结构力学第2章 杆系结构的组成汇总
结构力学第二章几何组成分析.李廉锟
geometrically stable system
结构
Under the action of any loads, the system still maintain its shape and remains its location if the deformations of the members are neglected.
F
E
2 rigid bodies, connected by 3 links, which are nonparallel and nonconcurrent cross the hinge, form an internally stable system with no redundant restraints. 。
Degrees of freedom of a system are the numbers of independent movements or coordinates which are required to locate the system fully.
for a point in plane n=2
C
structure formed by Attaching of binary systems 减二元体简化分析
W=3 ×10-(2×14+3)=-1<0 W=2 ×6-13=-1<0
计算自由度 = 体系真实 的自由度 ？
W=2 ×6-12=0 W=3 ×9-(2×12+3)=0
缺少联系 几何可变
W=2 ×6-11=1 W=3 ×8-(2×10+3)=1
summary
W>0, 缺少足够联系，体系几何可变 Restraints are not enough, unstable。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求的最少 联系数目has the minimum necessary numbers of restraints for stable system。
结构力学 2几何组成分析
II
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系 三刚片三铰相连,三铰不共线, 为无多余约束的几何不变体系. 为无多余约束的几何不变体系.
三刚片虚铰在无穷远处的讨论
一个虚铰在无穷远
一个虚铰在无穷远： 一个虚铰在无穷远：若组成此虚铰的二杆与另两铰的连 线不平行则几何不变；否则几何可变. 线不平行则几何不变；否则几何可变
例1: 对图示体系作几何组成分析
I II
III
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体 三刚片三铰相连,三铰不共线, 系为无多余约束的几何不变体系. 系为无多余约束的几何不变体系.
例2: 对图示体系作几何组成分析Байду номын сангаас
I
II
III
主从结构， 主从结构，顺序安装
例3: 对图示体系作几何组成分析
I III
FAy 如何求支 座反力? 座反力 静定结构
FB 无多余 联系几何 不变。 不变。
例1:如何通过减约束变成静定？ 1:如何通过减约束变成静定 如何通过减约束变成静定？
或
或
还有其他可能吗？ 还有其他可能吗？
结论与讨论
结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。 结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。 正确区分静定、超静定，正确判定超静定结 构的多余约束数十分重要。 超静定结构可通过合理地减少多余约束使其 变成静定结构。 变成静定结构。 分析一个体系可变性时，应注意刚体形状可 任意改换。按照找大刚体（或刚片）、减二元 任意改换。按照找大刚体（或刚片）、减二元 体、去支座分析内部可变性等，使体系得到最 大限度简化后，再应用三角形规则分析。 大限度简化后，再应用三角形规则分析。
彼此等长 →常变
彼此不等长 →瞬变
结构力学2ppt课件
G G
E
F
E
F
C
C
D
D
A
B
A
B
注:二元体遇到,可以先去掉。
例2：分析图示体系
解：
固定一个刚片的 装配方式。
AB部分与基础固 结在一起，可视为一
扩大的刚片Ⅰ。CD视 为刚片Ⅱ，Ⅰ、Ⅱ用 链杆1，2，3联结。
A
B 1C
ⅡD
Ⅰ
2
3
结论：几何不变，无多 余约束。
.
例3：分析图示体系
•
不变。如有多余约束，体系几何可变。
• ③ 、W＜0，或V＜0，体系有多余约束，是否
•
几何不变则需分析。
说明：
W≤0，是体系几何不变的必要条件，非充分条件。
体系的几何组成，不仅与约束的数量有关，而且与 约束的布置有关。
.
•说明：
• （1）、Ｗ≤０
是体系几何不变的 必要条件，非充分 条件。 • （2）、体系的 几何组成（是否几 何不变）不仅与约 束的数量有关，而 且与约束布置有关。
与地面相连接只限制了两个自由度有一根链杆是多余约束多余联如果在一个体系中增加一个约束体系的自由度因此减少此约束称为必要约束或非多余约束
第二章
结构的几何构造分析
（机动分析） ( 组成分析）
.
