03-04年高三数学(理)全国统一标准测试(四)
2004年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理科数学试题及答案
2004
年普通高等学校招生福建卷理工类数学试题 新疆
王新敞
奎屯
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
新疆 王新敞
奎屯
1．复数 (1 − i )10 的值是 1+ i
其中正确结论的序号是
（写出所有正
确结论的序号）.
16．如图 1，将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各
切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一
个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的
底面边长为
时，其容积最大.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 12 分）
二、13．4 5 14.1/2 15.1，3 16.2/3
三、
17. 本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技
能，考查运算能力.满分 12 分.
解：（Ⅰ）依题设，f(x)=2cos2x+
3
sin2x=1+2sin(2x+
).
6
由
1+2sin(2x+
)=1－
3
，得
sin(2
2
12
18.本小题主要考查概率统计的基础知识，运用数学知识解决问题的能力.满分 12 分.
解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：
ξ0 1 2 3
1 3 11
P
30 10 2 6
甲答对试题数ξ的数学期望
Eξ=0×
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理工农林医 类)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学 (理工农林医类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至1页，第Ⅱ卷3至10页。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔在答题卡上对应题宗旨答案涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，惟有一项乃是符合题目要求的。
参阅公式：三角函数的和差化积公式 )]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++= )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+= )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= )]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题1．设集合(){}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,1,22，(){}R y R x y x y x N ∈∈=-=,,0,2，则集合NM 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．函数2sin x y =的最小正周期乃是（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π43．设数列{}n a 乃是等差数列，且6,682=-=a a ，n S 乃是数列{}n a 的前n 项和，则 （ ）A ．54S S <B ．54S S =C ．56S S <D ．56S S = 4．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）正棱台、圆台的侧面积公式l c c S )(21+'=台侧 其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 台体的体积公式334R V π=球 其中R 表示球的半径A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x 5．函数)1(log 221-=x y 的定义域为（ ）A ．[)(]2,11,2 -- B ．)2,1()1,2( --C ．[)(]2,11,2 --D ．)2,1()1,2( --6．设复数z 的辐角的主值为32π，虚部为3，则2z =（ ）A ．i 322--B ．i 232--C ．i 32+D ．i 232+7．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ）A ．5B ．5 C ．25D ．45 8．不等式311<+<x 的解集为（ ）A ．()2,0B ．())4,2(0,2 -C ．()0,4-D ．())2,0(2,4 --9．正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 （ ）A ．322 B ．2C ．32D ．324 10．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）A ．223 B ．233 C ．23 D ．3311．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为（ ）A ．(][]10,02, -∞-B ．(][]1,02, -∞-C ．(][]10,12, -∞-D ．[]10,1]0,2[ -12．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，则不同的分配方案共有（ ）A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种第Ⅱ卷步骤.）13．用平面α截半径为R 的球，如果球心到平面α的距离为2R，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 .14．函数x x y cos 3sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为 .15．已知函数)(x f y =乃是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数乃是)(x g y =，则=-)8(g .16．设P 乃是曲线)1(42-=x y 上的一个动点，则点P 到点)1,0(的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 .三、解读回答题（6道题，共76分）17．（本小题满分12分）已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值.18．（本小题满分12分）解方程 11214=-+xx.m的矩形蔬菜温室。
全国卷IV2004年理科
2004年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷IV ）适用地区：贵州、宁夏.一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. （2004▪全国卷IV ▪理）已知集合{M =0，1，2}，{|2N x x a ==，}a M ∈，则集合M N = A.{0}B.{0，1}C.{1，2}D.{0，2}2. （2004▪全国卷IV ▪理）函数2()x y e x R =∈的反函数为A.2ln (0)y x x =>B.ln(2)(0)y x x =>C.1ln (0)2y x x => D.1ln(2)(0)2y x x => 3. （2004▪全国卷IV ▪理）过点(1-，3)且垂直于直线230x y -+=的直线方程为A.210x y +-=B.250x y +-=C.250x y +-=D.270x y -+=4. （2004▪全国卷IV ▪理）2=i B.i i D.i5. （2004▪全国卷IV ▪理）不等式(2)03x x x +<-的解集为 A.{|2x x <-或03}x << B.{|20x x -<<或3}x > C.{|2x x <-或0}x > D.{|0x x <或3}x >6. （2004▪全国卷IV ▪理）等差数列{}n a 中，12324a a a ++=-，18192078a a a ++=，则此数列前20项和等于 A.160 B.180 C.200 D.220 7. （2004▪全国卷IV ▪理）对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是A.如果m α⊂，n α⊄，m 、n 是异面直线，那么n ∥αB.如果m α⊂，n α⊄，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C.如果m α⊂，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥nD.如果m ∥α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥n 8. （2004▪全国卷IV ▪理）已知椭圆的中心在原点，离心率12e =，且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合，则此椭圆方程为A.22143x y += B.22186x y += C.2212x y += D.2214x y += 9. （2004▪全国卷IV ▪理）从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有 A.210种 B.420种 C.630种 D.840种10. （2004▪全国卷IV ▪理）已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点，如果2AB AC ==，BC =ABC 的距离为A.1D.211. （2004▪全国卷IV ▪理）ABC ∆中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，30B ∠=︒，ABC ∆的面积为32，那么b 等于A.12B.1C.22+D.212. （2004▪全国卷IV ▪理）设函数()()f x x R ∈为奇函数，1(1)2f =，(2)()f x f x +=+ (2)f ，则(5)f =A.0B.1C.52D.5二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13. （2004▪全国卷IV ▪理）8(x x-展开式中5x 的系数为__________. 14. （2004▪全国卷IV ▪理）向量a 、b 满足()a b -▪(2)4a b +=-，且2a =，4b =，则a 与b 夹角的余弦值等于_________.15. （2004▪全国卷IV ▪理）函数1()cos cos 2()2f x x x x R =-∈的最大值等于________. 16. （2004▪全国卷IV ▪理）设x 、y 满足约束条件10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是__________.三、解答题（共6小题，满分12×5＋14＝74分）17. （2004▪全国卷IV ▪理）已知α为第二象限角，且sin α=求s i n ()4s i n 2c o s 21πααα+++的值.18. （2004▪全国卷IV ▪理）求函数21()ln(1)4f x x x =+-在[0，2]上的最大值和最小值. 19. （2004▪全国卷IV ▪理）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得﹣100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．⑴求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望；⑵求这名同学总得分不为负分（即0ξ≥）的概率.20. （2004▪全国卷IV ▪理）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，8AB =，AD =PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60︒． ⑴求四棱锥P ABCD -的体积； ⑵证明PA BD ⊥.21. （2004▪全国卷IV ▪理）双曲线22221(1x y a a b-=>，0)b >的焦距为2c ，直线l 过点(a ，0)和(0，)b ，且点(1，0)到直线l 的距离与点(1-，0)到直线l 的距离之和45s c ≥.求双曲线的离心率e 的取值范围. 22. （2004▪全国卷IV ▪理）已知函数()(cos sin )x f x e x x -=+，将满足()0f x '=的所有正数x 从小到大排成数列{}n x .⑴证明数列{()}n f x 为等比数列；⑵记n S 是数列{()}n n x f x 的前n 项和，求12limnn S S S n→∞+++.2004年贵州省高考数学试卷（理）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2004•贵州）已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（）A．{0} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，2}【分析】集合N的元素需要运用集合M的元素进行计算，经过计算得出M的元素，再求交集【解答】解：由题意知，N={0，2，4}，故M∩N={0，2}，故选D．【点评】此题考查学生交集的概念，属于基础题2．（5分）（2004•贵州）函数y=e2x（x∈R）的反函数为（）A．y=2lnx（x＞0）B．y=ln（2x）（x＞0）C．y=lnx（x＞0）D．y=ln（2x）（x＞0）【分析】本题主要考查求反函数的方法以及指数式和对数式的互化，属于基础性题，考查对2个知识点的灵活运用．【解答】解：由y=e2x可得2x=lny即 x=lny，将x、y互换得y=lnx（x＞0）∴函数y=e2x（x∈R）的反函数为y=lnx（x＞0）．故选C【点评】求反函数的解题过程一般分为三个层次，其一是把原函数看做方程利用指对互化解出x；其二是根据反函数定义x、y进行互换，其三是定义域的确定．3．（5分）（2004•贵州）过点（﹣1，3）且垂直于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（）A．2x+y﹣1=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+7=0【分析】根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．【解答】解：根据题意，易得直线x﹣2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为﹣2，又知其过点（﹣1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y﹣1=0．【点评】本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况．4．（5分）（2004•贵州）=（）A．B．C．D．【分析】化简复数的分子和分母，然后同乘分母的共轭复数，化为a+bi（a、b∈R）的形式即可．【解答】解：故选D．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题．5．（5分）（2004•贵州）不等式＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣2或0＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜0或x＞3} C．