本题说明进行复数的加减运算时应先把极坐标形式转为代【精品推荐-doc】
复数的加、减、乘、除的运算法则 2019高考绝密资料
复数的加、减、乘、除的运算法则主标题：复数的加、减、乘、除的运算法则副标题：为学生详细的分析复数的加、减、乘、除的运算法则的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：复数的加、减、乘、除，运算法则，知识总结难度：3重要程度：5考点剖析：本考点包括复数的加、减、乘、除的运算，要会进行复数代数形式的四则运算。
命题方向：1.复数的代数运算是近几年高考的热点．2.题型以选择题和填空题为主，比较简单.规律总结：1.复数的运算规律总结设12,z a bi z c di =+=+，(a ，b ，c ，d ∈R)，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋bi)·(c＋di)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ；(4)除法：z 1z 2＝a ＋bi c ＋di ＝ a ＋bi c －di c ＋di c －di ＝ ac ＋bd ＋ bc －ad i c 2＋d 2(c ＋di≠0)． 复数的代数运算中常用的结论：()212i i ±=±；11i i i +=-；11i i i-=-+ 复数的运算律：复数的加法满足：对任意123,,z z z C ∈，(1)交换律：1221z z z z +=+(2) 结合律:()()123123z z z z z z ++=++复数的乘法满足：(1)交换律：1221z z z z =(2) 结合律:()()123123z z z z z z =(3)分配律：()1231213z z z z z z z +=+导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
关键词：导数，极值，最值，备考策略难度：4重要程度：5内容考点一 利用导数研究函数的单调性【例1】设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2.(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k 的取值范围．解 (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，∴f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x (e x －2)．令f ′(x )>0，即x (e x －2)>0，∴x >ln 2或x <0.令f ′(x )<0，即x (e x －2)<0，∴0<x <ln 2.因此函数f (x )的递减区间是(0，ln 2)；递增区间是(－∞，0)和(ln 2，＋∞)．(2)易知f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x (e x －2k )．∵f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，∴当x ≥0时，f ′(x )＝x (e x －2k )≥0恒成立．∴e x －2k ≥0，即2k ≤e x 恒成立．由于e x ≥1，∴2k ≤1，则k ≤12.又当k ＝12时，f ′(x )＝x (e x －1)≥0当且仅当x ＝0时取等号．因此，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12. 【备考策略】 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题(2)问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．考点二 利用导数研究函数的极值【例2】 设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的极值．审题路线 (1)由f ′(1)＝0⇒求a 的值．(2)确定函数定义域⇒对f (x )求导，并求f ′(x )＝0⇒判断根左，右f ′(x )的符号⇒确定极值．解 (1)由f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，∴f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，∴该切线斜率为0，即f ′(1)＝0.从而a －12＋32＝0，∴a ＝－1.(2)由(1)知，f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，∴f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝(3x ＋1)(x －1)2x 2. 