-复变函数的导数
复变函数的导数
函数解析与可导、连续、极限的关系由解析函数定义可知，函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是，函数在一点处解析和在一点处可导是不等价的两个概念. 就是说，函数在一点处可导，不一定在该点处解析. 但函数在一点解析，则一定在该点可导（而且在该点及其邻域均可导）. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要严格得多.区域解析区域可导（在一点）解析→可导→连续→极限存在反之均不一定成立。
7我们还可以定义其他三角函数如下：(2)根据定义有：()1212122cosh z z z z z z +--+1212z z z z eee e e e --=+=+121212121212z z z z z z z z z z z z e ee e e e e ee e e e------=+++--()1212124cosh cosh z z z z z z e e e e--=-+121211122122124cosh cosh z z z z z z z z z z z z z z e e e ee e e e ee ee ------=--+-++()124cosh cosh 4s z z =+()1212inh sinh 2cosh z z z z -+18()121212cosh cosh cosh sinh sinh z z z z z z ⇒+=+The End The End19作业(2)P385, 7, 8, 17, 18, 57817182020。
复变函数的导数
所 lz 0 i 以 f( m z 0 z ) f( z 0 ) , 即 f(z)在 z0连.续
反过来，由2例 可知， f(z)2x3y不 i 可 ; 导 但二元 u(x,y函 )2x 数 ， v(x,y)3y连续， 续性定f(z理 )2x ， 3y知 不 i 可 . 导
注意 zz0(即 z 0)的方式是 . 任意
也即 z0z在区D域 内以任意方 z0时 式 , 趋于 f(z0z)f(z0)都趋于同.一个数
z
5
例 1求函 f(z)数 z2的导 . 数
解 f(z)lim f(z z)f(z)
z 0
z
lim(zz)2z2
z0
z
lim (2zz)2z z 0
(z2) 2z
f(z)＝zRe(z)=x2+ixy，u=x2，v=xy f(z)在整个复平面连续
u2x, u0, vy, vx x y x y C-R方程2x=x，0=-y仅有解x=0且y=0，又因u(x,y),v(x,y) 在点(0,0)可微，所以f(z)仅在点z=0处可导。
22
• Q 研究 f (z) 在xy 的可z 导0性。（说明在上面 定理中 u(x,y),v的(x,可y)微性不可去） Q 判别函数 f(z)x2的y可2i导点。
注意：1） f (z在) 点 z0可x0微y等0i 价于它在该 点可导。但不等价于其实部函数与虚部函数在点 (x0, y可0) 微。 2）一个二元实函数在某点可微的充分条件是： 它的两个一阶偏导数在该点不仅存在，而且是 连续。
21
判别可导性
P33,4(3) 判断函数f(z)=zRe(z)在哪些点可导，哪 些点连续。
6
例2 问f(z)2x3yi是否可导？
复变函数的导数
求导公式： (1) (C) 0 , (2) (zn ) nz n1 .
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
例3
设 f (z) 3z , 求 f (0) 和 f (i) . 1 z
例 4 设 f (z) (z2 2z 4)2 , 求 f (i) .
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
w
如果极限
lim z0 z
存在。 则称 f (z) 在点 z0 处可导。
此极限值称为 f (z) 在点 z0 处的导数。
记ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ f (z0 ) 或 w zz0或
dw . 即
dz zz0
f
(
z0
)
lim
z0
w z
lim z0
f (z0
z) z
f (z0)
如果函数f（z）在区域D内每一点都可导，则称f（z）在 D 内可导.
（三）解析函数的运算性质
（1） 若函数 f (z) 与 g(z) 在 z0 处解析, 则
f (z) g(z) ,
f (z) g(z) ,
f (z) g(z)
(g(z) 0) 在 z0 处解析。
（2） 若函数 w f (h) 在 区域G内解析, 而 h (z)
在 区域D内解析, 且 (D) G , 则复合函数 w f [(z)]
在 区域D内解析, 且 d f [(z)] d f (h) d (z) .
dz
dh dz
（3） 所有多项式函数在全复平面内处处解析。
任意分式有理函数
P(z) Q(z)
在不含分母为0的点的区域内解析。
（四）解析函数的判定
1. 函数可导性的判别
复变函数(2.1.1)--函数解析性的概念及其判定
=
lim
Dx0
f ( x0 + Dx) Dx
f ( x0 ) = lim x x0
f ( x) - f ( x0 ) x - x0
f ( x0 + Dx) Dx
f(
x0 )
=
f ﾮ( x0 ) + r ( Dx )
f ( x0 + Dx) - f ( x0 ) = f ﾮ( x0 ) Dx + r ( Dx ) Dx
（ 3 ）如果函数 f(z) 在曲线 C 上可导，是否在该曲线上
结论：设函数 f(z),g(z) 在区域 D 内解析 , 则
f ( z) ﾮ g( z),
f ( z)g(z),
f ( z) g( z)
（除去分母为
0
的点）
在区域 D 内解析 .