§2-1几何构造分析的几个概念
• 一．体系——杆件＋ 约束(联系)
• 杆件：不考虑材料应 变，视作刚体，平面刚 体称为“刚片”。
.
W=2×6-9-3=0
体系几何不变
W=2×6-9-3=0
体系几何可变
习题课Ｉ：平面杆件体系的几何构造分析
• 重点：掌握用基本规律分析体系几 何组成的方法。 • 要求: • 1、明确几何构造分析的目的和计算 步骤。 • ２、掌握用基本规律分析体系的几何 构成。 • ３、了解结构的组成顺序和特点。
结构力学第2章 杆系结构的组成分析
(c)
图2-14
退出
解： 图2-14a所示体系可视为在图2-14b所示静定结 构的基础上逐次增加两个杆按规则3构成，如 图2-14c所示。也可如图按相反次序依次撤除两 杆，使体系简化后再分析。两种方法分析结果 该体系都是无多余约束的几何不变体系，可作 为静定(构架)结构。
退出
[例题2-2] 试对图2-15所示体系进行几何组成分析。
这些约束的约束数s及相当的单铰、(单)链杆和 单刚结点个数是多少呢？
复铰
复刚结
(d)一铰连接多根杆 (e)一杆连接多根杆 (f)多杆刚结
退出
图2-2 约束
由图2-2可以归纳得到， 连接n个刚片的复铰 相当于(n-1)个单数，相当 于2(n-1)个约束；n个刚 片 之 间 复 刚 结 点 相 当 于 ( n-1) 个 单 刚 结 点 ， 相 当 于 3(n-1)个约束。联结三点的链杆，将原来结点的六 个自由度减少为整体的三个自由度，因而相当于三 个约束，即相当于三根简单链杆。一般说来，联结 n个点的的复杂链杆相当于(2n-3)根简单链杆。
利用加二元体规则，可在一个按上述规则构成 的静定结构基础上，通过增加二元体组成新的静定 结构，如此组成的结构称为主从结构，基础部分称 为主结构或基本部分，后增加的二元体部分称为从 结构或附属部分。图2-13所示之结构均为主从结构。
退出
附属部分
C DF E
A
B
(a)
附属部分
基本部分
(b)
附属部分
基本部分
结构 (几何不变)
静定结构(梁、刚架、拱、桁架、组合结 构) 无多余约束
超静定结构(梁、刚架、拱、桁架、组合 结构) 有多余约束
退出
不同静力特征的结构其分析计算方法是不同的。 因此，要正确分析必须首先准确无误地判断体系的 可变性以及静定和超静定性质。
结构力学第2章平面体系的几何组成分析
精品课件
例2-4-3
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分析图:
(a)
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(b)
(c)
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(d)
(e)
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说明：
1、通过本题中的两例可知，当上 部体系和大地之间的联系符合两刚 片规则时，体系几何组成分析的结 论只与上部体系的几何组成有关。 因此，当符合此条件时，可仅分析 上部体系。
精品课件
2、(a)所示体系先去掉与大地的支 座约束后，对上部体系可依次去掉 二元体213、453、563后，体系简化 成一铰接三角形，所以原体系是无 多余约束的几何不变体系。
结构力学
结构力学教研组 青岛理工大学工管系
精品课件
第二章 平面体系的几何组成分析
精品课件
§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
精品课件
其目的在于:
❖ 了解和掌握结构的基本组成规律和
合理组成形式。正确区分各类体系， 判定结构；选择合理的结构形式。 ❖ 根据各类结构的几何组成，选择 正确的计算方法和简捷的解题途径。
几何不变体系
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(2)内部几何不变体系
若作为几何组成分析的结论， 内部几何不变体系指仅除大地 外的体系的整体。
精品课件
(a)
(b)
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(c)
