习题答案第三章

第三章 正弦交流电路
习题参考答案
1．已知t e 314sin 2220=V ，试问e 的最大值、有效值、角频率、频率和初相位各是多少？
解：e 的最大值 V E m 3112220==
有效值 E=220V
角频率 ω=314( rad/s)
频率和初相位 f = ω/2л = 50Hz 初相位为零
2．已知某正弦电流的有效值是10A ，频率为50Hz 。

初相为30°，（1）写出它的瞬时表达式，并画出其波形图；（2）求该正弦电流在t=0.0025s 时的相位和瞬时值。

解：（1）A t i )30314sin(210︒+= （2）当t=0.0025s 时
相位角 ︒=⨯⨯=452/3600025.0314πφ
瞬时值 A i 102
2
210sin 210=⨯
==φ 3．已知)30314sin(2101︒+=t i A ，)30314sin(10︒-=t i A ，画出这个电流的波形图，哪个电流超前？它们的相位差是多少？若用万用表测量这两个电流，试问读数各为多少？
解：i 超前60°。

用万用表测量时，i 1=10A,i =7.07A
4．已知)30314sin(210︒+=t u V ，t i 314sin 25=A ，求u 、i 的相量并画出相量图。

解: u 的相量为
︒∠=3010U
V i 的相量为
︒∠=05I
A 5．指出并改正下列各式的错误
1）︒∠=4520u V 2）)60sin(10︒+=t I
ω A 3）︒∠=120220E V 4）)30sin(5︒-=t I ω A
解：1）V U
︒∠=4520 2）A t i )60sin(10︒+=ω
3）V E
︒∠=120220 4）A t i )30sin(5︒-=ω 6．当频率提高时，R 、X L 、X C 如何变化？
解：R 与频率无关。

X L =ωL ，频率提高时，X L 成比例提高。

X C =1/ωC ，频率提高时，X C 成反比例下降。

7．为什么在直流电路中常把电感线圈当作短路，电容器当作开路？ 解：在直流电路中频率为零，
故感抗 X L =ωL=0，此时电感线圈当作短路处理； 而容抗 X C = 1/ωC=∞，此时电容器当作开路处理；
8．无功功率的“无功”应如何理解？“电感元件不消耗能量，所以任何时刻电源都不会对电感元件做功”，此话是否正确？为什么？
解：在一个周期内电感元件从电源取用的能量等于它释放给电源的能量，所以电感元件并不消耗能量，平均功率（有功功率）为零。

这说明电感元件不是耗能元件，而是“储能元件”。

“无功”即平均功率（有功功率）为零。

电感元件不消耗能量并不是说任何时刻电源都不会对电感元件做功，而是说在一个周期内电感元件从电源取用的能量等于它释放给电源的能量。

9．在图3-39中，交流电源的频率相同，且各交流电源电压的有效值与各直流电流的电压值相同，所有4个灯泡、电阻、电感都完全相同，试由大到小地排列出各灯光亮度的顺序。

解：(c)-(a)-(b)-(d)
图3-39 习题9的电路
10．定性画出图3-40中两电路的相量图，并填写出电压表的数值。

图3-40a)中若V 2表为4V ，V 表为5V ，则V 1表为 3 V ；图3-40b)中若V 1表为4V ， V 2表为40V ，则V 表为40.2 V 。

图3-40 习题10的电路
11．定性画出图3-41中3个电路的相量图，并填写出电流表的数值。

图3-41(a)中若A 1
表为3A ，A 表为5A ，则A 2表为 4 A ；图3-41(b)中若A 表为11A ，A 1表为6A ，则A 2表为 5 A ；图3-41(c)中若A 1表为10A ，A 2表为2A ，则A 表为 8 A 。

图3-41 习题11的电路
12．串联谐振的谐振条件是什么？串联电路的固有角频率和固有频率等于什么？
解：在R 、L 、C 串联电路中，当X = X L -X C =0时，电路R Z =，相当于纯电阻电路，其总电压u 和i 总电流同相。

电路出现的这种现象称为谐振。

串联电路出现的谐振又叫串联谐振。

串联谐振的条件是X L =X C 即 C
L ωω1
=
这样便可通过改变ω、L 、C 三个参数，使电路发生谐振或消除谐振。

固有角频率
LC
1
0=
ω 由于f πω2=，所以有固有频率
LC
f π210=
13．为什么把串联谐振叫做电压谐振，而把并联谐振叫做电流谐振？
解：当RLC 串联电路发生谐振时，电感L 与电容C 上的电压大小都是外加电压U 的Q 倍，当Q>>1时，会在电感和电容两端出现远远高于外加电压U 的高电压，称为过电压现象，所以串联谐振电路又叫做电压谐振电路。

