角平分线与平行线

角平分线与平行线

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专题一 角平分线与平行线

一、教学目标:

1、知识与技能：使学生掌握角平分线与平行线结合应用时，等量间的迁移关系。

2、过程与方法:培养学生观察图形，研究问题的能力,掌握等量代换的技巧。

3、情感态度与价值观：渗透分类讨论的思想,指导相应的学习方法，使学生不仅学会数学,而且会学数学。

二、教学重点、难点：

1、教学重点：综合掌握角平分线和平行线间的关系.

2、教学难点:等量关系的确定。 三、教学方法：引导发现、练习提高 四、教学手段:多媒体电脑、黑板 五、具体内容： （一）复习引入

例1 如图1, 已知△ABC 中,∠BAC 的外角∠EAC 的平分线交BC 延长线于D ．

求证：。

设计思想:融合平行、相似、角平分线.

分析:从问题来看，本题需要证明的是一个比例式,显然要与三角形“相似"挂钩,构造相似的方法可以过点C 作AD 的平行线,这样既可以有相似,又可以使“平行”、“角平分线”结合起来，构成等量关系.

DC BD

AC AB

证明思路:

过点C 作CF ∥AD 交AB 于F , 可证明AF =AC 。 由△BFC ∽△BAD

得

。 经等量代换得. 即。

点拨：这道题辅助线的添加是个关键，需要联系着相似和平分线两个角度来构造等腰三角形.

例2 （09抚顺）已知：如图所示，直线与的平分线交于点，

过点C 作一条直线与两条直线分别相交于点．

（1）如图1所示，当直线与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系,请直接写出结论，不用证明； (2）如图2所示，当直线与直线不垂直且交点都在的同侧时，(1）中的结论是否成立?如果成立,请证明：如果不成立，请说明理由； (3）当直线与直线不垂直且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立?如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD 、BE 、AB 之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．

设计思想：

这道题会用到“平行线间同旁内角角平分线形成夹角为90°”,这是关于角平分线非常普遍的应用环境之一。

BD BC

BA BF =BD DC

AB AC =DC BD

AC AB =

M

A N BM A

B ∠∥，N B A ∠

C l M

A N

B 、D E 、l MA A

D B

E A B 、、l

MA D

E 、AB l

MA D

E 、AB N

M M N M N

N

M D C

C

l

C

E C

D A

E B

B

A

B

A

l B

A 图2

图1

备用

备用

解：(1) （2)成立．

分析一:直接找三条线段的关系并不好找,我们的间接手段有两个：一是截长，将三段转化为四段,确定一对等量，证明另一对等量；二是补短,将三段转化为两段,证明等量.在这道题目当中,采取截长的方法即可证明全等.

解法思路一：

如图2-1,在上截取，连接． 现证明△ADC ≌AGC 。

.

再证。 . .

. 。

。

。

分析二：这道题也可以受第(1）问的启发,构造角平分线上点向角两边的垂线段，以利用角平分线的性质得线段的等量关系。

解法思路二：

如图2-2,过点C 作直线，垂足为点F ,交于点G ．作，垂足为点．

由（1）得. 由, 得CF=CH=CG.

. 。

.

分析三:有“角平分线”“平行线”的时候，我们还可以构造等腰三角形.为了制造内错角,延长BC 交AM 于F 就可以了,在这个图形中,既可以得到△ABF 是等腰三角形，又可以在△ABF

A

D B

E A B +=A

D B

E A B 、、AB A

G A D =CG 56∴∠=∠6790∠+∠=°5890∴∠+∠=°78∴∠=∠B G C B E C ∴△≌△B GB E ∴=A D B E A G B G ∴+=+A D B E A B

∴+=F G A M ⊥BN C H A B ⊥H A F B G A B +=1234∠

=∠∠=∠，C F DC G E ∴△≌△D F E G ∴=A D B E A F B G A B ∴+=+=

利用三线合一得到等量关系。

解法思路三:

如图2-3，延长，交AM 于点．

，

.

,

。

。

可证△AFC ≌△ABC 。

.

可证△FCD ≌△BCE.

。

.

(3）不成立．

存在．当点D 在射线AM 上、点E 在射线BN 的反向延长线上时(如图3-1)，

。

当点D 在射线AM 的反向延长线上，点E 在射线AM 上时（如图3—2)，。

点拨：这道题中涉及的基本方法和图形很多，第一，平行线间同旁内角两条角平分线夹角成90°；第二,平行线与角平分线结合可得相等线段关系,这也是常用的；第三，当问题涉及到三条线段时，可采取截长补短的方法.

例 3 （09烟台中考）如图1，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，，且CD =2AD , tan ∠ABC =2,过点D 作DE ∥AB ,交∠BCD 的平分线于点E ,连接BE ．

BC F

A M

B N

∥54∴∠=∠34

∠=∠53∴∠=∠A F A B

∴=C F C B ∴=D F B E

∴=A D B E A D D F A F A B

∴+=+==A D B E A B

-=B

E A D A B -=90B C D ∠=°