特别地 ,
（ 1 ）多项式 P(z) 在全平面内解析 . （ 2 ）有理分式在复平面内除分母为零的点之外解 析.
2 ．可导与连续的关系：
可导 连续
3 ．微分定义：
若 则 称 f ( x0 + Dx ) - f ( x0 ) = aDx + o(Dx ),
f (x)
在 x0点可微，aDx 称为 f ( x) 在 x0 点的
记为 dy = aDx
微分 .
a
= lim Dxﾮ 0
f ( x0 + Dx) Dx
f ( x0 )
当 z=0 时，上述极限存在且为 0.
zﾮ0
lim
Dzﾮ 0
Dz Dz
=
lim
Dxﾮ 0 Dyﾮ 0
Dx Dx
+
i i
Dy Dy
=
复变函数第二章
2连续、可导、解析的关系
f ( z ) 在D内解析
f ( z ) 在D内可导
f ( z ) 在z0解析
f ( z ) 在z0可导
f ( z ) 在z0连续
3 复变函数与二元实函数的关系
设f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), A = u0 + iv0 , z0 = x0 + y0i
例5
求出下列各函数的解析区域,并求出导数.
1）f ( z ) =
z
2
2
z +1
,
x+ y x− y 2) f ( z ) = 2 +i 2 2 2 x +y x +y
f ( z )在z 2 + 1 ≠ 0，即z ≠ ±i外处处可导，因此 解: 1) 其解析区域为复平面内除去z ≠ ±i两点.且
2z 2 z ( z 2 + 1) − z 2 2 z = 2 f ′( z ) = 2 2 ( z + 1) 2 ( z + 1)
则称f ( z )在z 0 可导.这个极限值称为f ( z )在z 0的导数.
dω 记作f ′( z0 ) = dz
z = z0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) = lim . ∆z → 0 ∆z
在定义中应注意: 在定义中应注意
z0 + ∆z → z0 (即∆z → 0)的方式是任意的 .
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u 则 = + = cos θ + sin θ ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂x ∂y
导数公式的其它形式 导数公式
∂u ∂v f ′( z ) = +i ∂x ∂x
复变函数第二章1导数
f
(z)
A.
几何意义:
y
z
z0
v f(z)
A
O
xO
u
A lim f (z) 意味着： z z0
当z从平面上任一方向、沿任何路径、以任意
方式趋近于z0时，f (z)均以A为极限。
1
例1：证明函数f (z) e z 在z 0时极限不存在。
证明 当z沿实轴从0的右方趋于0时，即z x 0, x 0
解： u(x, y) x3 3xy2 v(x, y) 3x2 y y3
u 3x2 3 y2 x v 6xy
x
u
6xy
v
y 3x2
3y2
y
都是初等函数，在复平面内处处连续；
u
针对柯西
黎曼方程
x u
v y 在复平面内处处成立 v
u
[2]
在区域D内处处满足柯西
黎曼方程
x u
v y v
y x
(4)实际应用：直接利用定理结论有一定难度。
若u(x, y), v(x, y)在区域D内具有一阶连续偏导数，
则在区域D内可微。
计算：判定f (z)在哪些点处可导？ a. 确定u(x, y), v(x, y);
让 z 沿直线 y = k x 趋于零, 我们有
lim u(x, y) lim x
x0 ( ykx)
x0 ( ykx)
x2 y2
lim
x
1 .
x0 (1 k 2 )x2
1 k2
故极限不存在.
