2018-2019学年湖北省武汉二中广雅中学八年级(下)期中数学模拟试卷(1) 解析版

参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞0B．x＞3C．x≥3D．x≤3
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵使在实数范围内有意义，
∴x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选：C．
2．下列二次根式中的最简二次根式是（）
A．B．C．D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
B、原式＝，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、原式＝，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：A．
3．下列计算正确的是（）
A．2B．C．5D．
【分析】利用二次根式的乘法法则对A进行判断；根据二次根式的加减法对B、C进行判断；根据分母有理化对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝6×3＝18，所以A选项错误；
B、与不能合并，所以B选项错误；
C、5与﹣2不能合并，所以C选项错误；
D、原式＝＝，所以D选项正确．
故选：D．
4．三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是（）A．4B．
C．4或D．以上都不正确
【分析】根据勾股定理的逆定理，可设第三条边长为x，如果满足32+52＝x2或32+x2＝52，即为直角三角形，解出x的值即可解答；
【解答】解：设第三条边长为x，
∵三角形是直角三角形，
∴可得，32+52＝x2或32+x2＝52，
解得，x＝或x＝4．
故选：C．
5．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）
A．﹣1B．﹣1C．2D．
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AM的长，再根据A点表示﹣1，可得M点表示的数．
【解答】解：∵AB＝3，AD＝1，
∴AC＝＝，
∵点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，
AM＝AC＝，
∵A点表示﹣1，
∴M点表示的数为：﹣1，
故选：A．
6．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④在同一个三角形中，等边对等角．其中逆命题成立的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】分别写出命题的逆命题，判断即可．
【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行，逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，正确；
②如果两个角是直角，那么它们相等，逆命题是：如果两个角相等，那么他们是直角，
不成立；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等，逆命题是：如果两数的平方相等，那么这
两个数相等，不成立；
④在同一个三角形中，等边对等角，逆命题是：在同一个三角形中，相等的角对相等的
边，成立．
故成立的有2个．
故选：B．
7．估计的运算结果应在（）
A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．
【解答】解：∵＝4+，而4＜＜5，
∴原式运算的结果在8到9之间；
故选：C．
8．k、m、n为三整数，若＝k，＝15，＝6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）
A．k＜m＝n B．m＝n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n
【分析】根据二次根式的化简公式得到k，m及n的值，即可作出判断．
【解答】解：＝3，＝15，＝6，
可得：k＝3，m＝2，n＝5，
则m＜k＜n．
故选：D．
9．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是（）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【分析】由题意，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到（x+y）2＝94由此即可判断．
【解答】解：由题意，
①﹣②得2xy＝45 ③，
∴2xy+4＝49，
①+③得x2+2xy+y2＝94，
∴（x+y）2＝94，
∴①②③正确，④错误．
故选：B．