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或－13(舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，f (x )无极大值．【备考策略】 (1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．考点三 利用导数求函数的最值【例3】已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值为c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．审题路线 (1)⎩⎨⎧f ′(2)＝0，f (2)＝c －16⇒a ，b 的值； (2)求导确定函数的极大值⇒求得c 值⇒求得极大值、极小值、端点值⇒求得最值．解 (1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ，由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎨⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16. 化简得⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表： f (2)＝c －16.由题设条件知，16＋c ＝28，解得c ＝12，此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝c －16＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.【备考策略】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．。
复数代数形式的加减运算及其几何意义
在信号处理中的应用
信号合成与分解
复数代数形式的加减运算可以用于信 号的合成与分解，例如在频谱分析和 滤波器设计中。通过加减运算，可以 将信号分解为不同的频率分量，便于 分析和处理。
调制与解调
在通信系统中，复数代数形式的加减 运算用于信号的调制和解调过程。通 过加减运算，可以实现信号的相位和 幅度调整，从而实现信号的传输和接 收。
复数减法的几何意义
复数减法可以理解为在复平面上的向量减法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的差 $z_1 - z_2 = (a-c) + (b-d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的差分。
向量差分：在复平面上，将 $z_1$ 的向量起点固定，然后 平移至 $z_2$ 的起点，得到向量差。这个过程对应于复数 减法运算。
部对应横轴，虚部对应纵轴。
03
复数代数形式的几何意义
复数加法的几何意义
复数加法可以理解为在复平面上的向量加法。给定两个复数 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，它们的和 $z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$ 可以看作是两个向量在复平面上的合成。
向量合成：在复平面上，将 $z_2$ 的向量起点固定，然后平 移至 $z_1$ 的起点，得到向量和。这个过程对应于复数加法 运算。
复数代数形式的加减运算 及其几何意义
• 引言 • 复数代数形式的加减运算 • 复数代数形式的几何意义 • 复数代数形式的加减运算的应用 • 结论
Hale Waihona Puke 1引言复数的基本概念
01
复数是由实部和虚部构成的数，一 般形式为$z=a+bi$，其中$a$和 $b$是实数，$i$是虚数单位，满足 $i^2=-1$。
复数转换知识点总结数学
复数转换知识点总结数学复数是数学中一个重要的概念，它在代数、几何和物理等领域都有着广泛的应用。
复数指的是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i²=-1。
在实际问题中，我们经常需要进行复数的运算、转换和简化，因此对复数的转换知识点有着重要的理解和掌握。
1. 复数的标准形式复数可以用多种不同的形式来表示，但最常见的是标准形式，即a+bi的形式。
在进行复数运算和转换时，首先需要将复数转换为标准形式，这样可以更方便地进行计算和理解。
2. 实部和虚部复数a+bi中，a称为实部，b称为虚部。
实部和虚部分别代表了复数在实轴和虚轴上的坐标，实部决定复数在实轴上的位置，虚部决定复数在虚轴上的位置。
