2023届山东省潍坊市高三上学期期末数学试题(解析版)

2023届山东省潍坊市高三上学期期末数学试题

一、单选题

1．设全集U =R ，集合{}

21A x x =-≤，{}

240x

B x =-≥，则集合(

)U

A

B =（ ）

A ．()1,2

B ．(]1,2

C ．[)1,2

D ．[]1,2

【答案】C

【分析】解不等式化简集合A ，B ，再利用补集、交集的定义计算作答. 【详解】解不等式21-≤x 得：13x ≤≤，则[1,3]A =， 解不等式240x -≥得：2x ≥，则[2,)B =+∞，(,2)U

B =-∞，

所以(

)[1,2)U

A

B =.

故选：C

2．若复数z 满足()2023

2i i z -=，则z =（ ）

A ．12i 55

-

B ．12i 55

--

C ．12i 55

-+

D ．12i 55

+

【答案】D

【分析】首先计算2023i i =-，再利用复数的除法运算求z ，再根据共轭复数的定义求解. 【详解】2023505433i i i i ⨯+===-， 所以()()()i 2i i 12i 12i 22i 2i 555

z i -+--=

===---+， 则12

i 55

z =+.

故选：D

3．已知函数()sin ,sin ,,sin ,x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩则

π6f ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

（ ）

A ．

6

π B ．1

2

C D ．

3

π 【答案】B 【分析】根据

ππ

sin 66

≥再利用分段函数定义即可求得6f π⎛⎫

⎪⎝⎭

的值. 【详解】由题意可知，

ππ1

sin 662

≥=，满足sin ,x x ≥

所以ππ1sin 662f ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

.

故选：B

4．若一组样本数据1x 、2x 、

、n x 的平均数为10，另一组样本数据124x +、224x +、

、24

n x +的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为（ ） A ．17，54 B ．17，48 C ．15，54 D ．15，48

【答案】A

【分析】计算出1n

i i x =∑、2

1

n

i i x =∑的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差.

【详解】由题意可知，数据1x 、2x 、、n x 的平均数为10，则1110n

i i x n ==∑，则1

10n

i i x n ==∑

所以，数据124x +、224x +、

、24n x +的平均数为

()11

12244210424n n

i i i i x x x n n =='=+=+=⨯+=∑∑，

方差为()()

()222

2221111

14444242410104008n n n n i i i i i i i i s x x x x n x n n n n n ====⎡⎤'=+-+=-=-⨯⨯=-=⎣⎦∑∑∑∑，

所以，2

1

102n

i i x n ==∑，

将两组数据合并后，新数据1x 、2x 、、n x 、124x +、224x +、、24n x +的平均数为

()()()1111111131243443104172222n n

n n i i i

i i i i i x x x x x n n n ====⎡⎤⎛⎫''=++=⨯+=+=⨯+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭

∑∑∑∑， 方差为()()222

211111117241758645822n n n n

i i i i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤

⎛⎫''=-++-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭

∑∑∑∑ ()1

5102860458542n n n n

=

⨯-+=. 故选：A.

5．宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n 个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当1n =，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则5n =时，圆球总个数为（ ）

A ．30

B ．35

C ．40

D ．45

【答案】B

【分析】求出底层个数，加上前4层总数20即可.

【详解】当1n =，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，

所以当n =4时，每层圆球的个数分别为1，3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4， 可得，5n =时，底层有()155********

+⨯++++==，

故一共有201535+=个球. 故选：B

6．已知正三棱锥-P ABC 的侧棱长为3，点E ，F 分别在线段PC ，BC （不包括端点）上，且EF PB ∥，90AEF ∠=︒，若点M 为三棱锥-P ABC 的外接球的球面上任意一点，则点M 到平面ABC 距离的最大值为（ ）

A ．4

3

B ．

52

4

C ．2

D ．32

【答案】C

【分析】画出图形，结合图形辅助线，利用已知条件说明线面垂直，找出球心，建立直角三角形中相应的关系，建立等量关系，解出三棱锥外接球的半径，根据图形分析最大值即可. 【详解】取AC 的中点D ，连接,BD PD ，如图所示：

在正三棱锥-P ABC 中，3PA PB PC === 所以PD AC ⊥， 下底面为等边ABC ， 所以BD AC ⊥， 由PD BD D ⋂=， 所以AC ⊥平面PBD ， 又PB ⊂平面PBD ， 所以PB AC ⊥，