10．如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BD分别交AE、AF于M、N，连MF、EF，下列结论：①MN2＝BN2+DM2；②DE+BF＝EF；③AM＝MF且AM⊥MF；④若E为CD中点，则＝．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①过B作BD的垂线，截取BH＝MD，连接AH，HN，如图，易证△ADM≌△ABH，△AHN≌△AMN，得MN＝HN，最后根据勾股定理可作判断；
②延长CB，截取BI＝DE，连接AI，如图，易证△ADE≌△ABI，△AIF≌△AEF，得IF
＝EF，即DE+BF＝EF，成立．
③作辅助线，则可证△AFJ为等腰直角三角形，CK＝BF＝KJ，证明∠JCK＝45°，推出
四边形BCJK为平行四边形，所以GJ＝BC＝AD，可证△GJM≌△DAM，则M为AJ的中点，又∠AFJ＝90°，故AM＝MF且AM⊥MF，成立．
④延长CB，截取BL＝DE，连接AL，可设DE＝a，BF＝x，则EF＝LF＝a+x，CF＝2a
﹣x，CE＝a，由勾股定理可知：3x＝2a，则＝＝，成立．
【解答】解：①过B作BD的垂线，截取BH＝MD，连接AH，HN，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADB＝∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠ABH＝45°＝∠ADM，
在△ADM和△ABM中，
∵，
∴△ADM≌△ABH（SAS），
∴∠DAM＝∠BAH，AM＝AH，
∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠DAM+∠BAN＝∠BAH+∠BAN＝45°，
∴∠MAN＝∠HAN＝45°，
在△AHN和△AMN中，
∵，
∴△AHN≌△AMN（SAS），
∴MN＝HN，
Rt△BHN中，HN2＝BH2+BN2，
∴MN2＝BN2+DM2，成立．
②延长CB，截取BI＝DE，连接AI，如图，
在△ADE和△ABI中，
∵
∴△ADE≌△ABI（SAS），
同理得△AIF≌△AEF（SAS），
∴IF＝EF，即DE+BF＝EF，成立；
③如图，过F作FJ⊥AF交AE的延长线于J，过J作JK⊥BC于K，连接CJ，过J作JG ∥BC交BD于G，
∴∠AFJ＝∠AFB+∠JFK＝90°，
∵∠AFB+∠BAF＝90°，
∴∠BAF＝∠JFK，
∵∠EAF＝45°，∠AFJ＝90°，
∴△AFJ是等腰直角三角形，
在△ABF和△FKJ中，
∵，
∴△ABF≌△FKJ（SAS），
∴AB＝FK＝BC，BF＝KJ，
∴CK＝BF＝KJ，
∴∠JCK＝45°，
∴∠DBC＝∠JCK，
∴BG∥CJ，
∵JG∥BC，
∴四边形BCJK为平行四边形，
∴GJ＝BC＝AD，
∵AD∥BC∥GJ，
∴∠DAM＝∠MJK，
在△GJM和△DAM中，
∵，
∴△GJM≌△DAM（AAS），
∴AM＝MJ，
则M为AJ的中点，
又∠AFJ＝90°，
故AM＝MF且AM⊥MF，成立．
④延长CB，截取BL＝DE，连接AL，
可设DE＝a，BF＝x，则EF＝LF＝a+x，
∵E为CD中点，
∴CD＝BC＝2a，
∴CF＝2a﹣x，CE＝a，
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2∴（a+x）2＝a2+（2a﹣x）2
解得：3x＝2a，
则＝＝，成立．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．计算：
（1）＝；
（2）（2）2＝20；
（3）＝．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：（1）＝＝；
（2）（2）2＝4×（）2＝4×5＝20；
（3）＝＝＝．
故答案为：（1）；（2）20；（3）．
12．观察下列等式：①；②；③、…根据上述的规律，写出用n（n为正整数，且n≥2）表示的等式（n≥2且n
为整数）．
【分析】观察可发现整数部分与分子相同，分母为整数的平方减1，据此可解．
【解答】解：观察可发现整数部分与分子相同，分母为整数的平方减1，
∴用n（n为正整数，且n≥2）表示的等式为：＝n．
故答案为：＝n（n为正整数，且n≥2）．
13．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．
【分析】蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．
【解答】解：如图所示，
路径一：AB＝＝13；
路径二：AB＝＝；
路径三：AB＝＝；
∵＞13＞，
∴cm为最短路径．
14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB＝5，BC＝12，则AD的长为．
【分析】连接AE，根据垂直平分线的性质可得AE＝EC，然后在直角△ABE中利用勾股定理即可列方程求得EC的长，然后证明△AOD≌△COE，即可求得．
【解答】解：连接AE．
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝EC．
