物理竞赛课件16：热力学基础

专题16-例2
h0 F p S S 2(m) g y ( p 0 gS 2 Sg ) y L
T2 2
( pm p ) S 2 ySg hhS y 0 2 2
2
k h
0
T1 L h0 T 2 L 1 1 T T 2 L h 2 0 2
m R T2 T1 Q吸 M E W
M 少；绝热压缩 升压升温时， 等压降温压缩时， 外界做功，内 放热并外界做功， 能增加；功量 m m 内能减少 E cV T2 T1 E cV T2 T1 M M 等于内能增量
，吸热并对外做 降温时，对外 Q0 W p V2 V1 功，内能增加 做功，内能减 m
0＝W+Q
E Q 等容升温升 m 压时，气体 Q cV T2 T1 M 吸热，内能 增加；等容 W 0 降温降压时 ，气体放热 m ，内能减少 E CV T2 T1 M ．热量等于 内能增量
ΔE ＝Q
E W Q E W 等压升温膨胀时 绝热膨胀降压
h0 h0 (2 gS ) 2g Sg L L gyS 2 ySg
A
B
C
1
2
设热气球具有不变的容积VB=1.1 m3，气球蒙皮体 积与VB 相比可忽略不计，蒙皮的质量为mH=0.187 kg，在外界气温 t1=20℃，正常外界大气压p1=1.013×105 Pa的条件下，气球开始升空， 此时外界大气的密度是ρ1=1.2 kg/m3．(1) 试问气球内部的热空气的温 度t2应为多少，才能使气球刚好浮起？(2) 先把气球系在地面上，并 把其内部的空气加热到稳定温度t3=110℃，试问气球释放升空时的初 始加速度a等于多少？（不计空气阻力）(3) 将气球下端通气口扎紧， 使气球内部的空气密度保持恒定．在内部空气保持稳定温度t3=110℃ 的情况下，气球升离地面，进入温度恒为20℃的等温大气层中．试 问，在这些条件下，气球上升到多少高度h能处于力学平衡状态？ mgh / kT h 1e分布，式中 （空气密度随高度按玻尔兹曼规律 m为空 气分子质量，k为玻耳兹曼常数，T为绝对温度）(4) 在上升到第3问 的高度h时，将气球在竖直方向上拉离平衡位臵10 cm，然后再予以 释放，试述气球将做何种运动
气球受力满足∑F= －Kx，故做谐振!
V g mH g mt g F B 浮
t2 68.4℃
a 1.03m/s2
827m
hVB g mH g 3VB g
kT1 1 VB h ln mg mH 3VB
⑷气球在平衡位置上方x(<<h)时
e mg ( h x ) / kT1 e mgh / kT1 V g F V m V g 1 B V H h B 3 B h x B
2
2 1.5 5 2.25 2 3 0.5 nR Q吸1 W E 2 2 nR 2 从Tm到T2 过程,对外做功,内能减少,故: 2.25 p 3 p 5 1 nR 3 p 1.5 Q吸2 W E 2 1.5 p nR 2 续解
mg 打开活栓重新平衡后 2中活塞下气体压强为 2 S mg 2nRT 由 V nRT H 2S mg 3 E0 n RT 2中活塞下气体内能为 2 h H H 由能量守恒可得: 3 nR T T0 nMg mg h 2 2 2 2 3 nMg nR T T0 nR T0 2T nR T T0 2 2mg
1 3 1 1 4 4 4 T0 1 t t 1 t t t 1 t t 0 4 0 0 t
3 4
T0 4
T0 T
查阅
3 p2 7.5 p 4.5
3 p 1.25
2
3 16
1.25 3 当p p0时 Q吸2m 3 16
全过程气体共吸收热量为
Q吸
27 p0V0 16
在两端开口的竖直Ｕ型管中注入水银，水银柱的全 长为h．将一边管中的水银下压，静止后撤去所加压力，水银便会振 荡起来，其振动周期为 T1 2 h ;若把管的右端封闭，被封闭的空 2g 气柱长L，然后使水银柱做微小的振荡，设空气为理想气体，且认为 水银振荡时右管内封闭气体经历的是准静态绝热过程，大气压强相 考虑封闭气体,从A状态到C状态,由泊松方程: (． Δm) y 当h0水银柱产生的压强．空气的绝热指数为 γ (1) 试求水银振动的周 max p ( LS ) p [( L y ) S ] 0 y 期T2；(2)求出γ与T1、T2的关系式. Δm L h p y p0 [( )γ y 1] p0 0 g ymax LL y y y 考虑封闭气体在 C状态时液柱受 (1 1) p0 O L,有: 力,以位移方向为正
mg 1中活塞下气体压强为 S nRT0 mg 由 V nRT0 h S mg 3 1中活塞下气体内能为 E 0 n RT0 2
m 5 nM
1
m n M T0
2
m/2
26 T T0 27
在大气压下用电流加热一个绝热金属片，使其在恒 定的功率P下获得电热能，由此而导致的金属片绝对温度T随时间t的 增长关系为 T (t ) T 1 ( t t ) ．其中Ｔ0、α、t0均为常量．求金属片热 容量Cp(T)．（本题讨论内容，自然只在一定的温度范围内适用）