实部和虚部的概念在复数的运算和转换中起着重要的作用，需要特别注意理解和运用。
3. 复数加减运算对于复数a+bi和c+di，它们的加法和减法可以分别表示为(a+c)+(b+d)i和(a-c)+(b-d)i。
即实部相加（减），虚部相加（减）。
在实际问题中，我们需要根据具体情况进行复数的加减运算，然后简化结果，以得到最终的答案。
4. 复数乘法对于复数a+bi和c+di，它们的乘法可以表示为(ac-bd)+(ad+bc)i。
即在乘法运算中，首先分别计算出实部和虚部的乘积，然后合并得到最终的结果。
复数的乘法是复数运算中比较复杂的一部分，需要掌握正确的计算方法和技巧。
5. 复数除法对于复数a+bi和c+di，它们的除法需要进行有理化，得到(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)i)/(c²+d²)的形式。
复数的除法相对而言较为繁琐，需要仔细计算和化简，确保得到正确的结果。
6. 共轭复数对于复数a+bi，它的共轭复数定义为a-bi。
共轭复数在复数运算中有着特殊的作用，可以帮助我们进行除法运算、求模运算和求实部虚部等。
掌握共轭复数的性质和运用是复数运算中很重要的一部分。
数学中的复数运算应用技巧
数学中的复数运算应用技巧复数是数学中一种重要的概念，它在工程学、物理学等领域中有着广泛的应用。
复数的运算是复数应用的基础，下面将介绍一些数学中常见的复数运算应用技巧。
一、复数的表示方式复数通常表示为a+bi的形式，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位。
实数部分和虚数部分都可以是任意实数。
复数的表示方式有两种常用形式：代数形式和极坐标形式。
代数形式：复数a+bi表示一个平面上的点，横坐标为a，纵坐标为b。
极坐标形式：复数r(cosθ+isinθ)表示一个和原点的距离为r、与x轴正方向的夹角为θ的极坐标点。
二、复数的四则运算复数的四则运算与实数的四则运算类似，但要注意虚部的运算。
下面分别介绍加法、减法、乘法和除法的运算规则。
1. 加法：将两个复数的实部相加，虚部相加，得到新的复数。
例如，对于复数a+bi和c+di的相加，结果为(a+c)+(b+d)i。
2. 减法：将两个复数的实部相减，虚部相减，得到新的复数。
例如，对于复数a+bi和c+di的相减，结果为(a-c)+(b-d)i。
3. 乘法：将两个复数进行分配律展开计算。
例如，对于复数a+bi和c+di的相乘，结果为(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 除法：将两个复数的乘法结果与除数的平方和进行除法运算。
例如，对于复数a+bi和c+di的相除，结果为((ac+bd)/(c^2+d^2))+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。
三、复数运算的应用技巧1. 求模和共轭：复数的模表示复数到原点的距离，并且模的平方等于复数乘以共轭的结果。
例如，对于复数a+bi，其模为√(a^2+b^2)。
共轭复数表示将复数的虚部取相反数得到的新的复数。
例如，对于复数a+bi，其共轭复数为a-bi。
2. 约简运算：对于复数的乘法和除法，可以将复数分别写成代数形式和极坐标形式进行运算，最后再转换回代数形式。
例如，对于复数a+bi和c+di的相乘，可以先将其转换成极坐标形式，即r(cosθ+isinθ)，再进行乘法运算，最后再转换回代数形式。
高一数学人必修件复数的加减法及几何意义
要点三
极坐标下复数的运算
在极坐标表示下，复数的乘法和除法 运算变得更加简洁。设$z_1 = r_1(cos theta_1 + i sin theta_1)$， $z_2 = r_2(cos theta_2 + i sin theta_2)$，则$z_1 times z_2 = r_1r_2[cos(theta_1 + theta_2) + isin(theta_1 + theta_2)]$； $frac{z_1}{z_2} = frac{r_1}{r_2}[cos(theta_1 theta_2) + isin(theta_1 theta_2)]$。
模长计算
复数 $z = a + bi$ 的模长定义为 $|z| = sqrt{a^2 + b^2}$。模长 表示复数在复平面内到原点的距 离。
复数在平面内对应点
复平面
在平面直角坐标系中，横轴表示实部，纵轴表示虚部，这样的平面称为复平面。 复数 $z = a + bi$ 在复平面内对应的点为 $(a, b)$。
学生自主完成练习题并提交答案
学生独立完成练习题 ，并在规定时间内提 交答案。
教师收集学生的答案 ，为后续的点评和总 结做准备。
鼓励学生相互讨论， 共同解决遇到的问题 。
教师点评并总结本节课内容
教师对学生的答案进行点评，指出其中的错误和不足，并给予相应的指导和建议。
