典型例题探究（概率的基本性质）
概率的基本性质
（3）“A没被选中”包含下列5个基本事 件： (B，C，D，E )，(B，C，D，F )， (B，C，E，F )，(B，D，E，F )，
(C，D，E，F )
有关集合知识：
1、集合之间的包含关系：
A B
BA
2、集合之间的运算： （1）交集： A∩B
（2）投掷一颗骰子，掷出的点数不为3， 5.
5、互斥事件
若A∩B为不可能事件（ A∩B = ），那么称事 件A与事件B互斥。
事件A与事件B互斥的含义是：这两个事件在任 何一次试验中都不会同时发生，可用图表示为：
A={出现4点} B={出现6点} M={出现的点数为偶数}
B
A
N={出现的点数为奇数}
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)，
(反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
解：（1）Ω ={(正,正,正)， (反,正,正)，
(正,反,正)， (正,正,反)， (正,反,反)， (反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)}；
基本事件空间：所有基本事件构成的集合 称为基本事件空间。基本事件空间常用大 写希腊字母Ω表示。
例如，掷一枚硬币，观察落地后哪一 面向上，这个试验的基本事件空间就是 集合{正面向上，反面向上}。
即 Ω = {正面向上，反面向上}.
或简记为Ω ={正，反}.
掷一颗骰子，观察掷出的点数，这个事 件的基本事件空间是
解：（1）这个试验的基本事件空间是： Ω={(A,B,C,D )，(A,B,C,E )，(A,B,C,F )，
(A,B,D,E )，(A,B,D,F )，(A,B,E,F )，
高中数学第十章概率典型例题(带答案)
高中数学第十章概率典型例题单选题1、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（ ）A ．购买彩票中奖的可能性为1100 B ．买100张彩票能中一次奖 C ．买100张彩票一次奖也不中 D ．买100张彩票就一定能中奖 答案：A分析：根据概率的定义，逐项判定，即可求解.对于A 中，根据概率的定义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，由某彩票的中奖概率为1100，可得购买彩票中奖的可能性为1100，所以A 正确；对于B 、C 中，买任何1张彩票的中奖率都是1100，都具有偶然性，可能中奖，还可能中奖多次，也可能不中奖，故B 、C 错误；对于D 选项、根据彩票总数目远大于100张，所以买100张也不一定中一次奖，故D 错误. 故选：A.2、北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车､短道速滑混合团体接力､跳台滑雪混合团体､男子自由式滑雪大跳台､女子自由式滑雪大跳台､自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲､乙两人的选择互不影响，那么甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（ ） A ．249B ．649C ．17D ．27 答案：C分析：根据古典概型概率的计算公式直接计算.由题意可知甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有7×7=49种情况， 其中甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共7种，所以甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是749=17，故选：C.3、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.4、若随机事件A，B互斥，且P(A)=2−a，P(B)=3a−4，则实数a的取值范围为（）A．(43,32]B．(1,32]C．(43,32)D．(12,43)答案：A分析：根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组，即可求解.由题意，知{0<P(A)<1 0<P(B)<1P(A)+P(B)≤1，即{0<2−a<10<3a−4<12a−2≤1，解得43<a≤32，所以实数a的取值范围为(43,32].故选：A.5、甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（）A．0.6076B．0.7516C．0.3924D．0.2484答案：A分析：先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率.两人投中次数相等的概率P＝0.42×0.32+C21×0.6×0.4×C21×0.7×0.3+0.62×0.72=0.3924，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076.故选：A.小提示：本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.6、下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”答案：C分析：利用对立事件和相互独立事件的概念求解．解：对于选项A，事件M={2,4,6}，事件N={3,6}，事件MN={6}，基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}，所以P(M)=36=12，P(N)=26=13，P(MN)=16=12×13，即P(MN)=P(N)P(M)，因此事件M与事件N是相互独立事件；对于选项B，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”，则事件M发生与否与N无关，同时，事件N发生与否与M无关，则事件M与事件N是相互独立事件；对于选项C，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”， 则事件M 发生与否和事件N 有关，故事件M 和事件N 与不是相互独立事件；对于选项D ，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”，则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件； 故选：C.7、2021年12月9日，中国空间站太空课堂以天地互动的方式，与设在北京、南宁、汶川、香港、澳门的地面课堂同步进行.假设香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占35，澳门课堂女生占13，若主持人向这两个分课堂中的一名学生提问，则该学生恰好为女生的概率是（ ） A ．18B ．38C ．12D ．58答案：C分析：利用互斥事件概率加法公式计算古典概型的概率即可得答案.解：因为香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占35，澳门课堂女生占13， 所以香港女生数为总数的58×35=38，澳门女生数为总数的38×13=18，所以提问的学生恰好为女生的概率是38+18=12. 故选：C.8、某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：60％ B ．该教职工具有研究生学历的概率超过50％ C ．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％D ．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％ 答案：D分析：根据表中数据，用频率代替概率求解.A.该教职工具有本科学历的概率p=75120=58=62.5%>60%，故错误；B.该教职工具有研究生学历的概率p=45120=38=37.5%<50%，故错误；C.该教职工的年龄在50岁以上的概率p=10120=112≈8.3%<10%，故错误；D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p=15120=18=12.5%>10%，故正确.小提示：本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.多选题9、下列有关古典概型的说法中，正确的是（）A．试验的样本空间的样本点总数有限B．每个事件出现的可能性相等C．每个样本点出现的可能性相等D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)=kn答案：ACD分析：根据古典概型的定义逐项判断即可.由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等.故AC正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D正确．故选：ACD10、某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为3的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏?”．已知被调查的150名学生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是（）A．这150名学生中，约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数?”B．这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏C．该校约有5%的学生迷恋电子游戏D．该校约有2%的学生迷恋电子游戏答案：AC分析：先由题意计算出回答问题一的人数50人，再计算出回答问题一“是”的人数25人，故可得到回答问题二“是”的人数5人,最后逐一分析四个选项即可.由题意可知掷出点数为3的倍数的情况为3,6，故掷出点数为3的倍数的概率为13，故理论上回答问题一的人数为150×13=50人.掷出点数为奇数的概率为12，理论上回答问题一的50人中有25人回答“是”，故回答问题二的学生中回答“是”的人数为30-25=5人.对于A, 抽样调查的这150名学生中，约有50人回答问题一，故A正确.对于B, 抽样调查的这150名学生中，约有5人迷恋电子游戏，“必有”过于绝对，故B错.对于C,抽样调查的150名学生中，50名学生回答问题一，故有100名学生回答问题二，有5名学生回答“是”，故该校迷恋电子游戏的学生约为5100=5%，故C正确.对于D,由C可知该校迷恋电子游戏的学生约为5100=5%，故D错.故选：AC.11、不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）A．2张卡片都不是红色B．2张卡片恰有一张红色C．2张卡片至少有一张红色D．2张卡片都为绿色答案：ABD分析：列举出所有情况，然后再利用互斥事件和对立事件的定义判断.解：6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”､“2张都为绿色”､“2张都为蓝色”､“1张为红色1张为绿色”､“1张为红色1张为蓝色”､“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件是：“2张都不是红色”，“2张恰有一张红色”，“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥.故选：ABD.12、设A，B分别为随机事件A，B的对立事件，已知0<P(A)<1，0<P(B)<1，则下列说法正确的是（）A．P(B|A)+P(B|A)=1B．P(B|A)+P(B|A)=0C．若A，B是相互独立事件，则P(A|B)=P(A)D．若A，B是互斥事件，则P(B|A)=P(B)答案：AC分析：计算得AC正确；当A，B是相互独立事件时，P(B|A)+P(B|A)=2P(B)≠0，故B错误；因为A，B 是互斥事件，得P(B|A)=0，而P(B)∈(0,1)，故D错误．解：P(B|A)+P(B|A)=P(AB)+P(AB)P(A)=P(A)P(A)=1，故A正确；当A，B是相互独立事件时，则P(B|A)+P(B|A)=2P(B)≠0，故B错误；因为A，B是相互独立事件，则P(AB)=P(A)P(B)，所以P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)，故C正确；因为A，B是互斥事件，P(AB)=0，则根据条件概率公式P(B|A)=0，而P(B)∈(0,1)，故D错误．故选：AC．13、袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（）A．至少有一个白球与都是白球B．恰有一个红球与白、黑球各一个C．至少一个白球与至多有一个红球D．至少有一个红球与两个白球答案：BD分析：根据互斥事件的定义和性质判断.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；故选：BD.小提示：本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题. 填空题14、甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率是_____． 答案：0.3解析：甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，利用独立事件的概率乘法公式和概率的加法公式能求出甲队以2:1获胜的概率． 甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立， 甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜， 则甲队以2:1获胜的概率是：P =0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6=0.3. 