2.2 复变函数的连续性
定义: 若若f (zlzim)z在0 f区(z域) D内f 处(z0处)则连称续函，数 则f称(z函)在数fz(0处 z)在连续。
复变函数的导数
复变函数的导数
什么是复变函数？
复变函数是一种表示实现复数曲线的数学函数，复变函数将实数空间变换为复空间，这既
包括由实数 x 和实数 y 构成的笛卡尔坐标系，也包括由复数构成的复平面。
复数可以
表示为z=x+iy。
贝尔金斯定理称，每一个复变函数都能用它的实部函数和虚部函数来确定，复变函数的实部函数和虚部函数的导数就组成了复变函数的导数。
那么，什么是复变函数的导数？
复变函数的导数是指复变函数的实部函数以及虚部函数的导数的和，它可以用三个符号表示，即f″z= f′x+if′y。
如何计算复变函数的导数？
计算复变函数的导数，需要先解决实部函数和虚部函数导数的问题，并将它们相加。
1. 首先，计算实部函数的导数，也就是计算x的一阶导数。
一般情况下，可以用f′x= limΔx→0(f(x+Δx)-f(x)/Δx)来求解x的一阶导数；
2. 再计算虚部函数的导数，也就是计算y的一阶导数，可用同样的方法来求解，即
f′y= limΔy→0(f(y+Δy)-f(y)/Δy)；
3. 最后，将两个导数相加，得到一个复变函数的导数：f″z= f′x+if′y。
以上就是复变函数的导数的概念及求解方法，仿佛将复数的曲线画出来，它们也可以用复
变函数的导数来表示，这种表示将复数曲线的形状和特性清晰展示出来。
这代表我们可以
利用复变函数的导数来描述复数的曲线的许多性质，比如求复数曲线的局部最大值、最小值，以及曲线的单调性等。
从以上介绍，我们可以看出复变函数的导数扮演着重要的角色，可用来描述复数曲线的特
性和性质，深刻地影响着我们进行复数分析和复变函数研究的工作。
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结复变函数是数学中重要的概念，它在分析学、微分几何、数学物理等领域都有着广泛的应用。
本文将对复变函数的基本概念、性质和常见定理进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握复变函数的相关知识。
1. 复数与复变函数。
复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为z=x+iy，其中x为实部，y为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以用平面上的点来表示，称为复平面，实部x对应横坐标，虚部y对应纵坐标。
复变函数是定义在复平面上的函数，通常表示为f(z)，其中z为复数变量。
2. 复变函数的导数与解析函数。
与实变函数类似，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果一个函数在某点处可导，并且在该点的邻域内处处可导，那么称该函数在该邻域内解析。
解析函数具有很多良好的性质，比如在其定义域内可以展开成幂级数。
3. 共轭与调和函数。
对于复数z=x+iy，其共轭复数定义为z的实部不变，虚部取相反数，记为z=x-iy。
对于复变函数f(z)，如果它满足柯西-黎曼方程，即满足一阶偏导数存在且连续，并且满足偏导数的连续性条件，那么称f(z)为调和函数。
4. 柯西-黎曼方程与全纯函数。
柯西-黎曼方程是复变函数理论中的重要定理，它建立了解析函数与调和函数之间的联系。
柯西-黎曼方程指出，如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某点处可导，那么它满足柯西-黎曼方程，即u和v满足一阶偏导数的连续性条件。
满足柯西-黎曼方程的函数称为全纯函数，也称为解析函数。
5. 柯西积分定理与留数定理。
柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理之一，它指出如果f(z)在闭合区域内解析，并且沿着闭合区域的边界进行积分，那么积分结果为0。
留数定理是计算闭合曲线积分的重要方法，它将积分结果与函数在奇点处的留数联系起来，从而简化了积分的计算。
6. 应用领域。
复变函数在物理学、工程学、经济学等领域都有着重要的应用，比如在电路分析中的传输线理论、振动理论中的阻尼比计算、流体力学中的势流与涡流等方面都需要用到复变函数的知识。
复变函数怎么求导
复变函数怎么求导复变函数是指一个变量自变量和一个变量的函数。
求复变函数的导数需要使用复变函数的Cauchy-Riemann条件。
复变函数的导数定义如下：设有函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，其中$u(x,y)$和$v(x,y)$是$x,y$的实函数，若存在复数$L$，使得对于给定的复数$\Delta z=\Delta x+i\Delta y$，有$$\lim_{\Delta z \to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)-L\Deltaz}{\Delta z}=0$$则称$L$为复变函数$f(z)$在点$z$处的导数，记为$f'(z)$。
在实数函数的情况下，导数可以通过计算函数的偏导数来求得。
在复变函数的情况下，由于复数存在实部和虚部，计算导数需要满足一定的条件。
接下来，我们将通过推导Cauchy-Riemann条件，来求复变函数的导数。
首先，假设$f(z)$在一个区域内有定义，则$f(z)$可以写为$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$。
我们来计算$f(z)$在点$z$处的增量：$$\Delta f(z)=f(z+\Delta z)-f(z)=\{u(x+\Delta x, y+\Delta y)+iv(x+\Delta x, y+\Delta y)\}-\{u(x, y)+iv(x, y)\}$$将上式展开，并忽略高阶无穷小的项，得到：$$\Delta f(z)=\left[\left(\frac{\partial u}{\partialx}\Delta x-\frac{\partial v}{\partial y}\Deltay\right)+i\left(\frac{\partial u}{\partial y}\Deltay+\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x\right)\right]$$我们知道，根据导数的定义，有：$$f'(z)=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{\Delta f(z)}{\Delta z}$$将$\Delta f(z)$代入上式，得到：$$f'(z)=\lim_{\Delta z \to0}\frac{\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\Delta x-\frac{\partial v}{\partial y}\Deltay\right)+i\left(\frac{\partial u}{\partial y}\Deltay+\frac{\partial v}{\partial x}\Delta x\right)\right]}{\Delta z}$$根据复数的定义，$\Delta z=\Delta x+i\Delta