{x|x＜﹣2或x＞0} D．{x|x＜0或x＞3}【分析】将“不等式＜0”转化为：“x（x+2）（x+3）＜0”，用穿根法求解．【解答】解：依题意：原不等式转化为：x（x+2）（x+3）＜0解得：x＜﹣2或0＜x＜3故选A【点评】本题主要考查分式不等式的解法，一般是转化为整式不等式，再用穿根法求解．6．（5分）（2004•贵州）等差数列中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于（）A．160 B．180 C．200 D．220【分析】先根据a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78可得到a1+a20=18，再由等差数列的前20项和的式子可得到答案．【解答】解：∵a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3（a1+a20）∴a1+a20=18∴=180故选B【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用．考查等差数列的性质．7．（5分）（2004•贵州）对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【分析】根据空间中直线与直线之间的位置关系和空间中直线与平面之间的位置关系及其性质对A、B、C、D四个选项进行一一判断，从而进行求解．【解答】解：A、∵m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，若n⊥m，则n⊥α，故A错误；B、∵m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，可知n与α也可以平行，故B错误；C、∵m⊂α，n∥α，m、n共面，⇒m∥n，故C正确；D、∵m∥α，n∥α，m、n共面，可知m与n也可以垂直，故D错误；故选C．【点评】此题是一道立体几何题，主要考查直线与直线之间的位置关系：相交与平行；空间中直线与平面之间的位置关系：平行或相交，比较基础．8．（5分）（2004•贵州）已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．【分析】先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，写出椭圆的标准方程．【解答】解：抛物线y2=﹣4x的焦点为（﹣1，0），∴c=1，由离心率可得a=2，∴b2=a2﹣c2=3，故椭圆的标准方程为+=1，故选 A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，以及求椭圆的标准方程的方法．9．（5分）（2004•贵州）从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有（）A．210 B．420 C．630 D．840【分析】题目要求有男女教师九人选三个到3个班担任班主任是三个元素在九个位置排列，要求这3位班主任中男女教师都有，则选的都是男教师和选的都是女教师不和题意就，需要从总数中去掉．【解答】解：∵共有男女教师九人选三个到3个班担任班主任共有A93种结果，要求这3位班主任中男女教师都有，则选的都是男教师和选的都是女教师不合题意，选的都是男教师有A53种结果，选的都是女教师有A43种结果，∴满足条件的方案有A93﹣（A53+A43）=420，故选B．【点评】排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．10．（5分）（2004•贵州）已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2，BC=2，则球心到平面ABC的距离为（）A．1 B．C．D．2【分析】由已知中球的表面积为20π，我们可以求出球半径R，再由△ABC中，AB=AC=2，BC=2，解三角形我们可以求出△ABC所在平面截球所得圆（即△ABC的外接圆半径），然后根据球心距d，球半径R，截面圆半径r，构造直角三角形，满足勾股定理，我们即可求出球心到平面ABC的距离．【解答】解：∵球的表面积为20π∴球的半径R=∵又AB=AC=2，BC=2，由余弦定理得CosA=﹣则SinA=则△ABC的外接圆半径2r==4则r=2则球心到平面ABC的距离d==1故选A【点评】本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，其中根据球心距d，球半径R，截面圆半径r，构造直角三角形，满足勾股定理，是与球相关的距离问题常用方法．11．（5分）（2004•贵州）△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）A．B．C．D．【分析】先根据等差中项的性质可求得2b=a+c，两边平方求得a，b和c的关系式，利用三角形面积公式求得ac的值，进而把a，b和c的关系式代入余弦定理求得b的值．【解答】解：∵a，b、c成等差数列，∴2b=a+c，得a2+c2=4b2﹣2ac，又∵△ABC的面积为，∠B=30°，故由，得ac=6．∴a2+c2=4b2﹣12．由余弦定理，得，解得．又b为边长，∴．故选B【点评】本题主要考查了余弦定理的运用．考查了学生分析问题和基本的运算能力．12．（5分）（2004•贵州）设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．【点评】本题考查抽象函数求值的方法，考查函数性质在求函数值中的应用，考查了抽象函数求函数值的赋值法．灵活运用已知条件赋值是迅速解决本题的关键，考查学生的转化与化归思想．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2004•贵州）展开式中x5的系数为28 ．【分析】由题意知本题要求二项式定理展开式的一个项的系数，先写出二项式的通项，使得变量x的指数等于5，解出r的值，把r的值代入通项得到这一项的系数．【解答】解：∵T r+1=C8r x8﹣r=，要求x5的系数，∴8﹣=5，∴r=2，∴x5的系数是（﹣1）2C82=28，故答案为：28【点评】本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的通项，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键．14．（4分）（2004•贵州）向量、满足（﹣）•（2+）=﹣4，且||=2，||=4，则与夹角的余弦值等于．【分析】（﹣）•（2+）=﹣4，且||=2，||=4，三式联立借助数量积的定义，求夹角的余弦值．【解答】解：（﹣）•（2+）=﹣4，得22﹣2﹣•=﹣4又||=2，||=4，∴8﹣16﹣2×4cosθ=﹣4 （θ是与夹角）∴cosθ=﹣应填﹣．【点评】考查向量的运算与向量的数量积公式．15．（4分）（2004•贵州）函数的最大值等于．【分析】首先由余弦的倍角公式把函数转化为同名三角函数，再利用配方法求最值．【解答】解：f（x）=cosx﹣cos2x=cosx﹣（2cos2x﹣1）=﹣cos2x+cosx+=所以f（x）的最大值为．故答案为．【点评】本题考查余弦的倍角公式及配方法求最值．16．（4分）（2004•贵州）设x、y满足约束条件，则z=x2+y2的最小值是 1 ．【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的线段的长度问题．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，当P在点A时，z最小，最小值为12+02=1，故答案为：1．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2004•贵州）已知α为第二象限角，且，求的值．【分析】先利用两角和与差的正弦函数和二倍角公式将待求式子化成只含有角α的三角函数，再由三角函数的同角公式求出角α余弦值，从而求出结果即可．【解答】解：=，当α为第二象限角，且时，sinα+cosα≠0，，所以=．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数、二倍角的正弦余弦、同角公式等，属于基础题．18．（12分）（2004•贵州）求函数在[0，2]上的最大值和最小值．【分析】要求函数在区间的最值，求出导函数令其为零得到驻点，然后分区间讨论函数的增减性，求出函数的极大值，考虑闭区间两个端点对应的函数值的大小，最后判断出最大值和最小值即可．【解答】解：，令，化简为x2+x﹣2=0，解得x1=﹣2（舍去），x2=1．当0≤x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调增加；当1＜x≤2时，f'（x）＜0，f（x）单调减少．所以为函数f（x）的极大值．又因为f（0）=0，f（2）=ln3﹣1＞0，f（1）＞f（2），所以f（0）=0为函数f（x）在[0，2]上的最小值，为函数f（x）；在[0，2]上的最大值．【点评】本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力．19．（12分）（2004•贵州）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得﹣100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望；（Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率．【分析】（1）由题意知这名同学回答这三个问题时可能三个题目都答对，答对两个、答对一个、答对0个，所以总得分ξ的可能取值是﹣300，﹣100，100，300．根据变量对应的事件根据独立重复试验公式得到结果．（2）不得负分包括得100和300分，而得这两个分数这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）ξ的可能值为﹣300，﹣100，100，300．P（ξ=﹣300）=0.23=0.008，P（ξ=﹣100）=3×0.22×0.8=0.096，P（ξ=100）=3×0.2×0.82=0.384，P（ξ=300）=0.83=0.512，Eξ=（﹣300）×0.008+（﹣100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180．（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P（ξ≥0）=0.384+0.512=0.896．【点评】本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解决实际问题的能力．这种题目高考必考，应注意解题的格式．20．（12分）（2004•贵州）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（Ⅱ）证明PA⊥BD．【分析】（Ⅰ）取AD的中点E，连接PE，则PE⊥AD．作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连接OE．求出高PO和底面ABCD的面积，可求四棱锥P﹣ABCD的体积；（Ⅱ）法一：建立空间直角坐标系，求出，计算，就证明了PA⊥BD．法二：连接AO，延长AO交BD于点F，通过相似和计算，证明直线BD垂直直线PA在平面ABCD内的身影AF，即可证明PA⊥BD．【解答】解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连接PE，则PE⊥AD．作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连接OE．根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=3，四棱锥P﹣ABCD的体积V P﹣ABCD=．（Ⅱ）法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系．通过计算可得P（0，0，3），A（2，﹣3，0），B（2，5，0），D（﹣2，﹣3，0）所以．因为，所以PA⊥BD．法二：如图2，连接AO，延长AO交BD于点F．通过计算可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8，得．所以Rt△AEO∽Rt△BAD．得∠EAO=∠ABD．所以∠EAO+∠ADF=90°所以AF⊥BD．因为直线AF为直线PA在平面ABCD内的身影，所以PA⊥BD．【点评】本题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力．21．（12分）（2004•贵州）双曲线=1（a＞1，b＞0）的焦点距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．求双曲线的离心率e的取值范围．【分析】直线l的方程是bx+ay﹣ab=0．点（1，0）到直线l的距离，点（﹣1，0）到直线l的距离，．由知．所以4e4﹣25e2+25≤0．由此可知e的取值范围．【解答】解：直线l的方程为，即bx+ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离，同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离．由，即．于是得，即4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得．由于e＞1＞0，所以e的取值范围是．【点评】本题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力．22．（14分）（2004•贵州）已知函数f（x）=e﹣x（cosx+sinx），将满足f'（x）=0的所有正数x从小到大排成数列{x n}．（Ⅰ）证明数列{f{x n}}为等比数列；（Ⅱ）记S n是数列{x n f{x n}}的前n项和，求．【分析】（1）先求导数，解出f'（x）=0的所有正数解x，求得数列{x n}．从而可证明数列{f{x n}}为等比数列．（2）利用错位相减法求得Sn，从而求得，进而得解．【解答】解：（Ⅰ）证明：f'（x）=﹣e﹣x（cosx+sinx）+e﹣x（﹣sinx+cosx）=﹣2e﹣x sinx．由f'（x）=0，得﹣2e﹣x sinx=0．解出x=nπ，n为整数，从而x n=nπ，n=1，2，3，f（x n）=（﹣1）n e﹣nπ.．所以数列{f{x n}}是公比q=﹣e﹣π的等比数列，且首项f（x1）=q．（Ⅱ）解：S n=x1f（x1）+x2f（x2）++x n f（x n）=πq（1+2q++nq n﹣1），qS n=πq（q+2q2++nq n），S n﹣qS n=πq（1+2q2++q n﹣1﹣nq n）=，从而===．因为，所以．【点评】本小题主要考查．函数求导，等比数列证明，错位相减的求和方法，及极限的求解等知识．是对知识的综合性考查，能力要求较高．参与本试卷答题和审题的老师有：tuolujiao；liuerq；danbo7801；qiss；wodeqing；zhwsd；zhiyuan；caoqz；涨停；豫汝王世崇；301137；xintrl；wzj123；yhx01248；sllwyn；zlzhan；lzcgm（排名不分先后）菁优网2017年5月17日。
2004高考数学试题(全国4理)及答案