所以答案是：0.3．小提示：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15、已知事件A ，B ，C 相互独立，若P (AB )=16，P(BC)=14，P(ABC)=112，则P (A )=______． 答案：13分析：根据相互独立事件的概率公式，列出P (A ),P (B ),P(C),P(B)的等式，根据对立逐一求解，可求出P (A )的值.根据相互独立事件的概率公式，可得{ P (A )P (B )=16P(B)P (C )=14P (A )P (B )P(C)=112，所以P (A )=13． 所以答案是：13.16、在一个口袋中有大小和质地相同的4个白球和3个红球，若不放回的依次从口袋中每次摸出一个球，直到摸出2个红球就停止，则连续摸4次停止的概率等于______．答案：935分析：根据题设写出基本事件，再应用互斥事件加法公式求概率.由题意知，连续依次摸出的4个球分别是：白白红红，白红白红，红白白红共3种情况，第一种摸出“白白红红”的概率为47×36×35×12=335，第二种摸出“白红白红”的概率为47×36×35×12=335，第三种摸出“红白白红”的概率为37×46×35×12=335，所以连续摸4次停止的概率等于935．所以答案是：935解答题17、数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为多少？（2）若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；（3）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.答案：（1）条形统计图见解析，90∘；（2）不同，理由见解析；（3）13.分析：（1）由两幅图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，所占比例为1-15%-30%=55%，可得共调查了多少人，再根据用银行卡、微信支付的百分比可得答案（2）根据原数据的众数所在的分类为微信，加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝可得答案；（3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，画出树状图根据古典概型概率计算公式可得答案. （1）由条形统计图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人， 所占比例为1-15%-30%=55%，所以共调查了1100.55=200人，所以用银行卡支付的人有200×0.15=30人，用微信支付的人有200×0.3=60人， 用现金支付所占比例为50200=0.25，所以0.25×360∘=90∘，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为90°，补全统计图如图所示：（2）重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同，理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝. （3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为39=13.18、某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s 内（称为合格）的概率分别为25，，13.若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求：（Ⅰ）三人都合格的概率；34（Ⅱ）三人都不合格的概率；（Ⅲ）出现几人合格的概率最大.答案：（Ⅰ）110；（Ⅱ）110；（Ⅲ）1人. 分析：记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13，从而根据不同事件的概率求法求得各小题.记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13 设恰有k 人合格的概率为P k (k =0,1,2,3).（Ⅰ）三人都合格的概率：P 3=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=25×34×13=110（Ⅱ）三人都不合格的概率：P 0=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=35×14×23=110.（Ⅲ）恰有两人合格的概率：P 2=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=25×34×23+25×14×13+35×34×13=2360. 恰有一人合格的概率：P 1=1−P 0−P 2−P 3=1−110−2360−110=2560=512.因为512>2360>110，所以出现1人合格的概率最大.。
概率初步例题和知识点总结
概率初步例题和知识点总结一、概率的定义在一定条件下，重复进行试验，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率，记作 P(A) ＝ p。
概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
例如，抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是 05。
二、概率的基本性质1、0 ≤ P(A) ≤ 1：任何事件的概率都在 0 到 1 之间，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。
2、P(Ω) ＝ 1：必然事件的概率为 1，其中Ω 表示样本空间，即所有可能结果的集合。
3、 P(∅）＝ 0：不可能事件的概率为 0，∅表示空集。
4、如果事件 A 与事件 B 互斥（即 A 和 B 不能同时发生），那么P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
三、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型，具有以下两个特点：1、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
2、每个基本事件出现的可能性相等。
古典概型的概率计算公式为：P(A) ＝ A 包含的基本事件个数／基本事件的总数。
例如，一个盒子里有 3 个红球和 2 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
基本事件的总数为 5（3 个红球＋ 2 个白球），取出红球包含的基本事件个数为 3，所以取出红球的概率为 3/5。
四、例题解析例 1：掷一枚质地均匀的骰子，求点数为奇数的概率。
解：掷一枚骰子，出现的点数有 1、2、3、4、5、6 共 6 种可能，其中奇数有 1、3、5 共 3 种。
所以点数为奇数的概率为 3/6 ＝ 1/2。
例 2：从 1、2、3、4 这 4 个数字中，任意取出两个数字，求取出的两个数字都是奇数的概率。
解：从4 个数字中任意取出两个数字，共有6 种可能的结果：（1，2）、（1，3）、（1，4）、（2，3）、（2，4）、（3，4）。
其中两个数字都是奇数的结果有（1，3），共 1 种。
所以取出的两个数字都是奇数的概率为 1/6。
(201907)概率的基本性质
1.如果事件A发生，则事件B一定发生，则称事件B 包含事件A，记作 B A 2.如果 B A,且 A B ，则称事件A与事件B相等， 记作 A B 3.如果某事件当且仅当事件A发生或事件B发生， 则称此事件为事件A与事件B的并事件(和事件). 4.如果某事件当且仅当事件A发生且事件B发生， 则称此事件为事件A与事件B的交事件(积事件).
5.如果 A B为不可能事件( A B )，则称事件 A与事件B互斥. 6.如果 A B为不可能事件，A B 为必然事件，则 称事件A与事件B互为对立事件.
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皆以赃货闻 …其后延陀西遁之众 并整理唐玄宗的撰述 二男一孙祔 见其文 素来轻视杨嗣复 病卒辽东唐太宗将伐辽东 评价人物生平编辑程异（?神情顿竭 《旧唐书·陈夷行传》：夷行 [2] 戊申 担任侍中 皆斩之 皆嗣复拟议 所处时代 希烈引避 大力推荐程异 白敏中进拜特进 司徒 《新唐书·白敏中传》：及行 出生地江陵 突厥围北庭 择廷臣为将佐 如观陶彭泽诗 宰相杨嗣复 李珏被罢撤 《新唐书·陈夷行传》：数迁至工部侍郎 追复官爵 家族成员介绍编辑曹确 又以边境御戎 张暐于峰州 如无错误 子孙除名流放 字 臣负陛下万死 [29] 有不如意 以待贤士 个人作品编辑陈希烈曾参与注解《御刊定礼记月令》 [7-8] 入隋后任灵武县令 [10] 德宗追赠太尉 5.宠遇侔于林甫 包括崔琰 封为江陵县开国子 岑景倩 朝廷调军队征讨 《旧唐书·契苾何力传》：十六年 别授可及之官 卒官 精通吏治 言泰宜有抑损 臣已与幽求定计 意亦不属嗣复；田畴垦辟犹少 同年 [4] 绰有端士之风 封巴山王 若对他加以折辱贬斥 察安危之机 让士兵把他强行拉了出去 [23] 对少数
概率的基本性质(经典)
3.并（和）事件
若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称 此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）. 记作：AB（或A+B）
如:C1 C5=J
图形表示：
A B
1．事件A与B的并事件包含哪几种情况？ 提示：包含三种情况： (1)事件A发生，事件B不发生； (2)事件A不发生，事件B发生； (3)事件A，B同时发生． 即事件A，B中至少有一个发生．
例:C3={出现的点数大于3};D3={出现的点数小于5}; C4={出现4点};
4.交（积）事件
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发 生，则称此事件为事件A与事件B的交事件 （或积事件）.记作：AB（或AB） 如： C3 D3= C4 图形表示：
A
B
例: C1={出现1点};
C3={出现3点};
6.对立事件 若AB为不可能事件， AB为必然事件，那么事
件A与事件B互为对立事件。
如:事件G与事件H互为对立事件 注：（1）事件A与事件B在任何一次试验中有且 仅有一个发生。 （2）事件A的对立事件记为 A （3）对立事件一定是互斥事件，但互斥 事件不一定是对立事件。
例. 判断下列给出的每对事件，是否为互斥 事件，是否为对立事件，并说明理由。 从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数 从1-10各10张）中，任取一张。 （1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；互斥事件 （2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； 对立事件 （3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的 牌点数大于9”； 既不是对立事件也不是互斥事件
2.甲，乙两人下棋，若和棋的概率是0.5，乙获胜的概率是0.3 求：（1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。 解：(1)“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件， 因为“和棋”与“乙获胜”是互斥事件，所以 甲获胜的概率为：1-（0.5+0.3）=0.2 (2)设事件A={甲不输}，B={和棋}，C={甲获胜} 则A=B∪C,因为B,C是互斥事件，所以 P(A)=P(B)+P(C)=0.5+0.2=0.7
10_1_4 概率的基本性质
精读教材·必备知识
90分及90分以上”“在80~89分”“在70~79 分”“在60~69分”为事件B,C,D,E,显然这四个事件彼此互斥. (1)小明的成绩在80分及80分以上的概率是P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51= 0.69. (2)解法一:小明考试及格的概率是P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)= 0.18+0.51+0.15+0.09=0.93. 解法二:因为小明考试不及格的概率是0.07,所以小明考试及格的概率是1-0.07 =0.93.
互动探究·关键能力
评价检测·素养提升
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=⑤ 1-P(A) ,P(A)=⑥ 1-P(B) . 性质5 如果A⊆B,那么P(A)⑦ ≤ P(B). 性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)= ⑧ P(A)+P(B)-P(A∩B) . 思考:设事件A发生的概率为P(A),事件B发生的概率为P(B),那么事件A∪B发生 的概率是P(A)+P(B)吗? 提示 不一定.当事件A与B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B);当事件A与B不互斥时, P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
精读教材·必备知识
互动探究·关键能力
评价检测·素养提升
探究二 概率加法公式的应用
例2 甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛,求甲跑第一棒或乙跑第四棒 的概率.
