131函数的单调性与导数87010
高中数学 131函数的单调性与导数教案教案 新人教A版选修2 2
课时）1.3.1函数的单调性与导数（2教学目标：．了解可导函数的单调性与其导数的关系；1 ．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；2 教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授，它表示跳水运动1）．问题：图3.3-1（ 1th数函变化的中高度随时间20?.51?4.t9?6th(t)?3.3-1的图像，图t v随时间2）表示高台跳水运动员的速度（'6.5?t()??9.8tv(t)?h图变化的函数的像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：t)th(h是增函（1）随时间运动员从起点到最高点，离水面的高度的增加而增加，即'0)?hv(t)?(t数．相应地，．t)h(t h是减函从最高点到入水，运动员离水面的高度（2）的增加而减少，即随时间'0?h(vt)?(t)数．相应地，．．函数的单调性与导数的关系2观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．- 1 -专心爱心用心．')xf(，导数3.3-3图如0),yx()xf(处的切线的斜率．表示函数在点00'xxx?0x)?f()(xf附近单调递处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在在000增；'xxx?0f()?x)(xf 附近单调递处，在，切线是“左上右下”式的，这时，函数在101减．结论：函数的单调性与导数的关系'0f(x)?)f?(ba(,)xy在这个区间内单调递增；如果在某个区间内，如果，那么函数- 2 -专心爱心用心．'0)?(xf)x(y?f，那么函数在这个区间内单调递减．'0x)?f()f(xy?）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．说明：（1)x?f(y单调区间的步骤：3．求解函数)x?f(y 1）确定函数的定义域；（'')fxy(?；（2）求导数'0?x)f(）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（3'0?xf)(，解集在定义域内的部分为减区间．（4）解不等式三．典例分析')fx(：例1．已知导函数的下列信息'0?(x)f4x?1?时，；当'0?(x)f1x?x?4当时，，或；'0(x)f?1?x?4x，或当时，)?f(xy图像的大致形状．试画出函数'0x)f?()f(xy?41?x?解：当时，，可知在此区间内单调递增；'0)f?(x)(xy?f1x?x?4可知在此区间内单调递减；，或当时，；'0)f?(x1x?4x?时，．当，或，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”)xy?f(综上，函数所示．图像的大致形状如图3.3-4 判断下列函数的单调性，并求出单调区间．例2．233?2xx3f(x)?x(fx)?x??（1）；（2）23?1x??24xf(x)?2x?3)x?(0,xxf()?sin?x4）；（3（）3x?x3(fx)?，所以，1）因为（解：2'203(?x??1)f)(x?3x?33x?3)f(x?x R 1因此，在上单调递增，如图3.3-5（）所示．- 3 -专心爱心用心．??'21?2x?2?2xf?(x)3??2x(fx)?x，所以，2）因为（'23?(x)?x?2xff(x)?01x?，即时，函数当单调递增；2'3?x?2x)f(x)?0f(x?1x?时，函数，即当单调递减；23?2xxf(x)??函数）所示．（2的图像如图3.3-5'?0xf()?cos x?1?)(0,x(fx)?sin x?x?，所以，3）因为（?x sin?x?f(x))(0,）所示．在3.3-5（因此，函数3单调递减，如图231x?24x??f(x)?2x3．）因为（4，所以2'3fxf()?0(x)?x?2x?；当，即时，函数2'3?)?x2x?xf?f(x)0(时，函数当；，即231xxf()?2?3x?24x?）所示．4的图像如图函数3.3-5（ 4）生练（）（注：3、例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相th的函数关系图像．与时间同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度- 4 -专心爱心用心．分以析：器容）（2为例，于由器容细上下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图 A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．像上，（????????????????C,3,?1??AB?,D24解：结不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．