复数的公开课课件

例题
例1计算： (1)(5- 6i) + (- 2- i)- (3+ 4i). (2)(2 + 3i)(- 2- i); (3)(1+ i)2 .
例2已知复数z满足(3+ i)z = 10，求复数z.
分析：设z x yi( x, y R),则
(3+ i)( x + yi) = 10，
即3x - y + ( x + 3 y)i = 10,
∴m=1或m=-2.
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
a
ox
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
uuur 平面向量OZ
例3.已知复数z满足 z =1，求复平面内z对应的点的轨迹. 分析：设z x yi( x, y R),则 x2 y2 =1， x2 y2 =1， 点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆.
练习： （1）i+i2+i3+……+i2007=_________； （2）i+i3+i5+……+i33=__________.
4、复数的除法法则：
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a, b, c,d,x,y都是实数, 记为
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
变式一：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内 所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值.
解：∵ 复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对 应的点是（m2+m-6，m2+m-2），
∴ (m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，
(3) 3 1 i; (4) 0.2i; 2
(5) 2 1
(6) i2;
例2.实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i是 （1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 m 1时，复数z 是实数．
（2）当 m 1 0 ，即 m 1时，复数z 是虚数．
OZ1 = (a,b), OZ2 = (c, d ),
y Z1
uuuuur uuur uuuur
Z2Z1 = OZ1 - OZ2
Z2
= (a - c,b- d)
O
x
∴向量 Z2Z1 就是与复数(a c) (b d)i 对应的向量.
3、复数的乘法法则：
(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 =（ac - bd ) + (bc + ad )i
(a bi) (c di)或 a bi . c di
(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0)
Q (c di)( x yi) cx dy (dx cy)i,
cx dy (dx cy)i a bi,
cx dy a, dx cy b,
cx dx
dy cy
二、探究新知
1、复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di (a,b,c,d∈R) 是任意两复数，那么它们的和：
（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
说明:
（1）复数的加法运算法则是一种规定.当b=0，d=0时与实数 加法法则保持一致;
（2）两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广 到多个复数相加的情形.
a
ox
uuur 向量OZ的模叫做复数z a bi的模，记为 z 或 a bi .
z a bi a2 b2
例1.辨析：
1．下列命题中的假命题是（D）
(A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；
(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；
(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；
无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.
i 的引入:
对于一元二次方程 x2 1 0 没有实数根．
x2 1
i i 1 引入一个新数：
满足 2
虚数单位 i
引入一个新数 i， 叫i 做虚数单位，并规定：
（1）它的平方等于 -1，即 i 2 1.
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算 时，原有的加、乘运算律仍然成立．
(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数.
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)是纯虚数”的（
）
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
3．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚
轴
上”的（ ）
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
（3）当 m 1 0 m 1 0
即m 1时，复数z 是
纯虚数．
练习:当m为何实数时，复数 Z m2 m 2 (m2 1)i是
（1）实数;（2）虚数 ;（3）纯虚数.
(1)m 1; (2)m 1; (3)m 2.
例3. 设x，y∈R，并且 2x–1+xi=y–3i+yi，求 x，y.
设
uuur OZ1
及
uuuur OZ2
分别与复数 a +
bi
及复数 c +
di对应，则
uuur
uuuur
y
Z
OZ1 = (a,b), OZ2 = (c, d ),
Z2 (c, d )
uuur uuur uuuur OZ = OZ1 + OZ2 = (a,b) + (c, d ) = (a + c,b + d )
复数
a bi
0(a 0，b 0)
实数(b 0)
非0实数(a 0，b 0)
(a，b R)
纯虚数 (a 0，b 0)
虚数(b 0)
非纯虚数 (a 0，b 0)
4、复数相等
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就
说这两个复数相等．即如果 a, b, c, d R，那么
a bi c di a c,b d
已知复数z满足 z (2 i) =1，求复平面内z对应的 点的轨迹.
例4.已知在复平面上正方形OABC (O为原点), 顶点A 对应的复数zA=1 i,求B,C对应的复数.
3.2.1复数代数形式的四则运算
一、温故而知新
（1）复数的概念 （2）复数的分类 （3）复数相等 （4）复数的几何意义
a bi 0 a 0,b 0
复数不一定能比较大小.
5、共轭复数
Z=a+bi(a,b∈R)，其共轭复数为： z a bi 0(a,b R)
三、例题讲解
例1. 判断下列各数, 哪些是实数?哪些是虚数? 若是虚数请指出实部与虚部.