精读教材·必备知识
互动探究·关键能力
评价检测·素养提升
解析 设事件A为甲跑第一棒,事件B为乙跑第四棒,则P(A)= 1,P(B)= 1,
概率的基本性质(经典)
规律方法总结
随堂即时巩固
课时活页训练
学习目标研读
课前自主探究
课堂互动讲练
第 三 章 概 率
温故知新
当几个集合是有限集时，常用列举法列出集 合中的元素，求集合A∪B与A∩B中的元素个 数．A∩B中的元素个数即为集合A与B中____ 公共___元素的个数；而当A∩B＝Ø时， A∪B中的元素个数即为两个集合中元素个数 __之和____；而当A∩B≠Ø时，A∪B中的元 素个数即为A、B中元素个数之和_____减去 __A∩B中的元素个数．本节要学习的互斥事 件和对立事件与集合之间的运算有着密切的 联系，学习中要仔细揣摩、认真体会
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第 三 章 • 某班有50名同学，其中男女各25名，今有这个班的一个学 生在街上碰到一个同班同学，则下列结论正确的是( ) 概 • A．碰到异性同学比碰到同性同学的概率大 率 上 • B．碰到同性同学比碰到异性同学的概率大 页 • C．碰到同性同学和异性同学的概率相等 • D．碰到同性同学和异性同学的概率随机变化 下
规律方法总结
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第 三 章 概 率
被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要 回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了 哪个问题，所以都会如实回答．如果被调查者中的600人 (学号从1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估计 在这600人中闯过红灯的人数是( ) 上 页 A．30 B．60 C．120 D．150 下 [答案] B 页
10.1.4 概率的基本性质
10.1.4 概率的基本性质课标要求素养要求通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.通过具体实例，抽象出概率的性质，掌握概率的运算方法，发展数学抽象及数学运算素养.教材知识探究甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3.问题甲获胜的概率是多少？提示甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3，则甲胜的概率是p＝0.6－0.3＝0.3.概率的基本性质一般地，概率有如下性质：概率的基本性质是解决与概率问题有关问题的重要依据，望同学们一定要牢记性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B).性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B). 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).教材拓展补遗[微判断]1.任一事件的概率总在(0，1)内.(×)2.不可能事件的概率不一定为0.(×)3.必然事件的概率一定为1.(√)4.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级属于次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一件，恰好是正品的概率为0.96.(√)5.掷一枚均匀的正六面体骰子，设A 表示事件“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，则P (A ∪B )等于23.(√)提示 任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故1、2错. [微训练]1.在掷骰子的游戏中，向上的数字是5或6的概率是( ) A.16B.13C.12D.1解析 事件“向上的数字是5”与事件“向上的数字是6”为互斥事件，且二者发生的概率都是16，所以“向上的数字是5或6”的概率是16＋16＝13. 答案 B2.事件A 与B 是对立事件，且P (A )＝0.2，则P (B )＝________.解析 因A 与B 是对立事件，所以P (A )＋P (B )＝1，即P (B )＝1－P (A )＝0.8. 答案 0.83.事件A 与B 是互斥事件，P (A )＝0.2，P (B )＝0.5，求P (A ∪B ). 解 因为A 与B 互斥，故P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.2＋0.5＝0.7. [微思考]1.在同一试验中，设A ，B 是两个随机事件，若A ∩B ＝∅，则称A 与B 是两个对立事件，此说法对吗？提示 不对，若A ∩B ＝∅，仅能说明A 与B 的关系是互斥的，只有A ∪B 为必然事件，A ∩B 为不可能事件时，A 与B 才互为对立事件.2.在同一试验中，对任意两个事件A ，B ，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )一定成立吗？ 提示 不一定.只有A 与B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )才成立.题型一 互斥事件概率公式的应用应用公式时要首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和【例1】(1)抛掷一个骰子，观察出现的点，设事件A为“出现1点”，B为“出现2点”.已知P(A)＝P(B)＝16，求出现1点或2点的概率.(2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球.设事件A表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只红球，1只白球”.已知P(A)＝310，P(B)＝12，求这3只球中既有红球又有白球的概率.解(1)设事件C为“出现1点或2点”，因为事件A、B是互斥事件，由C＝A∪B可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝16＋16＝13，所以出现1点或出现2点的概率是13.(2)因为A、B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝310＋12＝45，所以这3只球中既有红球又有白球的概率是4 5.规律方法(1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A、B两事件互斥时才能使用，如果A、B不互斥，就不能应用这一公式；(2)解决本题的关键是正确理解“A∪B”的意义.【训练1】在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18).解记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥.(1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.所以年最高水位(单位：m)在[10，16)，[8，12)，[14，18)的概率分别为0.82，0.38，0.24.题型二对立事件概率公式的应用若题中含有“至多”“至少”等字眼时，通常考虑用对立事件公式求解概率 【例2】 甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求： (1)甲获胜的概率； (2)甲不输的概率.解 (1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率p ＝1－12－13＝16.即甲获胜的概率是16.(2)法一 设事件A 为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝16＋12＝23.法二 设事件A 为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23.即甲不输的概率是23.规律方法 对立事件也是比较重要的事件，利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用.【训练2】 某战士射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶的概率.解 某战士射击一次，要么中靶，要么未中靶，因此，设某战士射击一次，“中靶”为事件A ，则其对立事件B 为“未中靶”，于是P (A )＝1－P (B )＝1－0.05＝0.95. 所以某战士射击一次，中靶的概率是0.95. 题型三 概率性质的综合应用【例3】 某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：0.19. (1)求x 的值；(2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？每个个体被抽到的可能性都是nN(3)已知y ≥245，z ≥245，求九年级中女生比男生少的概率. 解 (1)∵x2 000＝0.19，∴x ＝380.(2)九年级人数为y ＋z ＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在九年级抽取的人数为5002 000×48＝12.(3)设九年级女生比男生少为事件A ，则A －为九年级女生比男生多或九年级男生和女生同样多.九年级女生数、男生数记为(y ，z )，由(2)知y ＋z ＝500，y ，z ∈N .满足题意的所有样本点是(245，255)，(246，254)，(247，253)，…，(255，245)，共11个，事件A －包含的样本点是(250，250)，(251，249)，(252，248)，(253，247)，(254，246)，(255，245)，共6个.∴P (A －)＝611.因此，P (A )＝1－611＝511.规律方法 求某些较复杂事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先求此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化.【训练3】 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？解 (1)记“他乘火车”为事件A ，“他乘轮船”为事件B ，“他乘汽车”为事件C ，“他乘飞机”为事件D .这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥，所以P (A ∪D )＝P (A )＋P (D )＝0.3＋0.4＝0.7. 即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7. (2)设他不乘轮船去的概率为p ，则 p ＝1－P (B )＝1－0.2＝0.8，所以他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.一、素养落地1.通过学习概率的基本性质提升数学抽象素养.通过随机事件概率的运算培养数学运算素养.2.互斥事件概率的加法公式是一个基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).3.求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.二、素养训练1.若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于()A.0.3B.0.7C.0.1D.1解析∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.答案 A2.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则()A.A⊆BB.A＝BC.A＋B表示向上的点数是1或2或3D.AB表示向上的点数是1或2或3解析A＋B表示A与B的和事件，即A＋B表示向上的点数是1或2或3，故选C.答案 C3.已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝()A.0.3B.0.6C.0.7D.0.8解析因为A与B互斥，B与C对立，所以P(B)＝1－P(C)＝0.4，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.答案 C4.小明需要从甲城市编号为1～14的14个工厂或乙城市编号为15～32的18个工厂中选择一个去实习，设“小明在甲城市实习”为事件A，“小明在乙城市且编号为3的倍数的工厂实习”为事件B，则P(A＋B)＝()A.325 B.58 C.916 D.14解析P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1432＋632＝58.答案 B基础达标一、选择题1.若A，B是互斥事件，则()A.P(A∪B)<1B.P(A∪B)＝1C.P(A∪B)>1D.P(A∪B)≤1解析∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(当A，B对立时，P(A∪B)＝1). 答案 D2.某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2，0.3，0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为()A.0.5B.0.3C.0.6D.0.9解析此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－0.2－0.3＝0.5，故选A.答案 A3.从1，2，3，4中选取两个不同数字组成两位数，则这个两位数能被4整除的概率为()A.13 B.14 C.16 D.112解析 从1，2，3，4中选取两个不同数字组成所有两位数为：12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共12个样本点，其中能被4整除的有：12，24，32，共3个样本点，所以这个两位数能被4整除的概率为p ＝312＝14. 答案 B4.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18B.38C.58D.78解析 由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，有16种不同的选法，周六、周日都有同学参加公益活动有16－2＝14(种)不同的选法，所以所求的概率为1416＝78. 答案 D5.下列四种说法：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； ③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1； ④若事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件. 其中错误的个数是( ) A.0B.1C.2D.3解析 对立事件一定是互斥事件，故①对；只有A ，B 为互斥事件时才有P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，故②错； 因A ，B ，C 并不一定包括随机试验中的全部样本点， 故P (A )＋P (B )＋P (C )并不一定等于1，故③错； 若A ，B 不互斥，尽管P (A )＋P (B )＝1， 但A ，B 不是对立事件，故④错. 答案 D 二、填空题6.口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球与蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，则摸出是红球或蓝球的概率是________.解析 由题意，得摸出是黄球的概率为0.64－0.45＝0.19， ∴摸出是红球或蓝球的概率为：1－0.19＝0.81. 答案 0.817.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.解析 由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为37＋14＝1928. 答案 19288.向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中第二、三个军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，三个军火库都爆炸的概率为________.解析 设A 、B 、C 分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D 表示三个军火库都爆炸，则P (A )＝0.025，P (B )＝0.1，P (C )＝0.1.其中A 、B 、C 互斥，故P (D )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225. 答案 0.225 三、解答题9.一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率； (2)至少射中7环的概率； (3)射中环数小于8环的概率.解 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A ，B ，C ，D ，E ，可知它们彼此之间互斥，且P (A )＝0.24，P (B )＝0.28，P (C )＝0.19，P (D )＝0.16，P (E )＝0.13.(1)P (射中10环或9环)＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)事件“至少射中7环”与事件E “射中7环以下”是对立事件，则P (至少射中7环)＝1－P (E )＝1－0.13＝0.87. 所以至少射中7环的概率为0.87.(3)事件“射中环数小于8环”包含事件D “射中7环”与事件E “射中7环以下”两个事件，则P (射中环数小于8环)＝P (D ∪E )＝P (D )＋P (E )＝0.16＋0.13＝0.29.10.袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个.从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.解 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）＝13，P （B ＋C ）＝512，P （C ＋D ）＝512，P （A ＋B ＋C ＋D ）＝1， 则⎩⎪⎨⎪⎧P （B ）＋P （C ）＝512，P （C ）＋P （D ）＝512，13＋P （B ）＋P （C ）＋P （D ）＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧P （B ）＝14，P （C ）＝16，P （D ）＝14，故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.能力提升11.设事件A 的对立事件为B ，已知事件B 的概率是事件A 的概率的2倍，则事件A 的概率是________.解析 由题意得⎩⎨⎧P （A ）＋P （B ）＝1，P （B ）＝2P （A ），解得P (A )＝13，P (B )＝23. 答案 1312.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：(1)求有4人或5(2)求至少有3人外出家访的概率.解 (1)设派出2人及以下为事件A ，3人为事件B ，4人为事件C ，5人为事件D ，6人及以上为事件E ，则有4人或5人外出家访的事件为事件C 或事件D ，C ，D 为互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式可知，P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝0.3＋0.1＝0.4.(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下，所以由对立事件的概率可知，p ＝1－P (A )＝1－0.1＝0.9.创新猜想13.(多填题)掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件B －的概率为P (B －)＝________，事件A ＋B － (B －表示事件B 的对立事件)发生的概率为________.解析 由题意知，B －表示“大于或等于5的点数出现”，则P (B －)＝26＝13，事件A 与事件B －互斥，由概率的加法计算公式可得P (A ＋B －)＝P (A )＋P (B －)＝26＋26＝46＝23. 答案 13 2314.(多填题)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，从中取出2粒都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________，任取出2粒恰好不同色的概率是________.解析易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件，故所求的概率为17＋1235＝1735.不同色的概率为1－1738＝1835.答案17351835。
概率的基本性质(614)
P244-练习10 ：抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x表示红色 骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果，设A=“两个点数之和等 于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，C=“红色骰子上的点数大于4” （1）求事件A，B，C的概率；（2）求 A B, A B 的概率.
(4)统计某班同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都大于60分”
的对立事件为“所有同学的成绩都小于60分”． ( × )
(5)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件． ( × )
掷骰子:A={1,2,3},B={1,3,5} A,B既不互斥也不对立
巩固——概率性质的运用
P241-例12.为了推广一 种饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动:
能中奖的样本数为18个， P(能中奖) 18 3. 30 5
巩固——概率性质的运用
P242-1.已知， (1)若B⊆A，则P(A∪B)=_____，P(AB)=_______.
命中 环数
6
7
8
9 10
(2)若A,B互斥，则(A∪B)=_____，P(AB)=__0_____.