(3)刚片
在平面问题中，刚性体化为平面 内的一个不会有变形的面，则称 这个面为刚片.刚片在其平面内， 任意两点间的距离都保持不变。
精品课件
(4)几何瞬变体系
对体系加载时，体系在瞬时内发 生微小位移，然后便成为几何不 变体系。这种体系叫作几何瞬变 体系（瞬变体系）
精品课件
(a)
精品课件
结构力学第2章平面体系的几何组成分析
➢ 在任意体系上依次增加，或依 次拆除二元体，原体系的自由度 数不变。
(a)
(b)
3、基本组成规则中约束方式 的影响
利用这两个规则的要点是规则中 的三个要素：
❖ 刚片及刚片数 ❖ 约束、约束数及约束的方式 ❖ 结论
两个刚片用三个链杆相连 的情况：
❖ 当三个链杆平行并且长度相等时， 是几何可变体系
两平行链杆构成一交点在无穷远的虚铰其作用相当于无穷远处的一个实铰的作用一个铰接三角形是无多余约束的几何不变体系或是刚片或是内部几何不变体系基本三角形规则基本三角形规则可用以下12两个简单组成规则等效
结构力学第2章平面体系的几何 组成分析
第二章 平面体系的几何组成分析
§2.1 概述
本章研究平面杆系结构的基本 组成规律和合理形式。
(b)
(c)
虚铰的典型运动特征为：瞬心
从瞬时运动角度来看，刚片1与刚 片2的相对运动，相当于绕两链杆 的交点处的一个实铰的转动。
(a)
(b)
➢ 两平行链杆构成一交点在 无穷远的虚铰，其作用相当于
无穷远处的一个实铰的作用 。
§2.3 平面几何不变体系的基 本组成规律
1.基本组成规律的产生 (a)
例2-4-6（多余约束）
分析图： (a)
说明：
对于有多余约束的几何不变体系， 可以用去掉约束的方法，使体系成 为无多余约束的几何不变体系，所 去掉的约束数就是原体系所具有的
多余约束数，这种方法叫拆除约束 法。
例2-4-7
分析图：
说明：
把四周用连续杆、刚结点及固定端 构成的体系叫封闭框。一个封闭框 是有3个多余约束的几何不变体系。
❖ 当三个链杆平行但长度不全相 等时，是几何瞬变体系
结构力学第2章体系的几何组成分析(f)
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
三铰拱，左右两半拱视为刚片1,2，地基视为 刚片3，该体系由三个刚片用不在同一直线上 的三个单铰A、B、C两两相连，为几何不变 体系，而且没有多余联系。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
2.二元体规则
二元体：两根不在一直线上的链杆连接成一个新结点的构
造称为二元体。
§2-2 平面体系的计算自由度
W<0：表明体系在联系数目上还有多余，体系具有多余联系。 但体系是否几何不变要看联系布置是否得当。
体系计算自由度W≤0，是体系几何不变的必要条件，还 不是充分条件。一个体系尽管联系数目足够甚至还有多 余，不一定就是几何不变的。 为了判别体系是否几何不变，必须进一步研究体系几何 不变的充分条件，即几何不变体系的组成规则。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
两刚片用三根链杆相联
如图所示，刚片I和刚片II可 以绕O点转动；O点成为刚片I和 II的相对转动瞬心。
虚铰：连接两个刚片的两根连杆的作用相当于其交点 处的一个单铰，而这个铰的位置随着链杆的转 动而改变，称其为虚铰。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
分析图示体系： 把链杆AB、CD看作是其交点O 处的一个铰，刚片I和II相当于用 铰O和链杆EF相连，故为几何不 变体系，没有多余联系。
或：从结点10开始拆除二元体，依次拆除结点9，8， 7…，最后剩下铰结三角形123，它是几何不变的，故原体 系为几何不变体系，没有多余联系。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
3.两刚片规则 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相连，组成
的体系是几何不变的，且没有多余联系。如图。
图示体系也是按三刚 片规则组成的。将链杆看 作一个刚片，组成的体系 是几何不变的，且没有多 余联系。
