2023年北师大版数学三角函数练习题及答案
2024-2025年北师大版数学必修第二册1.4.3诱导公式与对称(带答案)
4．3 诱导公式与对称必备知识基础练知识点一 给角求值1．求下列各三角函数式的值．(1)cos 210°；(2)sin 11π4；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π6 ；(4)cos (－1 920°).知识点二 给值求值2．已知cos (π－α)＝－35，且α是第一象限角，则sin (－2π－α)＝( )A ．45B ．－45C ．±45D ．353．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝32 ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α ＝________. 4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝33 ，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6 的值．知识点三 化简求值5．化简：(1)cos （－585°）sin 495°＋sin （－570°）；(2)sin （－2π－α）cos （6π－α）cos （α－π）sin （5π－α）.6．已知角θ的终边经过点P (4a ，3a )(a <0). (1)求sin θ，cos θ的值；(2)求1＋2sin （π＋θ）cos （2 023π－θ）sin 2（π2＋θ）－cos 2（5π2－θ）的值．关键能力综合练一、选择题1．α和β的终边关于y 轴对称，下列各式中正确的是( ) A ．sin α＝sin β B ．cos α＝cos βC ．cos (π－α)＝－cos βD ．sin (π－α)＝－sin β 2．cos 390°＝( )A ．－12B ．－32C ．32 D ．123．下列各式中，与cos 1 030°相等的是( ) A ．cos 50° B．－cos 50° C ．sin 50° D．－sin 50°4．已知函数f (x )＝a tan (π－x )＋b cos (x ＋π2)＋2 023，若f (m )＝2 021，则f (－m )＝( )A ．－2B ．－2 025C ．2 024D ．2 0255．已知A ＝sin （k π＋α）sin α ＋cos （k π＋α）cos α(k ∈Z )，则A 构成的集合是( )A ．{－1，1，－2，2}B ．{1，－1}C ．{2，－2}D ．{－2，－1，0，1，2} 二、填空题6．sin (－1 200°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)sin (－1 050°)＝________．7．已知1－3cos （π－θ）cos （2π－θ） ＝29，则cos (3π－θ)＝________．8．化简：cos （π＋α）·sin （2π＋α）sin （－α－π）·cos （－π－α）＝________．三、解答题9．(探究题)在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点(－35 ，45)，求下列各式的值．(1)cos (π2 ＋α)＋sin (－π2 ＋α)；(2)sin （π2－α）－cos （π＋α）sin （－α）＋cos （－α） .学科素养升级练1.(多选题)α和β的终边关于原点对称，下列各式中正确的是( ) A ．sin α＝－sin β B ．cos α＝－cos βC ．sin (π－α)＝sin βD ．cos (π－α)＝cos β 2．(学科素养——逻辑推理)在△ABC 中，若sin (A ＋B －C )＋sin (B －A －C )＝0，试判断△ABC 的形状．4．3 诱导公式与对称必备知识基础练1．解析：(1)cos 210°＝cos (180°＋30°)＝－cos 30°＝－32.(2)sin 11π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋3π4 ＝sin 3π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4 ＝sin π4 ＝22.(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋7π6＝－sin 7π6 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π6 ＝sin π6 ＝12 . (4)cos (－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos (5×360°＋120°)＝cos 120°＝cos (180°－60°) ＝－cos 60°＝－12.2．答案：B解析：∵cos (π－α)＝－35，∴cos α＝35.∵α是第一象限角，∴由三角函数的定义得sin α＝45 .∴sin (－2π－α)＝－sin α＝－45 .故选B.3．答案：32解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝32 . 4．解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－33 ， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫33 2 ＝23 ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－33 －23 ＝－2＋33 .5．解析：(1)原式＝cos （360°＋225°）sin （360°＋135°）－sin （360°＋210°）＝cos （180°＋45°）sin （180°－45°）－sin （180°＋30°） ＝－cos 45°sin 45°＋sin 30° ＝－2222＋12＝2 －2.(2)原式＝sin （－α）cos （－α）cos （π－α）sin （π－α） ＝（－sin α）cos α（－cos α）sin α＝1.6．解析：(1)因为角θ的终边经过点P (4a ，3a )(a <0)，由三角函数定义可得sin θ＝3a （4a ）2＋（3a ）2＝3a －5a ＝－35 ， cos θ＝4a （4a ）2＋（3a ）2＝4a －5a ＝－45. (2)由三角函数的定义可得tan θ＝3a 4a ＝34，原式＝cos 2θ＋2sin θcos θ＋sin 2θcos 2θ－sin 2θ＝（cos θ＋sin θ）2（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ）＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ ＝1＋tan θ1－tan θ ＝1＋341－34＝7. 关键能力综合练1．答案：A解析：∵α和β的终边关于y 轴对称， ∴β与π－α的终边相同， ∴β＝2k π＋π－α，k ∈Z ，∴sin β＝sin (2k π＋π－α)＝sin (π－α)＝sin α(k ∈Z ).故选A. 2．答案：C解析：cos 390°＝cos (360°＋30°)＝cos 30°＝32.故选C.3．答案：A解析：cos 1 030°＝cos (3×360°－50°)＝cos (－50°)＝cos 50°.故选A. 4．答案：D解析：因为f (x )＝a tan (π－x )＋b cos (x ＋π2)＋2 023＝－a tan x －b sin x ＋2023，设函数g (x )＝f (x )－2 023＝－a tan x －b sin x ，则g (－x )＝a tan x ＋b sin x ＝－g (x )，即g (x )是奇函数，又f (x )＝g (x )＋2 023，所以f (m )＋f (－m )＝g (m )＋2 023＋g (－m )＋2 023＝4 046，又f (m )＝2 021，所以f (－m )＝2 025.故选D.5．答案：C解析：当k 为偶数时，A ＝2；当k 为奇数时，A ＝－2.故A 构成的集合为{－2，2}．故选C.6．答案：1解析：原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin (－60°＋7×180°)·cos (30°＋7×180°)－cos (－60°＋3×360°)·sin (－30°＋3×360°)＝－sin 60°·(－cos 30°)－cos (－60°)sin (－30°)＝－32 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 －12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1．7．答案：925解析：∵1－3cos （π－θ）cos （2π－θ） ＝1＋3cos θcos θ ＝29 ，∴cos θ＝－925.∴cos (3π－θ)＝cos (π－θ)＝－cos θ＝925.8．答案：1解析：原式＝－cos α·sin α－sin （α＋π）·cos （π＋α） ＝－cos α·sin αsin α·（－cos α）＝1.9．解析：(1)因为角α的终边与单位圆交于点(－35 ，45)，根据三角函数的定义，可得cos α＝－35 ，sin α＝45，由cos (π2 ＋α)＋sin (－π2 ＋α)＝－sin α－cos α＝－45 ＋35 ＝－15.(2)由cos α＝－35 ，sin α＝45，则sin （π2－α）－cos （π＋α）sin （－α）＋cos （－α） ＝cos α＋cos α－sin α＋cos α ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45－35＝67.学科素养升级练1．答案：ABD解析：∵α和β的终边关于原点对称， ∴β与π＋α的终边相同． ∴β＝2k π＋π＋α，k ∈Z .∴sin β＝sin (2k π＋π＋α)＝sin (π＋α)＝－sin α， cos β＝cos (2k π＋π＋α)＝cos (π＋α)＝－cos α， ∴A、B 、D 正确．故选ABD.2．解析：∵A ＋B ＝π－C ，A ＋C ＝π－B ， ∴sin (A ＋B －C )＝sin (π－2C )＝sin 2C ， sin (A －B ＋C )＝sin (π－2B )＝sin 2B ， 则sin 2B ＝sin 2C ，∴B ＝C 或2B ＝π－2C ，即B ＝C 或B ＋C ＝π2 ，所以△ABC 为等腰或直角三角形．。
2025年北师大版九年级下册数学第1章第2节30 °,45 °,60 °角的三角函数值
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1 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，则sin A等于 1 ____2____.
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1
4. 计算：
(1)tan 30°·cos 45°－cos 60°·sin 45°； 解：原式＝ 33× 22－12× 22＝
66－ 42＝2
6－3 12
2 .
(2)sin230°＋sin260°＋1－tan 60°；
∴如果甲楼刚好不影响乙楼采光，那么两楼间的距离约是
51.9 m.
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2
11. [2024 陕西师大附中期中]如图，人爬坡时，坡面与水平面
的夹角为α，每爬坡 1 m 耗能1.025－cos αJ，若某人爬完 一个高度为 20 2 m 的斜坡，坡角α＝45°，则他耗能约(参
考数据： 3≈1.732， 2≈1.414)( A )
1 (2)如果甲楼刚好不影响乙楼采光，那么两楼间的距离约
是多少？(结果精确到 0.1 m，参考数据： 3≈1.73) 解：如果甲楼刚好不影响乙楼采光，那么 AC 即为甲楼的
影长．连接 BC.在 Rt△ABC 中，AB＝30 m，∠ACB＝30°，
∴AC＝tanAB30°＝303＝30 3≈51.9(m)． 3
第一章 直角三角形的边角关系 2 30 °，45 °，60 °角的三角函数值
1 2D 3 4
5A 6 60° 7 90° 8
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9 2 m 13
10
14
11 A 15
12 18 m
1
α sin α cos α
tan α
1.
30°
1 2
3 2
3 3
45°
2
高考数学一轮专项复习练习卷-北师大版-三角函数的图象与性质(含解析)
一、单项选择题1．若函数y＝3cos 2ωx－π3ω>0)两对称中心间的最小距离为π2，则ω等于()A．1B．2C．3D．42．(2023·焦作模拟)已知函数f(x)＝cos 2x－π6f(x)在[－2,0]上()A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增3．已知函数f(x)＝x＋π6a＝fπ7b＝fπ6c＝fπ4a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>a>c4．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间π6，2π3单调递增，直线x＝π6和x＝2π3为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f －5π12等于()A．－32B．－12C.12D.325．(2023·抚州模拟)已知函数f(x)＝sin|x|－cos2x，则下列结论错误的是() A．f(x)为偶函数B．f(x)的最小正周期为πC．f(x)的最小值为－98D．f(x)的最大值为26．(2023·安康模拟)记函数f(x)＝sin ωx＋π4b(ω∈N+)的最小正周期为T，若π2<T<π，且y＝f(x)的最小值为1.则y＝f(x)图象的一个对称中心为()A.－π12，0 B.π12，2C.7π12，2 D.π4，0二、多项选择题7．(2024·株洲模拟)下列关于函数f (x )＝cos x ＋a sin x (a ≠0)的说法正确的是()A ．存在a ，使f (x )是偶函数B ．存在a ，使f (x )是奇函数C ．存在a ，使f (x ＋π)＝f (x )D ．若f (x )的图象关于直线x ＝π4a ＝18．(2023·西安模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，0<|φ且f－f 1，则()A ．ω＝3B ．φ＝－π6C ．ω＝2D ．φ＝π6三、填空题9．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________．10．写出一个同时满足下列两个条件的函数f (x )＝________.①∀x ∈R ，f f (x )；②∀x ∈R ，f (x )≤f11．若函数f (x )＝7sin 在区间π2，a 上单调，则实数a 的最大值为________．12．已知sin x ＋cos y ＝14，则sin x －sin 2y 的最大值为________．四、解答题13．设函数f (x )＝ωx m 的图象关于直线x ＝π对称，其中0<ω<12.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象过点(π，0)，求函数f (x )在0，3π2上的值域．14．(2023·新乡模拟)已知函数f (x )＝a x 2cos a >0)，且满足________．从①f (x )的最大值为1；②f (x )的图象与直线y ＝－3的两个相邻交点的距离等于π；③f (x )的图(1)求函数f (x )的解析式及最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，求实数m 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．15．(2024·抚顺模拟)已知函数f (x )＝|，则下列说法正确的是()A ．f (x )的周期是π2B ．f (x )的值域是{y |y ≠0，y ∈R }C ．直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴D ．f (x )k π－2π3，2k πk ∈Z16．(2023·无锡模拟)设函数f (x )＝sinx α，α＋π3上的值域为[M ，N ]，则N －M 的取值范围是______．§4.5三角函数的图象与性质1．A2.D3.A4.D 5．B [因为f (－x )＝sin|－x |－cos(－2x )＝sin|x |－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数，则A 正确；若f (x )的最小正周期为π，则f (x ＋π)＝f (x )恒成立，即sin|x ＋π|－cos 2(x ＋π)＝sin|x |－cos 2x ，即sin|x ＋π|＝sin|x |恒成立，而当x ＝π2时，sin 3π2≠sin π2，所以“f (x )的最小正周期为π”是错误的，则B 错误；由f (x )是偶函数，只需考虑x ≥0时的最值即可，当x ≥0时，f (x )＝sin x －cos 2x ＝2sin 2x ＋sin x－1＝x －98，因为sin x ∈[－1,1]，所以x －98∈－98，2，即f (x )的值域为－98，2，则C 和D 正确．]6．C [由函数的最小正周期T 满足π2<T <π，得π2<2πω<π，解得2<ω<4，又因为ω∈N ＋，所以ω＝3，所以f (x )＝x b ，又函数y ＝f (x )的最小值为1，所以b ＝2，所以f (x )＝x 2，令3x ＋π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π3－π12，k ∈Z ，－π12，k ∈Z )，只有C 符合题意(k ＝2)．]7．AD [函数f (x )＝cos x ＋a sin x＝1＋a 2sin(x ＋θ)，其中sin θ＝11＋a 2，cos θ＝a1＋a 2，θ∈(0，π)，当a ＝0时，f (x )＝cos x 为偶函数，故A 正确；对于B ，无论a 取何值，函数f (x )＝1＋a 2sin(x ＋θ)都不可能为奇函数，故B 错误；对于C ，f (x ＋π)＝1＋a 2sin(x ＋π＋θ)＝－1＋a 2sin(x ＋θ)≠f (x )，故C 错误；对于D ，当x ＝π4时，函数f (x )取得最大值或最小值，故22＋22a ＝±1＋a 2，解得a ＝1，故D 正确．]8．CD [因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，0<|φ上单调，所以T 2＝12·2πω≥2π3－π6＝π2，所以0<ω≤2，因为f f 1，所以＋＋＝1，所以π6ω＋φ＝π2＋2k 1π，2π3ω＋φ＝3π2＋2k 2π，k 1，k 2∈Z ，故π2ω＝π＋2(k 2－k 1)π，所以ω＝2＋4(k 2－k 1)，k 2，k 1∈Z ，因为0<ω≤2，k 2－k 1∈Z ，所以ω＝2，则φ＝π6＋2k 1π，k 1∈Z ，又0<|φ|<π2，所以φ＝π6.]9.2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )10．－cos 4x (答案不唯一)11.7π5解析因为x ∈π2，a ，所以x ＋π10∈3π5，a ＋π10，又3π5在y ＝sin x 的单调递减区间π2，3π2内，所以a ＋π10≤3π2，解得a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5.12.916解析∵sin x ＋cos y ＝14，sin x ∈[－1,1]，∴sin x ＝14－cos y ∈[－1,1]，∴cos y ∈－34，54，即cos y ∈－34，1，∵sin x －sin 2y＝14－cos y －(1－cos 2y )＝cos 2y －cos y －34y －1，又cos y ∈－34，1，利用二次函数的性质知，当cos y ＝－34时，sin x －sin 2y 取最大值，(sin x －sin 2y )max －34－－1＝916.13．解(1)由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得ωπ±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又0<ω<12，所以ω＝13，所以函数f (x )的最小正周期为3π.(2)由(1)知f (x )＝m ，因为f (π)＝0，所以m ＝0，解得m ＝－2，所以f (x )＝2，当0≤x ≤3π2时，－π6≤23x －π6≤5π6，可得－12≤ 1.所以－3≤f (x )≤0，故函数f (x )在0，3π2上的值域为[－3,0]．14．解(1)函数f (x )＝a x－2cos＝a x x 1＝a xx ＋π2－1＝a x x 1＝(a ＋x 1，若选择条件①f (x )的最大值为1，则a ＋1＝2，解得a ＝1，所以f (x )＝x 1，则函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.若选择条件②f (x )的图象与直线y ＝－3的两个相邻交点的距离等于π，且f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，所以－(a ＋1)－1＝－3，解得a ＝1，所以f (x )＝x 1.若选择条件③f (x )则f (a ＋1)sin π6－1＝0，解得a ＝1.所以f (x )＝x 1，则函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令f (x )＝1，得x 1，解得2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π3＋k π，k ∈Z .若关于x 的方程f (x )＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，则x ＝π3或x ＝4π3，所以实数m 的取值范围是4π3，15．D [函数f (x )的周期是2π，故A 错误；f (x )的值域是[0，＋∞)，故B 错误；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴直线x ＝5π3不是函数f (x )图象的一条对称轴，故C 错误；令k π－π2<12x －π6<k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3<x <2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )k π－2π3，2k πk ∈Z ，故D 正确．]16.12，3解析函数f (x )＝sin x T ＝πα＝π3<T 2，当函数f (x )在α，α＋π3上单调时，N －M ＝|f (α)－f＝|αα＝3|cos 2α|≤3，当函数f (x )在α，α＋π3上不单调时，由正弦函数的图象性质知，当f (x )在α，α＋π3上的图象关于直线x ＝α＋π6对称时，N －M 最小，此时－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即α＝k π2＋π4，k ∈Z ，因此(N －M )min ＝|f (α)－f＝|αsin 2α|＝|ππ＝|12cos k π－cos k π|＝12，所以N －M 的取值范围是12，3.。