2004年高考试题全国卷Ⅳ理科数学（必修+选修Ⅱ）第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合},2|{},2,1,0{M a a x x N M ∈===，则集合N M ⋂= （ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，2} 2．函数)(2R x e y x∈=的反函数为（ ）A ．)0(ln 2>=x x yB ．)0)(2ln(>=x x yC ．)0(ln 21>=x x y D ．)0(2ln 21>=x x y 3．过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．)1)31(2ii +-=（ ）A ．i +3B ．i --3C ．i -3D ．i +-3 5．不等式03)2(<-+x x x 的解集为（ ）A ．}30,2|{<<-<x x x 或B ．}3,22|{><<-x x x 或C ．}0,2|{>-<x x x 或D ．}3,0|{<<x x x 或6．等差数列}{n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于 （ ）A ．160B ．180C ．200D ．220 7．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（ ）A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//n ；B ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //；D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //8．已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π 其中R 表示球的半径A ．13422=+y x B ．16822=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 9．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（ ）A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种10．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心 到平面ABC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．211．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b = （ ）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+12．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．8)1(xx -展开式中5x 的系数为 .14．向量a 、b 满足（a －b ）·（2a +b ）=－4，且|a |=2，|b |=4，则a 与b夹角的余弦值等于 .15．函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 . 16．设y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤+,0,,1y x y y x 则y x z +=2的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知α为第二象限角，且 sin α=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值. 18．（本小题满分12分）求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值.C19．（本小题满分12分） 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响. （Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望； （Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0）的概率. 20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA ⊥BD. 21．（本小题满分12分）双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦点距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和.54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围. 22．（本小题满分14分）已知函数0)(),sin (cos )(='+=-x f x x ex f x将满足的所有正数x 从小到大排成数列}.{n x（Ⅰ）证明数列{}{n x f }为等比数列；（Ⅱ）记n S 是数列{}{n n x f x }的前n 项和，求.lim 21nS S S nn +++∞→2004年高考试题全国卷4理科数学（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题1—12 D C A D A B C A B A B C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．28 14．21-15．43 16．2三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能.满分12分.解：αααααααπα2cos 2cos sin 2)cos (sin 2212cos 2sin )4sin(++=+++.)cos (sin cos 4)cos (sin 2ααααα++= 当α为第二象限角，且415sin =α时41cos ,0cos sin -=≠+ααα， 所以12cos 2sin )4sin(+++ααπα=.2cos 42-=α 18．本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力.满分12分. 解：,2111)(x x x f -+=' 令 ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加； 当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少. 所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值. 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值.19．本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解 决实际问题的能力.满分12分. 解：（Ⅰ）ξ的可能值为－300，－100，100，300.P （ξ=－300）=0.23=0.008, P （ξ=－100）=3×0.22×0.8=0.096, P （ξ=100）=3×0.2×0.82=0.384, P （ξ=300）=0.83=0.512,图2Cy所以ξ的概率分布为根据ξ的概率分布，可得ξ的期望E ξ=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.（Ⅱ）这名同学总得分不为负分的概率为P （ξ≥0）=0.384+0.512=0.896.20．本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力.满分12分. 解：（Ⅰ）如图1，取AD 的中点E ，连结PE ，则PE ⊥AD.作PO ⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE ⊥AD ， 所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6， 所以PO=33，四棱锥P —ABCD 的体积 V P —ABCD =.963334831=⨯⨯⨯ （Ⅱ）解法一：如图1，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P （0，0，33），A （23，－3，0），B （23，5，0），D （－23，－3，0） 所以).0,8,34(),33,3,32(--=--=BD PA 因为,002424=++-=⋅BD PA 所以PA ⊥BD.解法二：如图2，连结AO ，延长AO 交BD 于点F.通过计算可得EO=3，AE=23知AD=43，AB=8，得.ABADAE EO = 所以 Rt △AEO ∽Rt △BAD. 得∠EAO=∠ABD.所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF ⊥BD.因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA ⊥BD.21．本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12分. 解：直线l 的方程为1=+bya x ，即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cabb a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式，得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是.525≤≤e 22．本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以及综合运用的能力.满分14分. （Ⅰ）证明：.sin 2)cos sin ()sin (cos )(x e x x e x x ex f x x x----=+-++-='由,0)(='x f 得.0sin 2=--x e x解出n n x ,π=为整数，从而,3,2,1,==n n x n π .)1()(πn n n e x f --=.)()(1π-+-=e x f x f n n所以数列)}({n x f 是公比π--=eq 的等比数列，且首项.)(1q x f =（Ⅱ）解：)()()(2211n n n x f x x f x x f x S +++= ),21(1-+++=n nq q q π),11()21(),2(122n nnn n n n n nq qq q nq qq q qS S nq q q q qS ---=-+++=-+++=-πππ 而).11(1n nn nq qq q q S ----=πnS S S n+++ 21.)1()1()1(2)1()11()1(11)1()1()21()1()1()1()1(2232222222121222q q q q n q q qnq qq q n q q q q n q q q nq q q n q qq q n q q qn n n nn n n -+----=----------=+++--+++---=+--πππππππππ因为0lim .1||=<=∞→-n n q eq π，所以.)1()1(lim 2221+-=-=+++∞→ππππe e q q n S S S n n。
2004年湖北省 高考理科数学试题(真题与答案解析)
（8）已知数列{an}的前 项和 ，其中a、b是非零常数。则存在数列{ }、{ }使得
（A）an= + 其中{ }为等差数列，{ }为等比数列
（B）an= + ，其中{ }和{ }都为等差数列
（C）an= · ，其中{ }为等差数是列，{ }为等比数列
（D）an= · 其中{ }和{ }都为等比数列
∴ 。
既 对n=1,2,…都成立。
（Ⅱ）邻 ，得 。
∴ 。
∴ ，解得 。
现证明当 时， ，对 ，…都成立。
（Ⅰ）当 时结论成立（已验证）。
（Ⅱ）假设当 时结论成立，既 ，那么
。
故只须证明 ，既证 对 成立。
由于A= ，
而当 时， ∴A≥2。
∴ 既
故当 时， 。
既 时结论成立。
根据（Ⅰ）和（Ⅱ），可知结论对一切正整数都有成立。
（Ⅱ）当1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点。又E是BC的中点，连接EF，则EF∥BD。连接AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF。连接C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影。
∴C1H⊥EF，既∠AHC1是二面角C1－EF－A的平面角。
∵C1（1，1，1），H ， 。
∴ ， 。
∴
= 。
既∠AHC1=
直线 ： 与双曲线C： 的右支交于不同的两点A、B。
（Ⅰ）求实数 的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数 ，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出 的值。若不存在，说明理由。
（21）（本小题满分12分）
某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3；一旦发生，将造成400万元的损失。现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用。单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别是0.9和0.85。若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少。
2004 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷四
!""#年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷!）数学本试卷分第"卷（选择题）和第#卷（非选择题）两部分$满分%&"分$考试时间%!"分钟$第"卷（选择题共’"分）参考公式：三角函数的和差化积公式：()*!+()*",!()*!+"!・-.(!/"!()*!/()*",!-.(!+"!・()*!/"!-.(!+-.(",!-.(!+"!・-.(!/"!-.(!/-.(",/!()*!+"!・()*!/"!正棱台、圆台的侧面积公式!台侧,%!（"0+"）#其中"0，"分别表示上、下底面周长，#表示斜高或母线长球体的表面积公式：!球,#$$!其中$表示球的半径一、选择题：本大题共%!小题，每小题&分，共’"分$在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的$%1设集合%,｛（&，’）2&!+’!,%，&!!，’!!｝，(,｛（&，’）2&!/’,"，&!!，’!!｝，则集合%"(中元素的个数为31%41!51671#!1函数’,()*&!的最小正周期是31$!41$ 51!$71#$61（理）设数列｛)*｝是等差数列，且)!,/’，)8,’，!*是数列｛)*｝的前*项和，则31!#9!&41!#,!&51!’9!&71!&,!’（文）等比数列｛)*｝中，)!,:，)&,!#6，则｛)*｝的前#项和为318%41%!"51%’871%:!#1圆&!+’!/#&,"在点+（%，#6）处的切线方程为31&#+6’/!,"41&#+6’/#,"51&#/6’+#,"71&#/6’+!,"&1（理）函数’,;.<%!（&!/%#）的定义域是31［#/!，/%）$（%，#!］41（#/!，/%）$（%，#!）51［/!，/%）$（%，!］71（/!，/%）$（%，!）（文）记函数’,%+6/&的反函数为’,,（&），则,（%"）,31!41/!51671/%’1设复数-的辐角的主值为!$6，虚部为#6，则-!,##31/!/!6)41/!6/!)##51!+!6)71!6+!)=1设双曲线的焦点在&轴上，两条渐近线为’,>%!&，则该双曲线的离心率.为#31&41&51#&!71Q不等式%92&+%296的解集为31（"，!）41（/!，"）$（!，#）51（/#，"）71（/#，/!）$（"，!）:1正三棱锥的底面边长为!，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为!"#$!!#%"#&"!#$’"($!#)*"在"!"#中，!"+$，"#!+)$，!#+(，则边!#上的高为!"$#!#%"$#!$&"$#!’"$$))"（理）设函数$（%）+（%,)）#，%-)(.%!.)，%#{)，则使得$（%）#)的自变量%的取值范围为!"（./，.#］$［*，)*］%"（./，.