教师总结本节课的知识点，强调复数加减法的运算规则和几何意义，帮助学生加深 对知识点的理解和记忆。
几何意义
复数在复平面内的对应点可以表示复数的位置和方向。通过复数的加减法运算， 可以实现在复平面内的平移和旋转等操作，这在数学和物理等领域具有广泛的应 用。
高考数学复数的加法与减法运算.doc
复数的加法与减法运算一. 教学内容：复数的加法与减法运算二. 重点、难点：1. 复数的加法：（）法则：，，，，1()()()()a bi c di a cb d i a bcd R+++=+++∈显然，复数的加法法则与多项式加法法则相类似，可类比记忆，按照以上的运算法则，保首尾相接的两个向量分别表示复数z1，z2，则表示复数z1＋z2，以上的平行四边形法则或三角形法则就是复数加法的几何意义，它与物理学上的力的合成分解的平行四边形或三角形法则有着相同的本质。
如此以来，也可以把向量的加法转化成复数的加法。
2. 复数的减法：（）法则：，，，，1()()()()a bi c di a cb d i a bcd R+-+=-+-∈由于减法是加法的逆运算，上述运算法则容易由复数加法的法则以及复数相等的概念而导出，因此减法法则从属于加法法则。
（2）几何意义：设向量OZ1，OZ2分别表示复数z1，z2，则以z1为起点，z2为终点的向量Z1Z2表示复数z2－z1，即差向量的方向指向被减数。
3. （1 （2）由以上复数形式的距离公式，可得某些曲线的复数形式的方程： 复平面内以为圆心，为半径的圆的方程为Z r z z r r 000||()-=> 复平面内以，为焦点的，长轴长为的椭圆方程为：Z Z a 122 ||||(||)z z z z a a a Z Z -+-=>>1212202且复平面内以，为焦点，实轴长为的双曲线方程为：Z Z a 122 ||||||(||)z z z z a a a Z Z ---=><1212202且复平面上以点，为端点的线段的垂直平分线方程为：Z Z 12||||z z z z -=-12如此以来，复数问题与解析几何问题就建立了联系，有些解析几何问题（如轨迹问题）可化为复数问题，当然，有些复数问题亦可转化为解析几何问题加以解决，这是数形结合解决问题的出发点。
复数极坐标形式加减运算规则
复数极坐标形式加减运算规则1. 复数的入门知识说到复数，很多人可能会皱眉，觉得这东西就像是高深莫测的黑暗料理。
但是，放心吧，今天我们不搞复杂的公式，只聊聊复数的极坐标形式，轻松加减就行。
想象一下，你在逛超市，看到一个新奇的商品，心里想着：“哎呀，这东西我得试试！”复数也是如此，稍微用点心，就能让你领略到它的魅力。
复数其实就是一个由实部和虚部组成的数，比如说 ( z = a + bi )。
在这里，( a ) 是实部，( b ) 是虚部，而 ( i ) 则是那神秘的虚数单位，等于 (sqrt{1)。
不过，当我们把复数用极坐标的形式表达出来时，情况就有趣了：复数可以表示成 ( z = r(cos theta + i sin theta) )，其中 ( r ) 是模长，代表到原点的距离，而 ( theta ) 是角度，代表方向。
听起来是不是有点像在讲导航系统？没错，复数也有它的“方向感”呢！2. 复数的加法2.1 极坐标加法的概念说到加法，大家都知道这是一件简单的事。
但在复数的世界里，加法就像是调味品，得看你怎么用。
在极坐标形式下，如果我们要把两个复数相加，首先得找到它们的“模长”和“角度”。
比如说，有两个复数 ( z_1 = r_1(cos theta_1 + i sin theta_1) ) 和 ( z_2 =r_2(cos theta_2 + i sin theta_2) )。
这俩家伙就像是不同的乐器，要合作出一首动听的曲子。
2.2 加法的公式那么，加法怎么做呢？简单来说，我们需要把它们的模长和角度结合起来。
可以使用“矢量加法”这个概念，把这两个复数看作是在平面上的两个向量，然后用平行四边形法则来找出它们的和。
这就好比你和朋友在公园里一起散步，你向东走，朋友向北走，最后你们的目标就会是两个人的结合点。
其实在数学上，我们通过将两个复数的角度和模长进行转换，最后得到一个新的复数。
3. 复数的减法3.1 极坐标减法的技巧接下来，我们聊聊减法。
计算器复数的计算方法.doc
计算器复数的计算方法.doc用计算器计算复数(KK-82MS-1)三、计算举例模式：MODE CLR↓1。
1.代数式化成极坐标式例如： 3 + j 4 = 5 /53.13o步骤：POL↓(3,4)。
结果=5；在按键rcl↓F↓。
结果等于53.13.2. 极坐标化成代数式例如： 15 /-50o = 9.64- j11.49按键步骤：SHIFT↓REC↓（15，-50）。
结果等于9.64.再按rcl↓F 。
结果等于-11.49.3. 代数式的加减乘除例如： ( 5 - j 4 ) × ( 6 + j 3 ) = 42 - j 9 = 42.953/-12.095o步骤：先进行简单的加减运算得到42 - j 9。