北师大版高中数学必修第二册强化练习题 专题强化练6 三角函数公式的综合应用(含答案)
北师大版高中数学必修第二册专题强化练6 三角函数公式的综合应用1.(2023广东广州六区期末)已知θ是第四象限角,且sin(θ+π)=35,则tan θ+ )A.17 B.−7 C.−17 D.72.(多选题)(2024江西南昌第二中学月考)计算下列各式,结果为3的是( ))列说法中正确的是( )A.若bcos C+ccos B=b,则△ABC 是等腰三角形B.若a=2,b=3,A=30°,则符合条件的△ABC 有两个C.若sin 2A=sin 2B,则△ABC 为等腰三角形D.若sin 2B+sin 2C=sin 2A,则△ABC 为直角三角形7.(多选题)(2024江西宜丰中学月考)已知函数f (x )=2(|s i n x |+cos x)cos x-1,则下列说法正确的是( )A.f(x)的图象关于y 轴对称B.f(x)是周期为π的周期函数C.f(x)的值域为[-2,2]D.不等式f(x)≥62的解集为+2k π,5π24+2k π(k ∈Z)答案与分层梯度式解析专题强化练6 三角函数公式的综合应用1.A 因为sin(θ+π)=-sin θ=35,所以sin θ=-35,又θ是第四象限角,所以cos θ=1−sin 2θ=45,tan θ=sinθcosθ=−34,所以tan θ=tanθ+tan41−tanθtanπ4=-4+1=17. 2.AD 2sin 15°+2cos 15°=222sin 15°+22cos 15°=2(cos 45°sin 15°+sin 45°cos 15°)=2sin(15°+45°)=2sin 60°=3,故A 符合;cos 215°-sin 15°cos 75°=cos 215°-sin 15°sin 15°=cos 30°=32,故B 不符合;tan 30°1−tan 230°=12×2tan 30°1−tan 230°=12tan 60°=32,故C 不符合;3sin 50°(1+3tan 10°)=3sin 50°×cos 10°+3sin 10°cos 10°=3sin 50°×=3sin 50°×2(sin 30°cos 10°+cos 30°sin 10°)cos 10°=3cos 40°×2sin 40°cos 10°=3sin 80°cos 10°=3cos 10°cos 10°=3,故D 符合.故选AD.3.C ①因为△ABC 是锐角三角形,所以C 为锐角,从而tan C>0,即-tan(A+B)>0,所以tan A +tan B1−tan A tan B <0,又因为A,B 也是锐角,所以tan A>0,tan B>0,故有1-tan Atan B<0,即tan Atan B>1.②在△ABC 中,由tan Atan B>1,可知tan A>0,tan B>0,即A,B 均为锐角,又因为tan C=tan(π-A-B)=-tan(A+B)=-tan A +tan B1−tan A tan B >0,所以C 为锐角,所以△ABC 是锐角三角形.综上所述,在△ABC 中,“△ABC 是锐角三角形”是“tan Atan B>1”的充要条件.4.ACD 因为sinα+cosαsinα−cosα=3,所以tanα+1tanα−1=3,解得tan α=2,故A 正确;因为-π2<α<π2,tan α=2>0,所以0<α<π2,sin α=255,cos α=55,所以sin α-cos α=55,故B 错误;sin 4α-cos 4α=(sin 2α-cos 2α)(sin 2α+cos 2α)=sin 2α−cos 2αsin 2α+cos 2α=tan 2α−1tan 2α+1=35,故C 正确;1−2sinαcosαsin 2α−cos 2α=1−2×255×5545-15=13,故D 正确.故选ACD.则令即当对于D,sin 2B+sin 2C=2sin(B+C)cos (B-C)=2sin Acos(B-C),sin 2A=2sin Acos A,因为sin 2B+sin 2C=sin 2A,所以2sin Acos(B-C)=2sin Acos A,又A ∈(0,π),所以sin A≠0,所以cos A=cos(B-C),即0=cos(B-C)-cos A=cos(B-C)+cos(B+C)=2cos Bcos C,所以cos B=0或cos C=0,即B=π2或C=π2,故D 正确.故选ABD.7.AC 对于A,f(x)的定义域为R,关于原点对称,因为f(-x)=2[|sin(-x)|+cos(-x)]cos(-x)-1=2(|sin x|+cos x)cos x-1=f(x),所以f(x)是偶函数,其图象关于y 轴对称,故A 正确;对于B,因为=2|sinπ4|+π4-1=1,f -=2|sin -+cos cos -所以f-故B 错误;对于C,因为f(x+2π)=2[|sin(x+2π)|+cos(x+2π)]cos(x+2π)-1=2(|sin x|+cos x)cos x-1=f(x),所以f(x)是周期为2π的周期函数,所以f(x)在[-π,π]上的值域即为f(x)的值域.当0≤x≤π时,f(x)=2(|sin x|+cos x)cos x-1=2(sin x+cos x)cos x-1=2sin xcos x+2cos 2x-1=sin2x+cos 2x=2sin 2x +又当0≤x≤π时,π4≤2x+π4≤9π4,所以2sin 2x [-2,2],又f(x)为偶函数,所以f(x)在[-π,0]上的值域也为[-2,2],因此f(x)的值域为[-2,2],故C 正确;对于D,当0≤x≤π时,π4≤2x+π4≤9π4,由f(x)=2sin 2x +≥62,得sin 2x +≥32,所以π3≤2x+π4≤2π3,则π24≤x≤5π24,又f(x)为偶函数,所以不等式f(x)≥62在[-π,π]上的解集为-5π24所以不等式f(x)≥62的解集为-5π24+2kπ,-π24+2kπ∪π24+2kπ,5π24+2kπ(k ∈Z),故D 错误.故选AC.8.解析 (1)f(x)=(sin x+cos x)2+2cos 2x ++2cos2x−=1+sin 2x+1+cos 2x ++1+cos 2x−=sin 2x+2cos 2xcos π6=sin 2x+3cos 2x=2sin 2x +故f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)由(1)知,f(x)=2sin 2x因为f(x 0)=65,所以2sin 2x 0+=65,所以sin 2x 0+=35,。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1-5三角函数的应用》题型分类练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》题型分类练习题（附答案）一．测量计算物体高度问题1．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图3，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：≈1.41，≈1.73）2．两栋居民楼之间的距离CD＝30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部？3．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）4．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）5．一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B、C、D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.732）6．“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）7．第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）8．如图，信号塔PQ座落在坡度i＝1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）9．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．10．图1是太阳能热水器装置的示意图．利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：如图2，AB⊥BC，垂足为点B，EA⊥AB，垂足为点A，CD∥AB，CD＝10cm，DE＝120cm，FG⊥DE，垂足为点G．（1）若∠θ＝37°50′，则AB的长约为cm；（参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78）（2）若FG＝30cm，∠θ＝60°，求CF的长．11．汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）12．如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC＝37°，坝顶DC＝3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB＝14m．（1）求坝高；（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE＝2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）二．实际问题数学抽象13．如图，有一个三角形的钢架ABC，∠A＝30°，∠C＝45°，AC＝2（+1）m．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1m的圆形门？14．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．（1）求山坡EF的水平宽度FH；（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C 处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？15．图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）16．如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．三．三角函数的应用17．如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转35°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，≈1.4）18．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．（1）求A、C两点之间的距离；（2）求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）19．随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）20．如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．（1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）21．小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°．（1）连结DE，求线段DE的长．（2）求点A，B之间的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）参考答案一．测量计算物体高度问题1．解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，∴OD＝BD•sin60°＝20（cm），∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝20+5≈39.6（cm）．（2）作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H．则四边形PCHG是矩形，∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°，∴∠BCH＝30°，∵∠BCD＝165°，∴∠DCP＝45°，∴CH＝BC sin60°＝10（cm），DP＝CD sin45°＝10（cm），∴DF＝DP+PG+GF＝DP+CH+AB＝（10+10+5）（cm），∴下降高度：DE﹣DF＝20+5﹣10﹣10﹣5＝10﹣10≈3.2（cm）．2．解：（1）延长BG，交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，由图可知，FH＝CD＝30m，∵∠BFH＝∠α＝30°，在Rt△BFH中，BH＝，FC＝30﹣17.32＝12.68，再用12.68÷3≈4.23，所以在四层的上面，即第五层，答：此刻B楼的影子落在A楼的第5层；（2）连接BC，∵BD＝3×10＝30＝CD，∴∠BCD＝45°，答：当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．3．解：（1）延长DC交AN于H．∵∠DBH＝60°，∠DHB＝90°，∴∠BDH＝30°，∵∠CBH＝30°，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∴BC＝CD＝10（米）．（2）在Rt△BCH中，CH＝BC＝5米，BH＝5≈8.65（米），∴DH＝15（米），在Rt△ADH中，AH＝≈＝20（米），∴AB＝AH﹣BH＝20﹣8.65≈11.4（米）．答：AB的长度约为11.4米．4．解：如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N．由题意＝，即＝，CM＝（米），在Rt△AMN中，∵∠ANM＝90°，MN＝BC＝4，∠AMN＝72°，∴tan72°＝，∴AN≈12.32（米），∵MN∥BC，AB∥CM，∴四边形MNBC是平行四边形，∴BN＝CM＝（米），∴AB＝AN+BN＝12.32+1.5≈13.8（米）．5．解：方法一：如图1，过点D作DM⊥EF于M，过点D作DN⊥BA交BA延长线于N，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32（cm），∴BC＝AB•cos60°＝32×＝16（cm），∵DC＝84（cm），∴BD＝DC+BC＝84+16＝100（cm），∵∠F＝90°，∠DMF＝90°，∴DM∥FN，∴∠MDB＝∠ABC＝60°，在Rt△BDN中，sin∠DBN＝sin60°＝，∴DN＝×100＝50（cm），∵∠F＝90°，∠N＝90°，∠DMF＝90°，∴四边形MFND是矩形，∴DN＝MF＝50，∵∠BDE＝75°，∠MDB＝60°，∴∠EDM＝∠BDE﹣∠MDB＝75°﹣60°＝15°，∵DE＝70（cm），∴ME＝DE•sin∠EDM＝70×sin15°≈18.2（cm），∴EF＝ME+MF＝50+18.2≈104.8≈105（cm），答：支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm．方法二：如图2，过点D作DH⊥BA交BA延长线于H，过点E作EG⊥HD延长线于G，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32（cm），∴BC＝AB•cos60°＝32×＝16（cm），∵DC＝84（cm），∴BD＝DC+BC＝84+16＝100（cm），同方法一得，DH＝BD•sin60°＝50（cm），∵在Rt△BDH中，∠DBH＝60°，∴∠BDH＝30°，∵∠BDE＝75°，∴∠EDG＝180°﹣∠BDH﹣∠BDE＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠DEG＝90°﹣75°＝15°，∴DG＝DE•sin15°≈18.2（cm），∴GH＝DG+DH＝18.2+50≈104.8≈105（cm），∵∠F＝90°，∠H＝90°，∠G＝90°，∴EF＝GH≈105（cm），答：支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm．6．解：∵BN∥ED，∴∠NBD＝∠BDE＝37°，∵AE⊥DE，∴∠E＝90°，∴BE＝DE•tan∠BDE≈18.75（cm），如图，过C作AE的垂线，垂足为F，∵∠FCA＝∠CAM＝45°，∴AF＝FC＝25cm，∵CD∥AE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD＝EF，∵AE＝AB+EB＝35.75（cm），∴CD＝EF＝AE﹣AF≈10.8（cm），答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．7．解：如图，过点E作EN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN．根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），∵HG∥BC，∴∠EGM＝∠ECB＝36°，在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝（7﹣m）米，∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°≈0.73m，EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°≈0.47（7﹣m），∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），∴EM≈0.47（7﹣m）＝2.021（米），∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．∴此大跳台最高点A距地面BD的距离约是70米．8．解：如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．在Rt△QEN中，设EN＝x米，则EQ＝2x米，∵QN2＝EN2+QE2，∴20＝5x2，∵x＞0，∴x＝2，∴EN＝2（米），EQ＝MF＝4（米），∵MN＝3米，∴FQ＝EM＝1（米），在Rt△PFM中，PF＝FM•tan60°＝4（米），∴PQ＝PF+FQ＝（4+1）米．9．解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG＝30°，在Rt△ACG中，CG＝AC sin30°＝50×＝25（cm），∵GD＝50﹣30＝20（cm），∴CD＝CG+GD＝25+20＝45（cm），连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H＝30°，在Rt△CDH中，CH＝＝2CD＝90（cm），∴EH＝EC+CH＝AB﹣BE﹣AC+CH＝300﹣50﹣50+90＝290（cm），在Rt△EFH中，EF＝EH•tan30°＝290×＝（cm），答：支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，cm．10．解：（1）如图，作EP⊥BC于点P，作DQ⊥EP于点Q，则CD＝PQ＝10，∠2+∠3＝90°，∵∠1+∠θ＝90°，且∠1＝∠2，∴∠3＝∠θ＝37°50′，则EQ＝DE sin∠3＝120×sin37°50′，∴AB＝EP＝EQ+PQ＝120sin37°50′+10＝83.2（cm），故答案为：83.2；（2）如图，延长ED、BC交于点K，由（1）知∠θ＝∠3＝∠K＝60°，在Rt△CDK中，CK＝＝（cm），在Rt△KGF中，KF＝＝＝（cm），则CF＝KF﹣KC＝﹣＝＝（cm）．11．解：过A作AH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G，则四边形EGHA是矩形，∴EG＝AH＝30×30＝900，GH＝AE＝2，∵斜坡AB的坡度i＝1：1，∴AH＝BH＝9米，∴AB＝9，∴BG＝BH﹣HG＝7米，∵斜坡EF的坡度i＝1：，∴FG＝9米，∴BF＝FG﹣BG＝9﹣7，∴S梯形ABFE＝（2+9﹣7）×9＝，∴共需土石为×200＝100（81﹣45）立方米．12．解：（1）作DM⊥AB于M，CN⊥AN于N．由题意：tan∠DAB＝＝2，设AM＝x，则DM＝2x，∵四边形DMNC是矩形，∴DM＝CN＝2x，在Rt△NBC中，tan37°＝＝＝，∴BN＝x，∵x+3+x＝14，∴x＝3，∴DM＝6，答：坝高为6m．（2）作FH⊥AB于H．设DF＝y，则AE＝2y，EH＝3+2y﹣y＝3+y，BH＝14+2y﹣（3+y）＝11+y，由△EFH∽△FBH，可得＝，即＝，解得y＝﹣7+2或﹣7﹣2（舍弃），∴DF＝2﹣7，答：DF的长为（2﹣7）m．二．