当RLC 并联电路发生谐振时，电感L 与电容C 上的电流大小都是输入总电流的Q 倍，即支路电流是总电流的Q 倍。

当Q>>1时，会在电感和电容中出现远远高于总电流的过电流，称为过电流现象，所以并联谐振电路又叫做电流谐振电路。

14．什么是功率因数？电路的功率因数由什么来决定？提高功率因数有哪些意义？ 解：正弦交流电路的有功功率与阻抗角的余弦切角cosφ有关，cosφ是计算正弦交流电路功率的重要因子，称为功率因数。

阻抗角φ为u 、i 的相位差，φ和功率因数cosφ取决于电路（负载）的参数。

提高功率因数的意义：
1.充分利用电源设备的容量；
2.减小输电线路上的能量损失； 3．提高供电质量； 4.节约用铜． 15．图3-42中给出了u 1、u 2的波形图,试写出u 1、u 2的解析式，并确定其初相各为多少？相位差为多少？哪个超前？哪个滞后？
图3-42 习题15的图
解： )3
sin(1π
ω+
=t U u 初相位为：
3
π。

)3
sin(2π
ω-
=t U u 初相位为：3
π
-。

相位差：3
2)3(312πππ
ϕ=--=
u 1超前于u 2，或者说u 2滞后于u 1。

16．已知在R =10Ω的电阻上通过的电流为A t i )30314sin(210︒+=，试求电阻上电压的有效值，并求电阻的功率。

解：电流的有效值为：A I I m 102/== U = IR = 100V
P = UI =1000W
17．一个L = 0.2H 的的电感，外施电压为)30100sin(2220︒+=t u V ，求电感的感抗X L 和电流i ，并绘出电压和电流的相量图。

解：Ω=⨯==202.0100L X L ω
︒∠=30220U
︒-∠==6011/L j U I
ω )60100sin(211︒-=t i A
18．一个L = 0.1H 的的电感，先后接在f 1=50Hz 和f 1=500Hz ，电压50V 的电源上，分别计算两种情况下的X L 、I L 和Q L 。

解：1) f 1=50Hz 时
Ω==4.3121f X L π
A X U I L L L 59.14
.3150
===
var 3.792
==L L L X I Q
2) f 1=500Hz 时
Ω==31422f X L π
A X U I L L L 16.0314
50
===
var 82
==L L L X I Q
19．一个C = 31.8μF 的电容，外施电压为)30314sin(2220︒+=t u V ，求电容的容抗X C 和电流i ，并绘出电压和电流的相量图。

解：Ω=⨯⨯==
-100314
108.311
16
C X C ω V U
︒∠=30220 A jX U
I
C
︒∠=-=1202.2
A t i )120314sin(22.2︒+=
20．一个C = 100μF 的电容，先后接在f 1=100Hz 和f 1=1000Hz ，电压50V 的电源上，
分别计算两种情况下的X C 、I C 和Q C 。

解：１）f 1=100Hz 时
Ω=⨯⨯⨯⨯==
-9.151010010014.321
2161C f X C π
A X U I C C 14.39
.1550===
var 77.1562
==C C C X I Q
１）f 2=1000Hz 时
Ω=⨯⨯⨯⨯==
-59.110100100014.321
216
2C f X C π A X U I C C 4.319
.1550===
var 68.15672
==C C C X I Q
21．一个电阻为1.5k Ω，电感为6.37H 的线圈，接于50Hz 、380V 的正弦电源上，求电流I 、功率因数cosφ、有功功率P 、无功功率Q 、视在功率S 。

解：感抗 Ω=⨯⨯⨯===200037.65014.322fL L X L πω 总阻抗 Ω=+=
25002
2L X R Z
A Z U
I 152.0==
6.0cos ==Z R
ϕ
S=UI=57.76VA P=UIcos φ=34.66W Q=I 2X L =46.2var
22．R 、C 串联电路接于)30314sin(2220︒+=t u 的正弦电源上，如图3-43所示。

已知R =100Ω，C =31.85μF ，求电路的复阻抗Z 、电流相量I 和电压相量C
U ，并画出电压电流相量图。

解:Ω=⨯⨯==
-1001085.313141
16
C X C ω Ω-=-+=+=100100)100(100j j jX R Z V U
︒∠=30220
︒∠=-︒∠==7556.1100
10030220j Z U I A
V jX I U C
C ︒-∠=-=15156)(
图3-43 习题22的电路
23．己知RLC 串联电路中，交流电源电压u ＝311sin (314t +30°)V ，R ＝10Ω，X L ＝5Ω，X C ＝15Ω。

试求
1）电路的复阻抗Z ，并分析电路的性质；
2）电流I 和电压R U 、L U 、C
U ； 3）绘出电流和各电压的相量图。

解: Ω︒-∠=-=-+=452101010)(j X X j R Z C L 电路呈容性.
V U U
m ︒∠=︒∠=30220302
A Z U I ︒∠=︒
-∠︒∠==756.154521030220 V R I U R ︒∠==75156 V jX I U L
L ︒∠==16578)( V jX I U C
C ︒-∠=-=15234)( 24．如图3-44所示正弦交流电路，已知U =100V ，R 1=20Ω，R 2=10Ω，3102=X Ω。

