傅里叶级数和傅里叶变换

第九章 傅里叶级数和傅里叶变换在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复循返的过程）。

例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动，工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周期性运动。

为了描述周期性的运动过程，数学上是借助某类函数来描述的。

当然这类函数也要体现出周期性。

这类函数称为周期函数。

在前面几章中，为了研究函数的性质，常常采用分析表示法，将这些函数在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数。

但是，这种幂级数形式的展开式是体现不出周期性来的，那么，对于周期性函数应采取怎样的分析表示法呢？这就是本章要讨论的内容。

9.1 周期函数和傅里叶级数9.1.1 周期函数 凡满足以下关系式：)()(x f T x f =+ （T 为常数） （9.1.1） 的函数，都称为周期函数。

周期的定义（1） 满足式（9.1.1）的T 值中的最小正数，即为该函数的周期； （2） 一个常数以任何正数为周期。

9.1.2 基本三角函数系按某一规律确定的函数序列称为函数系。

如下形式的函数系：1，x l πcos，x l πsin，x l π2cos ，x l π2sin ，…，x l k πcos ，x lk πsin ，… （9.1.2）称为基本三角函数系。

所有这些函数具有各自的周期，例如x l k πcos 和x lk πsin 的周期为kl2，但它们的共有周期为l 2（即所有周期的最小公倍数）。

通常这个周期命名为函数系的周期。

所以式（9.1.2）的三角函数系的周期为l 2。

如果我们将基本三角函数系中的函数，任意取n 个组合，则我们可以得到一个较复杂的函数。

例如图9.1（a ）是两个函数的组合x lx l x f ππ2sin 21sin )(-=；图9.1（b ）是三个函数的组合x lx l x l x f πππ3sin 312sin 21sin )(+-=。

如果我们取跟多的函数组合，甚至全体的组合，将会得到更复杂的函数或我们期望的函数。

9.1.3 傅里叶级数现在我们讨论上述问题的逆问题。

即如果给定一个周期为l 2的任意周期函数)(x f)()2(x f l x f =+ （9.1.3）我们能否将它表示成简单的三角函数（有限个或无限个）之和呢？即能否将)(x f 分解成如下形式：)sin cos (2)(10x lk b x l k a a x f k k k ππ++=∑∞= （9.1.4）如果能实现这种分解，那么对许多复杂的函数就可以通过简单的三角函数来研究其性质了。

上述问题的回答是肯定的，并称式（9.1.4）为函数)(x f 的傅里叶级数（有时我们也称它为狭义傅里叶展开式）。

若函数)(x f 按非三角函数系,2,1)}(({=k x k φ…）进行展开，所得的级数称为广义傅里叶展开式。

因为这一问题，最早由工程师J.Fourier 提出来的。

他在1807年12月21日向权威的法国科学院宣告：任意的周期函数)(x f 都能展开成正弦及余弦的无穷级数，即形式（9.1.4）的级数。

他的宣告震怒了整个科学院。

当时许多杰出的院士，包括著名的法国数学家拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。

因为那时它在数学上没有得到严格的证明。

然而，现在数学家已经把“傅里叶级数理论”发展到相当高的水平，已有许多专著，并建立这级数收敛的非常明确的条件。

这结果被认为是20世纪所发现的最重要的数学理论之一。

以上这种分解不仅具有严格的数学基础，而且还具有真实的物理背景。

我们也可以用实验来证明这种分解过程。

例如将矩形脉冲或半波整流电路的输出波形输入到一个选频放大器中，再将选频放大器的输出端接到示波器上，调整选频放大器的频率， 就可以看到示波器上出现各种不同频率的正弦波，这说明矩形脉冲或半波整流电路的输出波形可以看作许多不同频率的正弦波的叠加。

特别是近几年来配备有数字电子计算机的专用仪器相应问世（如频率分析仪、快速傅里叶变换处理机、信号处理机等），想这种分解过程在很短的时间内就可以完成。

将一个周期为l 2的任意周期函数按基本三角函数系展开，首先需要解决如下两个问题：（1） 在什么条件下)(x f 才能按基本三角函数系展开？（2） 如何确定展开式中系数？也就是说，如果)(x f 可以展开成下式：)sin cos (2)(10x lk b x l k a a x f k k k ππ++=∑∞=（其中，0a 前的21系数，是为了使今后系数公式更为对称而引人的）那么,,10a a …及,,21b b …这些系数应如何确定？为了解决这个问题，还需要介绍如下几个概念。

§9.2 完备正交函数系由于我们前两章的知识，我们可以在任意区间[]b a ,上建立一组完备正交函数系，首先从如下标准的S-L 本征值问题（其中1)(,0)(,1)(===x x q x k ρ）出发，)()(),()(,0''''b y a y b y a y y y ===+λ )(b x a ≤≤ （9.2.1）以满足方程的解,)(aice x y λ=代人边界条件 1,)(==-a b iaibie e e λλλ即πλk a b 2)(=- 0(=k ，1±，2±，…）2)2(ab k -=πλ （9.2.2） 由于周期性边界条件有两个线性独立的解（复数解的实部和虚部）。