实际问题数学抽象13．解：工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门，理由是：过B作BD⊥AC于D，∵AB＞BD，BC＞BD，AC＞AB，∴求出DB长和2.1m比较即可，设BD＝xm，∵∠A＝30°，∠C＝45°，∴DC＝BD＝xm，AD＝BD＝xm，∵AC＝2（+1）m，∴x+x＝2（+1），∴x＝2，即BD＝2m＜2.1m，∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1m的圆形门．14．解：（1）在Rt△EFH中，∵∠H＝90°，∴tan∠EFH＝i＝1：0.75＝＝，设EH＝4xm，则FH＝3xm，∴EF＝＝5xm，∵EF＝15m，∴5x＝15m，x＝3，∴FH＝3x＝9m．即山坡EF的水平宽度FH为9m；（2）∵L＝CF+FH+EA＝CF+9+4＝CF+13，H＝AB+EH＝22.5+12＝34.5，H1＝0.9，∴日照间距系数＝L：（H﹣H1）＝＝，∵该楼的日照间距系数不低于1.25，∴≥1.25，∴CF≥29．答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远．15．解：（1）如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，∴ON＝OM＝0.6，∴NB＝ON+OB＝3.3+0.6＝3.9；即点M到地面的距离是3.9米；（2）取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9﹣2.55﹣0.65＝0.7，过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，∵∠GOP＝30°，∴tan30°＝＝，∴GP＝OP＝≈0.404，∴GH＝3.3+0.404＝3.704≈3.70＞3.5，∴货车能安全通过．16．解：∵BH＝0.6米，sinα＝，∴AB＝＝1米，∴AH＝0.8米，∵AF＝FC＝2米，∴BF＝1米，作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，BF＝AB，∴△EFK∽△FBJ∽△ABH，△FBJ≌△ABH，∴，BJ＝BH＝0.6米，即，解得，EK＝1.28，∴BJ+EK＝0.6+1.28＝1.88＜2，∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．三．三角函数的应用17．解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，∵AB＝CD，AB+CD＝AD＝2，∴AB＝CD＝1，在Rt△ABE中，∠A＝35°，AB＝1，∴BE＝AB•sin A＝1×sin35°≈0.6，∴AE＝AB•cos A＝1×cos35°≈0.8，在Rt△CDF中，∠D＝45°，CD＝1，∴CF＝CD•sin D＝1×sin45°≈0.7，∴DF＝CD•cos D＝1×cos45°≈0.7，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE＝CM，∴四边形BEMC是平行四边形，∴BC＝EM，在Rt△MEF中，FM＝CF+CM＝1.3，EF＝AD﹣AE﹣FD＝0.5，∴EM＝＝≈1.4，答：B与C之间的距离约为1.4米．18．解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，∴＝0.60，＝0.80，∴AE＝3m，BE＝4m，∴CE＝6m，在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，∴FD＝AO＝1m，∴CF＝5m，在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．∴OD＝2≈4.5m．19．解：如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于F，过点C作AB的垂线，交AB 的延长线于E，∵AB∥CD，∴四边形AECF是矩形，∵∠BCD＝60°，∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝8，∴BE＝BC＝4，CE＝BC＝4，∵∠ADC＝135°，∴∠ADF＝180°﹣135°＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴DF＝AF＝CE＝4，由于FC＝AE，即4+2＝AB+4，∴AB＝4﹣2，∴S梯形ABCD＝（2+4﹣2）×4＝24，答：垂尾模型ABCD的面积为24．20．解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1m，∴△AEF是等边三角形，∴∠AFE＝60°，连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK，∵△AEF是等边三角形，∴AK＝（m），∴FK＝＝（m），∴FM＝2FK＝（m），∴BC＝4FM＝4≈6.92≈6.9（m），答：∠AFE的度数为60°，棚宽BC的长约为6.9m；（2）∵∠AFE＝74°，∴∠AFK＝37°，∴KF＝AF•cos37°≈0.80（m），∴FM＝2FK＝1.60（m），∴BC＝4FM＝6.40（m）＜6.92（m），6.92﹣6.40＝0.52≈0.5（m），答：当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC是减少了，减少了0.5m．21．解：（1）如图，过点C作CF⊥DE于点F，∵CD＝CE＝5cm，∠DCE＝40°．∴∠DCF＝20°，∴DF＝CD•sin20°≈5×0.34≈1.7（cm），∴DE＝2DF≈3.4cm，∴线段DE的长约为3.4cm；（2）∵横截面是一个轴对称图形，∴延长CF交AD、BE延长线于点G，连接AB，∴DE∥AB，∴∠A＝∠GDE，∵AD⊥CD，BE⊥CE，∴∠GDF+∠FDC＝90°，∵∠DCF+∠FDC＝90°，∴∠GDF＝∠DCF＝20°，∴∠A＝20°，∴DG＝≈≈1.8（cm），∴AG＝AD+DG＝10+1.8＝11.8（cm），∴AB＝2AG•cos20°≈2×11.8×0.94≈22.2（cm）．∴点A，B之间的距离22.2cm．。
2024-2025年北师大版数学必修第二册4.2.3三角函数的叠加及其应用(带答案)
2．3 三角函数的叠加及其应用必备知识基础练知识点一 辅助角公式 1．函数f (x )＝32 sin 2x ＋12cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2C ．2π，1D ．2π，22．使函数f (x )＝sin (2x ＋φ)＋3 cos (2x ＋φ)为奇函数，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 上是减函数的φ的一个值是( )A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．5π33．计算sin π12 －3 cos π12 的值为________．知识点二 三角函数的叠加应用 4．已知函数f (x )＝32 sin ωx ＋12cos ωx (ω>0)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 的值；(2)若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝1213 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π6 ＝－35 ，求cos (α＋β)的值．知识点三 三角函数模型的应用5．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3 cos π12 t －sin π12t ，t ∈[0，24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？关键能力综合练一、选择题1．函数y ＝sin x ＋cos x ＋2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 的最小值是( )A ．2－2B ．2＋2C ．3D ．12．若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π3．若tan θ＝b a (－π2 <θ<π2)，a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2 sin (x ＋φ)(0≤φ<2π)，下列判断错误的是( )A ．当a >0，b >0时，φ＝θB ．当a >0，b <0时，φ＝θ＋2πC ．当a <0，b >0时，φ＝θ＋πD ．当a <0，b <0时，φ＝θ＋2π4．将函数y ＝sin (2x ＋φ)，φ∈(0，π)的图象向左平移π12 个单位长度得到函数g (x )的图象，已知g (x )是偶函数，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6 ＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－33 D ．335．已知函数f (x )＝sin 3x －3 cos 3x ，则下面结论错误的是( )A ．当x ∈[0，π2 ]时，f (x )的取值范围是[－3 ，2]B ．y ＝f (x )在[π3 ，π2 ]上单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π18对称D ．y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin 3x 的图象向右平移π3 个单位得到二、填空题6．函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a >0)的最大值为2，则a ＝________．7．函数y ＝sin x －3 cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3 cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．8．(易错题)已知cos (α－π6 )＋sin α＝435 ，则sin (α＋7π6)的值是________．三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝(22 ，－22)，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3 ，求x 的值．学科素养升级练1.(多选题)函数f (x )＝3 cos 2x －sin 2x ，x ∈R ，下列说法正确的是( )A ．f (x －π12 )为偶函数B ．f (x )的最小正周期为2πC ．f (x )在区间[0，π2 ]上先减后增D ．f (x )的图象关于x ＝π6对称2．(学科素养——数学运算)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ，其中ω>0.若f (x )在区间(π2 ，3π4)上单调递增，求ω的取值范围．2．3 三角函数的叠加及其应用必备知识基础练1．答案：A解析：f (x )＝32 sin 2x ＋12 cos 2x ＝sin (2x ＋π6 )，所以最小正周期为T ＝2π|ω|＝π，振幅为1.故选A.2．答案：B解析：由题意得f (x )＝sin (2x ＋φ)＋3 cos (2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3 . ∵函数f (x )为奇函数，且定义域为R ， ∴f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3 ＝0.∴φ＋π3 ＝n π，n ∈Z ，∴φ＝n π－π3，n ∈Z .令2k π＋π2 ≤2x ＋φ＋π3 ≤2k π＋3π2 ，k ∈Z ，得k π＋π12 －φ2 ≤x ≤k π＋7π12 －φ2，k ∈Z .又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧k π＋π12－φ2≤0，k π＋7π12－φ2≥π4， k ∈Z ，∴2k π＋π6 ≤φ≤2k π＋2π3 ，k ∈Z ，∴当φ＝2π3时，满足题意．故选B.3．答案：－2解析：sin π12 －3 cos π12 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12 ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12 ＝－2cos π4 ＝－2 .4．解析：(1)因为f (x )＝32 sin ωx ＋12cos ωx ， 所以f (x )＝sin (ωx ＋π6).因为函数f (x )＝32 sin ωx ＋12cos ωx 的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π， 所以T ＝2π，ω＝2πT ＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6 .所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π6 ＝sin π6 cos π4 －cos π6 sin π4 ＝2－64 .(2)由(1)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝sin α＝1213 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π6 ＝sin (β＋π)＝－sin β＝－35 ，所以sin β＝35. 因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，所以cos α＝1－sin 2α ＝513 ，cos β＝1－sin 2β ＝45 ，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝513 ×45 －1213 ×35 ＝－1665 .5．解析：(1)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ，又0≤t <24，所以π3 ≤π12 t ＋π3 <7π3 ，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 ，故有10－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 >11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3 <－12 .又0≤t <24，因此7π6 <π12 t ＋π3 <11π6 ，所以10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．关键能力综合练1．答案：C解析：原式＝2 ⎝⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x ＋2＝2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＋2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 ，∴x ＋π4 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 .当x ＋π4 ＝π4 或3π4 ，即x ＝0或x ＝π2 时，函数y 取得最小值，即y min ＝2 ×22＋2＝3.故选C. 2．答案：A解析：∵f (x )＝cos x －sin x ＝2 cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ，∴当2k π≤x ＋π4 ≤π＋2k π(k ∈Z )，即－π4 ＋2k π≤x ≤3π4 ＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递减，∴[－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 ，∴－a <a ，－a ≥－π4 ，a ≤3π4 .解得0<a ≤π4 ，∴a 的最大值为π4.故选A.3．答案：D解析：由选项知，ab ≠0，a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(a a 2＋b2sin x ＋ba 2＋b 2cos x )，令cos φ＝aa 2＋b 2 ，sin φ＝b a 2＋b 2，有tan φ＝sin φcos φ ＝b a ＝tan θ(－π2<θ<π2)，0≤φ<2π，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)，对于A ，当a >0，b >0时，φ为第一象限角，且0<φ<π2 ，0<θ<π2 ，tan φ＝tan θ，则φ＝θ，A 正确；对于B ，当a >0，b <0时，φ为第四象限角，且3π2 <φ<2π，－π2 <θ<0，tan φ＝tan(θ＋2π)，则φ＝θ＋2π，B 正确；对于C ，当a <0，b >0时，φ为第二象限角，且π2 <φ<π，－π2 <θ<0，tan φ＝tan (θ＋π)，则φ＝θ＋π，C 正确；对于D ，当a <0，b <0时，φ为第三象限角，且π<φ<3π2 ，0<θ<π2 ，tan φ＝tan (θ＋π)，则φ＝θ＋π，D 错误．故选D.4．答案：D解析：将函数f (x )＝sin (2x ＋φ)的图象向左平移π12个单位长度，得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ 的图象， 因为g (x )是偶函数，所以π6 ＋φ＝π2 ＋k π，k ∈Z ，又φ∈(0，π)，所以φ＝π3 ，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6 ＝tan π6 ＝33 .故选D.5．答案：D解析：f (x )＝sin 3x －3 cos 3x ＝2sin (3x －π3 )，当x ∈[0，π2 ]，3x －π3 ∈[－π3 ，7π6 ]，sin (3x －π3 )∈[－32，1]，f (x )的取值范围是[－3 ，2]，A 正确； 当x ∈[π3 ，π2 ]，3x －π3 ∈[2π3 ，7π6 ]，f (x )＝2sin (3x －π3 )单调递减，B 选项正确；当x ＝－π18 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18－π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2 ＝－2，y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π18对称，C 选项正确；由函数y ＝sin 3x 的图象向右平移π3 个单位得到y ＝sin 3(x －π3 )＝sin (3x －π)＝－sin 3x ，D 选项错误．故选D.6．答案：3解析：∵f (x )＝a sin x ＋cos x ＝a 2＋1 sin (x ＋φ)，tan φ＝1a ，φ∈(0，π2 )，∴当sin (x ＋φ)＝1时，f (x )取最大值，∴a 2＋1 ＝2，a >0，得a ＝3 .7．答案：2π3解析：因为y ＝sin x ＋3 cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ，y ＝sin x －3 cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 ，所以把y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3 的图象至少向右平移2π3 个单位长度可以得到y ＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 的图象．8．答案：－45解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＋sin α＝435 ，得32 cos α＋12 sin α＋sin α＝435 ，即12 cos α＋32 sin α＝45 ，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝45 ，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6 ＝－sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝－cos [π2 －(α＋π6 )]＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝－45 . 9．解析：(1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 ，n ＝(sin x ，cos x )，且m ⊥n ，∴m ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 ·(sin x ，cos x )＝22 sin x －22 cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝0.又∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ，∴x －π4 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 ，∴x －π4 ＝0，∴x ＝π4 ，∴tan x ＝tan π4＝1.(2)由(1)及题意知 cos π3 ＝m ·n |m ||n |＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222·sin 2x ＋cos 2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 ＝12 .又∵x －π4 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 ，∴x －π4 ＝π6 ，解得x ＝5π12.学科素养升级练1．答案：AC解析：由辅助角公式可得：f (x )＝3 cos 2x －sin 2x ＝2cos (2x ＋π6 )，由题可知f (x －π12 )＝2cos 2x ，为偶函数，A 正确；最小正周期T ＝2π2＝π，故B 错误；令2x ＋π6 ＝t ，t ∈[π6 ，7π6 ]，y ＝2cos t 在区间[π6 ，7π6]先减后增，故C 正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2cos π2 ＝0，所以f (x )关于点(π6，0)对称，D 错误．故选AC. 2．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2 sin (ωx ＋π4 )，由x ∈(π2 ，3π4 )，得ωx ＋π4 ∈(π2 ω＋π4 ，3π4 ω＋π4 )，因为f (x )在区间(π2 ，3π4)上单调递增，所以T 2 ＝πω ≥3π4 －π2，得ω≤4，且⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥－π2＋2k π，3π4ω＋π4≤π2＋2k π，解得－32 ＋4k ≤ω≤13 ＋83k ，k ∈Z ，又ω>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－32＋4k <13＋83k ，13＋83k >0，解得－18 <k <118 ，所以k ＝0或k ＝1，当k ＝0时，0<ω≤13 ，当k ＝1时，52≤ω≤3，综上所述，ω的取值范围为(0，13 ]∪[52 ，3].。