(1) 3 2i; (2) 1 3i; 2
§3.1 数系的扩充和复数的概念
一、数的发展史
被“数”出来的自然 数
远古的人类，为了统计捕获的野 兽和采集的野果， 用划痕、 石子、 结绳记个数，历经漫长的岁月，创 造了自然数1、2、3、4、5、…自然 数是现实世界最基本的数量，是全 部数学的发源地．
古代印度人最早使用了“0”.
被“分”出来的分 数
(a + bi)- (c + di) = (a - c) + (b- d )i 说明:
根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知 两个复数的差是唯一确定的复数.
问：复数减法的几何意义？
设
uuur OZ1
及
uuuur OZ2
分别与复数 a +
bi
及复数 c +
di对应，则
uuur
uuuur
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
z=a+bi
y 建立了平面直角坐标系 来表示复数的平面
Z(a,b)
b ---复数平面(简称复平面)
a
o
一一对应
复数z=a+bi
x x轴---实轴 uuur
平面向量OZ
y轴------虚轴
y
z=a+bi
Z(a,b)
b
问：复数的加法满足交换律，结合律吗？
设z1=a+bi，z2=c+di (a,b,c,d∈R) z1+z2 =(a c) (b d )i z2 +z1=(c a) (d b)i
z1+z2 z2 +z1 (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )
问：复数加法的几何意义吗？
说明:
(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算
过程中把 i 2换成－1，然后实、虚部分别合并.
易证复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律 任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有 (1)z1 z2 z2 z1; (2)(z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 ); (3)z1 (z2 z3 ) z1 z2 z1 z3.
\
ìï 3x - y=10， íïïî x + 3 y = 0,
\
ìï x=3， íïïî y = -1,
z 3-i.
探究：in ?(n N * )
i = i, i2 = - 1, i3 = - i, i4 = 1, i5 = i, i6 = 1,ggg
i 4n+1 = i, i 4n+ 2 = 1, i 4n+ 3 = - i, i 4n = 1,
负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾.
被“推”出来的无理 数
2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都 可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一 天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方 形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究, 终于证明出它不 能用整数或分数表示. 但这打破了毕达哥拉斯学派的信条, 引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数，扩大 了数域，为数学的发展做出了贡献。由于希伯斯坚持真理， 他被扔进大海，为此献出了年轻的生命。
随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数 是远远不行的.
如果分配猎获物时，2个人分1件东西，每个人应该得多少呢？
于是分数就产生了.
分数的引入,解决了在整数集中不能整除的矛盾.
被“欠”出来的负 数
为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的需 要，人类引进了负数． 负数概念最早产生于我国， 东汉 初期的“九章算术”中就有负数的说法．公元3世纪，刘 徽在注解“九章算术”时，明确定义了正负数：“两算 得失相反，要令正负以名之”．不仅如此，刘徽还给出 了正负数的加减法运算法则． 千年之后， 负数概念才经 由阿拉伯传人欧洲。
学习小结
1.虚数单位i的引入；
复数的代数形式
2.复数有关概念：
复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数
复数相等
3.复数的分类：
实数的几何意义
在几何上， 我们用什么 来表示实数?
实数 (数)
实数可以用数轴 上的点来表示.
一一对应
数轴上的点 (形)
想 一 想
类比实数的 表示，可以 用什么来表
示复数？
？
5、复数的几何意义
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
例2. 已知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对 应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围.
解：由mm22
m m
6 2
0 0
得m
3 2
m2 或m
1
m(3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
二、复数
1、复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位. 全体复数所成的集合叫做复数集,C表示
C {a bi | a,b R}
NZ QRC
2、复数的代数形式 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
实部 虚部
i 其中 称为虚数单位.
3、复数的分类及其关系
a, b,
x y
ac c2 bc c2
bd d2 ad d2
.
a bi c di
ac bd c2 d2
bc c2
ad d2
i
a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
(分母实数化)
ac adi bci bd
c2 d2
ac bd bc ad c2 d2 c2 d2 i
Z1 (a, b)
O
x
∴向量
uuur OZ
就是与复数
(a
+
c) +
(b
+
d
)i
对应的向量.
问：复数是否有减法？如何理解复数的减法？ 2、复数的减法法则：
复数的减法规定是加法的逆运算,即把满足 (c+di)+(x+yi)= a+bi 的复数x+yi 叫做复数a+bi减去复数c+di的差,记作 (a+bi)-(c+di).
例3.计算：(1 2i) (3 4i).
解： 1 2i = (1 2i)(3 4i) 3 4i (3 4i)(3 4i) = 5 10i 25 = 1 2i 55