#］$［*，)］&"（./，.#］$［)，)*］’"［.#，*］$［)，)*］（文）（!%.)%）0的展开式中的常数项为!")1%".)1&"#*’".#*)#"将(名教师分配到$所中学任教，每所中学至少)名教师，则不同的分配方案共有!")#种%"#(种&"$0种’"(2种第!卷（非选择题共3*分）二、填空题：本大题共(小题，每小题(分，共)0分4把答案填写在题中的横线上4)$"用平面!截半径为&的球，如果球心到平面!的距离为&#，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为4)("（理）函数’+567%!,$895%在区间［*，"#］上的最小值为4（文）函数’+567%.)#895%（%%!）的最大值为4)1"（理）已知函数’+$（%）是奇函数，当%#*时，$（%）+$%.)4设$（%）的反函数是’+(（%），则(（.2）+4（文）函数’+:9;)#（%.)!）的定义域是4)0"（理）设)是曲线’#+(（%.)）上的一个动点，则点)到点（*，)）的距离与点)到’轴的距离之和的最小值是4（文）设)为圆%#,’#+)上的动点，则点)到直线$%.(’.)*+*的距离的最小值为4三、解答题：本大题共0小题，共<(分4解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤4)<"（本小题满分)#分）已知!为锐角，且=>7!+)#，求567#!895!.567!567#!895#!的值4)2"（本小题满分)#分）（理）解方程(%,?).#%?+))4（文）解方程(%.#%,#.)#+*4某村计划建造一个室内面积为%&&’$的矩形蔬菜温室(在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留!’宽的通道，沿前侧内墙保留)’宽的空地(当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？三棱锥!—"#$中，侧面!"$与底面"#$垂直，!"*!#*!$*)(（!）求证"#!#$；（$）（理）设"#*#$"*$)，求"$与平面!#$所成角的大小(（文）如果"#*#$"*$)，求侧面!#$与侧面!"$所成二面角的大小(设椭圆!!"%"%#!&"的两个焦点是$"（’%，(）与$!（%，(）（%)(），且椭圆上存在点&，使得直线&$"与直线&$!垂直*（"）求实数"的取值范围；（!）设’是相应于焦点$!的准线，直线&$!与’相交于点(*若+($!++&$!+!&!’,，求直线&$!的方程*（理）已知数列｛)*｝的前*项和+*满足+*&!)*%（’"）*，*""*（"）写出数列｛)*｝的前,项)"，)!，),；（!）求数列｛)*｝的通项公式；（,）证明：对任意的整数")$，有")$%")-%…%")"./*（文）设数列｛)*｝是公差不为零的等差数列，+*是数列｛)*｝的前*项和，且+!,&1+!，+$&$+!，求数列｛)*｝的通项公式*。
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷.理)
web 试卷生成系统谢谢使用一、填空题（每空？ 分，共？ 分）1、已知函数的最小正周期为3，则A= .2、设满足约束条件：则的最大值是 .二、选择题（每空？ 分，共？ 分）3、在△ABC 中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC 上的高为A. B.C.D.4、设集合U={1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M ∩（ U N ）=（A ）{5} （B ）{0，3} （C）{0，2，3，5}（D ） {0，1，3，4，5}5、函数的反函数为（A ） （B ） （C ） （D ）6、正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为（A ） （B ） （C ） （D ）7、 函数在处的导数等于（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）48、为了得到函数的图像，可以把函数的图像（A ）向左平移3个单位长度 （B ）向右平移3个单位长度 （C ）向左平移1个单位长度 （D ）向右平移1个单位长度9、等差数列中，，则此数列前20项和等于（A ）160 （B ）180（C ）200（D ）22010、已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则（A）（B ）（C ）（D ）11、已知圆C的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C相切，则圆C的方程为（A ）（B ）（C ）（D ）12、从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（A）210种（B）420种（C）630种（D）840种13、函数的最小值等于（A）－3 （B）－2 （C）－1 （D）－14、已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=BC=2，则球心到平面ABC的距离为（A）1 （B）（C ） (D）215、△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为，那么b=A.B. C.D.16、已知函数（A ）（B）－（C）2 （D）－217、函数的反函数是A. B.C. D.18、的展开式中常数项是（A）14 （B）－14 （C）42 （D）－4219、设若则=A. B. C. D.420、设抛物线的准线与轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是A. B.[－2，2] C.[－1，1] D.[－4，4]21、已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T ，则等于A. B. C. D.22、从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是A. B. C.D.三、计算题（每空？分，共？分）23、已知数列{}为等比数列，（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）设是数列{}的前项和，证明24、已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.25、双曲线的焦距为2c ，直线过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围.参考答案一、填空题1、3/22、2二、选择题3、B4、B5、C6、A7、D8、D9、B10、A11、D12、B13、C14、A15、B16、B17、B18、A19、B20、C21、A22、C三、计算题23、解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，则a2=a1q, a5=a1q4.a1q=6,依题意，得方程组a1q4=162.解此方程组，得a1=2, q=3.故数列{a n}的通项公式为a n=2・3n－1.（II）24、解：（Ⅰ）y′=2x+1.直线l1的方程为y=3x－3.设直线l2过曲线y=x2+x－2上的点B（b, b2+b－2）,则l2的方程为y=(2b+1)x－b2－2 因为l1⊥l2，则有2b +1=所以直线l2的方程为（II）解方程组得所以直线l1和l2的交点的坐标为l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、.所以所求三角形的面积25、解：直线的方程为，即由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离，同理得到点（－1，0）到直线的距离由即于是得解不等式，得由于所以的取值范围是。
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)(重庆卷)及答案
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（重庆卷）本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分 考试时间120分钟.第Ⅰ部分（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那幺 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数y =（ ）A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞C ．23[,1]D ．23(,1] 2．设复数z z i z 2,212-+=则, 则22Z Z -=（ ） A ．–3 B ．3 C ．－3i D ．3i3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为 （ ）A ．2B ．2C ．1D 4．不等式221x x +>+的解集是（ ）A ．(1,0)(1,)-+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(1,0)(0,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞5．sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．26．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．127．一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（ ）A ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a > 8．设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．9． 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是：（ ） A ．4005B ．4006C ．4007D ．400810．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ） A ．43 B ．53 C ．2 D ．7311．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为： （ ）A ．110B ．120C ．140 D ．112012．若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是（ ）（C ） （D ）第Ⅱ部分（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13.若在5(1)ax +的展开式中3x 的系数为80-，则_______a =.14．曲线23112224y x y x =-=-与在交点处切线的夹角是______，（用幅度数作答） 15．如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、…..，P n ，…,记纸板P n 的面积为n S ，则lim ______n x S →∞=.16．对任意实数K ，直线：y kx b =+与椭圆：)20(sin 41cos 23πθθθ<≤⎩⎨⎧+=+=y x 恒有公共点，则b 取值范围是_______________三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数44sincos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间。
2004年高考理科数学全国卷(word版含答案)
2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k(1－P)n －k一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60。
1．(1－i)2·i= （ ）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．2 2．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 （ ）A ．bB ．－bC ．b1D ．－b1 3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ ）A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1) 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－42 6．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是 （ ）A ．( IA)∪B=IB ．( IA)∪( I B)=I C ．A ∩( IB)=φD ．( I A)∪( I B)=I B 7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点 球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3C ．27 D ．48．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象 （ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH 的表面积为T ，则S T等于（ ）A ．91B ．94 C ．41 D ．31 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 （ ）A ．12513 B ．12516 C ．12518 D ．12519 12．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ ）A ．3－21 B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .15．已知数列{a n}，满足a1=1，a n=a1+2a2+3a3+…+(n－1)a n－1(n≥2)，则{a n}的通项1, n=1,a n= ,n≥2.16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 .①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数xx xxxxf2sin2cossincossin)(2 24 4-++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P—ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.（I）求点P到平面ABCD的距离，Array（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125=求a 的值.22．（本小题满分14分）已知数列1}{1 a a n 中，且 a 2k =a 2k －1+(－1)K,a 2k+1=a 2k +3k, 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修I ）参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37.P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04于是得到随机变量ξ的概率分布列为：19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.