2024-2025年北师大版数学必修第二册1.5.1.2正弦函数的性质(带答案)
第2课时 正弦函数的性质必备知识基础练知识点一 正弦函数的定义域与值域1．(1)求函数y ＝2sin x －1 的定义域；(2)求函数y ＝5cos (π2 ＋x )－1，x ∈[π6 ，π]的值域．知识点二 正弦函数的单调性2．比较下列各组数的大小：(1)sin π4 和sin 2π3 ；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π16 和sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10 ；(3)sin 21π5 和sin 42π5 ；(4)sin 194°和cos 160°.3．求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间．知识点三 正弦函数的周期性和奇偶性4．函数y ＝sin (x －π)是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6 的周期为________． 6．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4 的值为________．关键能力综合练一、选择题1．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3 的值域是( ) A ．[－1，1] B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 2．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 3．设点P 是函数f (x )＝sin ωx 的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值为π4，则f (x )的最小正周期为( ) A ．2π B ．π C．π2 D ．π44．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°5．(探究题)函数y ＝sin x －|sin x |的值域是( )A ．0B ．[－1，1]C ．[0，1]D ．[－2，0]二、填空题6．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的周期为________． 7．已知函数f (x )＝sin (πx ＋φ)(0<φ<2π)在x ＝2处取得最大值，则φ＝________．8．(易错题)函数y ＝－2sin x 的定义域是________________________________________________________________________，单调递减区间是________________．三、解答题9．(1)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 的递增区间． (2)若函数y ＝a －b sin x 的最大值是32 ，最小值是－12，求函数y ＝－4a sin bx 的最大值与最小值及周期．学科素养升级练1.(多选题)下列说法正确的是( )A ．y ＝|sin x |的定义域为R ，周期为πB ．y ＝3sin x ＋1的最小值为1，最大值为4C ．y ＝－sin 2x 为奇函数D ．y ＝sin (x －π)的单调递增区间为[2k π＋π2 ，2k π＋3π2](k ∈Z ) 2．(学科素养——数形结合)已知函数f (x )＝sin x －2|sin x |，x ∈[0，2π].(1)作出函数f (x )的图象，并写出f (x )的单调区间；(2)讨论g (x )＝sin x －2|sin x |－k ，x ∈[0，2π]的零点个数，并求此时k 的取值范围．第2课时 正弦函数的性质必备知识基础练1．解析：(1)由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，画出y ＝sin x 的图象，可知sin x ≥12 的解集为{x |π6 ＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z }． 故函数的定义域为[2k π＋π6 ，2k π＋5π6 ](k ∈Z ). (2)y ＝5cos (π2＋x )－1＝－5sin x －1. ∵y ＝sin x 在区间[π6 ，π2 ]上单调递增，在区间[π2，π]上单调递减， ∴sin π≤sin x ≤sin π2，即0≤sin x ≤1， 故－6≤－5sin x －1≤－1，即函数的值域为[－6，－1].2．解析：(1)sin 2π3 ＝sin (π－π3 )＝sin π3 . 因为0＜π4 ＜π3 ＜π2 ，且y ＝sin x 在区间(0，π2)上单调递增， 所以sin π4 ＜sin π3 ，即sin π4 ＜sin 2π3. (2)因为－π2 ＜－π10 ＜－π16 ＜π2 ， y ＝sin x 在区间[－π2 ，π2]上单调递增， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π16 ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10 . (3)sin 21π5 ＝sin (4π＋π5 )＝sin π5， sin 42π5 ＝sin (8π＋2π5 )＝sin 2π5 . 因为0＜π5 ＜2π5 ＜π2 ，且y ＝sin x 在[0，π2 ]上单调递增，所以sin π5 ＜sin 2π5 ，即sin 21π5 ＜sin 42π5. (4)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos (180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.因为0°＜14°＜70°＜90°，所以sin 14°＜sin 70°.所以－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cos 160°.3．解析：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4 ，令z ＝x －π4 ，则y ＝－2sin z . 因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的递增区间，即求sin z 的递减区间，即2k π＋π2 ≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z ). 所以2k π＋π2 ≤x －π4 ≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，即2k π＋3π4 ≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4 (k ∈Z ). 4．答案：C解析：y ＝sin (x －π)＝－sin (π－x )＝－sin x ，令f (x )＝－sin x ，则f (x ＋π)＝－sin (x ＋π)＝sin x ≠f (x )，故π不是f (x )的周期，排除A 、B.又f (－x )＝－sin (－x )＝sin x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．故选C.5．答案：2π3解析：令u ＝3x －π6，∵x ∈R ，∴u ∈R . ∵函数y ＝2sin u 的最小正周期是2π，∴变量u 至少要增加到u ＋2π，函数y ＝2sin u (u ∈R )的值才能重复取得．又u ＋2π＝3x －π6 ＋2π＝3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3 －π6 ，∴自变量x 至少要增加到x ＋2π3 ，函数的值才能重复取得，从而函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6 (x ∈R )的周期为2π3 . 6．答案：－1解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 ＝－1. 关键能力综合练1．答案：B解析：画出函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3 的图象(如图)，利用图象直接观察可得，B 正确．故选B.2．答案：C解析：画出y ＝|sin x |的图象如图所示．借助图象不难看出C 符合题意．故选C.3．答案：B解析：由题意得14 T ＝π4，所以T ＝π.故选B. 4．答案：C解析：∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°，又sin 11°<sin 12°<sin 80°，∴sin 11°<sin 168°<cos 10°.故选C.5．答案：D解析：当0≤x ≤π时，sin x ≥0，所以y ＝0；当π<x ≤2π时，sin x ≤0，所以y ＝2sin x ，其值域为[－2，0].综上，函数的值域是[－2，0].故选D.6．答案：4π解析：令f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则f (x ＋4π)＝sin [12 (x ＋4π)]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2π ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，故函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的周期为4π. 7．答案：π2解析：由题意得sin (2π＋φ)＝1，∴sin φ＝1，∴φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又0<φ<2π，∴φ＝π2. 8．答案：[2k π＋π，2k π＋2π](k ∈Z )⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π2，2k π＋2π (k ∈Z ) 解析：由题意知－2sin x ≥0，∴sin x ≤0.结合y ＝sin x 的图象可知，2k π＋π≤x ≤2k π＋2π，k ∈Z .∴函数y ＝－2sin x 的定义域为[2k π＋π，2k π＋2π](k ∈Z ).∵y ＝sin x 的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 (k ∈Z ). 根据复合函数的单调性，结合定义域可知函数y ＝－2sin x 的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π2，2k π＋2π (k ∈Z ). 9．解析：(1)令t ＝2x －π4，则y ＝sin t . ∵y ＝sin t 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 ，k ∈Z ， ∴2k π－π2 ≤t ≤2k π＋π2，k ∈Z ， 即2k π－π2 ≤2x －π4 ≤2k π＋π2，k ∈Z . ∴k π－π8 ≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z . ∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8 ，k ∈Z . (2)∵－1≤sin x ≤1，∴当b >0时，－b ≤b sin x ≤b .∴a －b ≤a －b sin x ≤a ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1， ∴y ＝－4a sin bx ＝－2sin x .当b <0时，b ≤b sin x ≤－b ，∴a ＋b ≤a －b sin x ≤a －b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1， ∴y ＝－4a sin bx ＝－2sin (－x )＝2sin x .∴y ＝±2sin x ，最大值是2，最小值是－2，周期是2π.学科素养升级练1．答案：ACD解析：作出函数y ＝|sin x |的图象，其定义域为R ，周期为π，故A 正确；函数y ＝3sin x ＋1的最小值为－2，此时sin x ＝－1，故B 错误；由－sin (－2x )＝sin 2x 知，y ＝－sin 2x 是奇函数，故C 正确；y ＝sin (x －π)＝－sin x ，其单调递增区间即y ＝sin x 的单调递减区间，故D 正确．故选ACD.2．解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－sin x ，x ∈[0，π]，3sin x ，x ∈（π，2π]， 图象如图，由图象可知f (x )的递增区间为[π2 ，π]，[3π2，2π]； f (x )的递减区间为[0，π2 ]，[π，3π2]. (2)由图象可知：当k ＞0或k ＜－3时，直线y ＝k 与函数f (x )有0个交点；当k ＝－3时，直线y ＝k 与函数f (x )有1个交点；当－3＜k ＜－1时，直线y ＝k 与函数f (x )有2个交点；当k ＝0或k ＝－1时，直线y ＝k 与函数f (x )有3个交点；当－1＜k ＜0时，直线y ＝k 与函数f (x )有4个交点．。
2023-2024学年北京市顺义区高中数学北师大 必修二第一章-三角函数章节测试-7-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年北京市顺义区高中数学北师大 必修二第一章-三角函数章节测试(7)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）-log 23-2log 231-2log 233-2log 231. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意， 都有f(x-1)=f(x+3)。
当时，f(x)=2x +1设函数f(x)在区间[-2，0]上的反函数为f -1(x)，则f-1(19)的值为（ ）A. B. C. D. 向左平移 个单位长度向左平移个单位长度向右平移个单位长度向右平移 个单位长度2. 要得到 的图象，只需将 的图象（ ）A.B. C.D. 3. 已知锐角且的终边上有一点 ， 则的值为（ ）A. B. C. D.-2- 24. 已知函数 是奇函数，且的最小正周期为 ，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若 ，则 （ ）A. B. C. D. 5. 已知函数f （x ）=4 sin （ωx+ ）（ω＞0）在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若∠ABC=90°，则ω=（ ）A. B. C. D.6. 在平面直角坐标系中，点是角终边上的一点，则等于（ ）A. B. C. D.关于点对称关于点对称关于直线对称关于直线对称7. 已知函数在处取得最大值，则函数的图象 （ ）A. B. C. D. 8. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小､密度大､吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数､奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为 ， 则（ ）A. B. C. D.π2π9. 已知函数，如果存在实数，，使得对任意的实数x ，都有，那么的最小值为（ ）A. B. C. D. 20℃20.5℃21℃21.5℃10. 某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为（ ）A. B. C. D. 函数的图象的横坐标伸长为原来的倍后，再向左平移个单位长度函数的图象的横坐标缩短为原来的后，再向右平移个单位长度函数的图象向左平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍11. 已知函数的部分图象如下所示，其中 ， 为了得到的图象，需将（）A. B. C.函数的图象向右平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍D. （0， ）（ ，1）（﹣∞，﹣1）（0， ）12. 已知函数f （x ）=sin x ﹣1（x ＜0），g （x ）=log a x （a ＞0，且a≠1）．若它们的图象上存在关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 13. 已知函数y=2sin （ωx+φ）（ω＞0），若存在x 0∈R ，使得f （x 0+2）﹣f （x 0）=4，则ω的最小值为 ．14. 已知函数 和函数 的图像交于 三点，则 的面积为15. 已知函数 在区间 上恰有三个零点，则 的取值范围是 ．16. 将﹣1485°化为2kπ+α（0≤α＜2π，k ∈Z ）的形式是 ．17. 在平面四边形ABCD 中， AB ＝2，BD ＝ ，AB ⊥BC ，∠BCD ＝2∠ABD ，△ABD 的面积为2．(1) 求AD 的长；(2) 求△CBD 的面积．18. 已知函数的部分图象如图所示．(1) 求函数的解析式；(2) 将图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数 的图象，求函数的单调递减区间．19. 函数f （x ）=Asin （ωx+ϕ）（ ）的部分图象如图所示．(1) 求函数f（x）的解析式．(2) 函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．20. 函数 b的部分图象如图所示．(1) 求的解析式；(2) 求在区间上的最大值．21. 已知函数在区间上的最大值为.(1) 求常数m的值；(2) 求函数的单调递增区间及图象的对称中心.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习单元质检卷四三角函数北师大版(含答案)