思考：例3表明，通过函数图像，合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．????0ba,0,)xy?f(所示，函数如图3.3-7，在或内的图像“陡峭”????a????,b,在．或内的图像“平缓”??232,1?1?12xx?3x?y?24．求证：函数内是减函数．在区间例??????2'22?1?6x?6x?12?6x?x?2?xx?y6证明：因为????23'2,1??x?2,11?y?2x?3x?12x0?y12??x?内时，即所以函数在区间当，是减函数．????b,fax在说明：证明可导函数内的单调性步骤：??'xf）求导函数；（1????'bxfa,内的符号；（2）判断在????''0f?xx?0f为增函数，（3）做出结论：为减函??321,1?)?Rx()f(x?4x?ax?x a的在区间上是增函数，求实数5例．已知函数3取值数．2范围．????2''1,1xf?0)?f(xax?f(x)4?2?2x对解：上是增函数，所以在区间，因为????21,1?1,1?xx??02x?ax??1?a?1?对恒成立，即恒成立，解之得：??1,1?a的取值范围为．所以实数- 5 -专心爱心用心．已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调说明：''0(x)?ff(x)?0”来求解，注；若函数单调递减，则性关系：即“若函数单调递增，则意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．1xy. =，试讨论出此函数的单调区间+例6．已知函数x1xy=()+解：′′x2)x?11(x?1)(x??2－x==1－1·22xx(x?1)(x?1)＞令0.2xxx1. 1或解得＜－＞1xy). ∞，+(－∞，－∴1)=和+(1的单调增区间是x)1x?x?1)((xx1. ＜0或00令＜，解得－1＜＜＜2x1xy，1)0)和+(0的单调减区间是(－1∴，=x四．课堂练习．求下列函数的单调区间11?23]2[?0,y=xlnxfxfx fxxxx x 1.(()=2 －6)=sin+7 2.4.()=, +2x 3. x练习2．课本五．回顾总结）函数的单调性与导数的关系????baf,x 3（）证明可导函数在内的单调性（1)xf(y? 2）求解函数单调区间（六．布置作业- 6 -专心爱心用心．- 7 -专心爱心用心．。
人教版高中数学选修1-1 3.3.1 函数的单调性与导数 课件 (共15张PPT)
试画出函数 f (x) 的图象的大致形状.
解:
当1 < x < 4 时, f '(x) >0,可知 f (x) 在此区间内单调递增;
当 x > 4 , 或 x < 1时, f '(x) <0 ,可知 f (x) 在此区间内单调递减;
当 x = 4 , 或 x = 1时, f '(x) =0 .
y
(这两点比较特殊，我们称他们为
“临界点”) 综上, 函数 f (x) 图象的大
致形状如右图所示.
O1
4
x
二、讲授新课-----牛刀小试
练习. 设导函数y=f '(x)的图象如图，则其原函
数可能为( C )
(A) y y=f(x) (B) y y=f(x) o 1 2x o 1 2x
y y f '(x)
1.3.1 函数的单调性与 导数
主讲人：陈桂凤
一、新课导入------复旧知新
1.函数的单调性是怎样定义的？
一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2， 当x1<x2时，都有f(x1)<f (x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数; 当x1<x2时，都有f(x1)>f (x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数;
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有单调性。区间D叫做函数的单调区间。
2.怎样用定义判断函数的单调性？
（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论
3.怎样用图形判断函数的单调y性？
1.3.1函数的单调性与导数
例1 已知导函数 f (x) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f (x) 0;
当 x > 4 , 或 x < 1时, f (x) 0;
当 x = 4 , 或 x = 1时, f (x) 0. 试画出函数 f (x) 的图象的大致形状. 解: 当1 < x < 4 时, f (x) 0, 可知 f (x)在此区间内
f (x) 6x2 12 x.
由 f (x) 0, 解得 0 x 2 , 所以函数 f (x) 的递减区间是 (0,2) , 即函数 f (x) 在 (0,2)内是减
函数.
例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f (x) x3 3x; (2) f (x) x2 2x 3;
解: (1) 因为 f (x) x3 3x , 所以 f (x) 3x2 3 3(x2 1) 0.