POL↓(42,-9)。
结果等于42.953；再rcl↓F。
结果等于-12.095.例 ( 5 - j 4 ) + ( 6 + j 3 ) = 11 - j 1 = 11.045 /-5.1944o( 5 - j 4 ) - ( 6 + j 3 ) = -1 - j 7 = 7.071 /-98.13o( 5 - j 4 ) ÷ ( 6 + j 3 ) = 0.4 - j 0.8667 = 0.9545 /-65.2249o4.极坐标式的加减乘除例如：5 /40o + 20 /-30o = 21.15 - j 6.786 =22.213/-17.788o步骤：先将5 /40o化成代数式3.83+ 3.214j，将 20 /-30o化成代数式17.32-j10；然后两式相加21.15-j6.786.然后转换成极坐标。
如进行其它运算只需将乘号换成要进行的计算号即可。
这里只给出计算结果请同学自己进行练习对比。
5 /40o - 20 /-30o = -13.49 - j 13.2139 = 22.213/135.5929o 5 /40o×20 /-30o = 98.48 - j 17.3648 = 100/10o5 /40o÷20 /-30o = 0.0855 - j 0.2349 = 0.25/70o。
课件2：3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
当堂检测
5. 复数＝＋，＝－＋，＝－－，它们在复平面上的
对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的
复数．
解：设复数，， 在复平面内所对应的点分别为A，B，C，
正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．
对于复数代数形式的加减运算只要把实部与实部、虚
部与虚部分别相加减即可．
【解】
(1) ＋ ＋ － － ＋ ＝ － － ＋
＝－－.
－ ＋ － －＋ ＝－ ＋
＝－＋.
＋ － － －＝ － ＋ － － －
1．复数加减法法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加减运算中的合并同类项．如例1.
2．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量
的坐标运算．如例2.
失误防范
1．算式中若出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实
部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．
2．(1－ )的实部为__，虚部为_______.
3．若A点对应复数2＋，B点对应复数为－1＋3，则平行四边形
OACB的对角线的向量对应的复数为______.
自主学习
1．复数的加法与减法
(1)复数的加、减法法则
(a＋c)＋(b＋d)i
(＋)＋(＋)＝______________；
运算或向量运算．
例4已知平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示, ＋，－＋，
试求：
(1)所表示的复数，所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)对角线所表示的复数及的长度
【思路点拨】
(完整版)第八章相量图和相量法求解电路
第八章相量图和相量法求解电路一、教学基本要求1、掌握阻抗的串、并联及相量图的画法。
2、了解正弦电流电路的瞬时功率、有功功率、无功功率、功率因数、复功率的概念及表达形式。
3、熟练掌握正弦电流电路的稳态分析法。
4、了解正弦电流电路的串、并联谐振的概念，参数选定及应用情况。
5、掌握最大功率传输的概念，及在不同情况下的最大传输条件。
二、教学重点与难点1. 教学重点： (1).正弦量和相量之间的关系；(2). 正弦量的相量差和有效值的概念(3). R、L、C各元件的电压、电流关系的相量形式(4). 电路定律的相量形式及元件的电压电流关系的相量形式。
2．教学难点：1. 正弦量与相量之间的联系和区别；2. 元件电压相量和电流相量的关系。
三、本章与其它章节的联系：本章是学习第 9-12 章的基础，必须熟练掌握相量法的解析运算。
§8.1 复数相量法是建立在用复数来表示正弦量的基础上的，因此，必须掌握复数的四种表示形式及运算规则。
1. 复数的四种表示形式代数形式A = a +j b复数的实部和虚部分别表示为： Re[A]=a Im[A]=b 。
图 8.1 为复数在复平面的表示。
图 8.1根据图 8.1 得复数的三角形式：两种表示法的关系：或根据欧拉公式可将复数的三角形式转换为指数表示形式：指数形式有时改写为极坐标形式：注意：要熟练掌握复数的四种表示形式及相互转换关系，这对复数的运算非常重要。