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习：单元质检卷四三角函数(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若θ=cos 2 021π,则角θ的终边在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有一点A(3cos α,2),则sin α的值等于()A.√53B.23C.-23D.-√533.(2021湖南师大附中高三月考)已知1+sin2α2cos2α+sin2α=2,则tan 2α=()A.-34B.-43C.34D.434.(2021山西太原高三月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b sin(π-C)-√2c cos(π+B)=0,则tan B=()A.√22B.√2 C.-√22D.-√25.(2021安徽合肥高三期末)已知函数f(x)=tanωx+π6(ω>0)的图象上相邻两个对称中心的距离为π4,若将f(x)的图象向右平移π12个单位长度得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的单调递增区间为()A.kπ2−π4,kπ2+π4(k∈Z)B.kπ2−7kπ24,kπ2+5π24(k∈Z)C.kπ-7π12,kπ+5π12(k∈Z)D.kπ-π2,kπ+π2(k∈Z)6.如图,一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周,它的最低点P0离地面2 m,风车翼片的一个端点P 从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面的距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系式是()A.h(t)=-8sinπ6t+10B.h(t)=-cosπ6t+10C.h(t)=-8sinπ6t+8D.h(t)=-8cosπ6t+107.(2021天津和平高三期中)已知函数f(x)=a sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的最小正周期为π,其最小值为-2,且满足f(x)=-fπ2-x,则φ=()A.±π3B.±π6C.π6或π3D.-π6或-π38.已知锐角三角形ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,若cos 2C=1-c 2b2,则角B等于()A.π4B.3π4C.π6D.π39.设α是三角形的一个内角,则下列哪些值可能为正值()①sin(π-α)②cos(-α)③tan(π+α)④tanα2−3π2A.①②B.②③C.③④D.①④10.若将函数f(x)=cos2x+π12的图象向左平移π8个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列说法不正确的是()A.g (x )的最小正周期为πB.g (x )在区间0,π2上单调递减C.x=π12不是函数g (x )图象的对称轴 D.g (x )在-π6,π6上的最小值为-1211.已知tan(α+β)=tan α+tan β,其中α≠k π2(k ∈Z )且β≠m π2(m ∈Z ),则下列结论一定正确的是( ) A.sin(α+β)=1 B.cos(α+β)=1 C.sin 2α2+sin 2β2=1D.sin 2α+cos 2β=112.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若sin 2C=tan A (2sin 2C+cos C-2),则下列结论中错误的是( )A.△ABC 可能是直角三角形B.角B 是锐角C.必有A=2BD.可能有a=2b二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021山东德州高三月考)若函数f (x )=√2sin(2ωx-θ)(ω>0,-π<θ<0)是周期为π2的偶函数,则fπ6= .14.(2021北京海淀高三月考)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若sin C=2sin A ,b 2-a 2=12ac ,则sin B 等于 .15.已知sin(α-β)=25,sin(α+β)=12,则tanαtanβ= .16.如图所示,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BD ,AB=BD ,BC=CD ,AD=2,在△ABC 中,角A ,B ,C 的对应边分别为a ,b ,c ,若c 2=2ab cos ∠BCA ,则△ACD 的面积为 .三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)(2021福建泉州高三月考)已知f (θ)=sin(3π2+θ)cos(π2-θ)sin(π+θ)cos(2π-θ)(1-cos2θ)2.(1)化简f (θ);(2)若tan θ=12,求f θ-3π4的值.18.(12分)(2021安徽六安高三期中)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)+B A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示.(1)求f (x )的解析式及对称中心坐标; (2)设α∈(0,π),且f α2=-2,求α的值.19.(12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=√3,b=2.(1)若A=π6,求cos 2B;(2)当A取得最大值时,求△ABC的面积.20.(12分)(2021河北石家庄高三二模)已知函数f(x)=cos x+π2cos x+5π4.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)将函数f(x)的图象向右平移π4个单位长度,再将横坐标扩大为原来的2倍得到g(x)的图象,求函数g(x)在[0,π]上的值域.21.(12分)(2021福建宁德高三二模)如图,准备在河岸一侧建造一个观景台P,已知射线AB,AC为两边夹角为120°的公路(长度均超过√3千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客上下点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=√3千米,AN=√3千米.(1)求线段MN的长度;(2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.22.(12分)如图,平面四边形ABCD ,点B ,C ,D 均在半径为5√33的圆上,且∠BCD=π3.(1)求BD 的长度;(2)若AD=3,∠ADB=2∠ABD ,求△ABD 的面积.单元质检卷四 三角函数1.D 解析:因为θ=cos2021π=-1∈-π2,0,所以角θ的终边在第四象限,故选D . 2.B 解析:由三角函数定义得tan α=23cosα,即sinαcosα=23cosα,所以sin α=23,故选B .3.A 解析:因为1+sin2α2cos 2α+sin2α=1+2sinαcosα2cos 2α+2sinαcosα=(sinα+cosα)22cosα(sinα+cosα)=sinα+cosα2cosα=12tan α+12=2,所以tanα=3,从而可得tan2α=2tanα1−tan 2α=61−9=-34,故选A .4.D 解析:由已知得b sin C+√2c cos B=0,即sin B sin C+√2sin C cos B=0,因为sin C ≠0,所以sin B+√2cos B=0,故tan B=-√2,故选D .5.A 解析:依题意得T2=π4,所以T=π2,所以πω=π2,解得ω=2,所以f (x )=tan 2x+π6,把f (x )的图象向右平移π12个单位长度,得到函数g (x )=tan 2x-π12+π6=tan2x 的图象,令k π-π2<2x<k π+π2,k∈Z ,解得k π2−π4<x<k π2+π4,k ∈Z ,所以函数g (x )的单调递增区间为k π2−π4,k π2+π4(k ∈Z ),故选A .6.D 解析:设h=A sin(ωt+φ)+B A>0,ω>0,|φ|≤π2,由题意可得h max =18,h min =2,T=12,∴A=ℎmax -ℎmin2=8,B=ℎmax +ℎmin2=10,ω=2πT=π6,则h=8sinπt 6+φ+10.当t=0时,8sin φ+10=2,得sin φ=-1,则φ=-π2,所以h=8sin π6t-π2+10=-8cos π6t+10.故选D . 7.A 解析:由最小正周期为π,可得ω=2.∵最小值为-2,∴√a 2+1=2,a=±√3. ∵f (x )=-fπ2-x ,∴函数图象关于点π4,0对称.①若a=√3,则f (x )=√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=2sin 2x+φ+π6.∵2×π4+φ+π6=k π(k ∈Z ),∴φ=k π-2π3(k ∈Z ).令k=1,得φ=π3.②若a=-√3,则f (x )=-√3sin(2x+φ)+cos(2x+φ)=-2sin 2x+φ-π6,∵2×π4+φ-π6=k π(k ∈Z ),则φ=k π-π3(k ∈Z ).令k=0,得φ=-π3. 综上可得,φ=±π3,故选A .8.A 解析:由cos2C=1-c 2b2,结合正弦定理可得1-2sin 2C=1-sin 2Csin 2B,整理得sin 2B-2sin 2C sin 2B=sin 2B-sin 2C.又C 为锐角,故sin C ≠0.于是sin 2B=12,从而sin B=√22.又因为三角形ABC 是锐角三角形,所以B=π4.9.B 解析由已知可得0<α<π,则0<α2<π2,sin(π-α)=sin α>0,故①不正确,tan3π2−α2=tanπ2−α2=1tanα2>0,故④不正确;当π2<α<π时,cos(-α)=cos α<0,tan(π+α)=tan α<0,故②③正确.故选B .10.B 解析:由题意可得g (x )=cos 2x+π8+π12=cos 2x+π3,∴函数g (x )的最小正周期为π,故A 正确;当x ∈0,π2时,2x+π3∈π3,4π3,故g (x )在区间0,π2上不单调,故B 不正确;∵g π12=0,故x=π12不是函数g (x )图象的对称轴,故C 正确;当x ∈-π6,π6时,2x+π3∈0,2π3,∴当2x+π3=2π3,即x=π6时,g (x )取得最小值-12,故D 正确,故选B .11.D 解析:因为tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα·tanβ,且tan(α+β)=tan α+tan β,所以1-tan α·tan β=1,即tan α·tan β=0,所以α=k 1π(k 1∈Z )或β=m 1π(m 1∈Z ),sin(α+β)=sin(k 1π+m 1π)=0(k 1,m 1∈Z ),故A 错误;cos(α+β)=cos(k 1π+m 1π)=±1(k 1,m 1∈Z ),故B 错误; sin 2α2+sin 2β2=sin2k 1π2+sin 2m 1π2,令k 1=m 1=1,则sin 2π2+sin 2π2=2,故C 错误;由A 知sin(α+β)=0,则α+β=n π(n ∈Z ),故sin 2α+cos 2β=sin 2α+cos 2(n π-α)=sin 2α+cos 2α=1(n ∈Z ),故D 正确,故选D .12.C 解析:依题意得2sin C cos C=sinAcosA(2-2cos 2C+cos C-2),即2sin C cos C=sinAcosA·cos C (1-2cos C ),整理得cos C ·[2(sin A cos C+cos A sin C )-sin A ]=0,即cos C ·(2sin B-sin A )=0,所以cos C=0或sin A=2sin B.当cos C=0时,△ABC 是直角三角形,故A 选项正确;而当sin A=2sin B 时,由正弦定理可得a=2b ,故C 选项错误,D 选项正确;无论cos C=0或sin A=2sin B ,均可得角B 为锐角,故B 选项正确. 13.-√22解析:依题意可得2π2ω=π2,θ=-π2,即ω=2,θ=-π2,于是f (x )=√2cos4x ,因此fπ6=√2cos4×π6=-√22.14.√74解析:∵sin C=2sin A ,∴c=2a.又b 2-a 2=12ac ,∴b 2=2a 2,即b=√2a.由余弦定理可得,cos B=a 2+c 2-b 22ac=a 2+4a 2-2a 22a ·2a=34.又0<B<π,∴sin B=√1−cos 2B =√1−(34) 2=√74. 15.9 解析:由题得sin αcos β-cos αsin β=25,sin αcos β+cos αsin β=12,两式相加得sin αcos β=920,两式相减得cos αsin β=120,因此tanαtanβ=sinαcosβcosαsinβ=920120=9.16.√22 解析:∵AB=BD ,AB ⊥BD ,∴在等腰直角三角形ABD 中,AD=√2AB=√2c.在△ABC 中,由余弦定理得a 2+b 2-2ab cos ∠BCA=c 2,又已知c 2=2ab cos ∠BCA ,∴a 2+b 2=2c 2.又a=BC=CD ,b=AC ,AD=√2c ,∴AC 2+CD 2=AD 2,∴AC ⊥CD.作CF ⊥BD 分别交BD ,AD 于点F ,E ,∵BC=CD ,E ,F 分别为线段AD ,BD 的中点,∴∠CED=45°,CE=ED=1,∴S △ACD =2S △ECD =2×12×EC ×ED ×sin45°=√22.17.解(1)f (θ)=sin(3π2+θ)cos(π2-θ)sin(π+θ)cos(2π-θ)(1-cos2θ)2=-cosθsinθ(-sinθ)cosθ(2sin 2θ)2=cosθsinθsinθcosθ4sin 4θ=cosθcosθ4sin 2θ=14tan 2θ.(2)因为tan θ=12, 所以tan θ-3π4=tanθ-tan3π41+tanθtan3π4=12-(-1)1+12×(−1)=3,所以f θ-3π4=14tan 2(θ-3π4)=14×32=136.18.解(1)由函数图象可知A+B=1,B-A=-3, 则A=2,B=-1.又T2=7π12−π12=π2,即T=π,所以ω=2πT=2,从而函数f (x )=2sin(2x+φ)-1.把π12,1代入f (x )解析式得π6+φ=π2+2k π,φ=π3+2k π(k ∈Z ).又|φ|<π2,故φ=π3,所以函数解析式为f (x )=2sin 2x+π3-1.由2x+π3=k π(k ∈Z )得x=-π6+k π2(k ∈Z ),所以对称中心坐标为k π2−π6,-1(k ∈Z ).(2)因为fα2=2sin α+π3-1=-2,所以sin α+π3=-12.又α∈(0,π),则α+π3∈π3,4π3,所以α+π3=7π6,即α=5π6.19.解(1)由正弦定理asinA =b sinB得,√312=2sinB,解得sin B=√33,∴cos2B=1-2sin 2B=1-23=13. (2)由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc=c 2+14c,∵c 2+14c≥2c4c =12,当且仅当c=1时,等号成立,∴cos A ≥12,则0<A ≤π3,即A 的最大值为π3, 此时S △ABC =12bc sin A=12×2×1×√32=√32. 20.解(1)f (x )=cos x+π2·cos x+5π4=(-sin x )·-cos x+π4=sin x√22cos x-√22sin x=√22sin x cos x-√22sin 2x=√24sin2x-√22×1−cos2x2=√24sin2x+√24cos2x-√24=12sin 2x+π4-√24,所以函数f (x )的最小正周期为2π2=π.由-π2+2k π≤2x+π4≤π2+2k π(k ∈Z ),得-3π8+k π≤x ≤π8+k π(k ∈Z ),故函数的单调递增区间为-3π8+k π,π8+k π(k ∈Z ).(2)函数f (x )的图象向右平移π4个单位长度,得到y=12sin 2x-π4+π4-√24=12sin 2x-π4-√24,再将横坐标扩大为原来的2倍得到g (x )=12sin x-π4-√24.因为x ∈[0,π],则x-π4∈-π4,3π4,则sin x-π4∈-√22,1,故g (x )∈-√22,12−√24.故函数g (x )在[0,π]上的值域为-√22,12−√24.21.解(1)在△AMN 中,由余弦定理得MN 2=AM 2+AN 2-2AM ·AN cos120°=3+3-2×√3×√3×-12=9, 所以MN=3,故线段MN 的长度为3千米.(2)设∠PMN=α,因为∠MPN=60°,所以∠PNM=120°-α. 在△PMN 中,由正弦定理得MNsin ∠MPN=PM sin(120°−α)=PN sinα=3sin60°=2√3,所以PM=2√3sin(120°-α),PN=2√3sin α. 因此PM+PN=2√3sin(120°-α)+2√3sin α=2√3√32cos α+12sin α+2√3sin α=3√3sin α+3cos α=6sin(α+30°).由于0°<α<120°,所以30°<α+30°<150°. 所以当α+30°=90°,即α=60°时,PM+PN 取到最大值6. 即两条观光线路距离之和的最大值为6千米. 22.解(1)由题意可知,△BCD 的外接圆半径为5√33,由正弦定理BD sin ∠BCD=2R=5√33×2,解得BD=5.(2)(方法1)在△ABD 中,设∠ABD=α,α为锐角,则∠ADB=2α, 因为AB sin2α=AD sinα,所以AB2sinαcosα=3sinα, 所以AB=6cos α.因为AD 2=AB 2+BD 2-2AB ·BD ·cos α,即9=36cos 2α+25-60cos 2α,11 所以cos α=√63.则AB=6cos α=2√6,sin α=√33,所以S △ABD =12AB ·BD ·sin α=5√2.(方法2)在△ABD 中,因为∠ADB=2∠ABD , 所以sin ∠ADB=sin2∠ABD=2sin ∠ABD cos ∠ABD ,所以AB=2AD ·cos ∠ABD=2AD ·AB 2+BD 2-AD 22AB ·BD ,因为BD=5,AD=3,所以AB=2√6, 所以cos ∠ABD=√63,则sin ∠ABD=√33,所以S △ABD =12AB ·BD ·sin ∠ABD=5√2.。
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1-5三角函数的应用》优生辅导练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》优生辅导练习题（附答案）一．选择题1．为出行方便，近日来越来越多的长春市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节．已知∠ABE＝70°，车轮半径为30cm，当BC＝60cm时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫C离地面高度约为（）（结果精确到1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈1.41）A．90cm B．86cm C．82cm D．80cm2．2020年平阴街道进行拓宽改造，县城面貌焕然一新，拓宽后振兴街主路双向四车道16米宽，两边安装路灯，如图路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．6米B．（8﹣2）米C．（8﹣2）米D．（8﹣4）米3．如图1是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成（连杆AB、BC、CD始终在同一平面内），AB垂直于底座且长度为9cm，BC的长度为10cm，CD的长度可以伸缩调整．如图2，∠BCD＝143°保持不变，转动BC，使得∠ABC＝150°，假如AD∥BC时为最佳视线状态，则此时CD的长度为（参考数据：sin53°≈0.80．cos53°≈0.60）（）A．8cm B．7.7cm C．7.5cm D．5.6cm4．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼上钩的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．m C．m D．4m5．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB ＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．B．C．D．6．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了（）A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米7．3月26日，济南轨道交通2号线开始初期运营，路线如图所示，已知腊山南站到北园站直线距离AD长约21千米，从腊山南站到二环西路站的长AB约为4千米，路线的转弯角∠B为157.5°，∠C为150°，又测得∠D＝30°，则从二环西路站到济泺路站的距离BC的长为（）（tan22.5°≈0.6，sin22.5°≈0.4，cos22.5°≈0.9，≈1.7）A．14.62千米B．14.64千米C．14.66千米D．14.68千米8．春节期间，某老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为5.2米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B之间的距离约为（）（参考数据：＝1.732）A．2.33米B．2.35米C．2.36米D．2.42米9．如图是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，该大灯照亮地面的宽度BC的长为1.4米，则该大灯距地面的高度为（）米．（参考数据：sin8°≈，tan8°≈，sin10°≈，tan10≈）A．1B．1.2C．0.8D．0.8510．如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（）A．（a+b）米B．（a+b）米C．（a+b）米D．（a+b）米11．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B 之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A．cm B．cm C．64cm D．54cm12．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角45°的传送带AB，调整为坡度i＝1：的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4米，那么新传送带AC的长是（）A．8米B．4米C．6米D．3米13．如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE ＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m14．重庆移动为了提升新型冠状肺炎“停课不停学”期间某片区网络信号，保证广大师生网络授课、听课的质量，临时在坡度为i＝1：2.4的山坡上加装了信号塔PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌MN．当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ 落在警示牌上的影子EN长为3米，则信号塔PQ的高约为（）（结果精确到十分位，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）A．10.4B．11.9C．11.4D．13.415．