等容变化
W＝ 0
等压变化
Q,W,ΔE≠0
ΔE＝Q +W
绝热变化
Q＝０
ΔE＝Ｗ
热 一 律 形 式
0 W Q 等温膨胀降压 Q W 时，对外做功 V m ，气体吸热； RT ln 2 M V1 等温压缩升压 p m RT ln 1 时，外界做功 M p2 ，气体放热； 功量等于热量 E 0 ，内能保持不 变
♠
热一律应用于理想气体等值过程
i m i i E N kT RT ( pV ) 2 M 2 2
单原子分子 i为分子自由度
双原子分子 多原子分子 定容比热 定容比热
i=3 i=5 i=6
C p CV R
cV
cp
i2 CV i Cp
过 程 特 征
等温变化
ΔE＝０
W
cV T2 T1
Q放 E W
理想气体做绝热膨胀，由初状态（p0，V0） 至末状态（p，V），试证明在此过程中气体所做的功为
p0V0 pV W 1
绝热膨胀时,对外做功量等于内能的减少:
i W E NR(T0 T ) 2
p0V0 pV i NR( ) 2 NR NR
i 2 11 设混合气体的自由度为i, 由 i 7
7 i 2
混合前后气体总内能守恒:
3 5 7 1 RT 2 RT 1 2 RT 2 2 4
即 3
1 3 2
一个高为152 cm的底部封闭的直玻璃管中下半部充 满双原子分子理想气体，上半部是水银且玻璃管顶部开口，对气体 缓慢加热，到所有的水银被排出管外时，封闭气体的摩尔热容随体 积如何变化？传递给气体的总热量是多少？ (大气压强p0=76 cmHg)
i2 i
p0V0 pV 1
为了测定气体的γ( C p )，有时用下列方法：一定量 CV 的气体初始的温度、压强和体积分别为 T0、p0、V0．用一根通有电流 的铂丝对它加热．设两次加热的电流和时间都相同．第一次保持气 体体积V0不变，温度和压强各变为T１和p１；第二次保持压强p0不变， ( p p )V 而温度和体积各变为T２和V１．试证明 (V V ) p
1 0 0 1 0 0
等容升温时,吸收的电热全部用作增加内能:
等压升温时,吸收的电热用作增加内能与对外做功:
CV p1V0 p0V0 Q E CV n(T1 T0 ) CV n(( p1 p0 )V0) R nR nR
V0 p1 p0 则 p0 V1 V0 CV
Cp
p0V1 p0V0 Q E W C p n(T1 T0 ) C p n( ) nR nR Cp p0 V1 V0 R
两个相同的绝热容器用带有活栓的绝热细管相连，开始时活栓 是关闭的，如图，容器1里在质量为m的活塞下方有温度T0、摩尔质量M、摩尔数n 的单原子理想气体；容器2里质量为m/2的活塞位于器底且没有气体．每个容器里 活塞与上顶之间是抽成真空的．当打开活栓时容器1里的气体冲向容器2活塞下方， 于是此活塞开始上升（平衡时未及上顶），不计摩擦，计算当活栓打开且建 立平衡后气体的温度T，取
1/ 4 0 0
热容量定义
P t Cp T
1 4 1 4
1 t t t0 T0 1 t t0 T T0 其中 t t
T0 1 t t0 4 3 4P T cp T0 T0
1
1.5 2
返回
已知0.1摩尔单原子气体作如图所示变化,求 变化过程中出现的最高温度与吸收的热量 p/atm A 气体的p-V关系为 p 2 1 V 1.5 2 由气体方程 pV 0.1RT 1.0
2 p 2 p 0.1 RT
当p=1.0atm、V=2L时有最高温度 至此气体对外做功，吸收热量， 0 内能增大！Q吸1 W E1
p 0.5
1
B
W1 W2
2 3
V/L
此后气体继续对外做功，吸收热量，内能减少， Q吸2 W2 E2
全过程气体共吸收热量为
Hale Waihona Puke Baidu
Q吸 Q吸1 Q吸2
Q吸2
2.25 p 3 p 1 5 1.5 p nR 3 p 1.5 2 2 nR
1
解答
⑴热气球刚好浮起满足
读题
1VB g m H g 3VB g m H 3VB a
⑶气球上升到h高处平衡时满足
mH 3VB h 1emgh / kT1 VB
293 而由 1T1 2T2 可得 m2 1VB T2 ⑵热气球内加热到t3 由 1T1 3T3
取76cmHg为单位压强,76cm长管容为单位体积,
p 1 2 V 3 V 2 由图知 T1 T2 nR
在此单位制下,气体的p-V关系为 p 2 p 1 0
1
从T1到Tm 过程,对外做功,内能增加,故:
2 1 3 V V 2.25 由 Tm T1 Tmax nR
3
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由v1摩尔的单原子分子理想气体与v2摩尔双原 子分子理想气体混合组成某种理想气体，已知该混合理想 11 气体在常温下的绝热方程为 PV 7 常量．试求 v1与v2的比值 α.