结构力学杆系结构
约束数
A(xA yA)
2
o α x
3 3 6 1 1
o m
刚节点
y
x
飞行器结构力学
工程结构，可以看作是由自由体和约束组成的，可以将结 构中的构件看成是具有自由度的自由体，而将构件间的连结点 看成是约束，也可以把连结点看成是自由体，而将构件看成是 约束。 在一个系统中，若没有足够的约束去消除自由度，则系统 一定是几何可变的；假若有足够的约束去消除自由度，而构件 定是几何可变的；假若有足够的约束去消除自由度 而构件 安排又合理，则系统是几何不变的。
N 7 1 N 7 8 N 8 2 N 1 2 X
飞行器结构力学
而后分别用节点1、7、2的平衡条件求出：
7 8 5 A 6 A
T7 5 T4 2 T8 6 T1 3 2 X
再求出内部方格各杆的内力:
3
T3 5 51 6 T6 4 T3 4 X
飞行器结构力学
瞬时可变系统
P θ N A A' A N θ
在载荷作用下，系统先是发生明显的几何变形，从 A 点移 到A'点，然后由于变形引起系统内部各元件的相互制约， 变 起 在A'点处于平衡，最终也能承受任意外载荷。这种在开始 受载的瞬间是几何可变的系统，称为瞬时可变系统。 瞬变系统或近于瞬变系统的设计要尽量避免。 瞬变系统或近于瞬变系统的设计要尽量避免
7 5 A 6 A 8
7 5 A N 6
8 y A O x
3 1
4 2
-x
x
x
-x
解：n=8×2=16，m=13, k=13-(16-3)=0。 取桁架的分离体。将桁架依图中的A-A线分离成两部分， 并取其上半部分进行研究。由平衡条件∑Fx=0，可得杆6-3的 内力N=0。假定杆1-7的内力为X，由于系统的对称性，可知：
结构力学总复习
结构⼒学总复习第⼀章绪论1-1杆件结构⼒学的研究对象和任务杆件结构结构：承受荷载的建筑物和构筑物或其中的某些受⼒构件都可称之为结构。
1-2杆件结构的计算简图杆件间连接区简化为结点（铰结点、刚结点、组合结点）（1）铰结点(Hinge joint)：被连接的杆件在连接处不能相对移动，但可相对转动。
（2）刚结点(Rigid joint)被连接的杆件在连接处既不能相对移动，⼜不能相对转动。
（3）组合结点同⼀结点处，有些杆件为刚结，有些为铰接。
⽀座（support）是指把结构与基础联系起来的装置。
传递荷载，固定结构的位置。
（1）活动铰⽀座(Roller support)可以转动和⽔平移动，但不能竖向移动。
提供竖向约束反⼒（2）固定铰⽀座(Hinge support)可以转动，但不能竖向移动和⽔平移动。
提供竖向和⽔平约束反⼒。
（3）固定⽀座(Fixed support)不能竖向移动、⽔平移动和转动。
提供竖向、⽔平约束反⼒和约束⼒矩(4)定向⽀座(Directional support)可以⽔平移动，不能竖向移动和转动。
提供竖向反⼒和约束⼒矩本章思考题1、杆系结构、板壳结构与实体结构的主要差别是什么？杆件结构的基本特征是它的长度远⼤于其他两个⽅向的尺度——截⾯⾼度和宽度，杆件结构是由若⼲这种杆件所组成的。
薄壁结构是厚度远⼩于其他两个尺度的结构。
实体结构是指三个⽅向的尺度为同⼀量级的结构。
例：挡⼟墙，堤坝，块式基础2、拱和梁的区别是什么?简单的说，梁在荷载作⽤下，在⽀撑处只产⽣向上的反⼒，⽽拱在荷载作⽤下，在⽀撑处不但产⽣向上的反⼒，还有⼀个⽔平⼒，这是区分梁和拱的⼀个最基本的条件4. 刚架与桁架的区别是什么?刚架是由梁和柱组成的结构，各杆件主要受弯。
刚架的结点主要是刚结点，也可以有部分的铰结点和组合结点。
桁架是由若⼲杆件在两端⽤铰联结⽽成的结构。
桁架各杆的轴线都是直线，当仅受作⽤于结点的荷载时，各杆只产⽣轴⼒。
结构力学第2章 杆系结构的组成分析分析
第二章杆系结构的组成分析由若干杆件用各种结点连接而成的杆件体系，当能承受一定范围内任意荷载时，称为杆件结构。
不能承受任意荷载的体系称为机构。
土木等工程应用的都是结构，但结构的组成方式不同将影响其力学性能和分析方法。
因此，分析结构受力、变形之前，必须首先了解结构的组成。
实际结构中的构件在外界因素作用下都是可变形的，但在小变形的情形下，分析结构组成时，其变形可以忽略不计，因而所有构件均将视为刚体。