y$，因此，我们可以将分子中的$\Delta x$和$\Delta y$替换成$\Delta z$：$$f'(z)=\lim_{\Delta z \to0}\frac{\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\Delta z-i\frac{\partial v}{\partial y}\Deltaz\right)+i\left(\frac{\partial u}{\partial y}\Deltaz+i\frac{\partial v}{\partial x}\Delta z\right)\right]}{\Delta z}$$整理上式，得到：$$f'(z)=\lim_{\Delta z \to 0}\left\{\frac{\partialu}{\partial x}-i\frac{\partial v}{\partialx}+\left[\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partialv}{\partial y}\right]\right\}$$根据导数的定义，我们知道$\lim_{\Delta z \to 0}\Delta z=0$，因此我们可以将分母中的$\Delta z$约去，得到：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partialv}{\partial x}+\left[\frac{\partial u}{\partialy}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right]$$根据复变函数的导数定义，我们知道$f'(z)$是一个复数，因此可以将其改写为：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partialv}{\partial x}+\left[\frac{\partial u}{\partialy}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right]=\frac{\partialu}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partialx}+\left[\frac{\partial u}{\partial y}-i\frac{\partialv}{\partial y}\right]$$根据复数的加法规则，我们知道复数可以写为实部和虚部的和，因此上式可以改写为：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\left(\frac{\partial v}{\partial x}-i\frac{\partial u}{\partial y}\right)$$根据复数的乘法规则，我们知道$i^2=-1$，因此上式可以改写为：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\left(\frac{\partial v}{\partial x}+i\frac{\partial u}{\partial y}\right)$$最后，我们得到了复变函数的导数公式：$$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partialv}{\partial x}+i\left(\frac{\partial u}{\partialy}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)$$为了求出$f'(z)$的具体值$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$$$$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$可以看出，Cauchy-Riemann条件是保证复变函数$f(z)$可导的充分必要条件。
第二章 复变函数的导数
那末就称f ( z ) 在z0可导（或可微） .这个极限值称为 f ( z ) 在 z0 的导数 ,
记作 f ( z 0 )
z z0
. 在定义中应注意: z z0的方式是任意的
若 记 z z0 z , 则 得 到 f ( z0 ) 的 另 一 种 表 达 形 式 f ( z0 z ) f ( z0 ) z f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z
z0
5
在扩充复平面上，可以定义以下广义极限
lim f(z) A,
z
lim f(z) ,
z z0
lim f(z) ,
z
f(z) A 的定义为 例如 lim z
如果对任意给定的 ε 0， 总存在正数 ( ) ,当 满 足 |z|
| f ( z ) A | 成立
( z 2 ) 2 z
例2: 讨论函数 f(z)=Im(z)的可导性 解:
f f ( z z ) f ( z ) Im(z z ) Im z Im z Im z Im z z z z z y Im z Im(x iy ) , x i y x iy z
故f ( z ) Im z在复平面上处处不可导 .
11
例3: 证明 函数 f (z)在z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. , 证：根据在z0 可导的定义 使得当0 | z | 时, 0, 0,
f ( z0 z ) f ( z0 ) 有 f ( z0 ) , z
数学物理方法第一章-复变函数导论
1． 多项式：
f ( z ) = c0 + c1 z + c2 z 2 + …… + cn z n = ∑ ck z k
k =0
n
Ck: 复 常 数
n：正整数 2． 有理函数：
P( z ) f ( z ) = b +b z +b z 2 +……+b z n = 0 1 2 n Q( z ) n：正整数,且分母 Q(z)不为 0 ak，bk 为复常数
(2) 周期：2πi (3) chz：偶函数 shz：奇函数
(4) 实变函数有关公式可推广：
Z = Z1 ×Z2 = x1+iy） x2+iy） 1 2-yy2)+i(xy2+x2y1) （ ⋅ 1（ 2 =(xx 1 1
Z1 × Z 2 = ρ1eiϕ1 ρ 2 eiϕ2 = ρ1 ρ 2 ei (ϕ1 +ϕ2 )
(模相乘, 辐角相加)
12
4.除法:
Z= Z1 x1 +iy1 （x1 +iy1） 2 -iy2） (x1x2 +y1y2 ) （x ⋅ x y1 -x y = = = + +i 2 2 1 2 2 Z 2 x2 +iy2 （x2 +iy2） 2 -iy2） x22 +y22 （x x2 +y2 ⋅
8
(2)极坐标表示：
复平面上的点用极坐标 ( ρ , ϕ ) 表示 ⎧ x = ρ cos ϕ ⇒ z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ⎨ y = ρ sin ϕ ⎩ （ ρ ：z的模， ϕ ：z的辐角） 注：用极坐标表示一个复数z时，辐角Argz的值不唯一：
复变函数的导数和微分
解：（1）因为u x，v 0，且
u x
1,
u y
0
v x
0
v y
0
所以C R方程在整个复平面不成立，所以 w Re z在整个复平面内处处不可导.