在商场里，为方便一部分残疾人出入，商场特意设计了一种特殊通道“无障碍通道”，如图，线段BC表示无障碍通道，线段AD表示普通扶梯，其中“无障碍通道”BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝6米，∠D＝30°，（其中点A、B、C、D 均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．A．10B．10﹣12C．12D．10+12 16．解放路上一座人行天桥如图所示，坡面BC的铅直高度与水平宽度的比为1：2，为了方便市民推车过天桥，有关部门决定在保持天桥高度的前提下，降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1：3，AB＝6m，则天桥高度CD为（）A．6m B．6m C．7m D．8m二．填空题17．如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm），且AC＝BD，AF∥BE，sin∠BAF＝0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B′，D′，E′的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD′．已知直线BE⊥B′E′，CD′＝2CD，那么AB的长为cm，CD′的长为cm．18．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC ＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，则支架BC的长为cm．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）19．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端B 在边ON上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为30°，∠AOB为45°，OB长为（16+16）厘米，则AB的长为厘米．20．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，一辆小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？；（填“是”或“否”）请简述你的理由．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）三．解答题21．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E沿AB滑动，压柄BC可绕着转轴B 旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE 的长度；（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）22．公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124°，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin62°≈0.88，tan42°≈0.90）23．某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE ＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）24．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中AB＝300cm，AB的倾斜角为30°，BE＝CA＝50cm，FE⊥AB于点E．点D、F到地面的垂直距离均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm．求CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．25．图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°．（1）求点M到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到0.01米）参考答案一．选择题1．解：作CH⊥AB于H，作AP⊥地面于P，由题知，AP＝30cm，BC＝60cm，∠ABE＝70°，∴CH＝BC•sin70°≈60×0.94＝56.4（cm），∴坐垫C离地面高度约为56.4+30≈86（cm），故选：B．2．解：如图，延长OD，BC交于点P．∵∠PDC＝∠B＝90°，∠P＝30°，OB＝8米，∠PCD＝60°，∴PB＝＝＝8（米），PC＝＝＝4（米），∴BC＝PB﹣PC＝（8﹣4）米．故选：D．3．解：作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，如图3，∵∠ABC＝150°，BC∥AD，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝4.5（cm），∴CF＝BE＝4.5cm，∴CD＝CF÷cos∠DCF，∵CF⊥AD，AD∥BC，∴∠DCF＝143°﹣90°＝53°，∴CD＝4.5÷0.6≈7.5（cm），∴CD的长度为7.5cm．故选：C．4．解：∵sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB＝45°．∵∠C′AC＝15°，∴∠C′AB′＝60°．∴sin60°＝＝，解得：B′C′＝3．故选：B．5．解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠EHG＝∠HEF＝90°，∵∠AEF＝143°，∴∠AEH＝∠AEF﹣∠HEF＝53°，∠EAH＝37°，在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝37°，AE＝1.2米，∴EH＝AE•sin∠EAH≈1.2×0.60＝0.72（米），∵AB＝1.2米，∴AB+EH≈1.2+0.72＝1.92≈1.9米．故选：A．6．解：如图所示，在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB＝＝6（米）；在Rt△DEC中，DC＝cosβ×DE＝＝6（米），EC＝＝＝8（米）；∴AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米）．故选：C．7．解：过点B作BN⊥AD于N，过点C作CM⊥AD于M，∵∠B＝157.5°，∠C＝150°，∠D＝30°，∴∠A＝22.5°，在△ABN中，AB＝4千米，∴BN＝AB×sin22.5°≈4×0.4＝1.6千米，AN＝AB×cos22.5°≈4×0.9＝3.6千米，∠ABN ＝67.5°,∴∠NBC＝90°,∵∠NBC＝∠BND＝∠CMA＝90°,∴四边形BNMC是矩形，∴CM＝BN＝1.6千米，BC＝MN，在△CDM中，DM＝≈＝2.72千米，∴MN＝AD﹣AN﹣DM＝14.68千米，∴BC＝MN＝14.68千米．故选：D．8．解：如图，延长CA交DB延长线于点E，过点A作AF⊥BE于点F，则∠CED＝60°，∵AB的坡比为1：2.4，∴＝＝，设AF＝5x，BF＝12x，在Rt△ABF中，由勾股定理知，5.22＝25x2+144x2．解得：x＝0.4，∴AF＝5x＝2（米），BF＝12x＝4.8（米），由题意得：AC＝6米，∠CAG＝∠C＝60°，AG∥DF，∴∠EAF＝90°﹣60°＝30°，∠AEF＝∠CAG＝60°，∴EF＝AF＝（米），AE＝2EF＝（米），∵∠C＝∠CED＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴DE＝CE＝AC+AE＝（6+）米，∵BD＝DE﹣EF﹣BF＝6+﹣﹣4.8≈2.35（米），即浮漂D与河堤下端B之间的距离约为2.35米，故选：B．9．解：过点A作AD⊥MN于点D，如图所示：在Rt△ADB与Rt△ACD中，tan∠ABD＝＝tan8°≈，tan∠ACD＝＝tan10°≈，∴BD≈7AD，CD≈AD，∵BD﹣CD＝BC，∴7AD﹣AD＝1.4，解得：AD＝1，即该大灯距地面的高度1米，故选：A．10．解：∵EF＝a米，∠A＝90°，∠AEF＝30°，∴AF＝EF＝米，∠AFE＝60°，∵∠EFG＝90°，∴∠MFG＝30°，∴PQ＝NP＝MN＝FM＝（米），DQ＝QK•cos30°＝（米），∴AD＝AF+4FM+dq＝a+4×+＝a+b（米），故选：A．11．解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），同理可得，BF＝27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），故选：C．12．解：过点A作AD⊥CB延长线于点D，∵∠ABD＝45°，∴AD＝BD，∵AB＝4，∴AD＝BD＝AB sin45°＝4×＝4，∵坡度i＝1：，∴，则DC＝4，故AC＝＝8（m）．故选：A．13．解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，∴DF∥AC，∵AF∥EB，∴四边形ACDF是平行四边形，∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），∴DF＝AC＝1.12（m），在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∴tan∠E＝，∴DE≈＝2.8（m），故选：B．14．解：过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，可得QG⊥BA，∵QA＝3.9m，QG：AG＝1：2.4，∴设QG＝x，则AG＝2.4x，∴x2+（2.4x）2＝3.92，解得：x＝1.5，则AG＝2.4x＝3.6，∴EF＝NG＝3.6+4.4＝8（m），故tan53°＝＝≈1.3，解得：PF＝10.4（m），∵FQ＝EN﹣QG＝3﹣1.5＝1.5（m），∴信号塔PQ的高约为：PQ＝10.4+1.5＝11.9（m）．故选：B．15．解：如图，延长AB交DC的延长线于点E，，由BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得BE：CE＝1：2．设BE＝x米，CE＝2x米．在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE2+CE2＝BC2，即x2+（2x）2＝（12）2，解得x＝12（米），∴BE＝12（米），CE＝24（米），DE＝DC+CE＝6+24＝30（米），由tan30°＝，得，解得AE＝10（米）．由线段的和差，得AB＝AE﹣BE＝（10﹣12）（米），故选：B．16．解：如图作CD⊥AB于D．∵＝，设CD＝xm，则BD＝2xm，AD＝（6+2x）m，∵＝，∴＝，∴x＝6，∴天桥高度CD为6m．故选：A．二．填空题17．解：过A作AP⊥EB延长线交于点P，∵AF∥BE，∴∠ABP＝∠BAF，∴sin∠ABP＝0.8，cos∠ABP＝0.6，∴BP＝0.6AB，由BE旋转一定角度后得到B'E'可知，旋转角度为90°，过B'作BH⊥AP，交AP于点H，∵∠P AB+∠ABP＝90°，∠D'AP+∠P AB＝90°，∴∠D'AP＝∠ABP，B'H＝AB'sin∠D'AP＝AB sin∠P'AP＝0.8AB，∴28＝B'H+PB＝0.8AB+0.6AB＝1.4AB，∴AB＝20cm；设CD＝xcm，则AC＝BD＝cm，AD'＝AD＝x+cm，CD'＝2CD＝2x，∵∠D'AC＝90°，∴AC2+AD'2＝CD'2，∴，解得x＝20，或x＝﹣20（舍），∴CD'＝2x＝40cm，故答案为：20，40．18．解：如图2，过C作CD⊥MN于D，则∠CDB＝90°，∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm），∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm），∵∠ACB＝15°，∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝60°﹣15°＝45°，∴BC＝CD＝×20＝20≈20×2.449≈49（cm），故答案为49．19．解：作AC⊥OB于点C，如右图2所示，则∠ACO＝∠ACB＝90°，∵∠AOC＝45°，∴∠AOC＝∠CAO＝45°，∴AC＝OC，设AC＝xcm，则OC＝xcm，BC＝（16+16﹣x）cm，∵∠ABC＝30°，∴＝，解得，x＝16，∴AB＝2AC＝32（cm），即AB的长为32cm．故答案是：32．20．解：过点A作AC⊥OB，垂足为点C，在Rt△ACO中，∵∠AOC＝40°，AO＝1.2米，∴AC＝sin∠AOC•AO≈0.64×1.2＝0.768，∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，∴车门不会碰到墙（点A到OB的距离小于OB与墙MN之间的距离），故答案为：否，点A到OB的距离小于OB与墙MN之间的距离；三．解答题21．解：（1）如图①，作DH⊥BE于H，在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BD＝5，∠ABC＝37°，∴，＝cos37°，∴DH＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm），BH＝5cos37°≈5×0.8＝4（cm）．∵AB＝BC＝15cm，AE＝2cm，∴EH＝AB﹣AE﹣BH＝15﹣2﹣4＝9（cm），∴DE＝＝＝3（cm）．答：连接杆DE的长度为cm．（2）如图②，作DH⊥AB的延长线于点H，∵∠ABC＝127°，∴∠DBH＝53°，∠BDH＝37°，在Rt△DBH中，＝＝sin37°≈0.6，∴BH＝3cm，∴DH＝4cm，在Rt△DEH中，EH2+DH2＝DE2，∴（EB+3）2+16＝90，∴EB＝（）（cm），∴点E滑动的距离为：15﹣（﹣3）﹣2＝（16﹣）（cm）．答：这个过程中点E滑动的距离为（16﹣）cm．22．解：如图，连接BC、AE，交于点O，则AE⊥BC．由题意，可知OE＝2.4﹣0.6＝1.8（m），∠OBE＝42°，∠BAO＝∠BAC＝62°．在Rt△OBD中，∵tan∠OBE＝，∴OB＝≈＝2（m）．在Rt△OAB中，∵sin∠OAB＝，∴AB＝≈≈2.3（m）．答：圆锥形顶盖母线AB的长度约为2.3米．23．解：设OE＝OB＝2xcm，∴OD＝DE+OE＝（190+2x）cm，∵∠ADE＝30°，∴OC＝OD＝（95+x）cm，∴BC＝OC﹣OB＝95+x﹣2x＝（95﹣x）cm，∵tan∠BAD＝，∴2.14＝，解得：x≈9.4cm，∴OB＝2x≈19cm．24．解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG＝30°，在Rt△ACG中，CG＝AC sin30°＝50×＝25，∵GD＝50﹣30＝20，∴CD＝CG+GD＝25+20＝45，连接FD并延长，与BA的延长线交于H，则∠H＝30°，在Rt△CDH中，CH＝＝2CD＝90，∴EH＝EC+CH＝AB﹣BE﹣AC+CH＝300﹣50﹣50+90＝290，在Rt△EFH中，EF＝EH•tan30°＝290×＝，答：CD和EF的长度分别是45cm和cm．25．解：（1）如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N，Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，∴ON＝OM＝0.6，∴NB＝ON+OB＝3.3+0.6＝3.9；即点M到地面的距离是3.9米；（2）取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9﹣2.55﹣0.65＝0.7，过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P，∵∠GOP＝30°，∴tan30°＝＝，∴GP＝OP＝≈0.404，∴GH＝3.3+0.404＝3.704≈3.70＞3.5，∴货车能安全通过．。
2024-2025年北师大版数学必修第二册4.3.1-2二倍角的三角函数公式(带答案)
§3 二倍角的三角函数公式3．1 二倍角公式 3．2 半角公式必备知识基础练知识点一 利用二倍角公式化简、求值 1.sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝( ) A ．－12 B ．12C ．32 D ．－322．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝13 ，则sin 2α＝( )A ．－79B ．79C ．±223D ．±793．下列各式：①2sin 67.5°cos 67.5°；②2cos2π12－1； ③1－2sin 215°；④2tan22.5°1－tan 222.5° . 其中值等于32的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3知识点二 利用半角公式化简、求值 4．设α∈(π，2π)，则1－cos （π＋α）2＝( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α25．若sin α＝13 ，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 ＝( )A ．23B ．12C ．13D ．0 6．(1)已知sin α＝－817 ，且π<α<3π2 ，求sin α2 ，cos α2 和tan α2 .(2)若32π<α<2π，化简12＋1212＋12cos 2α .知识点三 二倍角公式、半角公式的综合应用7．设a ＝(1－3 tan 20°)sin 80°，b ＝sin 40°sin 110°－sin 20°sin 130°，c ＝2tan 15°1－tan 215°，则( ) A ．a >b >c B ．c >b >a C ．c >a >b D ．a >c >b8．化简：（1＋sin α＋cos α）⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2 cos α (π<α<2π)．关键能力综合练一、选择题1．已知cos x ＝－14，x 为第二象限角，那么sin 2x ＝( )A ．－154B ．±158C ．－158 D ．1582．若cos 2α＝－725 ，0<α<π2 ，则cos α＝( )A ．45B ．－45 C ．35 D ．－353．sin 10°sin 30°·sin 50°sin 70°＝( ) A ．116 B ．－116 C ．316 D ．－3164．(易错题)若3π<x <4π，则1＋cos x2＋ 1－cos x2＝( ) A ．2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 B ．－2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 C ．2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 D ．－2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 2 5．已知sin (α－π5 )＝34 ，则sin (2α＋π10 )＝( )A ．－716B ．716C ．－18D ．18二、填空题6．已知α是第二象限角，tan (π－2α)＝43 ，则tan α＝________．7．设a ＝12 cos 6°－32 sin 6°，b ＝2tan 13°1－tan 213°，c ＝1－cos50°2，将a ，b ，c 用“<”连接起来为________．8．(探究题)已知A ，B ，C 是锐角三角形ABC 的三个内角，且B ＝2A ，则sin Bsin A 的取值范围为________．三、解答题9．已知向量a ＝(2sin x ，cos x )，b ＝(3 cos x ，2cos x )，定义函数f (x )＝a ·b －1.(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间．学科素养升级练1.(多选题)关于函数f (x )＝12 sin ωx －cos 2ωx 2 ＋12 (ω>0)，若函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则下列说法正确的有( )A ．函数f (x )的最小正周期有可能为4πB ．函数f (x )在区间(π，2π)内一定不存在对称轴C ．函数f (x )在区间(－π4 ，0)上单调递增D ．ω的最大值是122．(情境命题——生活情境)如图所示，已知扇形POQ 的半径为3 ，圆心角为π3 ，C是弧PQ 上的动点(不与P ，Q 重合)，四边形ABCD 是扇形的内接矩形，设∠COP ＝x ，矩形ABCD 的面积为f (x ).(1)求函数f (x )的解析式，并写出其定义域；(2)求函数y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 的最大值及相应的x 值．§3 二倍角的三角函数公式 3．1 二倍角公式 3．2 半角公式必备知识基础练1．答案：B解析：由题意，根据诱导公式得sin110°sin 20°＝cos 20°sin 20°，根据二倍角公式得cos 2155°－sin 2155°＝cos310°＝sin 40°， 则原式可转化为cos 20°sin 20°sin 40° ＝2cos 20°sin 20°2sin 40° ＝12 .故选B.2．答案：B解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝13 ， ∴sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×19－1 ＝79 .故选B.3．答案：C解析：2sin67.5°cos 67.5°＝sin 135°＝22； 2cos2π12 －1＝cos π6 ＝32； 1－2sin 215°＝cos30°＝32； 2tan 22.5°1－tan 222.5° ＝tan45°＝1.故选C. 4．