第一节基本概念一、自由度自由度是指确定体系空间位置所需的独立坐标数，或体系运动时可以独立改变的几何参数的数目，自由度记作n。
根据上述自由度定义，图2-1所示之平面的一自由点A 以及一自由平面刚体AB(也称刚片，其形状任意)的自由度分别为n=2, n=3, (a) n =2 ox 1 y Ax y 1自由点与自由刚体的自由度图2-1 x B y A x A y(b) n =3A二、约束能减少体系自由度的装置称为约束(有时也称联系)，能减少s个自由度的装置称为s个约束。
常见的约束有：单铰 仅连接两个刚片的铰称为单铰，如图2-2a (b) 单铰杆12 s=12 x y A x A y Aϕ1 ϕ2 ϕ3 1o x y A x A y α ϕ1 o ϕ2 A (a) 单铰A s=2链杆 仅用于将两个刚片连接在一起的两端铰 结的杆件称为链杆。
图2-2b 中之12杆即为链杆。
单刚结点仅连接两杆的刚结点，图2-2c所示之B处即为单刚结点。
Axy Ayx ABo(c) 单刚结B s=3(d)一铰连接多根杆 复铰 复刚结 (f)多杆刚结 (e)一杆连接多根杆 同时连接多个刚片的铰、链杆和刚结点分别称为复铰、复链杆、复刚结点。
分别如图2-2d 、e 、f 所示：这些约束的约束数s 及相当的单铰、(单)链杆和单刚结点个数是多少呢？由图2-2可以归纳得到，连接n个刚片的复铰相当于(n-1)个单数，相当于2(n-1)个约束；n个刚片之间复刚结点相当于(n-1)个单刚结点，相当于3(n-1)个约束。
结构力学第二章结构的几何组成分析
第二章结构的几何组成分析李亚智航空学院·航空结构工程系2.1 概述结构要能承受各种可能的载荷，其几何组成要稳固。
即受力结构各元件之间不发生相对刚体移动，以维持原来的几何形状。
在任意载荷作用下，若不考虑元件变形，结构保持其原有几何形状不变的特性称为几何不变性。
在载荷作用下的系统可分为三类。
2.1.1 几何可变系统特点：不能承载，只能称作“机构”。
213 4P2’3’2.1.2 几何不变系统特点：能承载，元件变形引起几何形状的微小变化，可以称为结构。
2.1.3 瞬时几何可变系统特点：先发生明显的几何变形，而后几何不变。
P2 1 342’3’2’ 3’P213 45∞→=2321N N 123P内力巨大，不能作为结构。
N 21N 23P2由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。
系统几何组成分析的目的：（1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构使用；（2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理的结构；（3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算方法。
2.2 几何不变性的判断2.2.1 运动学方法将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度；将结构中的另一些元件看成约束。
如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。
所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。
1、自由度与约束 （1）自由度的定义决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。
平面一个点有2个独立坐标，故 n =2 空间一个点有3个独立坐标，故n =3xyy∆x∆AA 'xyAy Ax AzAz A 'O空间一根杆有5个自由度， 一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3xyAy Ax AzAz A 'OBB 'αθxyy∆x∆AA 'OAx Ay θ∆一个空间刚体有6个自由度，n =6θα,,,,A A A z y x ( )， n =5（2）约束的定义约束定义为减少自由度的装置，用c 来表示。
结构力学2结构的几何构造分析
（2）从内部刚片出发构造
例1
1,3
例2 . .1,2
2,3
.
