离散数学 关系

布尔和
布尔和
31
2) R∩S 的关系矩阵M R∩S 是MR与MS的按位与(按位布 尔积):
M R ∩ S = (uij vij)mn = (uij vij)mn
布尔积
逻辑与
3)
R
的关系矩阵M R
是MR的按位取反:
把每个1改为0，每个0改为1
4) 利用A－B＝ A∩ B , 可计算MR-S 及MRS
例: R表示“父子”关系， 则(R◦R) ◦R是什么关系? •
39
• 例: 设A＝｛1, 2, 3, 4｝, B＝｛2, 3, 4｝, C＝｛1, 2, 3 ｝,
• R＝｛(a, b)|(a, b) ∈ A×B 且 (a＋b＝4)｝
• S＝｛(b, c)|(a, b) ∈ B×C 且 (|b－c|＝1)｝
, 用ＩA表示。
•
12
•【例】设A＝{1, 2, 3, 4, 5}，R是A上的二元关系，其 定义为：当a，b ∈A且a能整除b时，(a, b) ∈R（R称 为A上的整除关系），求R。
13
•【例】设A＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的二元关系， 其定义为：当a，b ∈A且a和b被3除后余数相同时， (a, b) ∈R（R也称为A上的模3同余关系, 记为3）， 求R。
22
• 设集合A＝{a1, a2, …, an}, 对于A上的关系R, 其关系 矩阵MR＝(mij)n×n是n×n的, 其中:
mij
1 , 0 ,
if ai ,aj R if ai ,aj R
【例】 求A＝{1, 2, 3, 4}上的≤关系、 EA和IA 的关系矩阵。
23
2.1.5 函数的关系定义 函数如何转换成关系?
• R={ （张三,离散数学）,
•
（李四,微积分）,
•
（张三,高级语言）,
•
…}
• 序偶的集合R同样也刻画了学生集合A=｛张三，
李四，…｝与课程集合B=｛离散数学，微积分，高
级语言，…｝之间“多值对应”的联系。
10
• 【例】 设A＝｛1, 2, 3, 4, 5｝, B＝｛a, b, c｝, 则 • R1＝{(1,a),(1,b),(2,b),(3,a)}
• 是从A到B的关系, 而 • R2＝{(a,2),(c,4),(c,5)}
• 是从B到A的关系。
11
• 【定义】 设RA×A, • 1) 当R＝ 时, 称R为A上的空关系; • 2) 当R＝A×A=A2时, 称R为集合A上的全域关系,
用EA表示。显然EA ＝{(x,y)|x∈A 且 y∈A} • 3) 若R＝｛(x, x)|x∈A｝, 则称R是A上的恒等关系
【例2-15】A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3}, f: A B, f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 3.
f (x) y (x, y) f . f {(a,2), (b,3), (c,3)}.
注意： 一般来说, A到B的关系不是A到B的函数.
{(a,2), (a,3), (c,3)}?
dom R={a, b, c}，ran R={1,2}
15
•2.1.4 关系表示 • 1、关系图 • 2、关系矩阵 •
16
•1. 关系图 • 情形1：R是从A到B的关系, 采用如下的图示: • 1）用大圆圈表示集合A和B，里面的小圆圈（ 或实心圆）表示集合中的元素; • 2）若a∈A，b∈B，且(a,b)∈R，则在图中将 表示a和b的小圆圈用直线或弧线连接起来, 并加上 从结点a到结点b方向的箭头。 •
14
2.1.3 关系的定义域、值域
定义1.12
设R是一个二元关系， (1) R中所有序偶的第一元素构成的集合称为R 的定义域（ domain），记做dom R。 (2) R中所有序偶的第二元素构成的集合称为R 的值域（range），记做ran R。
例如：A={a, b, c, d}，B={1, 2, 3}， R＝{(a,2), (b,2), (c,1)}， 则：
第2章 关 系
1
• 考察日常生活和科学技术中的“关系”： • 人与人之间有：
➢父子关系 ➢兄弟关系 ➢师生关系 • 两数之间有： ➢大于关系 ➢等于关系 ➢小于关系
2
• 集合之间有： ➢包含关系 ➢相等关系
• 元素与集合之间有： ➢属于关系
• 函数之间有： ➢调用关系
• ……
3
• 关系－－联系:事物间的多值对应。 • 本章讨论的是： • 用集合理论刻画这些“联系”所建立的最一般的 数学模型－－关系，这也是计算机科学中数据描述 和信息处理的最常用的数学模型。
•
R={(a, x), (b, y), (c, y)}，
• 则R-1是B到A的二元关系，且有：
•
R-1={(x, a), (y, b), (y, c)}
• 【例】A={1, 2, 3}，R是A上的二元关系，且有：
•
R={(1, 2), (2, 3), (3, 1)}
• 则其逆关系为：
•
R-1={(2, 1), (3, 2), (1, 3)}
30
Questions
• 如何用关系矩阵实现关系的集合运算?