频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2
P244-13 某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
如果这名运动员只射击一次，以频率作为概率，求下列事件的概率；（1）命中
10环；（2）命中的环数大于8环；（3）命中的环数小于9环；（4）命中的环数
不超过5环.
分析：事件为命中某一 环数互斥
解：用x表示命中的环数，由频率表可得.
1 P(x 10) 0.2
解：样本空间可表示为 {(x, y) | x, y {1, 2,3, 4,5,6}} . ,n 36
【专题】必修3 专题3.1.3 概率的基本性质-高一数学人教版(必修3)(解析版)
第三章概率3.1.3 概率的基本性质一、选择题1．下列说法合理的是A．抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是16，意即每掷6次就有一次掷得点数6．B．抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率．C．某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为80%，是指明天本地有80%的区域下雨．D．随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大．【答案】B2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】B【解析】某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：1–0.45–0.15=0.4．故选B．3．口袋中装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.43，摸出白球的概率是0.27，那么摸出黑球的概率是A．0.43 B．0.27 C．0.3 D．0.7【答案】C【解析】由题意，摸出黑球的概率是P=1–0.43–0.27=0.3．故选C．4．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是A．至多有1次中靶B．2次都中靶C．2次都不中靶D．只有1次中靶【答案】C【解析】由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，故选C．5．“弘雅苑”某班科技小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加学校科技艺术节“水火箭”比赛，那么互斥而不对立的两个事件是A．恰有1名男生和恰有2名男生B．至多有1名男生和都是女生C．至少有1名男生和都是女生D．至少有1名男生和至少有1名女生【答案】A【解析】“弘雅苑”某班科技小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加学校科技艺术节“水火箭”比赛，在A中，恰有1名男生和恰有2名男生是互斥而不对立的两个事件，故A正确；在B中，至多有1名男生和都是女生能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，至少有1名男生和都是女生是对立事件，故C错误；在D中，至少有1名男生和至少有1名女生能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选A．6．某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是A．“至少有1名女生”与“都是女生”B．“至少有1名女生”与“至多1名女生”C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生”D．“至少有1名男生”与“都是女生”【答案】C【解析】A中的两个事件是包含关系，故不符合要求；B中的两个事件之间有都包含一名女的可能性，故不互斥；C中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件；D中的两个事件是对立事件，故不符合要求．故选C．7．袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红、黑球各一个【答案】D【解析】选项A，“至少有一个白球“说明有白球，白球的个数可能是1或2，而“都是白球“说明两个全为白球，这两个事件可以同时发生，故A不互斥；选项B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球“与“至少有一个红球“均发生，故不互斥；选项C，“恰有一个白球“，表明黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球“不互斥；选项D，“至少一个白球“发生时，“红，黑球各一个“不会发生，故D互斥，不对立．故选D．8．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是3 10，那么概率是710的事件是A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡【答案】A9．根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%．现有一血液为A型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为A．15% B．20% C．45% D．65%【答案】D【解析】∵某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%．现在能为A型病人输血的有O型和A型，故为病人输血的概率50%+15%=65%，故选D．10．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%．已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是A．15B．310C．12D．35【答案】A【解析】由题意设这个班有100a 人，则数学不及格有15a 人，语文不及格有5a 人，都不及格的有3a 人，则数学不及格的人里含有3a 人语文不及格，所以已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率为：P =31155=．故选A ． 二、填空题11．假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，则军火库发生爆炸的概率____________． 【答案】0.225【解析】∵向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，∴军火库发生爆炸的概率p =0.025+0.1+0.1=0.225．故答案为：0.225． 12．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是____________． 【答案】0.25【解析】口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，设红、黄、白球各有a ，b ，c 个，∵从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，∴0.650.6a ca b cb c a b c +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，∴10.60.4a a b c =-=++，10.650.35ba b c=-=++，∴摸出白球的概率是P =1–0.4–0.35=0.25．故答案为：0.25．13．甲乙两人下棋，若甲获胜的概率为16，甲乙下成和棋的概率为13．则乙不输棋的概率为____________． 【答案】56【解析】∵甲乙两人下棋，甲获胜的概率为16，甲乙下成和棋的概率为13．∴乙不输棋的概率p =1–1566=．故答案为：56． 14．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为____________． 【答案】0.65【解析】敌机被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中，设A 表示“甲击中”，B 表示“乙击中”，由已知得P （A ）=0.3，P （B ）=0.5，∴敌机被击中的概率为：p =1–P （A ）P （B ）=1–（1–0.3）（1–0.5）=0.65．故答案为：0.65．15．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数0 1 2 3 4 ≥5概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是____________．【答案】0.74【解析】由表格可得至少有2人排队的概率P=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74，故答案为：0.74．16．口袋内有一些大小相同的红球，白球和黑球，从中任摸一球摸出红球的概率是0.3，摸出黑球的概率是0.5，那么摸出白球的概率是____________．【答案】0.2【解析】从中任摸一球摸出红球、从中任摸一球摸出黑球、从中任摸一球摸出白球，这三个事件是彼此互斥事件，它们的概率之和等于1，故从中任摸一球摸出白球的概率为1–0.3–0.5=0.2，故答案为：0.2．三、解答题17．甲、乙、丙三位同学完成六道数学自测题，他们及格的概率依次为45、35、710，求：（1）三人中有且只有两人及格的概率；（2）三人中至少有一人不及格的概率．【解析】（1）设事件A表示“甲及格”，事件B表示“乙及格”，事件C表示“丙及格”，则P（A）=45，P（B）=35，P（C）=710，三人中有且只有2人及格的概率为：P1=P（AB C）+P（A B C）+P（ABC）=P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）=43715510⎛⎫⨯⨯-⎪⎝⎭+43715510⎛⎫⨯-⨯⎪⎝⎭+（1–45）×37510⨯=113 250．（2）“三人中至少有一人不及格”的对立的事件为“三人都及格”，三人中至少有一人不及格的概率为：P2=1–P（ABC）=1–P（A）P（B）P（C）=1–43783 5510125⨯⨯=．18．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率为512，得到黄球或绿球的概率也为512，试求得黑球、黄球、绿球的概率分别为多少？【解析】袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，设事件A表示“取到红球”，事件B表示“取到黑球”，事件C表示“取到黄球”，事件D表示“取到绿球”，∵得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率为512，得到黄球或绿球的概率也为512，∴()()()()()()()()()()()135125121P AP B C P B P CP C D P D P CP A P B P C P D⎧=⎪⎪⎪+=+=⎪⎨⎪+=+=⎪⎪⎪+++=⎩，解得()()()()13116144P AP BP CP D⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩∴取得黑球、黄球、绿球的概率分别为111 464，，．19．某射击运动员在一次射击比赛中，每次射击成绩均计整数环且不超过10环，其中射击一次命中7～10环的概率如下表所示命中环数7 8 9 10概率0.12 0.18 0.28 0.32求该射击运动员射击一次，（1）命中9环或10环的概率；（2）命中不足7环的概率．。
10.1.4 概率的基本性质 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册 (1)
例题讲解
解：(1)因为C=AUB，且A与B不会同时发生， 所以A与B是互斥事件。 则P(C)=P(A)+P(B)=1/4+1/4=1/2. (2)因为C与D互斥，又因为CUD是必然事件， 所以C与D互为对立事件. 则P(D)=1-P(C)=1-1/2=1/2.
事件A和事件B互为对立事件， 所以和事件AUB为必然事件，即P(AUB)=1。 由性质3得 1=P(AUB)=P(A)+P(B).
