(完整版)高三圆锥曲线知识点总结

第八章 《圆锥曲线》专题复习
一、椭圆方程.
1. 椭圆的第一定义：
为端点的线段
以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,
2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+
2．椭圆的方程形式： ①椭圆的标准方程：
i. 中心在原点，焦点在x 轴上：
)
0(12
22
2 b a b
y a
x =+
. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：
)0(12
22
2 b a b
x a
y =+
.
②一般方程：)0,0(12
2
B A By Ax =+.③椭圆的参数方程：
2
22
2+
b y a x ⎩⎨
⎧==θ
θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π
θ ）. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. 3．椭圆的性质： ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2.③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距：2
2
21,2b a c c F F -==.⑤准线：c
a x 2
±=或
c a y 2±=.⑥离心率：)10( e a
c
e =.⑦焦半径： i. 设),(00y x P 为椭圆
)0(12
22
2 b a b
y a
x =+
上的一点，21,F F 为左、右焦点，则：
证明：由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002
200201 x a ex x c
a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起
来为“左加右减”.
ii.设),(00y x P 为椭圆
)0(12
22
2 b a a
y b
x =+
上的一点，21,F F 为上、下焦点，则：
⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径： 2
22b d a
=；坐标：22(,),(,)b b c c a a -
4．共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12
22
2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a
c
e -==
，方程
t t b y a x (2
22
2=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a
c
e =
我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 5．若P 是椭圆：
12
22
2=+
b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为
2
tan
2θ
b （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2
cot
2θ
⋅b .
1020
,PF a ex PF a ex
=+=-1020
,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α)
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义：
的一个端点的一条射线
以无轨迹
方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-
2．双曲线的方程：
①双曲线标准方程：
)0,(1),
0,(12
22
22
22
2 b a b x a y b a b y a x =-
=-
. 一般方程：
)0(122 AC Cy Ax =+.
3．双曲线的性质：
①i. 焦点在x 轴上： 顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c
a x 2
±= 渐近线
方程：0=±b y
a x 或02222=-
b y a x ii. 焦点在y 轴上：顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(
c c -. 准
线方程：c a y 2
±=. 渐近线方程：0=±b x a y 或02222=-b x a y ，参数方程：⎩
⎨⎧==θθtan sec b y a x 或
⎩
⎨
⎧==θθ
sec tan a y b x . ②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a c
e =. ④准线距
c a 22（两准线的距离）；通径a b 22. ⑤参数关系a
c
e b a c =+=,222. ⑥焦半径公式：对于双曲线
方程
12
22
2=-
b y a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）
“长加短减”原则：
a
ex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-
a
ex F M a ex F M +-='--='0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半
a
ey F M a ey F M a ey MF a ey MF -'
-='+'
-='+=-=02010201
4． 等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e . 5．共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-22
22b y a x 与λ-=-2222b
y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：
02
22
2=-
b
y a
x .
6．共渐近线的双曲线系方程：
)0(2
22
2≠=-
λλb y a x 的渐近线方程为
02
22
2=-
b y a x 如果双曲线的
渐近线为0=±b y
a x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλb
y a x .
例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=
且过)2
1
,3(-p ，求双曲线的方程？ 解：令双曲线的方程为：)0(4
2
2≠=-λλy x ，代入)21,3(-得
12822=-y x . 7．直线与双曲线的位置关系：
区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；
区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计
区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；
区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.
注意：⑴过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
⑵若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”
“∆法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.
⑶若P 在双曲线
12
22
2=-b y a x ，则常用结论1：P 到焦点的距离为m 与n ，则P 到两准
线的距离比为m ︰n. 简证：
e
PF e PF d d 21
21= =
n
m
. ⑷：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
三、抛物线方程.
设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
注意：⑴x c by ay =++2
顶点)244(2a
b
a b ac --.
⑵)0(22≠=p px y 则焦点半径2
P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2
P y PF +=.
⑶通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.
⑷px y 22
=（或py x 22
=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==2
22pt
y pt
x ）（t 为参数）. ⑸关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线 y 2
=2px (p>0 )焦点的弦，A(x 1 ，y 1)、
B (x 2 ,y 2 ) ,直线AB 的倾斜角为θ，则：① x 1x 2=24p ， y 1y 2=－p 2
; ② |AB|=22sin p θ
；③
以AB 为直径的圆与准线相切；④焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为900
；⑤
112
||||FA FB P
+=. 四、圆锥曲线的统一定义.
1. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹. 当10 e 时，轨迹为椭圆； 当1=e 时，轨迹为抛物线； 当1 e 时，轨迹为双曲线； 当0=e 时，轨迹为圆（a
c
e =
，当b a c ==,0时）. 2. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.
因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.
3. 当椭圆的焦点位置不明确，而无法确定其标准方程时，可设方程为
22
x y m n
+ =1（m>0，n>0且m ≠n ），这样可以避免讨论和繁杂的运算，椭圆与双曲线的标准方程均可用简单形式 mx 2+ny 2
=1（mn ≠0）来表示，所不同的是：若方程表示椭圆，则要求m>0，n>0且m ≠n ； 若方程表示双曲线，则要求mn<0，利用待定系数法求标准方程时，应注意此方法的合理使用，以避免讨论。

4. 双曲线是具有渐近线的曲线，复习中要注意以下两个问题：
（1）已知双曲线方程，求它的渐近线方程，将双曲线的标准方程 22
221x y a b -=中的常
数“1”换成“0”，即得 2222x y a b -=0，然后分解因式即可得到其渐近线方程 x y
a b
±=0；若
求中心不在原点，对称轴平行于坐标轴的双曲线的渐近线方程，只需将双曲线方程x ，y 分
别配方，然后将常数“1”换成“0”，再分解因式，则可得渐近线方程，例如双曲线
22
2(2)3y x +-=1的渐近线方程为22
2(2)3
y x +-=0，即y ±3（x+2），因此，如果双曲线的方
程已经确定，那么它的渐近线方程也就确定了。