记关系R的关系矩阵为MR= (uij)mn，关系S的关系矩 阵为MS = (vij)mn ，则
1) R∪S 的关系矩阵M R∪S 是MR与MS的按位或(布尔
和):
逻辑或
M R∪S = MR+ MS= (uij + vij)mn = (uij vij)mn
4
•2.1 关系的概念 • 2.1.1 n元关系
定义2-1
设A1, A2 ,… An是集合，则称 A1×A2×…×An的任意一个子集R为A1, A2 ,… An间的n元关系。
集合A1, A2, …, An叫做关系的域, n叫做它的阶。
若R An, 则称R为A上的n元关系。
5
• 可以利用n元关系表示计算机的数据库: • 数据库由记录组成，这些记录是由字段构成的n元 组。字段是n元组的数据项。
mij
1 , 0 ,
if ( xi , y j ) R if ( xi , y j ) R
21
【例】 设A＝{1,2,3,4,5}, B＝{a,b,c}, 求下面两 个关系的关系矩阵。
A到B的关系: R1＝{(1,a),(1,b),(2,b),(3,a)} B到A的关系: R2＝{(a,2),(c,4),(c,5)}
32
•2.2.2 关系的逆运算
定义2-5
设R是A到B的二元关系，如果把R中的 每一个有序对中的元素顺序互换，所 得到的B到A的二元关系称为R的逆关 系，记作R-1。
例: R表示“课程-学生”关系，则R-1是“学生-课程”
关系。
33
• 【例】A={a, b, c}，B={x, y, z}，R是A到B的二元关 系，且有：
• (3) R是A上的关系, 则
R 1 R1
36
2.2.3 关系的复合运算 1. 关系R和S的复合
定义2-6 R是集合A到B的二元关系，S是集合B到 C的二元关系，R和S的复合R ◦S 定义为 R ◦S = { (x, z) | y ∈B使得(x, y)∈R且(y, z)∈S } 它是A到C的二元关系。
19
【例】A={a1, a2, a3, a4, a5}， R={(a1, a1), (a1, a2), (a2, a3), (a3, a4), (a4, a1), (a4, a5), (a5, a3)}。
求R的关系图。
20
• 2. 关系矩阵 ：由表格法抽象而来
• 【定义】设集合A＝{x1,x2,…,xm}, B＝{y1,y2,… yn}, R 是从A到B的关系, 则m×n矩阵MR＝(mij) m×n叫R的关 系矩阵, 其中:
34
Questions
• 逆关系R-1的关系矩阵与关系R的关系矩阵 有何联系？
如果二元关系R的关系矩阵为MR，则MR的转置 矩阵MRT就是逆关系R-1的关系矩阵。
35
• • 【定理2-2】
(R1)1 R
• 【定理2-3】
• (1) (R U S)1 R1 U S 1 • (2) (R I S)1 R1 I S 1
6
• 例 设R是A×N×S×D×T 的子集，其中A是所有 航空公司的集合，N是航班号的集合，S是出发地的 集合，D是目的地的集合，T是起飞时间的集合。则R 是由5元组(a, n, s, d, t)组成的表示飞机航班的关系。
• 例如，设R表示由国内航空公司飞机航班构成的关 系，如果南方航空公司在15:00有从广州到北京的 2963航班，那么
• 求R ◦S 。
• 解:
•
R＝{(1, 3), (2, 2)}
•
S＝{(2, 1), (3, 2), (4, 3), (2, 3)}
•
R ◦ S ＝{(1, 2), (2, 1), (2, 3)}
• 复合关系R ◦ S的图示如图所示。
40
R◦S
复合关系
41
• 2.复合关系的矩阵表示 • 设A={a1, a2, … , am}，B={b1, b2, … , bn}，C={c1, c2, … , cs}，R是A到B的二元关系，R的关系矩阵为：
24
关系如何转换成函数?