.
无多余约束的几何不变体系 例3
1,2
几何瞬变体系
.
.
1,3 2,3
. 2,3
几何瞬变体系
1,2 1,3
§2-3
• • • • • • • • • • • 体系的自由度S:
平面杆件体系的计算自由度
S=a-c A为各部件自由度总和,c为全部约束中的非多余约束数 计算自由度W： W=a-d d为全部约束的总数 即得： S-W=n 这就是W、S、 n三者之间的关系式。 由于自由度S与多余约束数n都不是负数，即S≥ 0， n ≥ 0 则可得出下面两个不等式：s≥n， n ≥-W 也就是说，W是自由度S的下限，而（-W）则是多余约束n 的下限 。
第二章
结构的几何构造分析
Geometrical Constitution Analysis Of Plane Systems
几何构造分析的目的主要是分析、判断一个体系是否 几何可变，或者如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变 体系才可以作为结构。 §2-1 几何构造分析的几个概念
一、几何不变体系和几何可变体系
六、瞬铰
B C’
0 P O
.
. O’
C
A 0'
M 0 0
N3 P r 0
N1 N2 N3
B
D
N3
Pr
七、无限远处的瞬铰：
关于∞ 点和∞线的下列四个结论 1、每个方向有一个 ∞点（即该方向各平行线 的交点） 2、不同方向有不同的 ∞点 3、各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线 。 4、各有限点都不在∞线上。
结构力学第二章杆件结构的几何组成分析标准文档ppt
A
FP B
A
FP C
B
FxA
FxA
FyA
简支梁
FyB
FyA
连续梁 FyC
FyB
无多余约束的几何不变体系为静定结构
有多余约束的几何不变体系为超静定结构
几何特征 静定结构
静力特征
几何特征 超静定结构
静力特征
§2-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则
一. 三刚片规则 三刚片以不在一条直线上的三铰两
两相联,构成无多余约束的几何不变体系.
点的自由度
y A B
xA yA x
杆件的自由度
y A B
xA yA x
刚片的自由度
几何不变体系的自由度一定等于零 几何可变体系的自由度一定大于零
四. 约束(联系) 能减少自由度的装置
1. 铰
y
A
y
xA
A
1 2
2-2 无多余约束的几何不变体系的组成规则
结构力学第二章杆件结构的几何组成分析 几何不变体系 几何可变体系
感谢观看
变体系的体系。
瞬变体系
C
几何可变体系
常变体系
练习：
常变体系
瞬变体系
有多余约束 几何不变体系
无多余约束 几何不变体系
二. 两刚片规则 两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联,
构成无多余约束的几何不变体系.
两刚片以不相互平行,也不相交于一点的三个 链杆相连,构成无多余约束的几何不变体系.
例2-5 确定图示体系是否为几何不变体系。
结构力学第二章杆件结构的几 何组成分析
本章目的:为后续各章奠定基础。 本章假定:所有构件均为刚体。
§2-1 基本概念
有限单元法 第2章 杆系结构的有限元法分析
义 & 可以进一步求得单元刚度矩阵为 )
( & # 0# ( $’ $ % 8 . ! 1 # $ ’ 0# # 同时 & 我们可以根据式 $ % 求出等 效 结 点 荷 载 矩 阵 ’ 这 里 要 指 出 的 是 ) 分 布 荷 载 ! .$
! # !! !