因此, 函数 f (x) x3 3x 在 x R 上单调递增.
(2) 因为 f (x) x2 2x 3, 所以
f (x) 2x 2 2(x 1). 当 f (x) 0 , 即 x 1时, 函数 f (x) x2 2x 3单调递增; 当 f (x) 0 , 即 x 1时, 函数 f (x) x2 2x 3单调递减.
(2)求f'(x)
(3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)
(4)确认并指出递增区间（或递减区间）
作业 课本 P31 ， 2（2）（3）
1、理解函数的单调性与导数的关系；
2、能利用导数确定函数的单调性及函数的 单调区间。
重点：利用导数确定函数的单调性及函数的
单调区间。
难点：利用导数求函数的单调区间。
江苏高中数学第一章导数及其应用131单调性课件苏教版选修2
由于曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与 x 轴平行，
所以 f′(1)＝0，因此 k＝1.
(2)由(1)得 f′(x)＝x1ex(1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)， 令 h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)， 当 x∈(0,1)时，h(x)>0；当 x∈(1，＋∞)时，h(x)<0. 又 ex>0，所以当 x∈(0,1)时，f′(x)>0； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0. 因此 f(x)的单调递增区间为(0,1)， 单调递减区间为(1，＋∞)．
复习课件
江苏高中数学第一章导数及其应用1.3.1单调性课件苏教版选修2
2021/4/17
江苏高中数学第一章导数及其应用131单调性课件苏教版选 修2
1．3.1 单 调 性
[探究发现] 已知函数 y1＝x，y2＝x2，y3＝1x. 问题 1：试作出上述三个函数的图象． 提示：图象为
问题 2：试根据上述图象说明函数的单调性． 提示：函数 y1＝x 在 R 上为增函数， y2＝x2 在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数， y3＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．
令 f′(x)<0，即6x2x－1<0，
∵x>0，∴6x2－1<0，∴0<x<
6 6.
∴f(x)的单调递增区间为 66，＋∞， 单调递减区间为0， 66.
(2)①当 a＝0 时，f(x)＝x2＋1，其单调递减区间为(－∞， 0)，单调递增区间为(0，＋∞)．
②当 a<0 时，f′(x)＝－ax2＋2x， f′(x)>0⇔(－ax＋2)x>0⇔x－2ax>0⇔x>0 或 x<2a；f′(x)<0 ⇔2a<x<0. 故 f(x)的单调递增区间为－∞，2a和(0，＋∞)，单调递减 区间为2a，0.
1.3.1 函数的单调性与导数
• 4．由导数的几何意义可知，函数f(x)在x0 的导数f′(x0)即f(x)的图象在点(x0，f(x0))的 切线的斜率，在x＝x0处f′(x0)＞0，则切线 的斜率k＝f′(x0)＞0，若在区间(a，b)内每 一点(x0，f(x0))都有f′(x0)＞0，则曲线在该 区间内是上升的．反之若在区间(a，b)内， f′(x)＜0，则曲线在该区间内是下降的．
t－5≥0时，即t≥5时，f′(x)在区间(－1,1) 上满足f′(x)＞0
• 使f(x)在(－1,1)上是增函数
• 故t的取值范围是t≥5.
• [点评] 已知函数的单调性，确定字母的 取值范围是高考考查的重点内容，解决这 类问题的方法主要有两种，其一，转化为 函数求最值，其二，若能比较容易求出函 数的单调区间时，可利用子区间来解 决．特别注意的是，若导函数为二次函数 时，也可借助图象，利用数形结合思想来 解决，如上例中的解法2.
• 故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立， 只需t≥5，即所求t的取值范围为：t≥5.