（II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时 由.02,022<<-<+x aax x 解得 所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a2, 由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数. 20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE. ∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23. （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到： 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π . 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan23. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a a a e （II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得 由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a aa x a a x a a x 所以由得消去所以22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0,a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(－1)2=4,a 5=a 4+32=13,所以，a 3=3,a 5=13.(II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k ,所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1,……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)],由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k ka 2k = a 2k －1+(－1)k=2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k (－1)k =1. {a n }的通项公式为： 当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nnn a。
2004年全国高考数学试题(全国卷理科word版)
2004年全国高考数学（人教版）试题(理科)一、选择题（每小题5分，共60分）1、设集合(){}R y R x y x y x M ∈∈=+=,,1,22，(){}R y R x y x y x N ∈∈=-=,,0,2，则集合N M 中元素的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、42、函数2sin x y =的最小正周期是（ ） A 、 2π B 、 π C 、π2 D 、π4 3、设数列{}n a 是等差数列，且6,682=-=a a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）A 、54S S <B 、54S S =C 、56S S >D 、56S S =4、圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ）A 、023=-+y xB 、043=-+y xC 、043=+-y xD 、023=+-y x5、函数)1(log 221-=x y 的定义域为（ ）A 、[)(]2,11,2 --B 、)2,1()1,2( --C 、[)(]2,11,2 --D 、)2,1()1,2( --6、设复数z 的辐角的主值为32π，虚部为3，则2z =（ ） A 、i 322-- B 、i 232-- C 、i 32+ D 、i 232+7、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ） A 、5 B 、 5 C 、25 D 、45 8、不等式311<+<x 的解集为（ ）A 、()2,0B 、())4,2(0,2 -C 、()0,4-D 、())2,0(2,4 --9、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）A 、322B 、2C 、32D 、324 10、在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）A 、223B 、233 C 、23 D 、3311、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1,141,)1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为（ ） A 、(][]10,02, -∞- B 、(][]1,02, -∞- C 、(][]10,12, -∞- D 、[)[]10,10,2 -12、将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，则不同的分配方案共有（ ）A 、12种B 、24种C 、36种D 、48种二、填空题（每小题4分，共16分）13、用平面α截半径为R 的球，如果球心到平面α的距离为2R ，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 .14、函数x x y cos 3sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为 . 15、已知函数)(x f y =是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g .16、设P 是曲线)1(42-=x y 上的一个动点，则点P 到点)1,0(的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 .三、解答题（6道题，共76分）17、（12分）已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值。
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(全国卷.理)
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——笛卡尔web试卷生成系统谢谢使用一、填空题（每空？分，共？分）1、已知函数的最小正周期为3，则A= .2、设满足约束条件：则的最大值是.二、选择题（每空？分，共？分）3、在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为A. B. C.D.4、设集合U={1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M∩（U N）=（A）{5} （B）{0，3} （C）{0，2，3，5}（D） {0，1，3，4，5}5、函数的反函数为（A）（B）（C）（D）6、正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45°角，则此三棱柱的体积为（A）（B）（C）（D）7、函数在处的导数等于（A）1 （B）2 （C）3 （D）48、为了得到函数的图像，可以把函数的图像（A）向左平移3个单位长度（B）向右平移3个单位长度（C）向左平移1个单位长度（D）向右平移1个单位长度9、等差数列中，，则此数列前20项和等于（A）160 （B）180 （C）200（D）22010、已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则（A）（B）（C）（D）11、已知圆C的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C相切，则圆C的方程为（A ）（B ）（C ）（D ）12、从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（A）210种（B）420种（C）630种（D）840种13、函数的最小值等于（A）－3 （B）－2 （C）－1 （D）－14、已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点.如果AB=AC=BC=2，则球心到平面ABC的距离为（A）1 （B）（C ） (D）215、△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为，那么b=A.B. C.D.16、已知函数（A）（B）－（C）2 （D）－217、函数的反函数是A. B.C. D.18、的展开式中常数项是（A）14 （B）－14 （C）42 （D）－4219、设若则=A. B. C. D.420、设抛物线的准线与轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是A. B.[－2，2] C.[－1，1] D.[－4，4]21、已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T ，则等于A. B. C. D.22、从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是A. B. C.D.三、计算题（每空？分，共？分）23、已知数列{}为等比数列，（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）设是数列{}的前项和，证明24、已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且（Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.25、双曲线的焦距为2c ，直线过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围.参考答案一、填空题1、3/22、2二、选择题3、B4、B5、C6、A7、D8、D9、B10、A11、D12、B13、C14、A15、B16、B17、B18、A19、B20、C21、A22、C三、计算题23、解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，则a2=a1q, a5=a1q4.a1q=6,依题意，得方程组a1q4=162.解此方程组，得a1=2, q=3.故数列{a n}的通项公式为a n=2・3n－1.（II）24、解：（Ⅰ）y′=2x+1.直线l1的方程为y=3x－3.设直线l2过曲线y=x2+x－2上的点B（b, b2+b－2）,则l2的方程为y=(2b+1)x－b2－2 因为l1⊥l2，则有2b +1=所以直线l2的方程为（II）解方程组得所以直线l1和l2的交点的坐标为l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、.所以所求三角形的面积25、解：直线的方程为，即由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离，同理得到点（－1，0）到直线的距离由即于是得解不等式，得由于所以的取值范围是读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。
(完整)2003年高考全国卷.理科数学试题及答案,推荐文档
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ l c c S )(21+'=台侧 其中c '、c 分别表示)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅ 上、下底面周长，l 表示斜高或母线长.)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅ 球体的体积公式：334R V π=球 ，其中R)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅ 表示球的半径.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知2(π-∈x ，0），54cos =x ，则2tg x = （ ） （A ）247 （B ）247- （C ）724 （D ）724-2．圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是 （ ） （A ）2cos -=θρ （B ）2cos =θρ （C ）2sin =θρ （D ）2sin -=θρ 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(0>x f ，则0x 的取值范围是 （ ） （A ）（1-，1） （B ）（1-，∞+）（C ）（∞-，2-）⋃（0，∞+） （D ）（∞-，1-）⋃（1，∞+） 4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）（A ）21+ （B ）12- （C ）2 （D ）25．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a （ ） （A ）2 （B ）22- （C ）12- （D ）12+6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）（A ）22R π （B ）249R π （C ）238R π （D ）223R π7．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）838．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x 9．函数x x f sin )(=，]23,2[ππ∈x 的反函数=-)(1x f （ ）（A ）x arcsin - 1[-∈x ，1] （B ）x arcsin --π 1[-∈x ，1] （C ）x arcsin +π 1[-∈x ，1] （D ）x arcsin -π 1[-∈x ，1]10．已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C ΛΛ （ ）（A ）3 （B ）31 （C ）61（D ）6 12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A ）π3 （B ）π4 （C ）π33 （D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13．92)21(xx -的展开式中9x 系数是14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）16．下列5个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出⊥l 面MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）① ② ③ ④ ⑤三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知复数z 的辐角为︒60，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项，求||z18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G（I ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（II ）求点1A 到平面AED 的距离 19．（本小题满分12分） 已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减 Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围 20．