设EC＝x，则AE＝EC＝x，BE＝BC﹣EC＝12﹣x，
∵在直角△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
∴x2＝52+（12﹣x）2，
解得：x＝．
即EC＝．
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠OEC，
在△AOD和△COE中，
，
∴△AOD≌△COE，
∴AD＝EC＝．
故答案是：．
15．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，AD为△ABC的高，且AD＝12，则S△ABC＝24或84．
【分析】本题应分两种情况进行讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的面积求出；
（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的面积求出．
【解答】解：此题应分两种情况说明：
（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，
BD＝＝9，
在Rt△ACD中，
CD＝＝5
∴BC＝5+9＝14
∴△ABC的面积为：；
（2）当△ABC为钝角三角形时，
在Rt△ABD中，BD＝9，
在Rt△ACD中，CD＝5，
∴BC＝9﹣5＝4．
∴△ABC的面积为：
∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的面积为84；当△ABC为钝角三角形时，△ABC 的面积为24．
综上所述，△ABC的面积是84或24．
故答案为：84或24．
16．如图，∠AOB＝30°，点C、D分别在边OA、OB上，且OC＝2，OD＝4，点M、N 分别在OB、OA上，则CM+MN+ND的最小值是2．
【分析】作点C关于OB的对称点C′，作点D关于OA的对称点D′，连接C′D′，与OB、OA分别交于点M、N，连接CM、DN，此时CM+MN+ND＝C′M+MN+ND′＝C′D′最小，根据勾股定理即可求得CM+MN+ND的最小值．
【解答】解：如图，
作点C关于OB的对称点C′，
作点D关于OA的对称点D′，连接C′D′，
与OB、OA分别交于点M、N，
连接CM、DN，
此时CM+MN+ND＝C′M+MN+ND′＝C′D′最小，
∴CM+MN+ND的最小值是C′D′的长．
连接OC′、OD′，
由对称性可知：
∠C′OB＝∠COB＝∠COD′＝30°，
OC′＝OC，OC′＝OC，
∴∠COC′＝DOD′＝60°，
∴△OMC，△ODN为等边三角形，
∴∠D′OC′＝90°，OC′＝2，OD′＝4
由勾股定理得，
C′D′＝＝2．
所以CM+MN+ND的最小值是2．
故答案为2．
三．解答题（共8小题）
17．计算：
【分析】在二次根式的加减运算中，先对各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．
【解答】解：原式＝
＝
＝14．
18．已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2，
（2）x2﹣y2．
【分析】（1）根据完全平方公式可以解答本题；
（2）根据平方差公式可以解答本题．
【解答】解：（1）∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝+1+﹣1＝2，
∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（2）2＝12；
（2）∵x＝+1，y＝﹣1，
∴x+y＝+1+﹣1＝2，x﹣y＝＝2，
x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝＝4．
19．如图，一根竹子高10尺，折断后竹子的顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少尺？
【分析】杆子折断后刚好构成一直角三角形，设杆子折断处离地面的高度是x尺，则斜边为（10﹣x）尺．利用勾股定理解题即可．
【解答】解：设杆子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2
解得：x＝．
答：折断处离地面的高度是尺．
20．如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的每个顶点都在格点上，且AB＝，AD＝．
（1）请在图中补齐四边形ABCD，并求其面积；
（2）判断∠BCD是直角吗？请说明理由；
（3）直接写出点C到BD的距离为2．
【分析】（1）由AB＝＝、AD＝＝，结合网格与勾股定理可确定点A；
（2）求出BC2、CD2、BD2，再利用勾股定理逆定理即可判断；
（3）设点C到BD的距离为d，根据S△BCD＝BC•CD＝BD•d求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，四边形ABCD即为所求，
