如，教师可以说：“我们知道，向右走一步可以表示为向量(1,0)，向上走一步可以表示为向量(0,1)。
那么，向右走两步可以用什么向量表示呢？向上走三步呢？”Step 2：概念解释教师向学生介绍平面向量的概念和基本性质，包括向量的表示方法、向量的模、向量共线与平行、零向量的概念等。
Step 3：向量的加法和减法3.1 向量的加法：教师通过示意图和数学表达式向学生解释向量的加法规则。
例如，向量A(3,2)与向量B(1,-1)相加可以表示为A+B=(3+1, 2+(-1))=(4,1)。
3.2 向量的减法：教师通过示意图和数学表达式向学生解释向量的减法规则。
例如，向量A(3,2)与向量B(1,-1)相减可以表示为A-B=(3-1,2-(-1))=(2,3)。
Step 4：向量的数乘教师向学生介绍向量的数乘概念和运算规则。
例如，向量A(3,2)乘以2可以表示为2A=(2×3, 2×2)=(6,4)。
Step 5：练习题教师布置一些练习题，让学生运用所学的向量基本运算规则进行计算。
教师可以根据学生的实际情况调整题目的难度。
Step 6：实际应用教师通过实际问题的引入，让学生应用所学的向量基本运算解决问题。
例如，教师可以给学生提供一道题目：“小明从家里出发，先向北走了100米，再向东走了50米，最后又向南走了80米。
沪教版(上海)数学高二上册- 向量在平面几何中的应用 课件
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 向量在平面几何中的应用 课件 沪教版（上海）数学高二上册-8.4 向量在平面几何中的应用 课件
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 向量在平面几何中的应用 课件
4、证共线
例5
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 向量在平面几何中的应用 课件
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 向量在平面几何中的应用 课件
例3
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 向量在平面几何中的应用 课件
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沪教版（上海）数学高二上册-8.4 向量在平面几何中的应用 课件
3、证垂直
例4
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 向量在平面几何中的应用 课件
4、证共线
例5
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 向量在平面几何中的应用 课件
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 向量在平面几何中的应用 课件
吴文俊（著名数学家、中国科学院院士）
吴文俊的研究工作涉及数学的诸 多领域，其主要成就表现在拓扑 学和数学机械化两个领域。 代表作品： 《几何定理的机械化证明》 《数学机械化》
8.4 向量在平面几何中的应用
例1
证明：对角线互相平分的四边形为平行四边形。
1、求角
例2 利用向量证明余弦定理。
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2、求面积
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 向量在平面几何中的应用 课件
沪教版（上海）数学高二上册-8.4 向量在平面几何中的应用 课件
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.7 (1)平面向量 教案
22.7（1）平面向量教学目标1、理解有向线段的概念，会画有向线段并用于表示生活中一些既有大小又有方向的量；2、通过操作画图对有向线段的概念有感性的认识，为下一节课做好铺垫和准备；3、通过学习与指导、互动，发展抽象概括能力。
教学重点及难点通过实例让学生认识描述“位置移动”和“两点位置差别”的要素；引进有向线段的概念，并使学生会画有向线段。
教学过程设计一、思考与探究问题1：1．将定点A平移5cm，你能唯一确定点A的位置吗？2．将定点A沿北偏东30°的方向平移，你能唯一确定点A的位置吗？3．将定点A沿北偏东30°的方向平移5cm，你能唯一确定点A的位置吗？结论1：要想唯一确定平移后的点，必须知道平移的距离和方向.问题2：一位来上海观光的游客在西藏路上向小明问路：“到外滩黄浦公园怎样走？”，小明热情地告诉他：“从这里沿着西藏路向南走大约200米到第一百货，再沿着南京路向东走大约2000米就到了”. 游客对小明的回答非常满意，这是为什么？——小明在指路时，讲清了行走的方向和距离。
生活中的指路牌二、新授1、操作1：画一个“小明指路”的示意图。
（在本操作中可能的困难是学生忘记了比例尺的概念）用此示意图引出有向线段的画法。