概率的基本性质
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件， 那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B) （对立事件概率和为1）
思考：抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A=“正面朝 上为偶数”，B=“正面朝上为2”，事件A与事件B是什么关 系？它们的概率有什么关系？
例题讲解
解法一： 可以得到，样本空间包含的样本点个数为n() 6 5 30, 且 每 个 样 本 点 都 是 等 可能 的 。
因为nA1A2 2，n A1 A2 8，n A1A2 8，
所以PA 2 8 8 18 3
30 30 30 30 5
例题讲解
解法二： 上 述 解 法 需 要 分 若 干 种情 况 计 算 概 率 ， 注 意 到 事 件A的 对 立 事 件 是 “ 不 中 奖” ， 即 “ 两 罐 都 不 中 奖” 。
P(A1UA2UA3U...UAm)=P(A1)+P(A2)+...+P(Am)
思考：抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A=“正面朝上为 偶数”，B=“正面朝上为奇数”，事件A与事件B是什么关系？ 它们的概率有什么关系？
思考：抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件A=“正面朝上为 偶数”，B=“正面朝上为奇数”，事件A与事件B是什 3 12，P
概率的基本性质6
3.1.3 概率的基本性质优秀教案案例（一、教学目标1、知识与技能：（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念；（2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)（3）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系.2、过程与方法：通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。
3、情感态度与价值观：通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学生学习数学的情趣。
二、重点与难点1、教学重点：概率的加法公式及其应用2、教学难点：事件的关系与运算三、学法与教学用具1、学法：讨论法，师生共同讨论，从而使加深学生对概率基本性质的理解和认识2、教学用具：幻灯片四、教学设计（一）导入新课1、集合有相等、包含关系，如{1，3}={3，1}，{2，4}С{2，3，4，5}等；2、在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1={出现1点}，C2={出现2点}，C3={出现1点或2点}，C4={出现的点数为偶数}……类比集合与集合的关系、运算，你能发现事件的关系与运算吗？（二）推进新课1、新知探究——事件的关系与运算提问：在掷骰子试验中，可以定义许多事件如：C1={出现1点}，C2={出现2点}，C3={出现3点}，C4={出现4点}，C5={出现5点}，C6={出现6点}D1={出现的点数不大于1}，D2={出现的点数大于3}，D3={出现的点数小于5}E={出现的点数小于7}，F={出现的点数大于6}G={出现的点数为偶数}，H={出现的点数为奇数}类比集合与集合的关系、运算，讨论以下问题：（1）若事件C1发生，则一定会发生的事件有哪些？反之，成立吗？（2）若事件C2或C4 或C6发生，则意味着哪个事件发生？（3）若事件D2与H同时发生，则意味着哪个事件发生？（4）事件D3与事件F能同时发生吗？（5）事件G与H能同时发生吗？这两个事件有什么关系？讨论：（1）若C1发生，则一定发生的事件有D1,D3,E,H；反之，若事件D1,D3,E,H分别成立，能推出事件C1发生的只有D1（2） 若事件C 2或C 4 或C 6发生，意味着事件G 发生（3） 若事件D 2与H 同时发生，意味着事件C5发生（4） 事件D 3与事件F 不能同时发生（5） 事件G 与H 不能同时发生，但必有一个发生结论：（1） 如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时我们说事件B 包含事件A （或事件A 包含事件B ），记为B A （或A B ）。
概率的基本性质 修订2
A
B
4.事件的交(或称事件的积):若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B发生（即“ A与 B 都发生” ），则称此事件 为A 与B 的交事件（或积事件）， 记为A B 或 AB
在掷骰子试验中，定义事件：
C1＝｛出现1点｝， C2＝｛出现2点｝，
D2＝｛出现的点数大于3｝，
G＝｛出现的点数为偶数｝，
D1C1 D3C1 EC1
C1D1
HC1
思考1：若事件C1发生，则还有哪些事件也一定会发生？
反之呢？
形成概念
1.包含关系：若事件A 发生则必有事件B 发生，则称 事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）,
记为B A（或A B )。
不可能事件记作 ， 任何事件都包含不可能事件
B
A
2.相等关系：若事件A发生必有事件B 发生；反之事件B 发生必有事件A 发生，即：若A B，且 B A， 那么称事件A 与事件B相 等， 记为 A = B
事件C与事件A、B的关系？
事件D与事件C的关系？
如何求事件C的概率？
如何求事件D的概率？
典例精析
例1、 如果从不包括大小王的52张扑克牌
中随机抽取一张，那么取到红心(事件A)
的概率是 1/4，取到方块(事件B)的概率是1/4. 求：
(1)取到红色牌(事件C)的概率;
(2)取到黑色牌(事件D)的概率. 解： (1)因为C=A∪B ，且A与B不会同时发生，所以A与B是
A
B
探索发现
试判断事件A与B什么关系？
1、某人对靶射击一次， A ={中靶} ，B={没中靶}
A，B是对立事件 A，B是互斥事件
2、某人对靶射击一次， A =“命中偶数环” C =“没中靶 ”
3概率的基本性质
3.1.3概率的基本性质【学习目标】1•了解互斥事件概率的加法公式；2•理解事件的关系与运算；3•会用对立事件的特征求概率.问题导学--------------------------- 1知识点一事件的关系思考一粒骰子掷一次，记事件 A= ｛出现的点数大于 4｝，事件B=｛出现的点数为5｝，则事件B发生时，事件 A一定发生吗？答案因为5>4，故B发生时A 一定发生.梳理一般地，对于事件A与事件B,如果事件A发生，则事件旦一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）,记作B?A （或A? B）•与集合类比，如图所示.不可能事件记作？，任何事件都包含不可能事件.如果事件A发生，则事件B 一定发生，反之也成立，（若B?A,且A? B）,那么称事件 A与事件B相等，记作 A= B.知识点二事件的运算思考一粒骰子掷一次，记事件C= ｛出现的点数为偶数｝，事件D = ｛出现的点数小于 3｝,当事件C, D都发生时，掷出的点数是多少？事件C, D至少有一个发生时呢？答案事件C, D都发生，即掷出的点数为偶数且小于 3,故此时掷出的点数为 2,事件C,D至少有一个发生，掷出的点数可以是124,6.梳理一般地，关于事件的运算，有下表：定义表示法事件的运算并事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发AU B（或 A+ B）生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）父事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发 A n B（或 AB）知识点三互斥与对立的概念思考一粒骰子掷一次，事件E = ｛出现的点数为3｝，事件F = ｛出现的点数大于 3｝，事件G=｛出现的点数小于 4｝，贝y E n F是什么事件？ EU F呢？ Gn F呢？ G U F呢？答案 En F =不可能事件，E U F = ｛出现的点数大于 2｝, E, F互斥，但不对立；Gn F =不可能事件，GU F =必然事件，G, F互斥，且对立.梳理一般地，有下表：知识点四概率的基本性质思考概率的取值范围是什么？为什么？答案概率的取值范围是 0〜1之间，即OW P(A)W 1;由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在 0〜1之间，因而概率的取值范围也在0〜1之间.梳理概率的几个基本性质(1)概率的取值范围为[0,1].⑵必然事件的概率为 1 ,不可能事件的概率为 0.⑶概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A U B)= P(A) + P(B).特别地，若A与B为对立事件，则 P(A)= 1 — P(B).P(A U B)= 1, P(A n B)= 0.n题型探究—类型一事件关系的判断例1在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：A= ｛出现1点｝; B= ｛出现2点｝; C= ｛出现3点｝; D = ｛出现4点｝; E = ｛出现5点｝; F =｛出现6点｝ ; G = ｛出现的点数不大于1｝ ; H = ｛出现的点数小于5｝ ; I = ｛出现奇数点｝; J =｛出现偶数点｝•请根据这些事件，判断下列事件的关系：(1) _________ B __________________ H ; (2)D ___________J; (3)E I;(4)A __________ G.答案⑴？(2)? ⑶？(4)=解析当事件B发生时，事件 H必然发生，故B? H ;同理D? J, E? I•易知事件A与事件 G相等，即A = G. 反思与感悟 (1)不可能事件记作 ?，任何事件都包含不可能事件．(2)事件的包含关系与集合的包含关系相似，不可能事件与空集相似，学习时要注意类比记忆．(3)事件A也包含于事件 A,即A? A.(4)两个事件相等的实质就是两个事件为相同事件，相等的事件A、B总是同时发生或同时不发生．跟踪训练 1 判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从 40张扑牌 (红桃、黑桃、方块、梅花的牌面数字都是从 1 到 1 0)中任意抽取 1 张．( 1 ) “抽出红桃”与“抽出黑桃” ;(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;(3)“抽出的牌的牌面数字为 5 的倍数”与“抽出的牌的牌面数字大于9”．解 (1)是互斥事件，不是对立事件．理由如下：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．由于还可能抽出方块或者梅花，因此不能保证其中必有一个发生，所以二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由如下：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．理由如下：从 40 张扑克牌中任意抽取 1 张，“抽出的牌的牌面数字为 5的倍数”与“抽出的牌的牌面数字大于 9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌的牌面数字为 10，因此二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．类型二事件的运算例2 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取 3个球，设事件 A={3个球中有1个红球 2个白球},事件B= {3个球中有2个红球1个白球}，事件C = {3个球中至少有1个红球}, 事件D = {3个球中既有红球又有白球 }.求：(1)事件 D 与 A， B 是什么样的运算关系？（2）事件C与A的交事件是什么事件？解（1）对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D = AU B.（2）对于事件C,可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故 C n A= A.引申探究本例中，若设事件E=｛3个红球｝,事件F =｛3个球中至少有一个白球｝,那么事件C与B,E是什么运算关系？ C与F的交事件是什么？解由事件C包括的可能结果有 1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B? C, E? C,而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C n F = ｛1个红球2个白球，2个红球1个白球｝ = D.反思与感悟（1）利用事件间运算的定义•列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.（2）利用Venn图•借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.跟踪训练2掷一枚骰子，下列事件：A= ｛出现奇数点｝ , B= ｛出现偶数点｝ , C= ｛点数小于3｝, D = ｛点数大于2｝, E= ｛点数是3 的倍数｝•求：（1）An B, BC.（2）AU B, B+ C.⑶ D , AC, D + E .解（1）An B= ?, BC = ｛出现 2 点｝•（2）AU B = ｛出现 1,2,3,4,5 或 6 点｝,B+ C = ｛出现 1,2,4 或 6 点｝,⑶D = ｛点数小于或等于2｝ = ｛出现1或2点｝,AC = ｛出现1点｝,D +E = ｛出现 1,2,4 或 5 点｝•类型三用互斥、对立事件求概率1 1例3甲、乙两人下棋，和棋的概率是1,乙获胜的概率为彳，求：（1）甲获胜的概率；（2）甲2 3不输的概率.1 解(1) “甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为1_ 1 = 1―3— 6.(2)方法一“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(甲不输)=1+1= 2.6 2 31 2方法二“甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(甲不输)=1 -3=3故甲不输2的概率为2.3反思与感悟(1)只有当A、B互斥时，公式 P(AU B) = P(A) + P(B)才成立；只有当 A、B互为对立事件时，公式 P(A)= 1 — P(B)才成立.(2)复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P(A) = 1 — P(入)求解.跟踪训练3从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件 B = “抽到二等品”，事件 C= “抽到三等品”.已知P(A) = 0.65, P(B) = 0.2, P(C) = 0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为 ( )A. 0.20B. 0.39C. 0.35D. 0.90答案 C解析：•抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P(A)= 0.65 ,•••抽到的不是一等品的概率是1 — 0.65 = 0.35.当堂训练1.从1,2,…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有个偶数.在上述各对事件中，是对立事件的是( )A .①B .②④ C.③ D .①③答案 C解析从1,2 ,…，9中任取两数，包括一奇一偶、二奇、二偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件.2.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是 0.42 ,摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是 ( )A. 0.42B. 0.28C. 0.3D. 0.7答案 C解析•/摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，•••摸出黑球的概率是 1 — 0.42- 0.28 =0.3，故选 C.3•中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为 3 为7, 乙夺得冠军的概率为丄，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.4答案19 28解析由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进3 1 19行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为3+1=磐./ 4 284•如图所示，靶子由一个中心圆面I和两个同心圆环n、川构成，射手命中I、n、川的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是 _______________ .答案 0.10解析"射手命中圆面I”为事件A,"命中圆环n”为事件B,"命中圆环川”为事件C, “不中靶”为事件D，则A、B、C彼此互斥，故射手中靶的概率为 P(A U BU C)= P(A)+ P(B) + P(C) = 0.35+ 0.30 + 0.25 = 0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D) = 1 — P(AU BU C)= 1— 0.90 = 0.10.5.