其面积为5×5﹣×5×1﹣×2×4﹣×1×4﹣×（1+3）×1＝14；
（2）是，
∵BC2＝22+42＝20，CD2＝12+22＝5，BD2＝32+42＝25，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，
（3）设点C到BD的距离为d，
由（2）知，BC＝2，CD＝，BD＝5，
根据S△BCD＝BC•CD＝BD•d，
则d＝＝＝2．
故答案为：2．
21．等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°且CA＝CB．
（1）如图1，若△ECD也是等腰Rt△且CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE 上，求证：AE2+AD2＝2AC2；
（2）如图2，点M是△ACB外一点，CM∥AB，且BM＝BA，求的值．
【分析】（1）连结BD，由等腰直角三角形的性质得出∠ECD＝∠ACB＝90°，∠E＝∠ADC＝∠CAB＝45°，EC＝DC，AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，得出2AC2＝AB2．由SAS 证明△AEC≌△BDC，得出AE＝BD，∠E＝∠BDC＝45°，CE＝CD，证出∠BDA＝∠BDC+∠ADC＝90°，在Rt△ADB中．由勾股定理即可得出结论；
（2）过M作MH⊥BC交BC的延长线于H，设AC＝BC＝a，求得AB＝BM＝a，根据平行线的性质得到∠HCM＝∠ABC＝45°，设MH＝CH＝x，根据勾股定理得到CM＝CH＝a，于是得到结论．
【解答】（1）证明：连接BD，如图所示：
∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ECD＝∠ACB＝90°，∠E＝∠ADC＝∠CAB＝45°，
EC＝DC，AC＝BC，AC2+BC2＝AB2，
∴2AC2＝AB2．∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCD
在△AEC和△BDC中，，
∴△AEC≌△BDC（SAS）．
∴AE＝BD，∠E＝∠BDC．
∴∠BDC＝45°，
∴∠BDC+∠ADC＝90°，
即∠ADB＝90°．
∴AD2+BD2＝AB2，
∴AD2+AE2＝2AC2；
（2）过M作MH⊥BC交BC的延长线于H，
设AC＝BC＝a，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝BM＝a，
∵CM∥AB，
∴∠HCM＝∠ABC＝45°，
∴MH＝CH，
设MH＝CH＝x，
∴x2+（x+a）2＝（）2，
解得x＝a（负值舍去），
∴CM＝CH＝a，
∴＝＝．
22．“武黄城际铁路”是武汉市城市圈内一条连通武汉市和黄石市的快速城际铁路，如图1，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．请你解决以下问题：
（1）求A、C之间的距离；（参考数据≈4.6）；
（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间）
（3）“为了安全，请勿超速”．如图2，武黄城际列车通车后，在某直线路段MN限速180千米/小时，为了检测列车是否超速，铁路有关部门在铁路MN旁设立了观测点S，从观测点S测得列车从点P到达点Q行驶了1.5秒钟，已知∠SPN＝45°，∠SQN＝60°，SQ ＝200米，此列车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
【分析】（1）根据勾股定理解答即可；
（2）根据路程与速度的关系得出时间即可；
（3）根据三角函数得出PQ，进而判断即可．
【解答】解：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，
∵∠ABC＝120°，BC＝20，
∴BE＝10，CE＝10，
在△ACE中，∵AC2＝8100+300，
∴AC＝20＝20×4.6＝92km；
（2）乘客车需时间t1＝＝1（小时）；
乘列车需时间t2＝+＝1（小时）；
∴选择城际列车．
（3）作SH⊥MN于H，如图，
∵∠SPN＝45°，∠SQN＝60°，SQ＝200米，
∴HS＝PH＝100，QH＝100，
∴PQ＝100（﹣1）≈73，
则速度为m/s＜180千米/小时，故为超速．
23．已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2a，∠ADB＝a
（1）如图1，若a＝30°，则线段AD、BD、CD之间的数量关系为DC2＝DA2+DB2；
（2）若a＝45°
①如图2，线段AD、BD、CD满足怎样的数量关系？证明你的结论；
②如图3，点E在线段BD上，且∠BAE＝45°，AD＝5，BD＝4，则DE＝．
【分析】（1）结论：DC2＝DA2+DB2．如图1中，将△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△MAC，连接DM．首先证明△DCM是等边三角形，再证明△ADM是直角三角形即可解决问题．