2、有向线段的定义：规定了方向的线段。
起点、终点、箭头的规定等。
有向线段AB表示点B相对于点A的位置差别，可具体描述为：点B在点A的……辨析：①线段PQ与线段QP一样吗？②线段PQ与有向线段PQ一样吗？③有向线段PQ与有向线段QP一样吗？练习：如图：已知菱形ABCD 中，将满足以下条件的所有有向线段用符号表示出来. ①与AB 方向相同且长度相等. ②与AB 方向相反且长度相等. ③与DA 方向相同且长度相等.④与DA 方向相反且长度相等.⑤与CD 方向不同且长度相等.3.问题3：“平移”是指“图形上的所有点按照某个方向作相同距离的位置移动”。
①如果有一个平移，它的方向是南偏东30°，移动的距离是4㎝，请你用有向线段AB 来表示这个平移；②若已知△CDE 与有向线段AB ，作出△CDE 按有向线段AB 表示的平移移动后所得的△C ′D ′E ′。
沪版八年级教学设计22.7平面向量
课题：22.7平面向量（1）三烈中学施晟教学目标1．能通过实例认识描述有关“位置移动”和“两点的位置差别”的两大要素是“大小”和“方向”。
2．结合“平移”和物理学“力的表示法”等知识的学习经验，理解有向线段的概念并能用有向线段表示含方向和大小的量。
3．经历有向线段概念的发生形成过程，提高归纳和概括能力与数学语言表达能力。
教学重点和难点1．教学重点：结合实例，认识描述有关“位置移动”和“两点的位置差别”的两大要素是“大小”和“方向”，理解有向线段的概念。
2．教学难点：理解数学上可以用能同时表示大小和方向的量来抽象并刻画一些实际问题。
教学过程一、情境引入1．联系生活情境情境一体育老师在操场上向某位同学分别发出了三个指令：“向前走、走三步、向前走三步”。
问题1：请问，你是怎么理解这三个指令的？问题2：上述的哪个指令能够让这个同学准确地从一个位置移动到另一个位置？为什么？情境二在我们的城市中有很多路牌用以指示交通。
箭头：方向数字：大小（距离）例如：这样一张指示牌问题1：这个路牌指示了什么含义？问题2：你是通过指示牌上的哪些信息看出来的？2．联系学习经验情境一问题1：七年级我们学习过图形的平移，大家还记得什么是平移吗？下面是一个三角形平移的示意图问题2：你能确定这次平移的大小和方向吗？情境二这是我们八年级物理的一个力的图示法示意图问题3：请说出图中小物块所受拉力的大小和方向？问题4：所受拉力方向的信息是怎么获得的？所受拉力的大小的信息是怎么获得的？二、新课探究1． 概念学习有向线段定义：规定了方向的线段要素：大小、方向画法：记作：AB uu u r有向线段AB 从点A 到点B 的指向，叫做有向线段的方向。
这时它的两个端点有顺序，前一点A 叫做起点，另一点B 叫做终点。
画图时在终点处画上箭头表示它的方向。
问题：线段AB 和线段BA 一样吗？有向线段AB uu u r 和有向线段BA uu r 一样吗？2． 深入理解问题1：如何描述点A 相对于点O 的位置差别？（OA 长200米）问题2：如何更简洁的描述描述点A 相对于点O 的位置差别？我们把点O 作为起点（参照物），点A 作为终点（研究目标），那么描述点A 相对于点O 的位置关系可以用有向线段OA uu r表示。
沪教版数学八年级下册22.4《平面向量及其加减运算》教学设计
沪教版数学八年级下册22.4《平面向量及其加减运算》教学设计一. 教材分析《平面向量及其加减运算》是沪教版数学八年级下册第22.4节的内容。
本节内容主要介绍了平面向量的概念、平面向量的加减运算及其几何意义。
教材通过实例引入平面向量的概念，让学生在已有数学知识的基础上，进一步理解向量的定义及其运算规律。
教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握平面向量的加减运算及其几何意义。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、坐标系、几何图形的知识，对数学概念的理解和图形的直观感知能力较强。
但平面向量是较为抽象的数学概念，学生可能存在理解上的困难。
因此，在教学过程中，需要注重向量概念的引入和向量运算规律的讲解，并通过适量习题训练，帮助学生巩固所学知识。
三. 教学目标1.理解平面向量的概念，掌握平面向量的表示方法。
2.掌握平面向量的加减运算规则，能熟练进行向量的加减运算。
3.理解平面向量加减运算的几何意义，能运用向量知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：平面向量的概念、平面向量的加减运算及其几何意义。
2.难点：平面向量的加减运算规律及其应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，通过实例引入平面向量概念，引导学生主动探究向量运算规律。
2.利用数形结合法，直观展示向量加减运算的几何意义，帮助学生加深理解。
3.运用练习法，让学生在实践中巩固所学知识，提高解题能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作平面向量及其加减运算的教学课件，包括向量概念的引入、向量运算规律的讲解、向量运算实例演示等。
