-复变函数的导数

任群
北京理工大学理学院
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第二章 解析函数
本章首先介绍连续函数与函数导数的 概念，重点研究解析函数，并探讨了解析 函数与调和函数的关系，最后介绍几个基 本的初等函数.
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§2-1 复变函数的导数
一Δ、导数的概念及其求导法则 二、微分的定义及其可微的充要条件
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一Δ、导数的概念及其求导法则
(1) 导数的定义
如果函数 f (z)在 区域 D内处处可微, 则称 f (z)在 区域 D内可微.
dw f (z) dz
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2. 充要条件
Cauchy-Rieman简介
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柯西——黎曼条件方程（C.— R.方程）
定理:设函数 f (z) u(x, y在) v区(x,域y)iD内确定，则函数在
点
z0可导x0 的 y充0i 分D必要条件是：
上节例 2说明问题不是那么简单。
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二、微分的定义及其可微的充要条件
1. 可微的概念
定义：设函数 w f (z)在 z0的某个邻域内有定义， 若存在复常数A，使得
f (z0 z) f (z0 ) A z z
其中
lim
z0
0，则称f
( z )在点z0可微。
复变函数可微的概念在形式上与一元实变
z0 z z0
z
lim 2(x x) 3( y y)i 2x 3yi
z0
x yi y
lim 2x 3yi z0 x yi
z o
y 0 x
设 z 沿着平行于 x 轴的直线趋向于0，即 x 0 y 0
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lim 2x 3yi lim 2x 2 z0 x yi x0 x
设 z 沿着平行于 y 轴的直线趋向于0，即 x 0 y 0
z
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例1 求函数 f (z) z2 的导数.
解 f (z) lim f (z z) f (z)
z0
z
lim (z z)2 z2
z0
z
lim(2z z) 2z z0
(z2 ) 2z
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例 2 问 f (z) 2x 3 yi 是否可导？
解 lim f lim f (z z) f (z)
事实上，由 f (z)在z0点可导, 必有
lim
z0
f (z0
z) z
f (z0 )
f (z0 )
0
令 (z)
f (z0 z) z
f (z0 )
f (z0 )
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f (z0 z) f (z0 ) f (z0 )z (z)z,
再由 lim (z) 0, z0
所以
lim
z0
f (z0 z)
⑴ u(x与, y) v在(x, y) 可z0微 ．x0 y0i
*
⑵
u v x y
u v y x
f (在z) z 的x 导y数i 为
f '(z) u v i v u i x x y y
函数的微分概念完全一致。
复变函数可微与可导是否也具有一元实变
函数可微与可导的关系？
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引理 复变函数 w f (z)在 z0 可导的充要条件是 f (z)在点 z0 处可微，且 A f (z0 ).
证明 设 f (z0 )存在，且记 A f (z0 )，则
lim f (z0 z) f (z0 ) A
两个互为反函数的单值函数, 且(w) 0
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由此可以看出，复变函数的导数定义与一 元实函数的导数定义在形式上完全一样，它们 的一些求导公式与求导法则也一样。
然而，复变函数的导数要求极限存在与 变 量 z 趋于 z0 的方式无关, 这与二元实函数的极限 相一致，是否可以说明复变函数的导数就是两个 二元实函数的导数？
(4) f (z)g(z) f (z)g(z) f (z)g(z).
(5)
f (z) g(z)
f
(
z
)
g(
z) g2(
f z)
(
z
)
g(
z
)
.
(g(z) 0)
(6) f [g(z)] f (w)g(z). 其中w g(z)
(7)
f
(z)
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( w )
,
其中 w f (z)与z (w)是
中导数的定义在形式上完全一致，同时，复变 函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因 而实函数中的求导法则可推广到复变函数中， 且证明方法相同，此处略.
求导公式与法则: (1) (c) 0, 其中c为复常数.
(2) (zn ) nzn1, 其中n 为正整数.
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(3) f (z) g(z) f (z) g(z).
lim 2x 3yi lim 3yi 3 z0 x yi y0 yi
x 0 y
所以 f (z) 2x 3 yi 的导数 不存在.
z o
y 0 x
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(2) 可导与连续的关系
函数f (z)在z0 处可导，则在z0 处一定连续, 但函 数 f (z) 在z0 处连续不一定在z0 处可导.
定义 1 设 w f (z) 是定义于区域D上的复变函数, z0 D ，z0 z D , 如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z0
z
存在，则称 f (z) 在 z0 可导. 这个极限值称为 f (z) 在 z0 的导数, 记作 f (z0 ).
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f (z0 )
dw dz
z z0
f (z0),
即f (z)在 z0 连续.
反过来，由例 2 可知，f (z) 2x 3 yi 不可导; 但二元函数 u( x, y) 2x，v( x, y) 3 y 连续，由连 续性定理，知 f (z) 2x 3 yi 不可导.
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(3) 求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实函数
lim
z0
f
(z) z
f (z0 ) z0
如果函数 f (z) 在区域 D内的每一点可导, 则
称 f (z) 在区域内 D 可导.
此时，在区域D上的导数构成导函数，记为 f (z).
注意 z z0 ( 即z 0 ) 的方式是任意的.
也即 z0 z 在区域 D内以任意方式趋于z0 时, f (z0 z) f (z0 ) 都趋于同一个数.
z0
z
令
f (z0 z) f (z0 ) A
z
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则
f (z0 z) f (z0 ) A z z
且
lim 0.
z0
这说明函数 f (z)在点 z0可微。
反过来可容易证明
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引理告诉我们，w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微等价. 与一元函数类似地, 记
dw f (z0 ) z f (z0 ) dz,