（2）①结论：DC2＝DB2+2DA2．如图2中，作AM⊥AD交DB的延长线于M，连接CM．由△DAB≌△MAC，推出BD＝CM，∠ADB＝∠AMC＝45°推出∠DMC＝90°，推出DC2＝CM2+DM2，由CM＝DB，DM＝AD，即可证明．
②如图3中，在图2的基础上将△AMB绕点A顺时针旋转90°得到△ADG．则△AEG
≌△AEB，∠GDE＝90°，可得EB＝EG，设DE＝x．EB＝EG＝4﹣x，由AD＝AM＝5，推出DM＝5，BM＝DG＝5﹣4，在Rt△DEG中，根据DG2+DE2＝EG2，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）结论：DC2＝DA2+DB2．
理由：如图1中，将△DCB绕点C顺时针旋转60°得到△MAC，连接DM．
∵CD＝CM，∠DCM＝60°，
∴△DCM是等边三角形，
∴DM＝CD＝CM，
∵∠ADB＝30°，
∴∠DAB+∠DBA＝150°，
∵∠MAC＝∠DBC，
∴∠MAC+∠DAB＝∠DBC+∠DAB＝∠DBA+∠ABC+∠DAB＝150°+60°＝210°，∴∠DAM＝360°﹣210°﹣60°＝90°，
∴DM2＝DA2+AM2，∵AM＝DB，DM＝DC，
∴DC2＝DA2+DB2．
故答案为DC2＝DA2+DB2．
（2）①结论：DC2＝DB2+2DA2．
理由：如图2中，作AM⊥AD交DB的延长线于M，连接CM．
∵∠ADM＝45°，∠DAM＝90°，
∴∠ADM＝∠AMD＝45°，
∴DA＝AM，DM＝DA，
∵∠DAM＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠MAC，∵AB＝AC，
∴△DAB≌△MAC，
∴BD＝CM，∠ADB＝∠AMC＝45°
∴∠DMC＝90°，
∴DC2＝CM2+DM2，
∵CM＝DB，DM＝AD，
∴DC2＝DB2+2DA2．
②如图3中，在图2的基础上将△AMB绕点A顺时针旋转90°得到△ADG．
则△AEG≌△AEB，∠GDE＝90°，可得EB＝EG，设DE＝x．EB＝EG＝4﹣x，
∵AD＝AM＝5，
∴DM＝5，BM＝DG＝5﹣4，
在Rt△DEG中，∵DG2+DE2＝EG2，
∴（5﹣4）2+x2＝（4﹣x）2，
解得x＝．
故答案为＝．
24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，O是AB的中点，∠EOF＝90°，（1）如图1，点E、F分别在线段AC和线段BC上．试确定EF、AE、BF之间的数量关系，并给出证明．
（2）如图2，点E、F分别在线段AC和线段CB的延长线上，且OP平分∠EOF交直线
CB于P点，试确定CP、PF、BF之间的数量关系，并加以证明．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC，过P作PM⊥OC于点M，过F作FN⊥OB 于点N，直线PM、FN交于D点，请判断DP、PM、NF之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由“ASA”可证△CEO≌△BFO，可得CE＝BF，由勾股定理可得结论；（2）连接OC，EP，由“ASA”可证△CEO≌△BFO，可得BF＝CE，OE＝OF，由“ASA”可证△EOP≌△FOP，可得PE＝PF，由勾股定理可得结论；
（3）由题意可证△PDF，△BNF均为等腰直角三角形，可得PF＝DP，CP＝PM，BF＝NF，代入（2）的结论可求解．
【解答】解：（1）AE2 +BF2 ＝EF2，
理由如下：连接OC，EF，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点O是AB中点，
∴AO＝BO＝CO，AB⊥CO，∠ACO＝∠B＝45°，
∴∠COB＝∠EOF＝90°，
∴∠EOC＝∠FOB，且BO＝CO，∠ECO＝∠B＝45°，
∴△CEO≌△BFO（ASA）
∴CE＝BF，
∵AC＝BC，
∴AE＝CF，
∵CE2+CF2＝EF2，
∴AE2 +BF2 ＝EF2；
（2）CP2+BF2＝PF2；
理由如下：连接OC，EP，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，点O是AB中点，
∴AO＝BO＝CO，AB⊥CO，∠ACO＝∠ABC＝45°，∴∠COB＝∠EOF＝90°，∠OCE＝∠OBF＝135°，∴∠EOC＝∠FOB，且BO＝CO，∠OCE＝∠OBF，∴△CEO≌△BFO（ASA）
∴BF＝CE，OE＝OF，
∵OP平分∠EOF，
∴∠EOP＝∠FOP＝45°，且OE＝OF，OP＝OP，∴△EOP≌△FOP（ASA），
∴PF＝PE，
∴CP2+BF2＝CP2+CE2＝PE2＝PF2；
（3）PM2+NF2＝DP2．
理由如下：∵∠OBC＝∠NBF＝∠DPF＝45°，
∴△PDF，△BNF均为等腰直角三角形，
∴PF＝DP，CP＝PM，BF＝NF，
由（2）可知CP2+BF2＝PF2，
∴2PM2+2NF2＝2DP2，
即PM2+NF2＝DP2．。