研究生高等代数复习题

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1.设 是数域P 上线性空间 V 的线性变换且 扌2

扌,证明: (1) 的特征值为 1或0; (2)0 1(0)

A ( )| V ;( 3)

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2.已知 是n 维欧氏空间的正交变换,证明: 的不变子空间 W 的正交补 W 也是 的不变子空间. .呼:演M 肛坊涵凤y 詁色疑接 则站 如巒哪、 WS J 辰磯上飙询辰M 戈二Q. K 幕亍疋丹册匚沪.H 就M 丄 八厲艸)=0 “古忆 押期 卫时贱,朋4神刑. \ r 加/AG*)o 舟呻)二&<舜】"八'亠如 J-初丄匕M 七 D 1 Uy

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6.设 A 为 n 阶 方阵,W X R "|A X 0

3.已知复系数矩阵 A 1 2 0 1 0 0

0 0

3 4

2 3

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(1)求矩阵 A 的行列式因子、不变因子 和初等因子;(2)若当标准形.(15分) 如 [JH 心巧十

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7.

若设 W= f(x)|f(1) 0, f(x)

R[x]n ,

证明:W 是R[x]”的子空间,并求出 W 的一组基及维数.

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8. 设V 是一个n 维欧氏空间,

0证明A 为幂等矩阵,则 R W W .

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(2)证明:W L ,

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0 I O O 彷 I -0 O 血 I . 2 2 2 4.已知二次型 f(X 1,x 2,X 3) 2X 1 3X 2 3X 3 2ax 2X 3,(a 个正交变换可化为标准形 f y 2 2y 2 5y 2,( 1)写出二次型对应的矩阵 A 及

A 的特征多项式,并确定 a 的值;(2)求出作用的正交变换. A 二 O

O' 0)通过某

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9.试求矩阵A

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的特征多项式、最小多项式.

3 1

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