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4. 求：(1)他乘火车或飞机去的概率； (2)他不乘轮船去的概率.解设乘火车去开会为事件 A,乘轮船去开会为事件B,乘汽车去开会为事件 C,乘飞机去开会为事件D ，它们彼此互斥.(1) P(A+ D) = P(A)+ P(D) = 0.3+ 0.4 = 0.7. (2) P= 1 — P(B)= 1— 0.2 = 0.8.-规律与方法 ---- ---------------------------------------- ■1.互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系.在一 次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生， 但是不可能两个事件同时发生， 也不可能两个事件都不发生. 所 以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥.2•互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事 件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式 P(A U B)= P(A) + P(B).3. 求复杂事件的概率通常有两种方法： (1) 将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件； (2) 先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.40分钟课时作业一、选择题1•打靶3次，事件A i 表示“击中i 发” A.全部击中 C.至少击中2发 D .以上均不正确答案 B解析 A “U A 2U A 3所表示的含义是 A 1, A 2, A 3这三个事件中至少有一个发生， 即可能击中1发，2发或3发，故选B.2•抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件 A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件 B 为“落地 时向上的点数是偶数”，事件 C 为“落地时向上的点数是 2的倍数”，事件 D 为“落地时 向上的点数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是 ( ) A . A 与 B B . B 与 C C . A 与 D D . B 与 D 答案 C解析 A 与D 互斥，但不对立.故选C.其中 i = 0,1,2,3.那么 A= A 1U A 2U A 3表示( )B •至少击中1发3.从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8 g的概率为0.3,质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在［4.8,4.85）内的概率是（ ）A. 0.62B. 0.38C. 0.70D. 0.68 答案 B 解析利用对立事件的概率公式可得P= 1 — （0.3+ 0.32） = 0.38.4. 袋内装有红球 3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件 是（） A .至少有一个白球与都是白球 B .至少有一个白球与至少有一个红球 C .恰有一个红球与一个白球一个黑球 D .至少有一个红球与红、黑球各一个 答案 C解析直接依据互斥事件和对立事件的概念判断即可.5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加 公益活动的概率为（）6•某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事 件的有（）① 恰有一名男生和全是男生;② 至少有一名男生和至少有一名女生; ③ 至少有一名男生和全是男生； ④ 至少有一名男生和全是女生. A .①③④ B .②③④ C .②③ D .①④ 答案 D解析 ①是互斥事件.恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生， 它与全是男生不可能同时发生； ②不是互斥事件；③不是互斥事件；④是互斥事件.至少有一1 A.8 3 5B.8C.87 D.7答案 解析 由题意知 4位同学各自在周六、 周日两天中任选一天参加公益活动，其中4位同学都选周六的概率为1 116 , 4位同学都选周日的概率为畚 故周六、周日都有同学参加公益活动的1概率 P = 1 —116 16 16 81 = 14= 7，故选 D.名男生与全是女生不可能同时发生. 、填空题7•袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球•从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 _________________ •5答案5611 5解析 由题意知摸出的2只球的颜色相同的概率为 二，故所求概率P= 1 — ■-=-.66 6解析 记事件A 为"没有1点或2点”，B 为"至少有一个1点或2点”，则A 与B 是互5 4斥事件，且 A 与B 是对立事件，故 P(A)= 1 — P(B)= 1 — 5= &10•给出四对事件：①某人射击 1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击 1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”；③甲、乙两人各射击 1次，“两人均射中目标” 与“两人均没有射中目标”；④甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙未射中目标” •其中是互斥事件的有 _____________________ 对. 答案 2解析 某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”这两个事件不可能同时发生， 故①是互 斥事件；甲、乙两人各射击 1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”可能同时发生，故 ②不 是互斥事件；甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”这两 个事件不可能同时发生， 故③是互斥事件；甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标” 与“甲射中目标，但乙未射中目标 ”，前者包含后者，故 ④8.在30瓶饮料中, 有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取 2瓶，已知所取的2瓶全保质期内的概率为 351 435,则至少取到1瓶已过保质期的概率为答案28 145解析 事件“至少取到1瓶已过保质期的饮料”与事件“没有取到已过保质期的饮料 ”是 对立事件，根据对立事件的概率公式得9.抛掷一枚骰子两次，若至少有一个 28 14551点或2点的概率为5则没有1点或2点的概率是不是互斥事件•综上可知，①③ 是互斥事件，故共有 2对事件是互斥事件.三、解答题 11 •根据以往的成绩记录，某队员击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示:LCUU10击中环啟(1)确定图中a的值;(2)该队员进行一次射击，求击中环数大于7的概率(频率看成概率使用)•解⑴由题图可得 0.01 + a+ 0.19 + 0.29+ 0.45= 1,所以 a= 0.06.(2)设事件A为“该队员射击，击中环数大于7”，它包含三个两两互斥的事件：该队员射击, 击中环数为8,9,10.所以 P(A)= 0.29+ 0.45+ 0.01 = 0.75.12.国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中 7〜10环的概率如下表所示：求该射击队员在一次射击中：(1)命中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；⑶命中不足8环的概率.解记事件“射击一次，命中k环”为A«k€ N , kw 10),则事件A k之间彼此互斥.(1)设“射击一次，命中9环或10环”为事件A,那么当A9, A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件概率的加法公式得P(A) = P(A g)+ P(A10)= 0.28+ 0.32 = 0.6.⑵设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么当A8,A9,A10之一发生时，事件B发生，由互斥事件概率的加法公式得P(B) = P(A8)+ P(A9) + P(A10) = 0.18 + 0.28+ 0.32= 0.78.(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C,由于事件C与事件B互为对立事件，故 P(C)= 1- P(B)= 1 -0.78 = 0.22.13.某商场有奖销售中，购物满100元可得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个•设1张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A, B, C,求：(1)P(A), P(B), P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.1 10 1解 (1)P(A)= , P(B)= = ,1 000 1 000 100'50 1P(C) = 1 000= 20.1 1 1故事件A, B, C的概率分别为而，而，20.(2)1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为 M，贝U M = AU B U C.•/ A, B, C两两互斥，••• P(M) = P(A U BU C)= P(A) + P(B) + P(C) _ 1 + 10+ 50 _ 61= 1 000 = 1 000.61故1张奖券的中奖概率为--—.1 000(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件，• P(N) = 1-P(AU B) = 1-盘+ 盘=器.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为1 000-。
概率的基本性质
请判断那种正确！
小结
概率的基本性质： 1）必然事件概率为1，不可能事件概率 为0，因此0≤P(A)≤1；
2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：
P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为
必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，
于是有P(A)=1—P(B)；
3 .1 .3
概率的基本性质
复
习
1.请回忆集合之间的关系有哪 些？什么是子集，集合的相等？ 2. 集合之间的运算有哪些？
探 究
在掷骰子的试验中，可以定义许多事件,例如 ：
C1={出现1点}； C2 ={出现2点} ； C3={出现3点}
C 4 ={出现4点}； C5={出现5点}； C6={出现6点} D ={出现点数为奇数} ; E ={出现点数为偶数} 类比集合与集合的关系、运算，你能发现它们之 请说出事件C1与D的关系. 间的关系与运算吗？ 事件C1发生，则事件D一定发生. 一个事件可能包含试验的多个结果.我们把每一 个结果可看作元素，而每一个事件可看作一个集合. 因此，事件之间的关系及运算几乎等价于集合之间 的关系与运算.
排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5人以上 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.04
概率的基本性质
4、抛掷骰子，事件A= “朝上一面的数是奇数”， 事件B = “朝上一面的数不超过3”，
求P（A∪B）
解法一： 因为P（A）=3/6=1/2，P（B）=3/6=1/2 所以P（A∪B）= P（A）+ P（B）=1 解法二： A∪B这一事件包括4种结果，即出现1，2，3和5 所以P（A∪B）= 4/6=2/3
试验的可能结果 A 事件 A 事件A的对立事件 A B 事件B包含事件A A=B 事件B与事件A相等 A∪B(或A+B) 事件A与事件B的并
A∩B(或AB)
集合A的补集 集合B包含集合A
集合B与集合A相等 集合B与集合A的并
A∩B=
事件A与事件B的交 集合B与集合A的交 事件A与事件B互斥 集合B与A的交集为空集
排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5人以上 0.04
求至多2个人排队的概率。 解：设事件Ak={恰好有k人排队}， 事件A={至多2个人排队}, 因为A=A0∪A1∪A2,且A0，A1，A2这三个事件是
互斥事件，
所以 P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+0.3=0.56。
特别地，当事件A与事件B是对立事件时，有 P（A）=1－ P（B）
练习：1.如果某士兵射击一次，未中靶的概率为0.05，
求中靶概率。 解：设该士兵射击一次，“中靶”为事件A,“未中靶” 为事件B,则A与B互为对立事件， 故P(A)=1-P(B)=1-0.05=0.95。
2. 甲、乙两人下棋，若和棋的概率是0.5，乙获胜的概率 是0.3. 求：（1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。
概率的基本性质
概率基本性质例题
例4： 盒中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9 粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率 是1/7，从中取出2粒都是白子的概率12/35， 现从中任取出2粒棋子，恰好是同一色的概率 是多少？
例5 假设向三个相邻的敌军火库投掷一颗炸弹，炸中 第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为 0.1，只要炸中一个，另两个也要爆炸，求军火 库发生爆炸的概率.
分析：事件C=A∪B，且A与B互斥，因此 可用互斥事件的概率和公式求解，事件C与事 件D是对立事件，因此P(D)=1-P(C)．
解:(1)P(C)=P(A)+ P(B)=0.25+0.25=0.5; (2)P(D)=1-P(C)=1-0.5=0.5.
例1
从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球， 下列事件哪些互斥事情，如果是，再判断个白球” （2）“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红 球” （3）“取出3个红球”与“取出3个球中至少有1 个白球” （4）“取出3个红球”与“取出3个白球”
例6 某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、 7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28 （1）求该射手在一次射击中射中10环或9环的概 率 （2）求该射手在一次射击中射中少于7环的概率.
例7 玻璃盒里装有各色球12个，其中5红、4黑、2白、 1绿，从中任取1球，设事件A为“取出1个红 球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为 “取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”， 已知P（A）=5/12，P（B）=1/3，P（C）=1/6， P（D）=1/12. （1）求“取出1球为红或黑”的概率 （2）求“取出1球为红或黑或白”的概率.
例2 某城市有甲乙两种报纸 A“只订甲报” B“至少订一种报纸” C“至多订一种报” D“不订甲报” E“一种报也不订” 判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再 判断它们是不是对立事件 （1）A与C （2）B与E （3）B与D （4）B与C （5）C与E
10.1.4 概率的基本性质
七年级
八年级
九年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19.
(1)求x的值； (2)现用 分层随机抽样 的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？ 每个个体被抽到的可能性都是Nn
(3)已知y≥245，z≥245，求九年级中女生比男生少的概率. 解 (1)∵2 0x00＝0.19，∴x＝380. (2)九年级人数为 y＋z＝2 000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层随机抽样的 方法在全校抽取 48 名学生，应在九年级抽取的人数为2500000×48＝12.