（本小题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南102arccos (=θθ）方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北︒45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ 21．（本小题满分14分）已知常数0>a ，在矩形ABCD 中，4=AB ，a BC 4=，O 为AB 的中点，点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动，且BE CF DG BC CD DA ==，P 为GE 与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P 到这两点D E KBCABA FCG东的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 22．（本小题满分12分，附加题4 分）（I ）设}{n a 是集合|22{ts + t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列，即31=a ，52=a ，63=a ，94=a ，105=a ，126=a ，…将数列}{n a 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：35 69 10 12 — — — —…………⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；⑵求100a（II ）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{，且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列，已知1160=k b ，求k .2003年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 13．221-14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． 解：设)60sin 60cos οοr r z +=，则复数.2r z 的实部为2,r z z r z z ==-由题设 .12||).(12,12:.012,421,)2)(2(||)1)(1(:|2||||1|2222-=--=-==-++-=+-∴--=---⋅=-z r r r r r r r r r z z z z z z z z 即舍去解得整理得即 18．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2)4(.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是分中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥ΘΛΛΘΘ（Ⅱ）解：,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又Θ.36236232222,.,.,.,.,111111*********的距离为到平面中在的距离到平面是即平面垂足为作面且面平面平面面又面AED A AB B A A A K A AB A AED A K A AED K A K AE K A AE AB A AED AB A AED AED ED AB A ED ∴=⨯=⋅=∆⊥∴⊥=⋂⊥∴⊂⊥∴19．解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式.1|2|1|2|上恒大于在函数的解集为R c x x y R c x x -+=⇔>-+22,2,|2|2,2,|2|2.1|2|121.21,,0.21,, 1.(0,][1,).2x c x c x x c c x c y x x c R c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞Q 函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20．解：如图建立坐标系以O 为原点，正东方向为x 轴正向.在时刻：（1）台风中心P （y x ,）的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯+⨯-=⨯-⨯=.22201027300,2220102300t y t x 此时台风侵袭的区域是,)]([)()(22t r y y x x ≤-+-其中,6010)(+=t t r 若在t 时刻城市O 受到台风的侵袭，则有.)6010()0()0(222+≤-+-t y x 即22)22201027300()2220102300(t t ⨯+⨯-+⨯-⨯2412,028836,)6010(22≤≤≤+-+≤t t t t 解得即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.21．根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P 到两点距离的和为定值. 按题意有A （－2，0），B （2，0），C （2，4a ），D （－2，4a ）设(01)BE CF DG k k BC CD DA===≤≤ 由此有E （2，4a k ），F （2－4k ，4a ），G （－2，4a －4ak ） 直线OF 的方程为：0)12(2=-+y k ax ① 直线GE 的方程为：02)12(=-+--a y x k a ②从①，②消去参数k ，得点P （x,y ）坐标满足方程022222=-+ay y x a整理得1)(21222=-+a a y x 当212=a 时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当212≠a 时，点P 轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆焦点的距离的和为定长 当212<a 时，点P 到椭圆两个焦点（),21(),,2122a a a a ---的距离之和为定值2当212>a 时，点P 到椭圆两个焦点（0，)21,0(),2122-+--a a a a 的距离之和为定值2a .22．（本小题满分12分，附加题4分） （Ⅰ）解：用(t,s)表示22t s +，下表的规律为3（(0,1)=0122+）5(0,2) 6(1,2)9(0,3) 10(1,3) 12(2,3) — — — —…………（i ）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)（i i ）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以100a =(8,14)＝81422+＝16640解法二：设0022100t s a +=，只须确定正整数.,00t s数列}{n a 中小于02t的项构成的子集为 },0|2{20t t t s s <<≤+ 其元素个数为.1002)1(,2)1(000020<--=t t t t C t 依题意满足等式的最大整数0t 为14，所以取.140=t因为100－.1664022,8s ,181410000214=+=∴=+=a s C 由此解得（Ⅱ）解：,22211603710++==k b令}0|22{2B ,(}1160|{r t s r C B c M t s <<≤++=<∈=其中因}.22222|{}222|{}2|{37107107101010++<<+∈⋃+<<∈⋃<∈=c B c c B c c B c M 现在求M 的元素个数：},100|222{}2|{10<<<≤++=<∈t s r c B c t s r其元素个数为310C ： }.70|222{}222|{1071010<<≤++=+<<∈s r c B c r s某元素个数为}30|222{}22222|{:710371071027<≤++=++<<+∈r c B c C r某元素个数为.1451:2327310710=+++=C C C k C另法：规定222r t s ++=（r,t,s ），10731160222k b ==++＝（3,7,10）则0121222b =++＝ （0,1,2） 22C依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） 23C （0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4） 24C…………（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） 29C（0,1,10）（0,2,10）.........（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10） (2)7C +422222397()4145.k C C C C =+++++=L。
2004年全国高考理科数学试题及答案-安徽
2004年高考试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题 ：本大题共12小题，每小题6分，共60。
1．(1－i)2·i= （ ）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．2 2．已知函数=-=+-=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若 （ ）A ．bB ．－bC ．b1D ．－b1 3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ ） A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1) 5．73)12(xx -的展开式中常数项是（ ）A ．14B ．－14C ．42D ．－426．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是 （ ）A ．(I C A)∪B=IB ．(IC A)∪(I C B)=I球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径C ．A ∩(I C B)=φD ．(I C A)∪(I C B)= I C B7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点 为P ，则||2PF =（ ）A ．23B ．3C ．27 D ．48．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH的表面积为T ，则ST等于（ ）A ．91B ．94C ．41 D ．31 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 （ ）A ．12513B ．12516C ．12518D ．1251912．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为 （ ）A ．3－21B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .15．已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项 1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥ 16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线，已知某一时刻A 、B 占线的概率均为0.5，C 、D 占线的概率均为0.4，各部是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离，（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小. 21．（本小题满分12分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围： （II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125=求a 的值. 22．（本小题满分14分）已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.2004年高考试题全国卷1 理科数学（必修+选修Ⅱ）(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.0419．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分. 解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.所以当a =0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数. （II ）当,02,02,02>-<>+>x ax ax x a 或解得由时 由.02,022<<-<+x aax x 解得 所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a 2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a2, 由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数. 20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE.∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯， 即点P 到平面ABCD 的距离为23. （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到：,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=于是有所以θ,.⊥⋅⊥ 等于所求二面角的平面角， 于是,772||||cos -=⋅=BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π . 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FGBC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23. 在Rt △PEG 中，EG=21AD=1.于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan23. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+=Y Θ的取值范围为即离心率且且e e e a a aaa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得Θ 由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=----=--=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以 22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0, a 3=a 2+31=3.a 4=a 3+(－1)2=4, a 5=a 4+32=13, 所以，a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k , 所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1, ……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)], 由此得a 2k+1－a 1=23(3k －1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231--++k k a 2k = a 2k －1+(－1)k =2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k (－1)k =1.{a n }的通项公式为： 当n 为奇数时，a n =;121)1(232121-⨯-+-+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322-⨯-+=nn n a。