2. 复数的运算(1) 加减运算——采用代数形式比较方便。
若则即复数的加、减运算满足实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。
复数的加、减运算也可以在复平面上按平行四边形法用向量的相加和相减求得，如图8.2所示。
图 8.2(2) 乘除运算——采用指数形式或极坐标形式比较方便。
若则即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。
除法运算满足模相除，辐角相减，如图8.3示。
图 8.3 图 8.4(3) 旋转因子：由复数的乘除运算得任意复数A 乘或除复数，相当于A 逆时针或顺时针旋转一个角度θ，而模不变，如图 8.4 所示。
新教材同步系列2024春高中数学第七章.2.1复数的加减运算及其几何意义课件新人教A版必修第二册
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题型1 复数加减法的运算 (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝__________．
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实 数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝__________．
复数a＋bi为
()
A．1＋i
B．2＋i
C．3
D．－2－i
【答案】D
【解析】∵z1＝2＋bi，z2＝a＋i，∴z1＋z2＝2＋bi＋(a＋i)＝(2＋a) ＋(b＋1)i＝0．∴a＝－2，b＝－1，即a＋bi＝－2－i．
2．(题型2)若复数z1与z2＝－3－i(i为虚数单位)在复平面内对应的点
关于实轴对称，则z1＝
C． 3
D．2
错解：因为x(1＋i)＝1＋yi，所以x＋xi＝1＋yi，x＝1，y＝x＝1，|x
＋yi|＝1＋1＝2．故选D．
易错防范：不理解复数的模的公式．
正解：因为 x(1＋i)＝1＋yi，所以 x＋xi＝1＋yi，得 x＝1，y＝x＝1，
所以|x＋yi|＝|1＋i|＝ 2．故选 B．
|素养达成|
4．(题型3)若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成 的图形的面积为__________．
【答案】9π 【解析】由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，3 为半径的圆，故其面积为S＝9π．
5．(题型 2)在复平面内，复数－3－i 与 5＋i 对应的向量分别是O→A与 O→B，其中 O 是原点，求向量O→A＋O→B，B→A对应的复数及 A，B 两点间的 距离．
适用于新教材2023版高中数学第七章复数7.2复数的四则运算7.2.1复数的加减运算及其几何意义探究
方法二：因为(1－2i)－(2－3i)＝－1＋i， (3－4i)－(4－5i)＝－1＋i，……， (2 017－2 018i)－(2 018－2 019i)＝－1＋i， 所以将以上1 009个等式累加得(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…－ (2 018－2 019i)＝－1 009＋1 009i. 所以原式＝－1 009＋1 009i＋(2 019－2 020i)＝1 010－1 011i.
【课堂小结】
课堂素养达标
1．(2021·长春高一检测)设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z为
纯虚数，则m等于( )
A．－1 B．3 C．12
D．－1或3
【解析】选C.z＝(2m2＋m－1)＋(3＋2m－m2)i.
2m2＋m－1＝0 令
3＋2m－m2≠0
，得m＝12
2．向量的加法运算法则是什么？是否适合复数的加法运算法则？ 提示：平行四边形法则，由于复数与平面向量是一一对应的，所以向量加法的 平行四边形法则适合复数的加法运算法则．
3．复数的减法法则：设向量 OZ1 ＝(a，b)， OZ2 ＝(c，d)，对应复数 z1＝a＋bi， z2＝c＋di，其中，a，b，c，d∈R，则 OZ1 － OZ2 ＝(_a_－__c_，__b_－__d_)__，z1－z2＝ __(a__－__c_)＋__(_b_－__d_)_i_．
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，
|z|＝ a2＋b2 ，代入方程得a＋bi＋ a2＋b2 ＝2＋8i，
a＋ a2＋b2＝2，
a＝－15，
所以
解得
b＝8，
b＝8，
所以z＝－15＋8i.