(2)、w | z |2 x2 y2，所以u x2 y2，v 0,且
u x
2x,
u y
2y,
v x
0,
v y
0
只有在点(0, 0)处C R方程成立. 易知，f (z)在 z 0可导，且f '(0) lim z 2 0 lim z z lim z 0.
h0
h
于是，可得f (z) f u i v (h沿实轴趋于0), x x x
及f (z) lim f (z it) f (z) i f v i u .
t0
it
y y y
定理：复变函数w f (z)在点z E可导的必要条件是
f i f 。这等价于，u v ，u v .
x y
z z
可导的充分条件
引理：若在R 2中一点(x,y)的某邻域内函数
的偏导数 和 都存在，且 和 都在
x y
x y
点(x,y)连续，则函数必在点(x,y)可微.
定理：设在R 2中一点(x,y)的某邻域内函数 u和v的一阶偏导数都存在，且都在点(x,y) 连续.若这些一阶偏导数还满足C-R条件， 则复变函数f u iv必在点z x iy可导.
y)
v(
x,
y)
xy x2 y2
0
x2 y2 0 x2 y2 0
令f (z) u(x, y) iv(x, y)，则在点z 0满足
C R方程：
u x
v y
0
2-12复变函数的导数和解析函数
函数在区域 D内解析的充要条件 定理二 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是: u( x, y)与 v( x, y) 在 D内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
27
解析函数的判定方法: (1) 如果能用求导公式与求导法则证实复变函 数 f (z) 的导数在区域 D内处处存在, 则可根据 解析函数的定义断定 f (z) 在 D内是解析的.
z0
令 f (z z) f (z) u iv,
f (z) a ib, (z) 1 i2 ,
13
所以 u iv
f (z) a ib u i v x x
(a ib) (x iy) (1 i2 ) (x iy) (ax by 1x 2y)
i(bx ay 2x 1y)
u e x cos y, x v e x sin y, x
u e x sin y,
y
四个偏导数
v e x cos y, 均连续 y
即 u v , u v . x y y x
故 f (z) 在复平面内处处可导, 处处解析.
且 f (z) ex (cos y i sin y) ff((zz)).
黎曼介绍
12
证 (1) 必要性. 设 f (z) u( x, y) iv( x, y) 定义在区域 D内, 且 f (z) 在 D内一点 z x yi 可导, 则对于充分小的z x iy 0,
有 f (z z) f (z) f (z)z (z)z, 其中 lim (z) 0,
解 (1) w z, u x, v y,
u 1, u 0, v 0, v 1.
x
复变函数论第2章
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18
铃
例5 研 究 函 数 f ( z ) z 2 ,g ( z ) x 2 y i 和 h ( z ) z 2 的 解 析 性 .
答案： f(z)z2 在复平面内是解; 析的
g(z)x2yi处处不 ; 解析
下面h 讨 (z)论 z2的解,析性
h(z0z)h(z0) z0 z2 z02
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15
铃
2、解析函数及其简单性质
(1) 解析函数的定义 定义 如 果 函 数 f(z)在 z0及 z0的 邻 域 内 处 处 可 导 ,那 么
称 f(z)在 z0解 析 .A n a ly sis
如果函数 f (z)在区域 D内每一点可微(解析), 则称 f (z)在区域 D内解析. 或称 f (z)是 区域 D 内 的 一 个 解 析 函 数 (全 纯 函 数 或 正 则 函 数 ).
z 0
f ( z 0 ) z 是 函 数 w f ( z ) 的 改 变 量 w 的 线 性 部 分 .
f(z0) z称为 w 函 f(z)在 数 z0点 的,微分
记作 d w f(z0) z.
