人教版数学八年级下册小专题(十五) 条件分式求值攻略
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小专题(十五) 条件分式求值攻略
类型1 归一代入法
将条件式和所求分式作适当的恒等变形，然后整体代入，使分子、分母化归为同一个只含一样字母积的分式，便可约分求值．
1．1a ＋1b ＝3，求5a ＋7ab ＋5b a －6ab ＋b
的值． 解：由条件1a ＋1b
＝3，得a ＋b ＝3ab. 对待求式进展变形，得5a ＋7ab ＋5b a －6ab ＋b ＝5〔a ＋b 〕＋7ab a ＋b －6ab
. 将a ＋b 视为一个整体，代入得
5a ＋7ab ＋5b a －6ab ＋b ＝5×3ab ＋7ab 3ab －6ab ＝22ab －3ab
＝－223.
类型2 整体代入法
将条件式和所求分式作适当的恒等变形，然后整体代入求值．
2．a 2－a ＋1＝2，求2a 2－a ＋a －a 2的值． 解：由条件式得a 2－a ＝1， 故原式＝2a 2－a
－(a 2－a)＝21－1＝1.
3．1x －1y ＝5，求3x ＋5xy －3y y －3xy －x
的值． 解：显然xy ≠0.将待求式的分子、分母同时除以xy ，得
3x ＋5xy －3y y －3xy －x ＝－3〔1x －1y 〕＋51x －1y
－3＝－3×5＋55－3＝－5.
4．a ＋b ＋c ＝0，求c(1a ＋1b )＋b(1c ＋1a )＋a(1b ＋1c
)的值． 解：原式＝c(1a ＋1b ＋1c )－1＋b(1c ＋1a ＋1b )－1＋a(1b ＋1c ＋1a
)－1 ＝(1a ＋1b ＋1c
)(c ＋b ＋a)－3. ∵a ＋b ＋c ＝0，
∴原式＝－3.
类型3 设辅助元代入法
在条件中有连比或等比时，一般可设参数k ，往往立即可解．
5．a 2＝b 3＝c 4，求3a －2b ＋5c a ＋b ＋c 的值． 解：令a 2＝b 3＝c 4
＝k ，那么a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k. ∴原式＝3×2k －2×3k ＋5×4k 2k ＋3k ＋4k
＝20k 9k ＝209.
6．x 3＝y 4＝z 7≠0，求3x ＋y ＋z y
的值． 解：设x 3＝y 4＝z 7
＝k ≠0，那么x ＝3k ，y ＝4k ，z ＝7k. ∴原式＝3×3k ＋4k ＋7k 4k ＝20k 4k
＝5.
类型4 构造互倒式代入法
构造x 2＋1x 2＝(x±1x
)2∓2迅速求解，收到事半功倍之效．
7．m 2＋1m 2＝4，求m ＋1m 和m －1m
的值． 解：在m 2＋1m 2＝4的两边都加上2，得(m ＋1m )2＝6，故m ＋1m
＝±6. 同理(两边都减2)，可得m －1m
＝±2.
8．假设x ＋1x ＝3，求x 2＋1x
2的值． 解：x 2＋1x 2＝(x ＋1x
)2－2＝32－2＝7.
类型5 主元法
假设两个方程有三个未知数，故将其中两个看作未知数，剩下的第三个看作常数，联立解方程组，思路清晰、解法简洁．
9．3x －4y －z ＝0，2x ＋y －8z ＝0，求x 2＋y 2＋z 2
xy ＋yz ＋2xz
的值． 解：以x 、y 为主元，解方程组
⎩⎨⎧3x －4y －z ＝0，2x ＋y －8z ＝0，得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3z ，y ＝2z. ∴原式＝〔3z 〕2＋〔2z 〕2＋z 23z ·2z ＋2z·z ＋2×3z·z ＝14z 2
14z 2
＝1.
10．假设4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0(xyz ≠0)，求代数式5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2
的值． 解：将条件看作关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧4x －3y ＝6z ，x ＋2y ＝7z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3z ，y ＝2z.
故原式＝45z 2＋8z 2－z 2
18z 2－12z 2－10z 2
＝－52z 2
4z
2 ＝－13.
类型6 倒数法
条件和待求式同时取倒数后，再逆用分式加减法法那么对分式进展拆分，然后将三个式相加，这样解非常简捷．
11．x ＋1x ＝3，求x 2
x 4＋x 2＋1
的值． 解：∵x 4＋x 2＋1x 2＝(x ＋1x
)2－1＝32－1＝8， ∴x 2x 4＋x 2＋1＝18
.
12．三个数x 、y 、z 满足xy x ＋y ＝－2，yz y ＋z ＝43，zx z ＋x
＝－43.求xyz xy ＋yz ＋zx 的值． 解：先将三个条件中的分子化为一样，得到xyz zx ＋yz ＝－2，xyz xy ＋zx ＝43，xyz xy ＋yz
＝－43. 取倒数，有zx ＋yz xyz ＝－12，xy ＋zx xyz ＝34，xy ＋yz xyz ＝－34
. 将以上三个式子相加，得xy ＋yz ＋zx xyz ＝－14
. 两边再同时取倒数，得xyz xy ＋yz ＋zx
＝－4.