2.习题库：准备一定数量的平面向量运算习题，包括填空题、选择题、解答题等，用于课堂练习和课后巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入平面向量的概念，如物体在坐标系中的位移、速度等。
引导学生理解向量的定义及其表示方法。
2.呈现（10分钟）讲解平面向量的加减运算规则，通过几何图形的直观展示，让学生理解向量加减运算的几何意义。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.7 平面向量 教案
22.7（2） 平面向量教学目标：1、理解向量的概念，会用有向线段表示向量；2、理解向量的长度、相等向量、相反向量、平行向量的概念，并会用符号进行表示；3、知道向量在现实生活和数学、物理等学科中有重要的作用；体会引入向量的重要意义。
教学重点：掌握向量概念及其表示方法，学会辨识图形中的相等向量、相反向量和平行向量。
教学难点：理解自由向量的含义。
教学过程：一、情景引入交流你接触过的既要考虑大小又要考虑方向的量（物理学中力的图示，重力、阻力等） 二、新课 （一）向量的定义1、 向量：既有大小，又有方向的量.数量：只有大小，没有方向的量.2、 向量表示法：有向线段表示字母表示：AB ，a .3、向量的长度：向量的大小叫做向量的长度（向量的模）记做：||||AB a ，. 我们通常研究的向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与有向线段的起点位置无关。
通常所说的向量是自由向量。
（二）、相等向量、相反向量，平行向量例题1 如图，□ABCD 和梯形EFGH ，梯形中EF ∥HG . 图中有向线段都表示向量，它们的起点和终点分别是所在四边形的顶点.a1．用符号表示各个向量；2．每个四边形的对边上的两个向量，它们的方向是相同还是相反？它们的长度是否相等？相等向量：方向相同且长度相等的两个向量.（既要考虑方向，又要考虑长度）. 相反向量：方向相反且长度相等的两个向量.（既要考虑方向，又要考虑长度）. 平行向量：方向相同或相反的两个向量.（只要方向相同或相反，与长度是否相等无关）.相等、相反、平行向量的表示法：若向量→AB 与→DC 是相等向量，记作→AB =→DC 若向量→BC 与→DA 是互为相反向量，记作→BC =→-DA 若向量→EF 与→HG 是平行向量，记作→EF //→HG相等向量 相反向量 平行向量 方向 相同 相反 相同或相反 大小相等相等不一定相等分别用以上表示法，表示例1中两个图形向量间的关系. 思考：向量→AB 与→BA 是什么关系的向量？用符号表示出来. 概念辨析、1、相等向量一定是平行向量。
平面向量的应用教案
平面向量的应用教案一、引言平面向量是解决平面几何问题的重要工具，广泛应用于各个学科领域。
为了帮助学生更好地理解和应用平面向量，本教案将介绍平面向量的基本概念和性质，并通过具体的例题进行实际运用，以此提高学生的解题能力和应用能力。
二、平面向量的基本概念1. 向量和向量的表示方法平面向量可以用有向线段来表示，其中起点和终点分别表示向量的始点和终点。
向量通常用字母加箭头表示，例如：→AB表示从点A 指向点B的向量。
向量的表示方法还可以通过坐标表示，设向量→AB的始点坐标为(x₁, y₁)，终点坐标为(x₂, y₂)，则向量→AB用坐标表示为(x₂-x₁, x₂-x₁)。
2. 向量的运算平面向量的运算包括加法和数乘两种。
- 向量的加法：设向量→x的终点为B，向量→x的终点为C，则向量→x的终点为C。
向量加法可通过首尾相接或平行四边形法则进行计算。
- 向量的数乘：数乘即将向量的长度进行缩放，设实数k为缩放倍数，则向量→x的数乘为k∙→x，它的长度变为原来的k倍，并且方向不变。
3. 平面向量的性质平面向量有以下几个重要的性质：- 相等性：两个向量相等，当且仅当它们的大小和方向都相同。
- 零向量：表示长度为0的向量，任何向量与零向量相加都不改变。
- 负向量：设向量→x的终点为B，则向量→x的终点为A，称向量→x为向量→x的负向量，记作−→x。
三、平面向量的应用1. 平面向量与平行四边形平面向量的加法可以用来推导平行四边形的性质和关系。
例题：已知平行四边形ABCD，向量→BA与向量→DC的终点分别为E和F，则向量→E F等于多少？解析：根据平面向量的加法，有：→EF = →EA + →AF = →BA + →DC。
因此，向量→EF等于向量→BA加向量→DC。
2. 平面向量与三角形的面积平面向量的叉乘可以用来计算三角形的面积。
例题：已知三角形ABC，向量→AB和向量→AC的终点分别为D 和E，则三角形ABC的面积等于向量→DE的长度的一半。
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一、学习目标
1. 掌握向量理论在平面几何中的初步运用；会用向量知识解决几何问题；
2. 能通过向量运算研究几何问题中点，线段，夹角之间的关系
3. 掌握向量理论在相关物理问题中的初步运用，实现向量与物理之间的融合，会用向量知识
解决一些物理问题.