答案：D解析：∵α∈(π，2π)，∴α2 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π ， ∴ 1－cos （π＋α）2 ＝1＋cos α2＝cos2α2＝－cos α2.故选D.5．答案：C解析：∵cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π4 ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π22 ＝－12 sin α＋12 ，sin α＝13 ，∴cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α2＋π4 ＝－12 ×13 ＋12 ＝13 .故选C.6．解析：(1)∵sin α＝－817 ，π<α<3π2 ，∴cos α＝－1517 .又∵π<α<3π2 ，∴π2 <α2 <3π4，∴sin α2＝ 1－cos α2 ＝ 1＋15172 ＝41717 ， cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1－15172 ＝－1717， tan α2＝sin α2cosα2＝－4.(2)∵32 π<α<2π，∴34 π<α2 <π，∴cos α>0，cos α2 <0，∴12＋12 12＋12cos 2α ＝12＋12 12（1＋cos 2α） ＝12＋1212×2cos 2α ＝12＋12cos α ＝ 12（1＋cos α） ＝cos2α2＝－cos α2.7．答案：C解析：a ＝(1－3 tan 20°)sin 80°＝（cos 20°－3sin 20°）sin （90°－10°）cos 20°＝－（3sin 20°－cos 20°）cos 10°cos 20°＝－2sin （20°－30°）cos 10°cos 20° ＝2sin 10°cos 10°cos 20°＝sin 20°cos 20°＝tan 20°，b ＝sin 40°sin 110°－sin 20°sin 130°＝sin 40°sin (90°＋20°)－sin 20°sin (90°＋40°)＝sin 40°cos 20°－sin 20°cos 40°＝sin (40°－20°)＝sin 20°，c ＝2tan 15°1－tan 215°＝tan30°， 因为0<cos 20°<1，则tan 30°>tan 20°＝sin 20°cos 20° >sin 20°，即c >a >b .故选C.8．解析：原式＝2cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2⎝⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝cos α2（－cos α）⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ，∵π<α<2π，∴π2 <α2 <π.∴cos α2<0.∴原式＝cos α2（－cos α）⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝－cos α2cos α－cos α2 ＝cos α.关键能力综合练1．答案：C解析：因为cos x ＝－14 ，x 为第二象限角，所以sin x ＝154 ，所以sin 2x ＝2sin xcos x ＝2×154 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14 ＝－158 .故选C. 2．答案：C解析：因为cos 2α＝2cos 2α－1＝－725 ，所以cos 2α＝925 ，又0<α<π2 ，则cos α＝35.故选C. 3．答案：A解析：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝12 cos 20°cos 40°cos 80°＝2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°4sin 20° ＝2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°＝2sin 80°cos 80°16sin 20° ＝sin 160°16sin 20° ＝116.4．答案：C解析：因为3π<x <4π，所以3π2 <x 2 <2π，sin x 2 <0，cos x2>0.于是 1＋cos x2＋1－cos x 2 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos x 2 ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2 ＝cos x 2 －sin x 2 ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x 2－22sin x 2 ＝2 sin (π4 －x2).故选C.5．答案：C解析：令t ＝α－π5 ，所以sin t ＝34 ，α＝t ＋π5 ，所以sin (2α＋π10 )＝sin (2t＋π2 )＝cos 2t ＝1－2sin 2t ＝－18.故选C. 6．答案：－12解析：由tan(π－2α)＝43 ，得tan 2α＝－43 .又tan 2α＝2tan α1－tan 2α ＝－43 ，解得tan α＝－12 或2.又α是第二象限角，所以tan α＝－12.7．答案：a <c <b解析：a ＝12 cos 6°－32sin 6°＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b ＝tan 26°，c ＝1－cos 50°2＝sin 225° ＝sin25°. ∵tan 26°＝sin 26°cos 26° ，0<cos 26°<1，∴tan 26°>sin 26°.又y ＝sin x 在(0，π2 )上为增函数，∴a <c <b .8．答案：(2 ，3 )解析：由于△ABC 为锐角三角形，故A ，B ，C 都为锐角，从而得⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π2，0<B ＝2A <π2，0<C ＝π－3A <π2，解得π6 <A <π4 ，从而sin B sin A ＝sin 2Asin A＝2cos A ∈(2 ，3 ). 9．解析：f (x )＝23 sin x cos x ＋2cos 2x －1＝3 sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 . (1)最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令π2 ＋2k π≤2x ＋π6 ≤3π2 ＋2k π，k ∈Z ，解得π6 ＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π (k ∈Z ).学科素养升级练1．答案：AC解析：由题知：f (x )＝12 sin ωx －1＋cos ωx 2 ＋12 ＝22 sin (ωx －π4)，因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （π）f （2π）≥0，T 2＝πω≥2π－π ⇒⎩⎪⎨⎪⎧sin （πω－π4）sin （2πω－π4）≥0，0<ω≤1.对于A ，B ，当ω＝12 时，f (x )＝22 sin (12 x －π4 )，满足题意，最小正周期为4π，x ＝3π2是其一条对称轴，故A 正确，B 错误；对于C ，由于0<ω≤1，所以当x ∈(－π4 ，0)时，－π2 <－ωπ4 －π4 <ωx －π4 <－π4 ，函数单调递增，故C 正确；对于D ，当⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝⎛⎭⎪⎫πω－π4≥0，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πω－π4≥0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋14≤ω≤2k ＋54，k ＋18≤ω≤k ＋58，k ∈Z ⇒14 ≤ω≤58 ，当⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πω－π4≤0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πω－π4≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧2k －34≤ω≤2k ＋14，k －38≤ω≤k ＋18，k ∈Z ⇒0<ω≤18 ，综上：0<ω≤18 或14 ≤ω≤58，故D 错误．故选AC.2．解析：(1)∵在Rt△COB 中，CB ＝3 sin x ，OB ＝3 cos x ， ∴OA ＝DA tan π6 ＝CB tan π6＝sin x ，AB ＝OB －OA ＝3 cos x －sin x ，∴f (x )＝AB ·CB ＝(3 cos x －sin x )·3 sin x ＝3sin x ·cos x －3 sin 2x ＝32sin2x －32 (1－cos 2x )＝3 sin (2x ＋π6 )－32 ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 .(2)y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 －32 ＋3 sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6 －32 ＝3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 －3 ＝6 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π12 －3 . 由0<x <π3 ，0<x ＋π4 <π3 ，得0<x <π12 ，∴5π12 <2x ＋5π12 <7π12， ∴当2x ＋5π12 ＝π2 ，即x ＝π24 时，y max ＝6 －3 .。
2023-2024学年北京市东城区高中数学北师大 必修二第一章-三角函数强化训练-9-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年北京市东城区高中数学北师大 必修二第一章-三角函数强化训练(9)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 将函数的图象向左平移 个单位长度后，得到函数的图象，则（）A. B. C. D.2或33或44或55或62. 已知函数在 上恰有4个零点，则正整数 的值为（ ）A. B.C. D. 23453. 已知函数 ，则实数的值可能是（）A. B. C. D. 向右平移个单位向右平移个单位向左平移个单位向左平移个单位4. 要得到函数y=sinx 的图象，只需将函数的图象（ ）A. B. C. D. 5. 函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.126. 函数 ， 的最大值为（ ）A. B. C. D.87. 已知函数，的图象在区间上有且只有9个交点，记为，则（）A. B. C. D.8. 已知，，，则（）A. B. C. D.9. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数的图象关于点对称，则函数在上的最小值是（）A. B. C. D.y=sin( + ）y=sin(2x- ）y=cos(2x+ ）y=sin(2x+ ）10. 同时有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线x= 对称；③在上是增函数的一个函数是（）A. B. C. D.123411. 已知函数的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在轴上的截距为，给出下列四个结论：①的最小正周期为π；②的最大值为2；③；④为奇函数．其中正确结论的个数是（）A. B. C. D.-7-6-5-412. 已知是定义在上的偶函数，且，当时， ,则函数在区间的所有零点之和为（）A. B. C. D.阅卷人得分二、填空题（共4题，共20分）13. 已知函数满足，则f(x)的增区间为．14. 已知函数的部分图象如图所示，则 .15. 若，则．16. 用表示函数在闭区间I上的最大值.若正实数a满足则 a的取值范围是阅卷人三、解答得分17. 将①，②，③的面积为之一填入空格中（只填番号），并完成该题.已知锐角三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，____.(1) 求角A；(2) 若，，当时，求函数的值域.18. 已知函数在上的最大值为，当把的图象上的所有点向右平移个单位后，得到图象对应函数的图象关于直线对称.(1) 求函数的解析式；(2) 在中，三个内角的对边分别为，已知在轴右侧的第一个零点为，若，求的面积的最大值.19. 在直角坐标系中，曲线的方程为．(1) 写出曲线的一个参数方程；(2) 若，，点为曲线上的动点，求的取值范围．20. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，若点在边上，且.(1) 求的值；(2) 求的最大值.21. 已知函数的部分图象如图所示.(1) 求解析式；(2) 若关于的函数在区间有唯一零点，求的取值范围？答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
2023-2024学年湖南省常德市高中数学北师大 必修二第一章-三角函数章节测试-13-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年湖南省常德市高中数学北师大必修二第一章-三角函数章节测试(13)姓名：____________班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）4，2，4， ，4，2，4， ，1. 用五点法作函数 的图象时，得到如下表格：004-4则 ， ， 的值分别为（ ）A. B. C. D. -8-2282. 定义在R 上的奇函数 ， 满足 ， 且当时，， 则（ ）A. B. C. D. 233. 已知函数 ， ， ， 且在上单调递增，则（ ）A. B. C. D. 4. 点 是角 的终边上一点，则 （ ）A. B. C. D.向左平移 个单位长度向右平移 个单位长度向左平移 个单位长度向右平移 个单位长度5. 要想得到函数 的图象，可将函数 的图象（ ）A. B. C. D.56786. 已知函数 ， 时，有唯一解，则满足条件的 的个数是（ ）A. B. C. D. 7. 将函数y= cosx+sinx （x ∈R ）的图象向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A.B. C. D.8. 已知函数的图象与 轴的两个相邻交点的距离为 ，把 图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半，再沿 轴向左平移 个单位长度，然后纵坐标扩大到原来的2倍得到函数的图象，若在上单调递增，则 的最大值为（ ）A.B.C. D.（，0）（ π，0）（﹣，0）（﹣，0）9. 将函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π的图象向左平移 个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象解析式为y=sinx ，则y=sin （ωx+φ）图象上离y 轴距离最近的对称中心为（ ）A. B. C. D. 向右平移个单位长度向左平移个单位长度向左平移 个单位长度向右平移 个单位长度10. 已知函数 的图象过点 ， 则要得到函数 的图象，只需将函数的图象（ ）A. B. C. D. 11. 已知函数 ，则函数 的最小正周期为（ ）A. B. C. D.12. 若将函数 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是（ ）A. B. C. D.13. 设函数 的定义域为 ，如果 ， ，使 （ 为常数）成立，则称函数 在 上的均值为 ．给出下列四个函数：① ；②；③；④．则其中满足在其定义域上均值为2的函数是 ．14. 设定义在区间(0，)上的函数y=sin2x的图象与y=cosx图象的交点横坐标为α，则tanα的值为15. 定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是 .16. 函数的周期为 .17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，满足 .(1) 求证：；(2) 若的面积为，求角的大小.18. 重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄为吸引游客，准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，，设.(1) 将、用含有的关系式表示出来；(2) 该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计、的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？19. 已知函数Ⅰ求的最小正周期和单调递增区间；Ⅱ把函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，求的解析式．20. 函数的部分图象如图所示.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 当x∈[-2，2]时，求f(x)的值域.21. 已知θ为锐角，在以下三个条件中任选一个：①；②；③；并解答以下问题：(1) 若选 ▲ (填序号)，求θ的值；(2) 在（1）的条件下，求函数y= tan(2x+θ)的定义域､周期和单调区间｡答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.20.(1)(2)21.(1)(2)。
2023-2024学年内蒙古乌兰察布高中数学北师大 必修二第一章-三角函数强化训练-3-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年内蒙古乌兰察布高中数学北师大 必修二第一章-三角函数强化训练(3)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）是周期函数，其一个周期为2是周期函数，其一个周期为4是周期函数，其一个周期为8不是周期函数1. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且函数的图象关于直线 对称.则函数（ ）A. B. C. D. －232. 已知数列 满足 ，则 （ ）A. B. C. D.3. 已知函数当时， ， 若函数在定义域内至少有10个零点，则正实数m 的取值范围是（ ）A. B. C. D. ππ4. 定义： =a 1a 4﹣a 2a 3 ， 若函数f （x ）= ，将其图象向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A. B. C. D. 05. 已知数列的前n 项和为 ， 若 ， 则（ ）A. B. C. D.- - 6. 已知sin （ +α）= ，cosα=（ ）A. B. C. D.(－2,3](－2,3)[－2,3)[－2,3]7. 已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 向左平移个单位长度得到向左平移个单位长度得到向右平移个单位长度得到向右平移个单位长度得到8. 函数的部分图象如图所示，则函数的图象可以由的图象（ ）A. B. C. D. 向右平移 个单位向左平移 个单位向右平移 个单位向左平移 个单位9. 要得到函数y=sin （3x ﹣ ）的图象，只需将函数y=cos3x 的图象（ ）A. B. C. D. 236910. 若函数f （x ）=3cos （ωx ﹣）（1＜ω＜14）的图像关于x= 对称，则ω等于（ ）A. B. C. D. 11. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ）A. B. C. D.α+β=π+kπ（k ∈Z ）α+β=π+2kπ（k ∈Z ）α+β=+kπ（k ∈Z ）α+β=+2kπ（k ∈Z ）12. 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则（ ）A. B. C. D. 13. 用一张A4纸围绕半径为rcm 的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两段，如图①所示．设圆柱体母线与截面的夹角为 （0°＜ ＜90°），如图②．将其中一段圆柱体外包裹的A4纸展开铺平，如果忽略纸的厚度造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线，如图③．建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可设为，若f(x)的最小正周期为 ，则r ＝ cm ，此时，当 ＝ 时，可使f(x)的值域为 ．14. 已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且直线与垂直，则直线的斜率为 .15. 已知，且是第二、三象限角，则的取值范围是．16. 将函数f(x)=cosx向右平移个单位，得到函数y=g(x)的图象，则函数y=g(x)是。