如 果z0函 的数 微,则 在 分称 存 f(z)函 在数
在 z0可. 微 14
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y
x y
x
1 ik 1 ik
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结束
20
铃
由于 k的任意, 性
z 1ki不趋于一个确定 . 的值 z 1ki
lim h(z0z)h(z0)不存 . 在
z 0
z
因此 h(z)z2仅在 z0处可,而 导在其他点都 不可,根 导据定 ,它义在复平面内析 处. 处不解
大学物理-复变函数的导数与解析性
又
得微分公式
(微分与导数的关系)
二、柯西——黎曼条件 (C–R 条件)
要解决的问题：给定一函数 w = f (z) = u(x , y) + i v(x, y)，
如何判断 f (z) 在点 z 是否可导？
导数存在的必要条件：
f (z) 在点 z 可导的必要条件是
存在，且
满足 C – R 条件：
证明：由函数导数的定义，z 以任何方式趋于零时,极限
z0 z
故 f (z) 在 z = 0 点不可导。
四、复变函数导数的几何意义 设 w = f (z) 在 z0 可导，即有
复变函数的几何意义：当 z 在 Z 平面沿曲线 L 变动时，w 在 W 平面沿曲线 L' 变动。z, w, f ' (z0) 的表示式：
ห้องสมุดไป่ตู้
由导数的定义式可得：
导数的几何意义： 1. 导数的模 f ' (z0) 表示通过点 z0 的无穷小线段 z，映射 为 W 平面的 w 时，长度的放大系数。 2.导数的辐角 arg f ' (z0) 表示曲线 L 上点 z0 的切线与曲线 L' 上的点 w0 的切线的夹角，即从 Z 平面到 W 平面映射 前后切线的转动角。
同理 f 'y 存在且等于 B，故
(全微分与偏导数及自变量 微分间的关系)
对一元函数，可微与可导是同一回事，而对多元函数，
偏导数存在不一定可微，但在一定条件下，偏导数与可微
性之间密切联系。以下定理说明了这种联系：
定理：若 f 'x (x ,y) 及 f 'y (x ,y) 在点 (x ,y) 及某一邻域内存在， 且在该点它们都连续，则函数 u = f (x,y) 在该点可微。
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结1. 复数及复平面- 复数由实部和虚部组成，形式为 `z = a + bi`，其中 `a` 为实部，`b` 为虚部，`i` 为虚数单位。
- 复平面将所有复数表示为二维平面上的点，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
- 复数可用极坐标和指数形式表示。
2. 复变函数的定义与性质- 复变函数是将复数域映射到复数域的函数。
- 复变函数的导数称为复导数，由极限定义及柯西—黎曼方程求得。
- 复变函数的连续性与分析性与实变函数类似。
3. 元素函数- 复指数函数：`exp(z) = e^z`，其中 `e` 为自然对数的底数。
- 复对数函数：`Log(z) = ln|z| + i(arg(z) + 2πn)`，其中 `arg(z)` 是复数 `z` 的辐角。
- 复正弦函数：`sin(z) = (e^(iz) - e^(-iz))/(2i)`。
- 复余弦函数：`cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2`。
4. 复变函数的级数展开- 柯西—黎曼方程可推导出复变函数的泰勒级数展开。
- 复变函数的泰勒级数展开在某一区域内收敛于该函数。
5. 复积分- 路径积分：沿曲线的积分，路径可用参数方程表示。
- 狭义路径积分与宽义路径积分分别对应于可积与不可积的情况。
- 围道积分：路径围成的图形内积分。
6. 复变函数的解析性- 柯西—黎曼方程刻画了函数在一个区域内的解析性。
- 解析函数满足柯西—黎曼方程，其导函数也是解析函数。
7. 复变函数的应用- 复变函数在电路分析、流体力学、量子力学等领域具有广泛应用。
以上是对复变函数的一些知识点的总结，希望能为您提供参考。
复变函数的导数和解析性
复变函数的导数和解析性复变函数是指输入和输出都是复数的函数。
在复变函数中，导数是一个重要的概念，它用来描述函数在某一点的变化率和切线方向。
导数的计算方法与实变函数的导数有所不同，需要使用复数的共轭以及极限的概念。
一、复变函数的导数设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是一个复变函数，其中u(x, y)和v(x, y)分别表示f(z)的实部和虚部，z = x + iy表示复平面上的点。
如果f(z)在点z= z0处存在导数，则导数的定义为：f'(z0) = lim┬(Δz→0)〖(f(z0+Δz)-f(z0))/Δz 〗其中Δz = Δx + iΔy，Δx和Δy分别表示实部和虚部的增量。
根据导数的定义，我们可以推导出复函数导数的性质：1. 导数的唯一性：如果f(z)在某一点存在导数，则该点的导数是唯一的。
2. 复线性：如果f(z)和g(z)在某一点都存在导数，则(f+g)'(z) = f'(z)+ g'(z)。
3. 复合函数导数：如果f(z)和g(z)分别在对应的区域上都存在导数，则复合函数(f∘g)(z)的导数可以通过链式法则计算。
4. 共轭函数导数：如果f(z)在某一点存在导数，则其共轭函数f^*(z)的导数为[f'(z)]^*。
二、复变函数的解析性解析性是指函数在某一区域内可以展开成幂级数的性质。
对于复变函数而言，解析性与导数的存在紧密相关。
如果一个函数f(z)在某一区域D内处处可导，并且在该区域内的导数连续，那么我们称f(z)在区域D内为解析函数。
换句话说，解析函数是指能够通过幂级数展开的函数。
复变函数的解析性具有以下性质：1. 解析函数的实部和虚部都是调和函数，即满足拉普拉斯方程。
2. 解析函数的导数仍然是解析函数，即解析函数具有无穷阶导数。
3. 解析函数的积分与路径无关，即沿着相同路径的积分结果是相等的，这是复积分理论中的柯西定理。
复变函数的可导与解析.