试求：
1）电流I ，并画出电压电流相量图； 2）计算电路的功率P 和功率因数cosφ。

解: 总阻抗 Ω︒∠=+++=
3055.11)
(2
21221jX R R jX R R Z
设 V U
︒∠=0100
A Z
U I ︒-∠==3066.8 I = 8.66A
cosφ=cos30°=0.866 P=UIcos φ=750W
图3-44 习题24的电路
25．如图3-45所示正弦交流电路，已知︒∠=0100U
V ，Z 1 = 1+j Ω，Z 2 = 3-j4Ω，求I 、1U 、2
U ，并画出相量图。

解: Z= Z 1 + Z 2 = 1+j Ω+3-j4Ω=4-j3=5∠-53.1°
A Z
U I ︒∠==
9.3620 V Z I U ︒∠===9.8128.2811 V Z I U ︒-∠==2.161002
2
图3-45 习题25的电路
26．如图3-46所示正弦交流电路， ︒-∠=30100U
V ，R ＝4Ω，X L ＝5Ω，X C ＝15Ω。

试求电流1I 、2
I 和I ，并画出相量图。

解：A j jX U I C ︒∠=-︒
-∠=-=6067.615
301001
A j jX R U I L ︒-∠=+︒
-∠=+=4.8163.155
4301002
︒-∠=︒-∠+︒∠=+=5555.114.8183.156067.62
1I I I
图3-46 习题26的电路
27．在RLC 串联电路中，C =0.1μF ，当电源电压频率为2kHz 时，电路发生谐振，此
时电容上的电压是电源电压的14倍，求电阻R 和电感L 的值。

解：RLC 串联电路发生谐振时，谐振频率 LC
f π210=
则 mH C
f L 63)2(1
2
0==
π 谐振时电容上的电压与电感L 的电压大小相等，方向相反，电阻的电压等于电源电压，即
U L =14U R
R L 140=ω
Ω==
5.5614
20L
f R π
28．图3-46所示电路，如R ＝25Ω，L ＝0.25mH ，C ＝85pF ，试求电路的谐振频率和品质因数。

解：根据Ｒ、Ｌ、Ｃ的参数可知
C
L
R <
，电路存在谐振频率。

当ωL >>R 时，电感内阻可忽略不计，这时谐振的角频率和频率分别为
6
12
301086.610851025.01
1
⨯≈⨯⨯⨯=≈
--LC
ω
KHz LC
f 1100210=≈
π
6.6825
1025.01086.63
60=⨯⨯⨯==-R L
Q ω
29．已知一RLC 串联电路中， R =10Ω，X C =5Ω，X L =10Ω，其中电流︒∠=302I
，试求：
1）总电压U
； 2）功率因数cosφ；
3）有功功率P 、无功功率Q 、视在功率S 。

解：总阻抗 Z = R + j(X L - X C ) = 10+ j5Ω= 11.18∠26.6°
V Z I U
︒∠=︒∠⨯︒∠==6.5636.226.2618.11302 P = I 2R =40W
Q =I 2
(X L - X C ) =25V ar S=UI=44.72VA
（︒∠=75220U
V ，cosφ=0.707，P =40W ，Q =40var ，S =56.6V A ）
30．某电路如3-47所示，接于220V 的正弦交流电源，已知U ＝220V ，R ＝100Ω，
3100=L X Ω，利用开关S 可使电容C 与感性负载并联，C ＝11.6μF 。

试求：
1）开关S 断开时，电流表A 的读数以及功率因数cosφ、功率P ； 2）开关S 闭合时，电流表A 的读数以及功率因数cosφ、功率P 。

解：1）开关S 断开时
Ω︒∠=+=+=602003100100j jX R Z L A Z
U
I 1.1==
功率因数 cosφ =cos60°=0.5 功率 P =UI cos φ= 121W 2）开关S 闭合时 容抗 Ω≈⨯⨯⨯⨯==-275106.115014.32116
C X C ω 总阻抗 ︒∠=++-+-=++-+-=
153873
100100275)
3100100(275)(j j j j jX R jX jX R jX Z L C L C
A Z
U
I 57.0==
功率因数 cosφ =cos15°=0.96 功率 P =UI cosφ= 121W
（参考答案： 1）I =1.1A ， cosφ=0.5，P =121W;
2）I =0.57A ， cosφ=0.96，P =121W ）
图3-47 习题30的电路
31．某感性负载接于U =380V ，f =50Hz 的正弦交流电源上，功率P =40kW ，功率因数cosφ=0.6。

现采用并联电容的方法将功率因数提高到0.9，试求要并联多大的电容？
解：cosφ=0.6 , tg φ=1.33 cosφ1=0.9 , tg φ1=0.88
)tan (tan 1ϕϕ-=P Q C
由于
22
CU X U Q C
C ω==
故所需并联电容器的容量为
F U P U Q C C μϕϕωω1184)88.033.1(2205014.321040)tan (tan 2
3
122=-⨯⨯⨯⨯=-==。