±=0时，可设双曲线方程为（2）求已知渐近线的双曲线方程，已知渐近线方程为ax by
2222(0)
a x
b yλλ
-=≠，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法，如果已知双曲线的渐近线，双曲线方程却不是惟一确定的。

5、在建立抛物线的标准方程的坐标系时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。

五．直线和圆锥曲线的位置关系:相交，相切，相离。

1．直线与圆锥曲线C位置关系的判断:
判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，将直线的方程代入曲线C的方程，消去y（也可消去x）得一个关于变量x（或y）的一元二次方程ax2+bx+c=0。

①当a≠0时，
若Δ＞0，则与C相交；
若Δ=0，则与C相切；
若Δ＜0，则有与C相离。

②当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则直线与C相交，此时只有一个公共点
若C为双曲线，则平行于双曲线的渐近线；
若C为抛物线，则平行于抛物线的对称轴。

注意：当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线和双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。

2．直线被圆锥曲线截得的弦长公式：
斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，设，，则
弦长公式：
当时, 弦长公式还可以写成：
注意：利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理。

六.求曲线的方程.
1．坐标法的定义：
在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x，y ）所满足的方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.
2．坐标法求曲线方程的步骤：
建系→设点→点满足的几何条件坐标化→整理化简成最简形式→证明（可省略，但必须删去增加的或者补上丢失的解）
3．求轨迹方程的常用方法：
直接法、定义法、代入法、参数法等。

七.规律方法指导.
1．三种圆锥曲线定义、标准方程及简单几何性质的对比:
椭圆双曲线抛物线
定义1．到两定点F1、F2的距离之和
为定值2a（2a＞|F1F2|）的点的
轨迹
1．到两定点F1、F2的距离之差
的绝对值的为定值2a（0＜2a＜
|F1F2|）的点的轨迹
2．与定点和定直线的距离之比
为定值e的点的轨迹（0＜e＜1）
2．与定点和定直线的距离之比
为定值e的点的轨迹（e＞1）
与定点和定直线的距离
相等的点的轨迹
图形
方程标
准
方
程
参
数
方
程
（参数为离心
角）
（参数为离心角）（t为参数）
范围，，
中心原点O（0，0）原点O（0，0）
顶点（a，0）（－a，0），（a，0），（－a，0）（0，0）
（0，b），（0，－b）
对称轴x轴，y轴；
长轴长2a，短轴长2b
x轴，y轴；
实轴长2a，虚轴长2b
x轴
焦点F1（c，0），F2（－c，0）F1（c，0），F2（－c，0）
焦距
离心率e=1
准线
渐近线
2．有关圆锥曲线综合题类型:
(1)求圆锥曲线方程
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置，如果位置不确定时，考虑是否多解。

此时注意数形结合，在图形上标出已知条件，检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是否准确等。

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。

此处注意n个未知数，列够n个独立的方程，并注意“点在线上”条件及韦达定理的使用。

注意：求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法
(2)求取值范围或最值
①函数方法----将待求范围参数表示为另一个变量的函数，注意求函数的定义域。

②方程与不等式组----n个未知数，列够n个独立方程或不等式，注意归纳总结列不等
式的方法：
③利用几何性质求参数范围；
④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同．
3．解析几何问题中，解决运算问题的几点措施：
解析几何图形结构、问题结构多，且易于发散，一旦形成为图形或知识点的综合，往往最具运算量、最为繁难复杂．因此，有时即便是明确了解法甚至较细的步骤，解题过程当中也常常被卡住，算不到底、算不出正确结果也是常有的事。

因此，如何解决运算量问题，对于解题成功与否至关重要．解决运算问题，可以有以下措施：
(1)不断提高运算和恒等变形能力。

注意培养观察问题、分析问题、转化问题、解决问题的能力，避免 思维定势，提高思维灵活性；具体审题中多收集些信息，综观全局，权衡利弊，再决定解题策略； 加强训练运算基本功，不断提高恒等变形的能力．
(2)善于运用平面几何性质来解题问题。

解题处理方式不同，可能繁简大相径庭，若考虑问题的几何特 征，充分利用图形几何性质，对于解决运算量会大有裨益，这一点对于圆锥曲线综合题的处理很重要．
(3)注意解析法与各种数学方法结合。

当所求点的坐标直接解决有困难时，往往引进参数或参数方程起到解决问题的桥梁作用，引进合适的参数，进行设而不求的计算方式，在解析几何中是普遍的，但应注意不断积累消参经验；相应元替换法也是常用的策略
八．二次曲线中的中点弦问题.
1. 设圆
022=++++F Ey Dx y x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y ，则E y D x k AB ++-
=0022。

（假设点P 在圆上时，则过点P 的切线斜率为
E y D
x k ++-=00
22） 2．设椭圆122
22=+b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y ，则0022y x a b k AB •-=。

（注：对a ≤b 也成立。

假设点P 在椭圆上，则过点P 的切线斜率为
0022y x a b k •
-=） 3．设双曲线122
22=-b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y 则0022y x a b k AB •=。

（假设点P 在双曲线上，则过P 点的切线斜率为
00
22y x a b k •
=） 4．设抛物线
px y 22
=的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y 则0y p
k AB =。

（假设点P
在抛物线上，则过点P 的切线斜率为)0y p k =。