答案：－15＋8i
课件2：10.2.1 复数的加法与减法
解：(1)由|z－1|≤1 可知，集合 M 在复平面内所对 应的点集是以点 E(1,0)为圆心，以 1 为半径的圆 的内部及边界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合 N 在复平面内所对应的点集是以点(1,1)和(2,0)为端 点的线段的垂直平分线 l，因此，集合 P 在复平面内所表示的图形是 圆面截直线 l 所得的一条线段 AB，如图． (2)由(1)知，圆的方程为 x2＋y2－2x＝0，直线 l 的方程为 y＝x－1． 解方程组xy2＝＋xy－2－1，2x＝0， 得 A2＋2 2， 22，B2－2 2，－ 22. 所以|OA|＝ 2＋ 2，|OB|＝ 2－ 2.
C．b>0，a∈R
D．a>0，b∈R
【解析】复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可
为任意实数．
【答案】D
3．已知|z|＝3，且 z＋3i 是纯虚数，则 z＝________. 【解析】设 z＝x＋yi(x，y∈R)，∴ x2＋y2＝3①，且 z＋3i＝x＋yi＋ 3i＝x＋(y＋3)i 是纯虚数，则yx＋＝30≠，0， 由①可得 y＝3.∴z＝3i. 【答案】3i
(1)【解析】设 D(x，y)，类比向量的运算知 A→B ＝D→C ，所以有复数－i －(1＋3i)＝2＋i－(x＋yi)，得 x＝3，y＝5，所以 D 对应的复数为 3＋5i. 【答案】3＋5i
(2)解：设复数 z1，z2，z1＋z2 在复平面上对应的点分别为 Z1，Z2，Z， 由|z1|＝|z2|＝1 知，以 OZ1，OZ2 为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ1Z 中，由余弦定理，得
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i . 2．加法运算律 设 z1，z2，z3∈C，有 z1＋z2＝ z2＋z1 ， (z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) ．
复数的加、减、乘、除的运算法则备考策略最新衡水中学精品自用资料
复数的加、减、乘、除的运算法则备考策略
主标题：复数的加、减、乘、除的运算法则备考策略
副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
关键词：复数的加、减、乘、除，运算法则，备考策略
难度：3
重要程度：5
内容：
1、复数加法和减法的运算法则?
2、复数的加法满足哪些运算律？
3、复数乘法和除法的运算法则？
4、复数的乘法满足哪些运算律？
思维规律解题
考点一：复数的加法运算
例1：计算(5－6i)＋(－2－i)。
考点二：复数的减法运算
例2：计算5－(3＋2i)
考点三：复数的乘法运算
例3：计算：(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)
考点四：复数的除法运算
例4：计算：(1－2i)÷(3＋4i)
考点五：复数代数形式的四则运算
例5：计算()()2
542i i i ++ 考点六：实数系数的一元二次方程的根
例6：已知2i －3是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，求实数p ，q 的值。
思维误区
误区一：把复数当做实数运算
判断：12,z z 是复数，120z z ->，那么12z z >。
误区二：忽视纯虚数的平方为负数
判断：若22
120
z z
+=，则
120
z z
==。
误区三：计算失误
设i为虚数单位，复数1
2
ai
i
+
-
为纯虚数，求实数a。
本题说明进行复数的加减运算时应先把极坐标形式转为代【精品推荐-doc】
第八章相量法
例8-1计算复数
解：
本题说明进行复数的加减运算时应先把极坐标形式转为代数形式。
例8-2计算复数
解：
本题说明进行复数的乘除运算时应先把代数形式转为极坐标形式。
例8-3已知正弦电流波形如图所示，ω＝ 103rad/s ，
（1）写出正弦i(t) 表达式；
（2）求正弦电流最大值发生的时间 t1
解：根据图示可知电流的最大值为 100A ， t=0 时电流为 50A ，因此有：
解得由于最大值发生在计时起点右侧故取
所以
当时电流取得最大值，即：