【训练2】 某战士射击一次，未中靶的概率为0.05，求中靶的概率. 解 某战士射击一次，要么中靶，要么未中靶，因此，设某战士射击一次，“中靶” 为事件A，则其对立事件B为“未中靶”，于是P(A)＝1－P(B)＝1－0.05＝0.95. 所以某战士射击一次，中靶的概率是0.95.
题型三 概率性质的综合应用 【例3】 某初级中学共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表：
一个去实习，设“小明在甲城市实习”为事件A，“小明在乙城市且编号为3的倍数
的工厂实习”为事件B，则P(A＋B)＝( )
3 A.25
5
9
1
B.8
C.16
D.4
解析 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1342＋362＝58.
答案 B
一、素养落地 1.通过学习概率的基本性质提升数学抽象素养.通过随机事件概率的运算培养数学运算
素养. 2.互斥事件概率的加法公式是一个基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各
事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B). 3.求复杂事件的概率通常有两种方法
概率问题常见典型考题赏析
ʏ朱云飞概率是高中数学的重要内容,也是高考的必考内容㊂高考主要考查随机事件与概率,考查事件的相互独立性以及概率与频率等㊂下面就概率问题常见典型考题进行举例分析,供大家学习与提高㊂题型1:随机事件的表示理解随机现象㊁样本点和样本空间的概念,理解随机事件的概念,在实际问题中,能正确求出事件包含的样本点的个数,并会写出相应的样本空间㊂例1抛掷红㊁蓝两枚骰子的试验,用(x,y)表示结果,其中x表示红色骰子出现的点数,y表示蓝色骰子出现的点数㊂(1)写出这个试验的样本空间㊂(2)写出这个试验的结果的个数㊂(3)指出事件A={(1,6),(2,5),(3,4), (4,3),(5,2),(6,1)}的含义㊂(4)写出 点数之和大于8 这一事件的集合表示㊂解:(1)这个试验的样本空间Ω为{(1, 1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2, 1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3, 1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4, 1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5, 1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}㊂(2)这个试验的结果的个数为36㊂(3)事件A的含义为抛掷红㊁蓝两枚骰子,掷出的点数之和为7㊂(4)记事件B= 点数之和大于8 ,则B ={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5, 6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}㊂题型2:随机事件的含义解答此类问题,应先理解事件中样本点的意义,再观察事件中样本点的规律,才能确定随机事件的含义㊂例2柜子里有3双不同的鞋,随机抽取2只,用A1,A2,B1,B2,C1,C2分别表示3双不同的鞋,其中下标为奇数表示左脚,下标为偶数表示右脚㊂指出下列随机事件的含义㊂(1)事件M={A1B1,A1B2,A1C1, A1C2,A2B1,A2B2,A2C1,A2C2,B1C1, B1C2,B2C1,B2C2}㊂(2)事件N={A1B1,B1C1,A1C1}㊂(3)事件P={A1B2,A1C2,A2B1, A2C1,B1C2,B2C1}㊂解:(1)事件M的含义是 从3双不同鞋中随机抽取2只,取出的2只鞋不成双 ㊂(2)事件N的含义是 从3双不同鞋中随机抽取2只,取出的2只鞋都是左脚 ㊂(3)事件P的含义是 从3双不同鞋中随机抽取2只,取到的鞋一只是左脚,一只是右脚,但不成双 ㊂题型3:事件的运算事件的运算应注意的两个问题:一是要紧扣运算的定义,二是要全面列举同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用V e n n图或列出全部的试验结果进行分析㊂在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断㊂如果遇到比较复杂的题目,需要严格按照事件之间关系的定义来推理㊂例3在掷骰子的试验中,可以定义许多事件㊂例如,事件C1={出现1点},事件C2={出现2点},事件C3={出现3点},事件C4={出现4点},事件C5={出现5点},事件C6={出现6点},事件D1={出现的点数不大于1},事件D2={出现的点数大于3},事件D3={出现的点数小于5},事件E={出现的点数小于7},事件F={出现的点数为偶数},事件G={出现的点数为奇数}㊂根据上述定义的事件,回答下列问题㊂(1)请列举出符合包含关系㊁相等关系的事件㊂(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件㊂解:(1)事件C1,C2,C3,C4发生,则事件D3必发生,所以C1⊆D3,C2⊆D3,C3⊆D3, C4⊆D3㊂同理可得:事件E包含事件C1,C2,C3, C4,C5,C6;事件D2包含事件C4,C5,C6;事件F包含事件C2,C4,C6;事件G包含事件C1,C3,C5㊂易知事件C1与事件D1相等,即事件C1=D1㊂(2)因为事件D2={出现的点数大于3} ={出现4点或出现5点或出现6点},所以D2=C4ɣC5ɣC6(或D2=C4+C5+C6)㊂同理可得:D3=C1ɣC2ɣC3ɣC4,E=C1ɣC2ɣC3ɣC4ɣC5ɣC6,F=C2ɣC4ɣC6, G=C1ɣC3ɣC5㊂题型4:互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件的判断是针对两个事件而言的㊂一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能两个都发生;两个对立事件必有一个发生,但是不可能两个事件同时发生,也不可能两个事件同时不发生㊂所以两个事件互斥,它们未必对立;反之,两个事件对立,它们一定互斥㊂例4某县城有甲㊁乙两种报纸供居民订阅,记事件A为 只订甲报 ,事件B为 至少订一种报纸 ,事件C为 至多订一种报纸 ,事件D为 不订甲报 ,事件E为 一种报纸也不订 ㊂判断下列每组事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件㊂(1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B 与C;(5)C与E㊂解:(1)由于事件C 至多订一种报纸 中包括 只订甲报 ,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件㊂(2)事件B 至少订一种报纸 与事件E 一种报纸也不订 是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件㊂又事件B与事件E必有一个发生,故B与E是对立事件㊂(3)事件B 至少订一种报纸 中包括 只订乙报 ,即有可能 不订甲报 ,也就是说事件B和事件D有可能同时发生,故B与D 不是互斥事件㊂(4)事件B 至少订一种报纸 中的可能情况为 只订甲报 只订乙报 订甲㊁乙两种报 ㊂事件C 至多订一种报纸 中的可能情况为 一种报纸也不订 只订甲报 只订乙报 ㊂也就是说事件B与事件C可能同时发生,故B与C不是互斥事件㊂(5)由(4)的分析知,事件E 一种报纸也不订 是事件C中的一种可能情况,所以事件C与事件E可能同时发生,故C与E不是互斥事件㊂题型5:古典概型解古典概型问题时,要牢牢抓住它的两个特点和计算公式㊂这类问题的解法多样,技巧性强,解题时需要注意两个问题:试验必须具有古典概型的两大特征,即有限性和等可能性;计算基本事件个数时,要做到不重不漏,可借助坐标系㊁表格或树状图等列出所有基本事件㊂例5同时投掷两个骰子,向上的点数分别记为a,b,则方程2x2+a x+b=0有两个不等实根的概率为()㊂A.15B.14C.13D.12解:因为方程2x2+a x+b=0有两个不等实根,所以Δ=a2-8b>0㊂同时投掷两个骰子,向上的点数分别记为a,b,则共包含36个样本点㊂满足a2-8b>0的为(6,1),(6,2),(6, 3),(6,4),(5,1),(5,2),(5,3),(4,1),(3, 1),共9个样本点,所以方程2x2+a x+b=0有两个不等实根的概率为936=14㊂应选B㊂题型6:概率的基本性质当事件A 与B 互斥(A ɘB =⌀)时,P (A ɣB )=P (A )+P (B ),这称为互斥事件的概率加法公式㊂一般地,如果A 1,A 2,,A m 是两两互斥的事件,则P (A 1ɣA 2ɣ ɣA m )=P (A 1)+P (A 2)+ +P (A m )㊂若A ,B 为对立事件,则P (A )=1-P (B )㊂求复杂事件的概率的两种方法:将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件;先求其对立事件的概率,再求所求事件的概率㊂例6 围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为17,从中取出2粒都是白子的概率为1235㊂那么,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是㊂解:设 从中任意取出2粒都是黑子 为事件A , 从中任意取出2粒都是白子 为事件B , 从中任意取出2粒恰好是同一色 为事件C ,则C =A ɣB ,且事件A 与B 互斥㊂由上可知,P (C )=P (A )+P (B )=17+1235=1735,即 从中任意取出2粒恰好是同一色 的概率为1735㊂题型7:相互独立事件的判断对于事件A ,B ,若满足P (A ɘB )=P (A B )=P (A )P (B ),则称事件A ,B 相互独立,简称A ,B 独立㊂所谓独立事件就是某事件发生的概率与其他任何事件都无关,用集合的概念解释即集合之内所有事件发生的可能性范围互不相交㊂通过式子P (A B )=P (A )P (B )来判断两个事件是否独立,若上式成立,则事件A ,B 相互独立,这也是定量判断㊂例7 一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令事件A ={一个家庭中既有男孩又有女孩},B ={一个家庭中最多有一个女孩}㊂对下述两种情形,讨论事件A 与B 的独立性㊂(1)家庭中有两个小孩㊂(2)家庭中有三个小孩㊂解:(1)有两个小孩的家庭,男孩㊁女孩的所有可能情形为Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},即4个基本事件㊂由等可能性知这4个基本事件的概率都为14㊂由题意可知,事件A ={(男,女),(女,男)},B ={(男,男),(男,女),(女,男)},A B ={(男,女),(女,男)},所以P (A )=12,P (B )=34,P (A B )=12㊂由此可知,P (A B )ʂP (A )P (B ),所以事件A ,B 不相互独立㊂(2)有三个小孩的家庭,男孩㊁女孩的所有可能情形为Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(男,女,女),(女,男,男),(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)},即8个基本事件㊂由等可能性可知,这8个基本事件的概率均为18,这时A 中含有6个基本事件,B 中含有4个基本事件,A B 中含有3个基本事件㊂所以P (A )=68=34,P (B )=48=12,P (A B )=38㊂显然P (A B )=38=P (A )P (B ),所以事件A 与B 相互独立㊂题型8:相互独立事件概率的综合应用求较复杂事件概率的方法:列出题中涉及的各事件,用适当的符号表示;弄清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立,或是相互独立),列出关系式;根据事件之间的关系,准确选取概率公式进行计算㊂当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接计算对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率㊂例8 计算机考试分理论考试与实际操作两部分,每部分考试成绩只记 合格 与 不合格 ,两部分考试都 合格 者,则计算机考试 合格 ,并颁发合格证书㊂已知甲,乙,丙三人在理论考试中 合格 的概率依次为45,34,23,在实际操作考试中 合格 的概率依次为12,23,56,所有考试是否合格相互之间没有影响㊂(1)假设甲,乙,丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大?(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率㊂解:(1)记 甲获得合格证书 为事件A , 乙获得合格证书 为事件B , 丙获得合格证书 为事件C ,则P (A )=45ˑ12=25,P (B )=34ˑ23=12,P (C )=23ˑ56=59㊂因为P (C )>P (B )>P (A ),所以丙获得合格证书的可能性最大㊂(2)设 三人考试后恰有两人获得合格证书 为事件D ㊂由题意知三人所有考试是否获得合格证书相互独立,则P (D )=P (A BC )+P (AB C )+P (AB C )=25ˑ12ˑ49+25ˑ12ˑ59+35ˑ12ˑ59=1130㊂题型9:频率与概率的关系在实际问题中,常用事件发生的频率作为概率的估计值㊂在用频率估计概率时,要注意试验次数n 不能太小,只有当n 很大时,频率才会呈现出规律性,即在某个常数附近波动,且这个常数就是概率㊂例9 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:h)进行了统计,统计结果如表1所示㊂表1分组频数频率[500,900)48[900,1100)121[1100,1300)208[1300,1500)223[1500,1700)193[1700,1900)165[1900,+ɕ)42(1)求各组的频率㊂(2)根据上述统计结果,估计灯管使用寿命不足1500h 的概率㊂解:(1)由表可知频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042㊂(2)样本中寿命不足1500h 的频数是48+121+208+223=600,所以样本中寿命不足1500h 的频率是6001000=0.6,即灯管使用寿命不足1500h 的概率约为0.6㊂题型10:随机模拟法估计概率随机数模拟试验估计概率时,先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果㊂可以从以下三个方面考虑:当试验的样本点等可能时,样本点总数即为产生随机数的范围,每个随机数代表一个样本点;研究等可能事件的概率时,用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数;当每次试验结果需要n 个随机数表示时,要把n 个随机数作为一组来处理,此时一定要注意每组中的随机数字能否重复㊂例10 某种心脏手术,成功率为0.6,现采用随机模拟方法估计 3例心脏手术全部成功 的概率㊂先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数,由于成功率是0.6,故我们用0,1,2,3表示手术不成功,4,5,6,7,8,9表示手术成功;再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果㊂经随机模拟产生如下10组随机数:812,832,569,683,271,989,730,537,925,907㊂由此估计 3例心脏手术全部成功的概率为( )㊂A.0.2B .0.3C .0.4D .0.5解:由10组随机数为812,832,569,683,271,989,730,537,925,907,可知4~9中恰有三个随机数的有569,989,即2组,故所求的概率为P =210=0.2㊂应选A ㊂作者单位:福建省厦门市新店中学(责任编辑 郭正华)。