定义2-4
A到B的关系f 满足: (1) dom f = A; （像的存在性）
(2) 对任意x∈A，若 (x, y1)∈f 且 (x, y2)∈f, 则y1 =y2； （像的唯一性） 则称f 为A到B的函数。
25
• 作业： • P44: • 1, 3, 7，13(1)(2) •
37
例: R表示“教师-课程”关系， S表示“课程-学生”关系， 则R◦S 是 “教师-学生”关系。
例: R表示“父子”关系， 则R◦R 是 “祖孙”关系。
38
例: R表示“教师-课程”关系， S表示“课程-学生”关系， T表示“学生-家长”关系， 则(R ◦ S) ◦ T 是
“教师-学生家长”关系。
28
•解
• 关系R1∪R2由所有的有序对(a,b) 组成，其中a是一
个学生，他或者选修了课程b，或者课程b是他的必修 课。 • R1∩R2是所有有序对(a,b)的集合，其中a是一个学 生，他选修了课程b并且课程b也是a的必修课。
29
• R1－R2是所有有序对(a,b)的集合，其中a已经选修 了课程b，但b不是a的必修课。 • R2－R1是所有有序对(a,b)的集合，其中b是a的必 修课，但a没有选它。 • R1⊕R2由所有的有序对(a,b)组成，其中学生a已经 选修了课程b，但课程b不是a的必修课，或者课程b 是a的必修课，但是a没有选修它。
R A2
若 (a, b)∈R, 则称a与b有关系R, 记为aRb;
若 (a, b)R, 则称a与b没有关系R, 记为aRb。
8
• 直观地看，二元关系就是反映“多值对应”的 二维表，例如， 学生－选课表：
学生
张三 李四 张三 ...
课程 离散数学
微积分 高级语言
...
9
• 把学生选课表用集合来表示：
17
例如： A={a1, a2, a3, a4} B={b1, b2, b3, b4, b5}
R={(a1, b1), (a2, b3), (a3, b2), (a4, b4), (a4, b5)}
• • • • •
18
• 情形2：R是A上的关系, 其画法如下: • 1) 集合A中的每一个元素a用带有元素符号的顶 点(称作顶点a)表示。 • 2) 若a, b∈A, 且(a,b)∈R, 则将顶点a和顶点b用 一条带有箭头的有向边连接起来, 其方向由顶点a指向 顶点b。
26
2.2 关系的运算
• 2.2.1. 关系的集合运算
• 设R, S A B :
•
R U S, R I S, R, R S, R S
• 注意：
R A B R A B R. R A A R A A R.
27
• 可以用n元关系上的集合运算构造新的n元关系。 • 例 设A和B分别是学校的所有学生和所有课程的 集合。假设: • R1由所有有序对(a,b)组成，其中a是选修课程b的 学生; • R2由所有的有序对(a,b) 构成，其中课程b是a的必 修课。 • 问关系R1∪R2，R1∩R2，R1－R2 ，R2－R1，R1⊕R2 是什么?
•( 南方航空，2963，广州，北京，15:00) •属于R。
7
2.1.2 Βιβλιοθήκη Baidu元关系
定义
设有两个集合A和B，其笛卡儿积A×B的任意 一个子集R称为从A到B的一个二元关系 （relation from A to B）。即:
R A×B 特别地，当A＝B时，R称为A上的关系 （relation on A ）, 这时