因此，我们这样来排序，令,)2(,022120ab k k k -===-πλλλ ⋯<=<⋯<=<-k k 212210λλλλλ1)(0=x y ， )2s i n ()(12a b x k x y k -=-π， )2c o s ()(2ab xk x y k -=π （9.2.3） 根据定理（8.2.1），上述{)(x y k }在区间[]b a ,上构成完备正交系，并且任何一个在[]b a ,上具有连续的一阶导数和分段连续的二阶导数，又适合本征值问题的边界条件的函数)(x f ，都可按{)(x y k }展开成在[]b a ,上绝对且一致收敛的级数，即)()(0x y c x f k k k ∑∞==其中2),(kk k y y f c =）⋯=,2,1,0(k （9.2.4）由于a b dx y ba-==⎰12)(21222122a b y y y kk k-===- （k =1,2,3，…） 也可表示成∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=10)2cos()2sin()(k k k a b x k b a b x k a b x f ππ （9.2.5）其中⎰-=ba dx x f ab b )(10dx a b x k x f a b a b a k )2sin()(2⎰--=π （9.2.6）dx a b x k x f a b b b a k )2cos()(2⎰--=π 如果令a =0，b =2π，即在区间[]π2,0 上下列函数系{}k y ：kx x y kx x y x y k k o cos )(,sin )(,1)(212===- （ k =1,2,3…）（9.2.7）构成完备正交函数系。

如果令a =-l ，b =l ，即在区间[]l l ,- 上下列函数系{)(x y k }：lxk x y l x k x y x y k k ππcos )(,sin)(,1)(2120===- （ k =1,2,3…） （9.2.8） 构成完备正交函数系。

这函数系就是通常的基本三角函数系（9.1.2）。

展开式（9.2.5）中的本征函数系排序是按区间[]b a ,上本征函数的零点个数来排序的，但为了照顾习惯和历史，我们仍按通俗的方式来排序。

于是，)(x f 按基本三角函数系展开式为)sin cos (2)(10x lk b x l k a a x f k k k ππ++=∑∞= （9.2.9）其中系数dx l x k x f l a l l k ⎰-=πcos )(1 （k =0,1,2,…） （9.2.10a ） dx lxk x f l b l l k ⎰-=πsin)(1 （k =1,2,3，…） （9.2.10b ） 利用帕塞瓦尔等式（7.3.8），有 （ⅰ）若 )()(0x y c x f k k k ∑∞==，则;2022k k k y c f∑∞== （9.2.11）（ⅱ）若)()(011x y cx f k k k ∑∞==；)()(022x y c x f k k k ∑∞==，则()22,121k k k k y ccf f ∑∞==（9.2.12）应用到)(x f 按基本三角函数系展开式（9.2.9）上，并注意,,222l y l y k==（ⅰ） )(2)(121202k k k l l b a a dx x f l ++=∑⎰∞=- （9.2.13）（ⅱ） )(2)()(121211020121k k k k k ll b b a a a a dx x f x f l ++=∑⎰∞=- （9.1.14）综上所述，对于任意函数)(x f 可按函数系{)(x y k }进行展开的条件是（1） 函数)(x f 在[]b a ,上是绝对可积的连续函数（今后这条件可放宽，由狄利克雷条件代替）；（2） 函数系必须在[]b a ,上是完备正交系。

以上两个条件才能保证)(x f 展开如下形式：...)(...)()()(1100++++=x y c x y c x y c x f k k （9.2.15）其中系数由下式确定：⎰⎰=bakbak kdxx y dxx y x f c )()()(2（k =0,1,2,…） （9.2.16）对于基本三角函数系（9.1.2），正是因为她在区间[]l l ,-上构成正交完备系，才能让绝对可积的连续函数)(x f 展开成（9.2.9）形式的傅里叶级数，其中系数由公式（9.2.10）确定。

如果用n ∆来表示函数)(x f 与其展开式的前n +1项之部分和的均方偏差，即dx x lk b x l k a a x f l l l nk k k n 210sincos 2)(21⎰∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∆ππ （9.2.17） 要使n ∆取极小值，对所有k 下式必须成立：0=∂∆∂kna （k =0,1,2,…，n ） 0=∂∆∂kna （k =1,2,…，n ） 这就导致求系数k a 及kb 的公式，即傅里叶系数公式（9.2.10a ）及(9.2.10b)，并且这些公式与我们取多少项的部分和求均方偏差无关。

在复杂波形的分析中（海洋潮汐、地震、乐调等），也许更方便的是将傅里叶级数写成如下形式：)cos(2)(10k k k x lk a a x f θπ-+=∑∞= （9.2.20）其中系数k a 及k θ与上述傅里叶级数系数k a 及k b 的关系为k k k k k k a b a a θθsin ,cos ==kkk k k k a b b a a =+=θtan ,222 （k =1,2,3…） （9.2.21） 系数2k a 又称功率谱，它明确地与k 有关，并且在相角k θ改变之后，并不变化。