• 解法2：依题意，得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)
• ＝－x3＋x2＋tx＋t
• f′(x)＝－3x2＋2x＋t • ∵函数f(x)在区间(－1,1)上是增函数， • ∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)恒成立 • 又∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线 • ∴当且仅当f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝
• [例3] 已知x>1，求证：x>ln(1＋x)．
[分析] 设 f(x)＝x－ln(1＋x)，只需证得 f(x)在(1，＋∞) 上的函数值恒大于零即可，根据 f′(x)＝1－1＋1 x＝1＋x x >0(x>1)，得 f(x)在(1，＋∞)上是增函数，故当 x>1 时，f(x)>f(1) ＝1－ln2>0 恒成立，则原式得证．
高中数学A版1.3.1函数的单调性与导数优秀课件
y o
图1.3 7
ax
课堂小结
一般地,函数的单调性与导数的关系：
在某个区间a, b内, 如果f ' x > 0, 那么 函数y = f x在这个区间内单调递增; 如果 f ' x < 0,那么函数 y = f x在这个区间内
单调递减.
利用函数的导数来研究函数的单 调性.其基本的步骤为:
思 考 这 种情 况 是 否具 有 一般性 呢?
yx
y
y x2
y
y x3
y
y1 yx
o
x
ox
ox
o
x
函数在R上 f '(x) 1 0
（-∞，0）
f '(x) 2x 0
（0，+∞）
f '(x) 2x 0
函数在R上 （-∞，0） f '(x) 3x2 0 f '(x) x2 0
h
M h f (t)
om
t
通过观察图像，我们可以发现：
（1）运动员从起跳到最高点，离水面高 度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增
函数.相应的，vt = h' t > 0.
（2）从最高点到入水，运动员离水面高 度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减
函数.相应的，vt = h' t < 0.
函数f x = x2 - 2x - 3的图象如图1.3- 52所示.
y
ห้องสมุดไป่ตู้
o1
1.3- 52
f x = x2 - 2x - 3
x
y o
n1.3 - 53
π
x
f x = sinx - x
1.3.1函数单调性与导数
当 f (x) <0，
y
即 1 17 x 1 17 时，
2
2
函数单调递减； 图象见右图。
o
x
1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。
2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？
例4、如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相 同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出 与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。
令y '
0得0
3
x
2
y 3x3 3x2
3
的单调递增区间为
(,
0),
(
2
,
)
3
例3、判断下列函数的单调性，并求出 单调区间：
(1) f(x)=x3+3x ; 解： f (x)=3x2+3=3(x2+1)>0
从而函数f(x)=x3+3x 在x∈R上单调递增， 见右图。
(2) f(x)=x2-2x-3 ;
在(－∞,1]上为___减___函数。
利用导数确定函数的单调性的步骤：
（1）确定函数 f(x)的定义域； （2）求出函数的导数； （3）解不等式 f (x)＞0，得函数的单调递增区间；
解不等式 f (x)＜0，得函数的单调递减区间．
理解训练：
求函数 y 3x2 3x 的单调区间。
解： y' 6x 3
例1、已知导函数 f '(x) 的下列信息：
当1<x<4时，f '(x) >0;
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若a<0,则 f(x)3a(x 1 )x ( 1 ),易知此时f(x)
3a 3a
恰有三个单调区间. 故a<0,其单调区间是: 单调递增区间:( 1 , 1 ).
3a 3a
单调递减区间:
( , 1 )和 (
3a
1 , ). 3a谢谢说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故
求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义 域, 在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与
定义域求两者的交集.
例3:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值
范 围,并求其单调区间. 解: f(x)3a2x1.
若a>0, f(x)0对一切实数恒成立,此时f(x)只有一 个单调区间,矛盾.
f(x)xln1(x)1
2 解:函数的定义域是(-1,+∞),
f(x)1
1
x1 .
2 1x 2(1x)
由 f(x)0即 2(x11x)0,得x<-1或x>1.
注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f(x)的递增区间 是(1,+∞);
由 f(x)0解得-1<x<1,故f(x)的递减区间是(-1,1).