x iy x lim lim 1 y 0 x iy x 0 x x 0
f z z f z x iy lim lim z 0 ( x , y )( 0 , 0 ) x iy z 不存在，因而 f z z 在 复 平 面 上 处 处 不 可 。 导
满足C R条件.
但当z沿 y kx( x 0)趋于零时，有 k f z f 0 lim lim z ( 1 ki ) x 0 z 1 ki x 0 (1 ki )x f z f 0 不存在 lim z 0 z k ( x ) 2
y 0 x 0 y 0 x0
三. 复变函数的导数
设函数 w f z 在 z 0 的某邻域内有定义 ,如 果极限 f z f z 0 w lim lim z z0 z 0 z z z0
定义2
存在, 则称 f z 在 z 0 可导, 其极限值称为 f z 在 z 0的导数, 记作 dw f z 0 dz
以上得出函数在一点解析的必要条件是它满足 C-R方程，反过来？ f ( z ) Re z Im z 在 z 0满 足C R 例 3 证明：
条件，但不可导。
证： f (z) Re z Im z xy ,
u( x , y )
xy , v ( x , y ) 0
u( x ,0) u(0,0) u x ( 0 ,0 ) l i m 0 v y (0,0) x 0 x u(0, y ) u(0,0) u y ( 0 ,0 ) l i m 0 v x (0,0) y 0 y
定义3
如果函数 f z 在 z 0 及其某个邻域内处处可 导, 则称 f z 在 z 0 解析, 或称 z 0 是 f z 的解析点; 若f z 在D内处处解析, 则称f z 在D内解析, 或称f z 是D内的一个解析函数.
复变函数第2章解析函数
当 f (z) z时，dw= dz ，z 所以 f 在(z)点
z 0处的微分又可记为
dw zz0 f (z0 ) d z
亦即
dw
dz zz0
f (z0 )
由此可知，函数 w f (z)在点 z处0 可导与可微 是等价的.
复变函数的求导法则与高数完全类似：
则称 gx, y为 D内的调和函数
定理2.3 设 f z u i，v 若 f 在z 区域 内D 解
析，则 与u 均v 为 内D的调和函数.
定义2.4 若在区域 D内， u与 v均为调和函数
且满足C-R条件
ux vy , uy vx 则称 u 为 v的共轭调和函数
定理2.4 设 ux, y在区域 D内为调和函数，则
z0
)
lim
zz0
f (z) f (z0) z z0
0 f (z0 ) 0
知
lim
zz0
f (z)
f (z0 )，故
f在(z)点 处z 0连续.
同高数一样，称函数 f (z) 的改变量 w的线性部 分 f (z0 )z为函数 f (z在) 点 z处0 的微分，记作 dw 或 zz0 df(z) z，z0 即
2.1 复变函数的导数
定义2.1 设函数 w f z定义在区域 D
内，z0 D ，（z0 z） D ，若极限
lim f z0 z f z0
z0
z
存在，则称此极限为函数 f z在点 z0处的导数，
记作 f z0 或
df ，即
dz zz0
f
z0
df dz
z z0
lim
z0
f
z0
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定义 1 设 w f (z) 是定义于区域D上的复变函数, z0 D ，z0 z D , 如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z0
z
存在，则称 f (z) 在 z0 可导. 这个极限值称为 f (z) 在 z0 的导数, 记作 f (z0 ).
4
f (z0 )
dw dz
z z0
如果函数 f (z)在 区域 D内处处可微, 则称 f (z)在 区域 D内可微.
dw f (z) dz
17
2. 充要条件
Cauchy-Rieman简介
18
柯西——黎曼条件方程（C.— R.方程）
定理:设函数 f (z) u(x, y在) v区(x,域y)iD内确定，则函数在
点
z0可导x0 的 y充0i 分D必要条件是：
任群
北京理工大学理学院
1
第二章 解析函数
本章首先介绍连续函数与函数导数的 概念，重点研究解析函数，并探讨了解析 函数与调和函数的关系，最后介绍几个基 本的初等函数.
