测量投影知识

测量投影知识

一、投影及其变形

1、投影变形有角度变形、长度变形和面积变形三种。根据实际需要选择某种变形为零或使其减小到某一适当程度。如高斯投影，保持角度不变形，但长度和面积有变形。

2、投影长度比与长度变形

投影长度比——投影面上无限小线段 ds 与椭球面上该线段实际长度 dS 之比，以m 表示，m=ds/dS 。一般m 与点位以及与方向有关。 长度变形—— 长度比与1之差。v= m-1

v > 0 时，投影后长度将增大，v < 0时，投影后长度缩短。

二、高斯投影及其计算

1、高斯投影又称横轴椭圆柱等角投影。在高斯投影平面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，分别为高斯平面直角坐标系的X 轴和Y 轴。

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2、高斯投影的条件：

（1）投影后角度不产生变形，满足正形投影要求；

（2）中央子午线投影后是一条直线；

（3）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等于1。

（4）高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外，不在中央子午线上的各点，其长度比都大于1，且离开中央子午线愈远，长度变形愈大。

3、高斯投影的长度比和长度变形

⑴用大地坐标表示的高斯投影长度比m

式中：

⑵用平面坐标表示的高斯投影长度比m

式中y为投影点的横坐标，R为该点处椭球平均曲率半径。

⑶长度变形m-1与横坐标y的关系

4、高斯投影的分带

⑴为限制长度投影变形，采取分带投影。分带有6度分带和3度分带两种方法。

⑶国家统一坐标的表示方法：直角坐标是以赤道的投影为横抽，用Y表示，以中央子午线的投影为纵轴，用X表示。X坐标（纵坐标、北方）为正（因为我国在赤道以北，所以纵坐标为正），Y坐标（横坐标、东方）加500km（因为以，以中央子午线的投影为纵轴后会出现横坐标负值，为不使横坐标出现负值，所以将坐标原点西移500km）后前面冠以带号。如在39带中Y坐标自然值分别为12345.678和-12345.678m，国家统一坐标分别为39512345.678和39487654.322m。但在坐标计算中应去掉带号，减去500km，恢复坐标自然值。

5、高斯投影坐标计算

高斯投影坐标正算——由（B，L）求（x，y）

高斯投影坐标反算——由（x，y）求（B，L）

6、高斯投影坐标换带计算

高斯投影坐标的换带计算：将一个投影带的平面直角坐标，转换成另外一个投影带的平面直角坐标。

以下情况需要进行坐标换带计算：

（1）当控制网位于两个相邻投影带的边缘地区并横跨两个投影带，为了能在同一带内进行平差计算，必须把控制网起算点的坐标换算到同一个投影带内。

（2）在分带子午线附近地区测图或进行测量工程时，往往需要用到另一带内的控制成果，因此，也需要将这些点的坐标换算到同一带内。（3）当大比例尺测图时，特别是在工程测量中，为了限制投影变形，常要求采用3°带、1.5°带或任意带投影，而国家控制点成果通常只有6°带坐标，这时就产生了6°带与3°带（或1.5°带、任意带）之间的相互坐标换算问题。

当测区跨不同的投影带时，测图时测区中所有控制点应采用同一投影带的坐标，位于不同投影带的点应进行同一坐标系统（同一个椭球）不同投影带之间的坐标换算：具体情况有以下几种：

6°带坐标→相邻6°带坐标；

6°带坐标→3°带坐标；

3°带坐标→相邻3°带坐标；

6°带或3°带坐标→任意带坐标；

计算程序如下：

首先将某投影带内已知点的平面坐标（x1, y1），按高斯投影坐标反算公式求得其在椭球面上的大地坐标（B, L）；然后根据纬度和所需换算的投影带的中央子午线经度L02，计算该点在新投影带内的经差l2，再按高斯投影坐标正算公式计算该点在新投影带内的高斯平面坐标（x2, y2）。至此，就完成了高斯投影坐标的换带计算问题。其计算流程如下：

（x1, y1）→反算（B, l1）→ (B,L=L01+l1）→ (B,l2=L-L02) →正算 (x2, y2）