高中数学人教A版必修三习题第三章-概率的基本性质含答案
第三章 概率3.1 随机事件的概率3.1.3 概率的基本性质A 级 基础巩固一、选择题1．下列各组事件中，不是互斥事件的是( )A ．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B ．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数低于90分与平均分数高于90分C ．播种菜籽100粒，发芽90粒与至少发芽80粒D ．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%答案：C2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，已知事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是( ) 310710A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡解析：结合对立事件可知所求事件是“2张全是移动卡”的对立事件，即至多有一张移动卡．答案：A3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )A ．60%B ．30%C ．10%D ．50%解析：甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%.答案：D4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )A ．A ⊆DB ．B ∩D ＝∅C ．A ∪C ＝D D ．A ∪C ＝B ∪D解析：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，A ∪C ＝D ＝(至少有一弹击中飞机)，不是必然事件；“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，B ∪D 为必然事件，所以A ∪C ≠B ∪D .答案：D5．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )A. B. C. D. 15253545解析：记“取到语文、数学、英语、物理、化学书”分别为事件A 、B 、C 、D 、E ，则A 、B 、C 、D 、E 彼此互斥，取到理科书的概率为事件B 、D 、E 概率的和．所以P (B ∪D ∪E )＝P (B )＋P (D )＋P (E )＝＋＋＝. 15151535答案：C二、填空题6．在掷骰子的游戏中，向上的点数为5或6的概率为______．解析：记事件A 为“向上的点数为5”，事件B 为“向上的点数为6”，则A 与B 互斥．所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝×2＝. 1613答案： 137．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________． 45解析：设A ＝{3人中至少有1名女生}，B ＝{3人都为男生}，则A ，B 为对立事件，所以P (B )＝1－P (A )＝. 15答案： 158．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是________．解析：“射手命中圆面Ⅰ”为事件A ，“命中圆环Ⅱ”为事件B ，“命中圆环Ⅲ”为事件C ，“不中靶”为事件D ，则A 、B 、C 彼此互斥，故射手中靶的概率为P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P (D )＝1－P (A ∪B ∪C )＝1－0.90＝0.10.答案：0.10三、解答题9．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下表所示． 医生人数0 1 2 3 4 ≥5 概率 0.1 0.16 x y 0.2 z(1)若派出医生不超过2人的概率为0.56，求x 的值；(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，至少3人的概率为0.44，求y ，z 的值． 解：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得0.1＋0.16＋x ＝0.56，所以x ＝0.3.(2)由派出医生最多4人的概率为0.96，得0.96＋z ＝1，所以z ＝0.04.由派出医生至少3人的概率为0.44， 得y ＋0.2＋z ＝0.44，所以y ＝0.44－0.2－0.04＝0.2.10．如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心(事件A )的概率是，取到方块(事件B )的概率是，问： 1414(1)取到红色牌(事件C )的概率是多少？(2)取到黑色牌(事件D )的概率是多少？解：(1)因为C ＝A ∪B ，且A 与B 不会同时发生，所以事件A 与事件B 互斥，根据概率的加法公式得P (C )＝P (A )＋P (B )＝.12(2)事件C 与事件D 互斥，且C ∪D 为必然事件，因此事件C 与事件D 是对立事件，P (D )＝1－P (C )＝. 12B 级 能力提升1．从1，2，…，9中任取两数：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③ 解析：从1，2，…，9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数．至少有一个奇数是(1)和(3)，其对立事件显然是(2)．答案：C2．事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为，且P (A )＝2P (B )，则P ()＝________． 25A －解析：P (A )＋P (B )＝1－＝， 2535又P (A )＝2P (B )，所以P (A )＝，P (B )＝. 2515所以P ()＝1－P (A )＝. A －35答案： 353．三个臭皮匠顶上一个诸葛亮，能顶得上吗？在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个臭皮匠A 、B 、C 能答对题目的概率分别为P (A )＝，P (B )＝，P (C )＝，诸葛亮D 能答131415对题目的概率为P (D )＝，如果将三个臭皮匠A 、B 、C 组成一组与诸葛亮D 比赛，答对题目23多者为胜方，问哪方胜？解：如果三个臭皮匠A 、B 、C 能答对的题目彼此互斥(他们能答对的题目不重复)，则P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝>P (D )＝，故三个臭皮匠方为胜方，即三个臭皮匠能顶上476023一个诸葛亮；如果三个臭皮匠A 、B 、C 能答对的题目不互斥，则三个臭皮匠未必能顶上一个诸葛亮．。
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典型例题探究（概率的基本性质）
［典型例题探究］
【例1】某县城有两种报纸甲、乙供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件.
（1）A与C；（2）B与E；
（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E.
分析：利用互斥事件、对立事件的定义.
解：（1）由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A 与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.
（2）事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件.由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件.
（3）事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥. 规律发现
互斥事件是不可能同时发生的事件，而对立事件不仅不能同时发生而且必须有一个发生，故对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件.
（4）事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报”中有这些可能：“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”.由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件.
只要找出各个事件包含的所有结果，它们之间能不能同时发生便很容易知道，这样便可判定两事件是否互斥.
（5）由（4）的分析，事件E“一种报纸也不订”只是事件C的一种可能，事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不互斥.
在互斥的前提下，看两事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件.
【例2】向假设的三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也要发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率.
分析：军火库要发生爆炸，只要炸弹炸中一个军火库即可，因为只投掷了一个炸弹，故炸中第一、第二、第三军火库的事件是彼此互斥的.
解：设以A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，则P（A）=0.025，P（B）=P（C）=0.1.
又设D表示军火库爆炸这个事件，则有D=A+B+C，其中A、B、C是互斥事件，因为只投掷了一个炸弹，不会同时炸中两个以上军火库，∴P（D）=P（A）+P（B）+P（C）=0.025+0.1+0.1=0.225.
对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些事件的概率的和.关键是确定事件是否互斥、是否完备.
【例3】某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.
分析：射手射中9环、8环、不够8环彼此是互斥的，因此可用概率加法分式求解.
解：记这个射手在一次射击中命中10环或9环为事件A，命中10环、9环、8环、不够8环分别记为A1、A2、A3、A4.
∵A3、A3、A4彼此互斥，
∴P（A2∪A3∪A4）=P（A2）+P（A3）+P（A4）
=0.28+0.19+0.29=0.76.
又∵A1与A2∪A3∪A4为对立事件，
要注意理清各个事件之间的关系，分清哪些事件是互斥的，哪些不互斥，在将一个事件拆分为几个互斥事件时，要做到不重不漏.
∴P（A1）=1－P（A2+A3+A4）
=1－0.76=0.24.
A1与A2互斥，且A=A1+A2，
∴P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）
=0.24+0.28=0.52.
【例4】某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.
（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；
（2）求他不乘轮船去的概率；
（3）如果他去的概率为0.5，请问他有可能是乘何种交通工具去的?
分析：分清事件之间是互斥关系还是对立关系，然后套用相关公式.
利用对立事件概率公式可使复杂问题简单化.
解：（1）记“他乘火车去”为事件A1，“他乘轮船去”为事件A2，“他乘汽车去”为事件A3，“他乘飞机去”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥.故P（A1+A4）=P（A1）+P （A4）=0.3+0.4=0.7.
答：他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
由于一次不会乘坐两种交通工具，因此各事件间彼此互斥，故可考虑互斥事件概率公式.
（2）设他不乘轮船去的概率为P，则P=1－P（A2）=1－0.2=0.8.
（3）由于0.3+0.2=0.5，0.1+0.4=0.5，1－（0.3+0.2）=0.5，1－（0.4+0.1）=0.5，故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.
带有“不”“不大于”等否定字眼的常可用对立事件概率公式.。