2
§2-1 复变函数的导数
一Δ、导数的概念及其求导法则 二、微分的定义及其可微的充要条件
3
一Δ、导数的概念及其求导法则
(1) 导数的定义
lim 2x 3yi lim 3yi 3 z0 x yi y0 yi
x 0 y
所以 f (z) 2x 3 yi 的导数 不存在.
z o
y 0 x
8
(2) 可导与连续的关系
函数f (z)在z0 处可导，则在z0 处一定连续, 但函 数 f (z) 在z0 处连续不一定在z0 处可导.
上节例 2说明问题不是那么简单。
13
二、微分的定义及其可微的充要条件
1. 可微的概念
定义：设函数 w f (z)在 z0的某个邻域内有定义， 若存在复常数A，使得
f (z0 z) f (z0 ) A z z
其中
lim
z0
0，则称f
( z )在点z0可微。
复变函数可微的概念在形式上与一元实变
f (z0),
即f (z)在 z0 连续.
反过来，由例 2 可知，f (z) 2x 3 yi 不可导; 但二元函数 u( x, y) 2x，v( x, y) 3 y 连续，由连 续性定理，知 f (z) 2x 3 yi 不可导.
10
(3) 求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实函数
两个互为反函数的单值函数, 且(w) 0
12
由此可以看出，复变函数的导数定义与一 元实函数的导数定义在形式上完全一样，它们 的一些求导公式与求导法则也一样。
然而，复变函数的导数要求极限存在与 变 量 z 趋于 z0 的方式无关, 这与二元实函数的极限 相一致，是否可以说明复变函数的导数就是两个 二元实函数的导数？
⑴ u(x与, y) v在(x, y) 可z0微 ．x0 y0i
*
⑵
u v x y
u v y x
f (在z) z 的x 导y数i 为
f '(z) u v i v u i x x y y
z0 z z0
z
lim 2(x x) 3( y y)i 2x 3yi
z0
x yi y
lim 2x 3yi z0 x yi
z o
y 0 x
设 z 沿着平行于 x 轴的直线趋向于0，即 x 0 y 0
7
lim 2x 3yi lim 2直线趋向于0，即 x 0 y 0
lim
z0
f
(z) z
f (z0 ) z0
如果函数 f (z) 在区域 D内的每一点可导, 则
称 f (z) 在区域内 D 可导.
此时，在区域D上的导数构成导函数，记为 f (z).
注意 z z0 ( 即z 0 ) 的方式是任意的.
也即 z0 z 在区域 D内以任意方式趋于z0 时, f (z0 z) f (z0 ) 都趋于同一个数.
z
5
例1 求函数 f (z) z2 的导数.
解 f (z) lim f (z z) f (z)
z0
z
lim (z z)2 z2
z0
z
lim(2z z) 2z z0
(z2 ) 2z
6
例 2 问 f (z) 2x 3 yi 是否可导？
解 lim f lim f (z z) f (z)
中导数的定义在形式上完全一致，同时，复变 函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因 而实函数中的求导法则可推广到复变函数中， 且证明方法相同，此处略.
求导公式与法则: (1) (c) 0, 其中c为复常数.
(2) (zn ) nzn1, 其中n 为正整数.
11
(3) f (z) g(z) f (z) g(z).
(4) f (z)g(z) f (z)g(z) f (z)g(z).
(5)
f (z) g(z)
f
(
z
)
g(
z) g2(
f z)
(
z
)
g(
z
)
.
(g(z) 0)
(6) f [g(z)] f (w)g(z). 其中w g(z)
(7)
f
(z)
1
( w )
,
其中 w f (z)与z (w)是
z0
z
令
f (z0 z) f (z0 ) A
z
15
则
f (z0 z) f (z0 ) A z z
且
lim 0.
z0
这说明函数 f (z)在点 z0可微。
反过来可容易证明
16
引理告诉我们，w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微等价. 与一元函数类似地, 记
dw f (z0 ) z f (z0 ) dz,
函数的微分概念完全一致。
复变函数可微与可导是否也具有一元实变
函数可微与可导的关系？
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引理 复变函数 w f (z)在 z0 可导的充要条件是 f (z)在点 z0 处可微，且 A f (z0 ).
证明 设 f (z0 )存在，且记 A f (z0 )，则
lim f (z0 z) f (z0 ) A
事实上，由 f (z)在z0点可导, 必有
lim
z0
f (z0
z) z
f (z0 )
f (z0 )
0
令 (z)
f (z0 z) z
f (z0 )
f (z0 )
9
f (z0 z) f (z0 ) f (z0 )z (z)z,
再由 lim (z) 0, z0
所以
lim
z0
f (z0 z)