2004年高考.全国卷Ⅳ.理科数学试题及答案(甘肃、青海、宁夏、贵州、新疆等地区)
2．函数 y e2x (x R) 的反函数为
C．{1，2}
D．{0，2}
（）
A． y 2 ln x(x 0)
B． y ln(2x)(x 0)
C． y 1 ln x(x 0) 2
D． y 1 ln 2x(x 0) 2
3．过点（－1，3）且垂直于直线 x 2 y 3 0 的直线方程为
回答不正确得－100 分.假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8，且各题回答正确与否相 互之间没有影响.
（Ⅰ）求这名同学回答这三个问题的总得分 的概率分布和数学期望；
（Ⅱ）求这名同学总得分不为负分（即 ≥0）的概率.
20．（本小题满分 12 分）
∠B=30°，△ABC 的面积为 3 ，那么 b= 2
（）
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1 3
A．
2
B．1 3
D．如果 m //, n //, m 、n 共面，那么 m // n 8．已知椭圆的中心在原点，离心率 e 1 ，且它的一个焦点与抛物线 y 2 4x 的焦点重合，
2
则此椭圆方程为
（）
x2
A．
y2
1
43
x2
B．
y2
1
86
C． x 2 y 2 1 2
D． x 2 y 2 1 4
9．从 5 位男教师和 4 位女教师中选出 3 位教师，派到 3 个班担任班主任（每班 1 位班主任），
19．（本小题满分 12 分） 某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得 100 分，
2004年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科数学试题及答案
2004年普通高等学校招生湖北卷理工类数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是（ ）A ．032=+-y xB ．032=--y xC ．012=+-y xD ．012=--y x 2．复数ii 31)31(2++-的值是（ ）A ．－16B ．16C ．41-D ．i 4341- 3．已知)(,11)11(22x f x x x x f 则+-=+-的解析式可取为（ ）A ．21x x+ B ．212x x+-C ．212x x+ D ．21x x+- 4．已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=⋅=⋅（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．若011<<b a ，则下列不等式①ab b a <+；②|;|||b a >③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 （ ）A ．59 B ．3 C ．779 D ．49 7．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A ．41B ．21 C ．2D ．48．已知数列{n a }的前n 项和),,2,1]()21)(1(2[])21(2[11=+---=--n n b a S n n n 其中a 、b 是非零常数，则存在数列{n x }、{n y }使得（ ）A ．}{,n n n n x y x a 其中+=为等差数列，{n y }为等比数列B ．}{,n n n n x y x a 其中+=和{n y }都为等差数列C ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=为等差数列，{n y }都为等比数列D ．}{,n n n n x y x a 其中⋅=和{n y }都为等比数列9．函数1)(3++=x ax x f 有极值的充要条件是（ ）A ．0>aB ．0≥aC ．0<aD ．0≤a10．设集合044|{},01|{2<-+∈=<<-=mx mx R m Q m m P 对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）A ．P QB ．Q PC ．P=QD ．P Q=11．已知平面βα与所成的二面角为80°，P 为α、β外一定点，过点P 的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条12．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）A ．]24,0[,6sin 312∈+=t t y πB ．]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC ．]24,0[,12sin312∈+=t t y πD ．]24,0[),212sin(312∈++=t t y ππ二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．设随机变量ξ的概率分布为====a k a ak P k 则为常数,,2,1,,5)( ξ . 14．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种.（以数字作答）15．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A ⊄B ⇔对任意B x A x ∉∈有, ②A ⊄ B ⇔=B A φ③A ⊄B ⇔AB④A ⊄ B ⇔存在B x A x ∉∈使得,其中真命题的序号是 .（把符合要求的命题序号都填上）16．某日中午12时整，甲船自A 处以16km/h 的速度向正东行驶，乙船自A 的正北18km处以24km/h 的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距间对时间的变化率是 km/h.三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知)32sin(],,2[,0cos 2cos sin sin 622παππααααα+∈=-+求的值.18．（本小题满分12分） 如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱 CD 上的动点.（I ）试确定点F 的位置，使得D 1E ⊥平面AB 1F ；（II ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，求二面角C 1—EF —A 的大小（结果用反三角函数值表示）.AC A 1C 119．（本小题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问与的夹角θ取何值时⋅的值最大？并求出这个最大值.A BC20．（本小题满分12分）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B.（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 21．（本小题满分12分） 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成 400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施 所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9 和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防 方案使总费用最少. （总费用．．．=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.） 22．（本小题满分14分）已知.,2,1,1,}{,011 =+==>+n a a a a a a a nn n 满足数列 （I ）已知数列}{n a 极限存在且大于零，求n n a A ∞→=lim （将A 用a 表示）；（II ）设;)(:,,2,1,1A b A b b n A a b n nn n n +-==-=+证明（III ）若 ,2,121||=≤n b n n 对都成立，求a 的取值范围.2004年普通高等学校招生湖北卷理工类数学试题参考答案一、选择题1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．D 7．B 8．C 9．C 10．A 11．D 12．A 二、填空题13．4 14．240 15．（4） 16．－1.6 三、解答题17．本小题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能，满分12分. 解法一：由已知得：0)cos sin 2)(cos 2sin 3(=-+αααα 0cos sin 20cos 2sin 3=-=+⇔αααα或 由已知条件可知).,2(,2,0cos ππαπαα∈≠≠即所以 .32tan ,0tan -=∴<αα于是3sin2cos 3cos2sin )32sin(παπαπα+=+.tan 1tan 123tan 1tan sin cos sin cos 23sin cos cos sin )sin (cos 23cos sin 22222222222αααααααααααααααα+-⨯++=+-⨯++=-+= 代入上式得将32tan -=α..3265136)32(1)32(123)32(1)32()32sin(222即为所求+-=-+--⨯+-+--=+πα解法二：由已知条件可知所以原式可化为则,2,0cos παα≠≠AC A 1C 1..32tan .0tan ),,2(.0)1tan 2)(2tan 3(.02tan tan 62下同解法一又即-=∴<∴∈=-+=-+ααππααααα18．本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识，考查空间想象能力和推理运算能力，满分12分. 解法一：（I ）连结A 1B ，则A 1B 是D 1E 在面ABB 1A ；内的射影∵AB 1⊥A 1B ，∴D 1E ⊥AB 1， 于是D 1E ⊥平面AB 1F ⇔D 1E ⊥AF. 连结DE ，则DE 是D 1E 在底面ABCD 内的射影.∴D 1E ⊥AF ⇔DE ⊥AF.∵ABCD 是正方形，E 是BC 的中点. ∴当且仅当F 是CD 的中点时，DE ⊥AF ， 即当点F 是CD 的中点时，D 1E ⊥平面AB 1F.…………6分 （II ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，由（I ）知点F 是CD 的中点. 又已知点E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD. 连结AC ， 设AC 与EF 交于点H ，则CH ⊥EF ，连结C 1H ，则CH 是 C 1H 在底面ABCD 内的射影. C 1H ⊥EF ，即∠C 1HC 是二面角C 1—EF —C 的平面角.在Rt △C 1CH 中，∵C 1C=1，CH=41AC=42， ∴tan ∠C 1HC=224211==CH C C . ∴∠C 1HC=arctan 22，从而∠AHC 1=22arctan -π. 故二面角C 1—EF —A 的大小为22arctan -π.解法二：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 （1）设DF=x ，则A （0，0，0），B （1，0，0），D （0，1，0），A 1（0，0，1），B （1，0，1），D 1（0，1，1），E )0,21,1(，F （x ，1，0）BPFAB E D CD F x x D AF E D F AB E D AB E D AB E D x AF AB E D 111111111111,.21210,011)0,1,(),1,0,1(),1,21,1(平面的中点时是故当点即平面于是即⊥==-⇔=⋅⇔⇔⊥⊥=-=⋅∴==--=∴（1）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，F 是CD 的中点，又E 是BC 的中点，连结EF ，则EF ∥BD. 连结AC ，设AC 与EF 交于点H ，则AH ⊥EF. 连结C 1H ，则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的射影.∴C 1H ⊥EF ，即∠AHC 1是二面角C 1—EF —A 的平面角.31898983||||cos ).0,43,43(),1,41,41(),0,43,43(),1,1,1(11111-=⨯-=⋅=∠∴--==HC HA AHC HC H C.31arccos .31arccos )31arccos(11----=-=∠ππ的大小为故二面角即A EF C AHC19．本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力，满分12分.)()(,,,.0,:AC AQ AB AP CQ BP AC AQ CQ AB AP BP AQ AP -⋅-=⋅∴-=-=-==⋅∴⊥ 解法一 .cos 2121)(222222θa a BCPQ a BCPQ a a a +-=⋅+-=⋅+-=-⋅--=⋅+⋅--=⋅+⋅-⋅-⋅=.0.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即故当⋅==θθ解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系..)()())(().2,2(),,(),,(),,().,(),,(.||,2||),,0(),0,(),0,0(,||||22by cx y x b y y x c x y x b c b y x y c x y x Q y x P a BC a PQ b C c B A b AC c AB -++-=--+--=⋅∴--=-=---=-=∴--====则的坐标为设点且则设.0,,)(0,1cos .cos .cos .cos 2222其最大值为最大时方向相同与即故当a a a by cx abycx ⋅==+-=⋅∴=-∴-==θθθθθ20．本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力，满分12分.解：（Ⅰ）将直线整理得后的方程代入双曲线的方程,12122=-+=y x C kx y l.022)2(22=++-kx x k ……①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故.22.022022,0)2(8)2(,0222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-->--=∆≠-k k k k k k k k 的取值范围是解得（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+.22,22222221k x x k k x x ……② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0）.