二、学习重难点
重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题
难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决
三、学法指导
本节关键是选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决•
四、自主预习
1、复习：（1）若0为重心,则++= __________
（2）水渠横断面是四边形,=,且|=1，则这个四边形为. 类比几何元素之间的关系
你会想到向量运算之间都有什么关系？
（3）两个人提一个旅行包，夹角越大越费力•为什么？
2、预习教材P109—P112。
整理题型
五、问题探究：
iur uuu urnr
问题1:平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型•如下图，AC AB AD，
ILLT Ulin ULLT
DB AB AD，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
结论：____________________________________
BE、BF分另U与AC 问题2：平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点, 交于
R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
结论：
问题3:用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的?
⑴__________________________________________________
⑵__________________________________________________
⑶____________________________________________________ 问题4:在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力;
在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力•你能从数学的角度解释这种现象吗？
问题5：如图，一条河的两岸平行，河的宽度
d 500m 一艘船从 A 处出发到河对岸.已
知船的速度| w|=10km/h ,水流的速度|V 2|=2km/h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少（精 确到？
六、达标检测 （A 组必做，B 组选做） A 组：1.给出下面四个结论：
B.直角三角形
C.等腰三角形
f
f
f
4.在四边形 ABC ［中, AB=- CD AC- BD= 0，则四边形为（
）.
若线段 uuv AC=AB+BC 则向量 AC uuv uuv
AB BC ;
若向量 LUIV UUV LUUV
AC AB BC ,则线段
AC=AB+BC
若向量 uuv uuu
AB 与BC 共线，则线段 AC=AB+BC; 若向量 uuv uuu ―K —K
AB 与BC 反向共线，则 AB BC
AB BC .
其中正确的结论有 A. 0个 2.河水的流速为2m s ， 一艘小船想以垂直于河岸方向
10^S 的速度驶向对岸，则小
船的静止速度大小为
"s B.
2 26
C . W6
3.在ABC 中，若
(CA CB)?(CA CB) =0，则
ABC 为（
）
A.正三角形 D.无法确定
A.平行四边形 B •矩形 C •等腰梯形 D .菱形
5.已知在厶ABC 中, AB= a , AC= b ,且a • b <0,则厶ABC 的形状为（ ）.
A.钝角三角形 B •直角三角形 C •锐角三角形 D •等腰直角三角形
f f f f f f
6•点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足 OA OB= OB- OG OC- OA 则点O 是厶ABC
2.已知直线ax + by + c = 0与圆 Ox 2+ y 2= 4相交于A B 两点，且|AB = 2 3，则6人f B=
3. 在平面直角坐标系中，正方形 OABC 勺对角线OB
f f
的两端点分别为 O 0,0），B （1,1），则AB- AC=
f f
4.已知点A （1,0），直线I : y = 2x - 6，点R 是直线I 上的一点，若RA= 2AP,求点P 的轨迹 方程.
C 组（体验咼考）:1.
ABC 中，AB 边上的高为CD ,
uuu r uuu
r r r r
r uuu
若 CB a,CA
b,a b 0,|a|
1,|b| 2,则 AD ( )
1 r 1 r o
2 r 2r c 3r 3r 4 r 4r A. — a
b
B. a b
C . — a b
D .
a b 3 3
3 3
5 5
5 5
uuu iuu
2.在厶 ABC 中，M 是 BC 的中点，AM=3 BC=1Q 则 AB AC = _________
3.如图，在矩形 ABCD 中，AB 2，BC 2，点E 为BC 的中点，点 F 在边CD 上，若
LLLT UUU - UUU UUU
ABg AF 2，贝y AEg BF 的值是
uuv uuv
4. 如图4，在平行四边形 ABCD 中 ，API BD,垂足为P, AP 3，则APgAC = _.— 七、知识梳理
八、问题备忘: 九、巩固作业 教材 120 页 4、 6、 7
A.三个内角的角平分线的交点 B •三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点 D
•三条高的交点
7.已知 OR OP 2 OP 3
0, OR OP 2
OP 3 1，则OR 、OP 2、OF 3两两夹角是
B 组：1.已知 AB
C 中，a 2,b 3,C
600，求边长c 。