例8-4计算下列两正弦量的相位差。
解：（1）
转为主值范围：
说明i1滞后i2。
（2）先把i2变为余弦函数：
则
说明i1超前i2。
（3）因为两个正弦量的角频率，故不能比较相位差。
（4）
则
说明i1超前i2
本题说明两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。
例8-5计算两正弦电压之和，已知：
解：两正弦电压对应的相量为 :
相量之和为：
所以
本题也可借助相量图计算，如下图所示。
相量图
例8-6试判断下列表达式的正、误，并给出正确结果。
解：（1）错，瞬时式和相量混淆，正确写法为：
（2）错，瞬时式不能和相量相等，正确写法为：
（4）对
3）错，有效值和相量混淆，正确写法为：
（5）错，感抗和容抗混淆，正确写法为：
（6）错，有效值和相量混淆，正确写法为：
（7）错，电容和电感的VCR混淆，正确写法为：或。
复数代数形式的加、减
2．复数加、减法的几何意义 ．复数加、 (1)复数加法的几何意义 复数加法的几何意义 → → 不共线， 对应的向量OZ 若复数 z1，z2 对应的向量 1，OZ2不共线 ，则复数 → → z1＋ z2 是以 1，OZ2为两邻边的 平行四边形 的对 是以OZ 为两邻边的____________的对 → 角线OZ所对应的复数．因此， 角线OZ所对应的复数．因此，复数的加法可以按照 角线 所对应的复数 _____________来进行． 来进行． 向量的加法 来进行 (2)复数减法的几何意义 复数减法的几何意义 → → 是连接向量OZ 复数 z1－ z2 是连接向量 1、OZ2的 _____，并指向 终点 ，
复数代数形式的加、 复数代数形式的加、减 及其几何意义
引入： 引入：
我们知道实数有加、 我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律： 乘等运算，且有运算律： a+b = b+a ab = ba (a + b ) + c = a + ( b + c ) (ab)c = a (bc ) a (b + c ) = ab + ac 那么复数应怎样进行 应怎样进行加 乘运算呢？ 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应 怎样定义复数的加、 乘运算呢？运算律仍成立吗？ 怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
复数加减法的综合应用
利用复数加减法求解复数的综合运算
例3 已知 ，z ∈C，且|z |＝|z |＝|z －z |＝1. 已知z1 ， 2 1 ＝ 2 ＝ 1 2 ＝
求|z1＋z2|. 【思路点拨】 思路点拨】 解答本题既可利用z 解答本题既可利用 1，z2的代数形
式求解，又可利用复数运算的几何意义求解． 式求解，又可利用复数运算的几何意义求解．
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第八章相量法
例8-1计算复数
解：
本题说明进行复数的加减运算时应先把极坐标形式转为代数形式。
例8-2计算复数
解：
本题说明进行复数的乘除运算时应先把代数形式转为极坐标形式。
例8-3已知正弦电流波形如图所示，ω＝ 103rad/s ，
（1）写出正弦i(t) 表达式；
（2）求正弦电流最大值发生的时间 t1
解：根据图示可知电流的最大值为 100A ， t=0 时电流为 50A ，因此有：
解得由于最大值发生在计时起点右侧故取
所以
当时电流取得最大值，即：
例8-4计算下列两正弦量的相位差。
解：（1）
转为主值范围：
说明i1滞后i2。
（2）先把i2变为余弦函数：
则
说明i1超前i2。
（3）因为两个正弦量的角频率，故不能比较相位差。
（4）
则
说明i1超前i2
本题说明两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。
例8-5计算两正弦电压之和，已知：
解：两正弦电压对应的相量为 :
相量之和为：
所以
本题也可借助相量图计算，如下图所示。
相量图
例8-6试判断下列表达式的正、误，并给出正确结果。
解：（1）错，瞬时式和相量混淆，正确写法为：
（2）错，瞬时式不能和相量相等，正确写法为：
（4）对
3）错，有效值和相量混淆，正确写法为：
（5）错，感抗和容抗混淆，正确写法为：
（6）错，有效值和相量混淆，正确写法为：
（7）错，电容和电感的VCR混淆，正确写法为：或。