则由FA ⊥FB 得：.0)1)(1())((.0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即整理得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③把②式及26=c 代入③式化简得 .066252=-+k k解得))(2,2(566566舍去或--∉-=+-=k k 可知566+-=k 使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点. 21．本小题考查概率的基本知识和数学期望概念及应用概率知识解决实际问题的能力，满分12分. 解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）； ②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元） ③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）； ④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）.综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.22．本小题主要考查数列、数列极限的概念和数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.解：（I ）由两边取极限得对且存在nn n n n n a a a A a A a 1),0(lim ,lim 1+=>=+∞→∞→.24,0.24,122++=∴>+±=+=a a A A a a A A a A 又解得（II ）.11,11Ab a A b a a a A b a n n n n n n ++=++=+=++得由都成立对即 ,2,1)(.)(11111=+-=+-=++-=++-=∴++n A b A b b A b A b A b A A b A a b n nn n n n n n（III ）.21|)4(21|,21||21≤++-≤a a ab 得令.,2,121||,23.23,14.21|)4(21|22都成立对时现证明当解得 =≤≥≥≤-+∴≤-+∴n b a a a a a a n n （i ）当n=1时结论成立（已验证）.（ii ）假设当那么即时结论成立,21||,)1(k k b k k n ≤≥=k k k k k A b A A b A b b 21||1|)(|||||1⨯+≤+=+故只须证明.232||,21||1成立对即证≥≥+≤+a A b A A b A k k.212121||,23.2||,1212||||.2,14,23,422411222++=⨯≤≥≥+≥-≥-≥+∴≥∴≤-+≥-+=++=k k k k k k k b a A b A b A A b A a a a aa a a A 时故当即时而当由于即n=k+1时结论成立.根据（i ）和（ii ）可知结论对一切正整数都成立.故).,23[,2,121||+∞=≤的取值范围为都成立的对a n b nn。
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绝密 ★ 启用前 (一月号)03-04年高三数学(理)全国统一标准测试(四)命题范围：第九章 直线、平面、简单几何体 第十章 排列、组合与概率 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.3.如果不采用答题卡答题，请把第Ⅰ卷（选择题）的答案填入第Ⅱ卷的选择题答题表中. 参考公式：sin αcos β=21［sin(α+β)+sin(α－β)］ cos αsin β=21［sin(α+β)－sin(α－β)］ cos αcos β=21［cos(α+β)+cos(α－β)］ sin αsin β=－21［cos(α+β)－cos(α－β)］sin α+sin β=2sin2βα+cos2βα-sin α－sin β=2cos2βα+sin2βα-cos α+cos β=2cos2βα+cos2βα-cos α－cos β=－2sin2βα+sin2βα-S 台侧=21(c ′+c )l (c 、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长) V 台体=31（S ′+S S '+S )h (S ′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设正四棱锥底面边长为3，体积为329，则它的侧面与底面所成角的大小为A.75°B.30°C.45°D.60° 2.由正方体的八个顶点中的四个顶点所组成的正四面体的表面积与正方体的表面积比是A.22B.33C.3D.23.设m =37+27C ·35+47C ·33+67C ·3,n =17C ·36+37C ·34+57C ·32,则m －n 等于A.0B.127C.128D.1294.设a 、b 、c 表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是 A.c ⊥α,若c ⊥β,则α∥βB.b ⊂β,c 是a 在β内射影，若b ⊥c ,则a ⊥bC.b ⊂β,若b ⊥α,则β⊥αD.b ⊂α,c ⊄α,若c ∥α,则b ∥c5.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1和AB 的中点，则EF 与对角面A 1C 1CA 所成角为 A.30° B.45°C.60°D.90°6．把英语单词“error ”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现的错误种数是A.20B.19C.10D.97.在有太阳的时候，一个大球放在地面上，球的影子伸到距球与地面的接触点10米处，同一时刻，一根长1米，一端接触地面而垂直于地面的尺子的影子长度是2米，则球的半径是A.2.5米B.105－20米C.6－15米D.9－45米8.设集合M ={－1，0，1}，N ={2，3，4，5，6}，映射f :M →N ,使对任何x ∈M ,都有x +f (x )+xf (x )是奇数，这样的映射f 的个数为A.122B.15C.50D.27 9.对于不共面的三个向量a 、b 、c ，下列命题正确的是 A.(a ·b )2·c =(a 2·b 2)·cB.总可以找到两个实数λ、μ,使c =λa +μbC.这三个向量不能相加D.对空间任意向量d ,存在有序实数组x 1、x 2、x 3、x 4,使x 1d =x 2a +x 3b +x 4c ,其中x 1不等于零 10.如图①是一个正三棱柱形容器，底面边长为a ,高为2a ,内装水若干.将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面.请问图①中容器内水面的高度是图① 图②A.aB.34 aC.23aD.3 a11.如图，在一个倒置的正三棱锥容器中，放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是12.如图在水平横梁上A 、B 两点处各挂长为50 cm 的细绳AM 、BN ，在MN 处栓长为60 cm 的木条，MN 平行于横梁，木条绕过MN 中点O 的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了A.10 cmB.5 cmC.103 cmD.53cm第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上） 13.已知甲烷的分子结构是：中心为一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则c os θ=_________.14.甲射击命中目标的概率是21，乙射击命中目标的概率是31，丙射击命中目标的概率是41，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为_________.15.降水量是指水平面上单位面积所降雨水的深度，用上口直径为38厘米，底面直径为24厘米，深为35厘米的圆台形水桶来测量降水量.如果在一次降水过程中，用此桶接得的雨水正好是桶深的71，则此次下雨的降水量为_________毫米.16.如图，甲、乙、丙、丁为湖中四个亭子，要建3座小桥将四个亭子连接起来，不同的建桥方案共有_________种.三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分12分）已知整式函数f (x )=(1+x )m +(1+x )n (m ,n ∈N *)的展开式为f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a m x m ,已知a 1=17.(1)求f (x )中x 2项系数的最小值； （2）求a 5;(3)求f (x )中所有x 的指数是奇数的项的系数和. 18.（本小题满分12分）从三棱锥P —ABC （如图1）的顶点沿着三条侧棱P A 、PB 、PC 剪开，成平面图形，得到△P 1P 2P 3（如图2），且P 1P 2=P 2P 3；图1 图2（1）在棱锥P —ABC 中，求证：P A ⊥BC ； （2）P 1P 2=26，P 1P 3=20，求三棱锥的体积. 19.（本小题满分12分）已知集合P={m|m=2k,k∈N,k≤6},Q={n|n=6k,k∈N,k≤6}(1)若集合A含有三个元素，且A⊂P,这样的集合A有多少个？所有集合A中元素之和是多少？（2）若集合A、B各含有三个元素，且A⊂P,B⊂Q,A∩B=∅,这样的集合A、B有多少对？20.（本小题满分12分）袋中有12个球，其中白球4个，甲、乙、丙三人接连从袋中取球，甲先取，然后乙，然后丙，然后甲，…如此进行下去，规定先取出一个白球者获胜，分两种：（1）抽后放回；（2）抽后不放回.则甲乙丙获胜的概率各为多少？21.（本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=Rt∠,BC=2a,侧棱AA1与AB、AC所成角都是60°,且底面△ABC的面积是截面△A1BC面积的2倍.求：（1）A1A与底面ABC所成的角；（2）二面角A—BC—A1的大小；（3）这个三棱柱的侧面积.22.（本小题满分14分）如图一楔体，ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°,P1A⊥面ABCD，P2D⊥面ABCD，P1A=P2D=3，求：（1）二面角A—P1B—D的大小；（2）异面直线P1D与P2B所成角的大小.03-04年高三数学(理)全国统一标准测试(四)答案一、1.D 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.C 9.D 10.C 11.B 12.A二、13.－31 14.4315.2.2 16.16三、17.解：（1）11C C n m +=17,∴m +n =17 2分x 2的系数为：)272342(21)(212)1(2)1(C C 22222+-=--+=-+-=+m m n m n m n n m m n m=m 2－17m +136=(m －217)2+6343∴m =8或m =9时，x 2项的系数最小，最小值为64.6分 （2）当m =8时n =9;当m =9时n =8,∴a 5=5958C C + =1828分 （3）f (x )=(1+x )8+(1+x )9∴所有项的系数和为f (1)=28+29=768;10分又f (－1)=0,∴f (x )中所有x 的指数是奇数的项的系数和为：21f (1)=38412分18.解：（1）由展开过程可知，图2中A 、B 、C 分别是边P 1P 3、P 1P 2、P 2P 3的中点，又P 1P 2=P 2P 3，故AB =A C. 2分在图1中，取BC 中点H ，连AH 、PH ， ∵AH ⊥BC ，PH ⊥BC ， 5分 ∴BC ⊥面P AH ，即得P A ⊥B C. 7分 （2）由（1）知BC ⊥面P AH ，在图1中可知，PB =PC =AB =AC =13，BC =10，PH =HA =12，S △P AH =5119，10分∴V =31S △P AH ·BC =119350.12分19.解：（1）P ={2，4，6，8，10，12}A 有36C =20个.2分在20个集合中含有元素2的有：25C =10个；含有其他（即4，6，8，10，12）各元素的均各有10个； 5分 故所有A 中各元素之和为（2+4+6+8+10+12）×10=420.6分（2）Q ={6，12，18，24，30，36}，符合条件的A 、B 有三类：①6，12∉A 时，有3634C C 对；8分 ②6∉A ,12∈A 或12∉A ,6∈A 时，则有23524C C 对；10分③16，12∈A 时，则有3414C C 对，故符合条件的A 、B 对共有：341435243634C C C C 2C C ++ =216.12分20.解：（1）抽后放回，是独立试验，每抽到白球的概率为31，则甲获胜的概率为：)31()32()31()32(3163+++ +…=199)32(1313=-；2分乙获胜的概率为：（32）·（31）+（32）4·（31）+（32）7·（31）+…=196)32(131323=-⋅；4分丙获胜的概率为：1－194196199=-.6分（2）抽后不放回. 甲获胜的概率为：)64()73()84()95()106()117()128()94()106()117()128(124⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=16577.8分乙获胜的概率为：)54()62()73()84()95()106()117()128()84()95()106()117()128()114()128(⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅ =1655310分丙获胜的概率为：1－165351655316577=-.12分21.解：（1）作A 1H 垂直于平面ABC 于H ，因∠A 1AB =∠A 1AC =60°,所以H 在∠BAC 的角平分线上. 2分连AH 并延长交BC 于D ，所以∠A 1AH 就是A 1A 与底面ABC 所成的角.3分作A 1E ⊥AB 于E ，连接EH ，设A 1A =x ,在直角三角形A 1AE 中，得AE =21x ,在等腰直角三角形AEH 中，得AH =22x ,在直角三角形A 1HA 中，得cos A 1AD =22,∴A 1A 与底面ABC 所成的角为45°.6分（2）因AB =AC =2a ,所以△A 1AB ≌△A 1AC ，所以A 1B =A 1C ，则AD ⊥BC ，连A 1D ，则A 1D ⊥BC ，所以∠A 1DA 是二面角A —BC —A 1的平面角.8分由∠A 1AD =45°,又因S △ABC =2BC A S 1∆，所以AD =2A 1D =a , ∴∠A 1DA =45°,即二面角A —BC —A 1为45°.10分（3）由（2）得A 1A ⊥BC ，所以BB 1⊥BC ，所以BCC 1B 1为矩形.由于AD =a ,AA 1=23a ,AB =2a .所以S 侧=21111B BCC BAB A S S +=2·22a ·2a ·23+2a ·22a =(23+)a 2.12分22.解：（1）取AB 的中点E ，连接DE ，则DE ⊥AB ，DE ⊥面ABP 1，作EF 垂直于P 1B 于F ，连接DF ，∴DF ⊥P 1B ，∠DFE 为二面角A —P 1B —D 的平面角. 4分∵DE =2·23=3，EF =21·73732=. 在△DEF 中，tan DFE =7=EF DE,∴∠DFE =arctan 7∴二面角A —P 1B —D 的大小为arctan 7.7分（2）以A 为原点，分别以AB 、AP 1所在直线为x 轴和y 轴,过A 点且与平面ABP 1垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A —xyz则B （2，0，0），P 1（0，3，0），D （1，0，3），P 2（1，3，3）10分则D P 1=(1,－3，3），B P 2 =（1，－3，－3）|P1|=7，|P 2|=7，P 1·P 2=1+3－3=1 12分∴cos ＜P1,P 2＞=71||||2121=B P D P∴<B P D P21,>=arccos 71 ∴异面直线P 1D 与P 2B 所成角的大小为arccos 7114分。