2023-2024学年重庆市北碚区高中数学北师大 必修二第一章-三角函数章节测试-15-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年重庆市北碚区高中数学北师大 必修二第一章-三角函数章节测试(15)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 已知角α的终边过点P(4，－3)，则sinα＋cosα的值是（ ）A. B. C. D.2. 已知偶函数在 时，满足 ，若 ，则下列不等关系正确的是（ ）A.B. C. D.f（0）＜f （2）＜f （4）f （2）＜f （0）＜f （4）f （0）＜f（4）＜f （2）f （4）＜f（2）＜f （0）3. 已知函数y=f （x）的图象是由y=sin2x 向右平移得到，则下列结论正确的是（）A. B. C.D. 4. 已知函数在区间内取得一个最大值和一个最小值 ，且 ， 则（ ）A. B. C. D. 函数 在 上是增函数函数 的图象关于直线 对称函数 是奇函数函数 的图象关于点 中心对称5. 已知函数的最小正周期为 ，将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D.6. 已知角的终边过点，则等于（）A. B. C. D.7. 已知函数的部分图象如图所示，那么函数的解析式可以是（）A. B.C. D.8. 已知函数的定义域为，且对于任意的都有，若在区间上函数恰有四个不同零点，则实数的取值范围为( )A. B. C. D.43219. 设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数（ ）（1）f（x）的图象过点（0，）（2）f（x）的一个对称中心是（,0）（3）f（x）在[,]上是减函数（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象．A. B. C. D.10. 的三边为，若为锐角三角形，则（）A. B. C. D.11. 函数的部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.12. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）A. B. C. D.13. 已知函数f（x）= sin2x+2sin（ +x）cos（ +x），则f（x）在x∈[0， ]上的最大值与最小值之差为．14. 对函数，有下列说法：①f（x）的周期为4π，值域为[﹣3，1]；②f（x）的图象关于直线x=对称；③f（x）的图象关于点(-,0)对称；④f（x）在上单调递增；⑤将f（x）的图象向左平移个单位，即得到函数y=2cos x-1的图象．其中正确的是（填上所有正确说法的序号）15. .16. 已知函数的部分图象如图所示，若在锐角中，，则．阅卷人三、解答得分17. 已知f（x）=﹣2asin（2x+ ）+2a+b，(1) 若a=1，b=﹣1，求f（x）的最大值和最小值；(2) 当x∈[ ， ]时，是否存在常数a，b∈Q，使得f（x）的值域为[﹣3，﹣1]？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．18. 已知函数 f（x）=sin2x+ sinxcosx+ ，x∈R，(1) 求函数f（x）的最小正周期T及在[﹣π，π]上的单调递减区间；(2) 若关于x的方程f（x）+k=0，在区间[0， ]上且只有一个实数解，求实数k的取值范围．19. 已知．(1) 化简；(2) 若是第三象限角，且，求的值.20. 如图，设、是半径为1的圆上的动点，且、分别在第一、二象限，是圆与轴正半轴的交点，△为等边三角形，记以轴正半轴为始边、射线为终边的角为 .(1) 若点的坐标为，求值；(2) 设，求函数的解析式和值域.21. 已知函数f（x）=4sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜π）的图象各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g（x）=4si nx的图象．(1) 求函数f（x）的递增区间；(2) 求函数f（x）在[﹣， ]上的值域；(3) 求证：对任意λ＞0，都存在μ＞0，使f（x）+x﹣4＜0对x∈（﹣∞，λμ）恒成立．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)(3)。
2023-2024学年重庆市北碚区高中数学北师大 必修二第一章-三角函数强化训练-18-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年重庆市北碚区高中数学北师大 必修二第一章-三角函数强化训练(18)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）第一象限第二象限第三象限第四象限1. 若，且 ，则角的终边位于（ ）A. B. C. D. --2. sin （﹣1020°）=（ ） A. B. C. D. 轴原点直线 点3. 将函数的图象向左平移 个长度单位后，所得到的图象关于（）对称．A.B. C.D. 23454. 已知函数是定义在R 上的偶函数，且 ， 当时， ， 则在区间上零点的个数为（ ）A. B. C. D. 函数在区间上单调递减5. 函数（ ， ）的部分图象如图所示，的图象与轴交于点，与轴交于点，点在的图象上，点､关于点对称，则下列说法中正确的是（ ）A.函数的最小正周期是函数的图象关于直线对称函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数B. C. D. 扇形的面积不变扇形的圆心角不变扇形的面积增大到原来的2倍扇形的圆心角增大到原来的2倍6. 一扇形所在的圆的半径增加为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则下列结论正确的是 （ ）A. B. C. D. ，，，，7. 已知函数，，的图象如图所示，则（）A. B. C. D. 或8. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边上有一点，则的值为（ ）A. B. C. D. 9. 下列函数中，周期为的奇函数是（ ）A. B. C. D.1-110. 已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（ ）A. B. C. D.①和②均为真命题①和②均为假命题①为真命题，②为假命题①为假命题，②为真命题11. 设f （x ）、g （x ）、h （x ）是定义域为R 的三个函数．对于命题：①若f （x ）+g （x ）、f （x ）+h （x ）、g （x ）+h （x ）均是以T 为周期的函数，则f （x ）、g （x ）、h （x ） 均是以T 为周期的函数；②若f （x ）+g （x ）、f （x ）+h （x ）、g （x ）+h （x ）均是增函数，则f （x ）、g （x ）、h （x ）均是增函数，下列判断正确的是（ ）A. B. C. D.12. 设函数，则的取值范围是（）A. B.C. D.13. 若x∈[0，π），则sinx＜的x取值范围为14. 已知向量则 = 、，设函数，取得最大值时的x的值是 .15. y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π）的图象的一段如图所示，它的解析式是．16. 已知则的大小关系是．17. 已知函数 .(1) 求的最小正周期和值域；(2) 若对任意，的恒成立，求实数的取值范围.18. 已知向量，，函数在内单调递增．(1) 求实数m的取值范围；(2) 如图，某小区要建一个四边形ABCD花圃，其中AB＝4，AD＝2，∠A是实数m的最大值，，求四边形ABCD花圃周长的最大值．19. 已知函数（，，）的图象如下图所示(1) 求出函数的解析式；(2) 若将函数的图象向右移动个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，求出函数的单调增区间及对称中心.20. 已知函数(1) 求f（x）的最小正周期和最值(2) 设α是第一象限角，且，求的值．21. 已知函数，且 .(1) 求的最小正周期；(2) 将函数图象上所有的点先向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间上的值域.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
2023-2024学年内蒙古高中数学北师大 必修二第一章-三角函数专项提升-7-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年内蒙古高中数学北师大 必修二第一章-三角函数专项提升(7)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件1. 设 ， 则“”是“函数为偶函数”的( )A. B. C.D. 2.已知函数在上单调递减，且 ， ， 则（ ）A. B. C.D.3. 动点在圆 上绕坐标原点作逆时针匀速圆周运动，旋转一周的时间恰好是12秒，已知时间 时，点 的坐标是 ，则动点的纵坐标关于 （单位：秒）的函数在下列哪个区间上单调递增（ ）A. B. C. D.4. 函数 的图象向右平移 个单位后关于原点对称，则函数 在 上的最大值为（ ）A. B. C. D.12345. 定义在实数集上的奇函数满足 ， 且当时， ， 则下列四个命题：①； ②函数的最小正周期为2；③当时，方程有2018个根；④方程有5个根．其中真命题的个数为（ ）A. B. C. D.(0，]∪（5，+∞）(0，)∪[5，+∞)( ， ]∪(5，7)( ， )∪(5，7)6. 已知定义在R 上的函数y=f （x ）对任意的x 都满足f （x+1）=﹣f （x ），当﹣1≤x ＜1时，f （x ）=x 3 ， 若函数g （x ）=f （x ）﹣l og a |x|至少6个零点，则a 取值范围是（ ）A. B. C. D. 121+7. 若动直线x=a 与函数f （x ）= sin （x+ ）和g （x ）=sin （ ﹣x ）的图象分别交于M ，N 两点，则|MN|的最大值为（ ）A. B. C. D. 第一象限第二象限第三象限第四象限8. 若角满足， ， 则角所在的象限是（ ）A. B. C. D. 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动 个单位长度横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动 个单位长度横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，再向右平行移动 个单位长度横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)，再向左平行移动 个单位长度9. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象上所有的点（ ）A. B. C. D. y=sin （x+π）y=cosx y=﹣tanx10. 在下列函数中，同时满足①在 上递增，②以2π为周期，③是奇函数的函数是（ ）A. B. C. D. 11. 若 ， ， ， 则（ ）A. B. C. D.12. 已知 的图象如图所示，则函数 的对称中心可以为（ ）A. B. C. D.13. 直线，则直线的倾斜角的取值范围为14. 已知函数f(x)=cos（ )（ >0，| |< ）图象中两相邻的最高点和最低点分别为（，1），（，1)，则函数f(x)的单调递增区间为，将函数f(x）的图象至少平移个单位长度后关于直线x=- 对称．15. 已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是．16. 已知函数f（x）=Asin（ωx）+b（A＞0，ω＞0）的最大值为2，最小值为0，其图象相邻两对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+…+f（2008）= ．17. 已知函数(1) 求函数f（x）的最小正周期和函数的单调递增区间；(2) 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求AB．18. 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，求的取值范围.19. 函数，的图象如下.(1) 求它的解析式；(2) 若对任意实数，则有，求实数的取值范围.20. 已知函数满足下列三个条件中的两个：①函数的图象与轴的任意两个相邻交点之间的距离为﹔②直线是函数图象的一条对称轴；③且在区间上单调．(1) 请指出这两个条件，说明理由，并求函数的解析式；(2) 若，求函数的值域．21. 如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，2）．赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．(1) 求ω的值和∠DOE的大小；(2) 若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
2023-2024学年辽宁省大连市高中数学北师大 必修二第一章-三角函数专项提升-4-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年辽宁省大连市高中数学北师大必修二第一章-三角函数专项提升(4)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）41. 若角 的终边上有一点 ，则 的值是（ ） A. B. C.D.c ＜b ＜ac ＜a ＜b a ＜c ＜b a ＜b ＜c2. 记a=sin1，b=sin2，c=sin3，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）A. B. C. D.4. sin 600°＋tan 240°的值为（ ）A. B. C. D.5. 函数 ， 的单调递减区间是（ ）A. B. C. D.x= x= x= x=﹣6. 将函数y=sin （2x ﹣ ）图象向左平移 个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A. B. C. D. 7. （ ）A. B. C. D.1-18. 设角 的终边经过点 ，那么 等于（ ）A. B. C. D. 01239. 已知函数 在 时取最大值，在 是取最小值，则以下各式：① ；② ；③可能成立的个数是（ ）A. B. C. D. 10. 已知 ， 函数在上单调递减.则的取值范围（ ）A. B. C. D.14π14 7π711. 已知扇形OAB 的圆心角为π，周长为5π+14，则扇形OAB 的半径为（ ）A. B. C. D. -1-12. 已知角α的终边与单位圆x 2+y 2=1交于P （ ， y 0），则cos2α=（ ）A. B. C. D. 13. 已知点P （3，y ）在角a 终边上，且满足y ＜0，cosα=0.6，则tanα= ．14. 不等式tanx≥﹣ 的解集为 ．15. 已知定义在R 上的奇函数f （x ），满足f （x ﹣4）=﹣f （x ），且在区间[0，2]上是增函数，则f （﹣25），f （80），f （11）的大小顺序是 ．16. 已知角α的终边经过点P （﹣1， ），则sinα+cosα= ．阅卷人三、解答题（共6题，共70分）得分17. 已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的最小正周期为，最小值为﹣2，图象过（，0），求该函数的解析式．18. 函数f（x）=6cos2+sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．（1）求ω的值及函数f（x）的值域；（2）若f（x0）=，且x0∈（﹣，），求f（x0+1）的值．19. 函数的部分图象如图所示.(1) 求函数的解析式；(2) 已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值.20. 已知f（x）=sin（2x+ ）+ ，x∈R(1) 求函数f（x）的最小正周期；(2) 求函数f（x）的单调减区间；(3) 函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样变换得到？21. 已知函数在下列条件①、条件②、条件③这三个条件中，选择可以确定和m值的两个条件作为已知．条件①：的最小正周期为；条件②：的最大值与最小值之和为0；条件③：．(1) 求的值；(2) 若函数在区间上是增函数，求实数a的最大值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.(1)(2)20.(1)(2)(3)21.(1)(2)。
2023-2024学年内蒙古高中数学北师大 必修二第一章-三角函数专项提升-6-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年内蒙古高中数学北师大 必修二第一章-三角函数专项提升(6)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 已知函数 与的图象对称轴完全相同，则函数 的对称中心可能为A. B. C. D.12.函数的部分图象如图所示，若，且，则( )A. B. C. D.横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ）A. B. C. D.函数f （x ）的最小正周期为2πf （x ）的图象关于直线对称f （x ）的最大值为将f （x ）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象4. 已知函数f （x ）=sinx （cosx ﹣sinx ），则下列说法正确的为（ ）A. B. C. D. 5. 在中，，若，则函数的最小值为（ ）A. B. C. D.6. 函数的最大值为（ ）A. B. C. D. 017. 将函数的图像左移个单位后得到的图像，则的值为（ ）A. B. C. D.8. 已知函数f （x ）=2sin 2（+x ）﹣ cos2x ﹣1，x ∈R ，若函数k （x ）=f （x+a ）的图象关于点（﹣，0）对称，且α∈（0，π），则α=（ ）A. B. C. D.9. 若函数y=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM ⊥ON ，则A=（）A. B. C. D.23 +2 210. 已知函数y=2cosx 的定义域为[ ，]，值域为[a ，b]，则b ﹣a 的值是（ ）A. B. C. D.11. 已知 ，则 （ ）A. B. C. D.012312. 函数零点的个数为（ ）A. B. C. D. 13. 若 ，则cos2θ= ．14. 已知 的周期为 ，则当 时 的最小值为 ．15. 若角的终边在第四象限，且 ， 则 ．17. 已知， 是第三象限角，求：(1) 的值；(2) 的值.18. 已知定义在区间 上的函数 的图象关于直线对称，当 时，函数，其图象如图所示.(1) 求函数 在 的表达式；(2) 求方程 解的集合；(3) 求不等式的解集.19. 已知函数，x∈R．(1) 写出函数的单调减区间、对称轴方程和对称中心；(2) 当时，求y的取值范围；(3) 说明由y=sinx的图象经过怎样的变换可以得到函数的图象．20. 已知函数的最小正周期为 . (1) 求的值；(2) 求函数在区间上的取值范围.21. 已知函数的图象过点.(1) 求；(2) 求函数的单调增区间；(3) ，总成立．求实数的取值范围.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.17.(1)(2)18.(1)(2)(3)19.(1)(2)(3)20.(1)(2)21.(1)(2)(3)。
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2023年北师大版数学三角函数练习题及答案由于无法提供实际的题目和答案，我将为您编写一篇关于数学三角函数练习题的文章。
文章内容如下：
2023年北师大版数学三角函数练习题及答案
在学习数学的过程中，三角函数是一个非常重要的概念。
掌握三角函数的运用，不仅有助于数学理论的学习，还具有广泛的实际应用价值。
为了帮助广大学生巩固和提升对三角函数的掌握能力，我们特别为大家准备了一套2023年北师大版数学三角函数练习题及答案。
以下是部分练习题示例，供大家参考。
1. 求解方程sinx - cosx = 0在区间[0,π]内的所有解。
解析：首先，将sinx和cosx转化为tanx的形式，得到tanx - cotx = 0。
然后，令t = tanx，我们可以将方程转化为t - 1/t = 0。
进一步，整理得到t^2 - 1 = 0。
解这个二次方程，我们可以得到t = 1或t = -1。
由于t = tanx，我们知道tanx = 1和tanx = -1分别对应于x = π/4和x = 3π/4。
所以，在区间[0,π]内，方程sinx - cosx = 0的解为x = π/4和x = 3π/4。
2. 已知三角函数sinA = 3/5，且A所在的象限为第二象限，求cosA 和tanA的值。
解析：由题意可知，sinA = 3/5，且A所在的象限为第二象限。
根据三角函数的定义，我们可以先求出cosA的值。
由于sinA = 3/5，我们可以通过勾股定理计算出第三边的长度为4（假设直角三角形斜边的
长度为5）。
所以，cosA = 4/5。
进一步，我们可以通过cosA = 4/5计算出tanA的值为tanA = sinA / cosA = (3/5) / (4/5) = 3/4。
以上是部分练习题的解答，希望能帮助大家巩固对三角函数的理解和运用。
为了方便大家进行自我检测，我们还提供了全套练习题和答案下载，供大家参考学习。
请注意，这些题目仅供练习使用，不代表实际考试的题型和难度。
希望大家能够根据自身情况合理安排学习时间，不断提升数学能力。
这套2023年北师大版数学三角函数练习题及答案是由经验丰富的数学教师团队精心编写和筛选而成，题目覆盖了三角函数的各种应用场景。
通过练习这些题目，同学们可以更好地理解和掌握三角函数的性质和运算规律，提高数学解题的能力。
同时，每道题目都附有详细的解析和答案，供同学们参考和对照，便于自我检测和纠正错误。
总结：
数学三角函数是数学学习中的重要内容之一。
通过练习题的训练，可以帮助同学们巩固和提升对三角函数的理解和运用能力。
希望这套2023年北师大版数学三角函数练习题及答案能够在同学们的学习中起到积极的辅助作用。
同时，鼓励同学们在解答问题的过程中要灵活运用各种数学方法和思维方式，不断提高自己的数学思维能力。
祝愿大家在数学学习中取得优异的成绩！。