! # $! !
! 第 ! 章 ! 杆系结构的有限元法分析 # #! ! """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
不适定的 " 第九步 # 求解方程组 " 计算结构的整体结点位移列阵 ## 并 进一步 计算各 单元 的应力 分量及主应力 $ 主向 " 第十步 # 求单元内力 # 对计算成果进行整理 $ 分析 # 用表格 $ 图线标示出所需的位移 及应力 " 大型商业软件 % 如 )* + , + 等 & 一般都具有强大的后处理功能 # 能够 由计算 机自 动绘制彩色云图 # 制作图线 $ 表格乃至动画显示 "
矩阵 ’ $ %进行应力 ( 应变分析 ’ 根据材料力学中应变的定义 & 有 ) ! # # $’ 2 + 2 $ ( ( ( ( $’ $’ $’ . 0 ! ! . " 3 3 .% ". . ! ! ! !! "# ’ ’ 2 # 2 #
结构力学第二章
①抛开基础,只分析上部。 ②在体系内确定三个刚片。 ③三刚片用三个不共线的三铰相连。 ④该体系为无多余约束的几何不变体系。
有一个多余约束的几何不变体系
3.等价变换 一个刚片，无论其大小、形状，只要本身没有多余
联系，则可在不改变与其它部分联结方式的前提下，用一 根链杆或一铰接三角形代替。
例15
o12
2、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片
间用链杆形成的瞬铰相连，而不用单铰相连。
E
O13
O23
D
F
O12
A
D
B
C
ⅠF
如将基础、ADE、 EFC作为刚片，将 找不出两两相联
的三个铰。
Aபைடு நூலகம்
B
C
Ⅲ
如图示，三刚片用三个不共线的 铰相连，故：该体系为无多余约 束的几何不变体系。
（Ⅰ,Ⅱ）
Ⅰ (Ⅰ,Ⅲ) Ⅱ
o13
II o23 III
I
I
例16
例17
例17
I II
III
III
III
例17
OI,III
III OI,II
I II OII,III
III III
结论：几何不变体系
例18
E
F
D
例18 F
E D
例18
II
III
E
F
D I
例18
OI,II II E
OI,III III F
D I
结论:几何不变体系
系。
1 几何构造分析的几个概念
（7）虚铰（瞬铰） 连接两个刚片的，不直接相连接的两根单链杆构成的联 系，叫虚铰。虚铰的铰心在两根链杆（延长线）的交点 上。
结构计算-结构力学2-杆系结构的单元分析
二、确定应变矩阵(建立几何方程)
du d
κ
x x
dx d2v
dx2
dx
0
0
u
d2
v
dx2
d
dx
0
0 d2
N 1
dx2
N
2
1 2
e
AN e B e
微分算子 矩阵
40 / 67
第二章 杆系结构的单元分析
l
---自然坐标
则单元位移场
u( ) (1 )1 2
N1
N1 1 N2
N
2
1 2
N
e
形(状)函数
N N1 N2 形函数矩阵
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第二章 杆系结构的单元分析
形函数性质
本端为1，它端为0
N1(0) 1
N1(1) 0
N2 (0) 0
N2 (1) 1
任意一点形函数之和为0
1 2
l
T
Adx
0
1 l
2 0
EB e
T B e Adx
1 EAB e T B e l 2
1 eTBT EAl B e 2 22 / 67
第二章 杆系结构的单元分析
单元外力势能
EP*
F
eT
e
l p( x)u( x)dx
0
F eT
e
l
0
p( x)N dx
e
F
eT
结构力学
<II>
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第二章 杆系结构的单元分析 §2-1 引言
2-1-1 杆系结构虚功方程
F3
y
1
F1
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第二章
杆系结构的组成分析
由若干杆件用各种结点连接而成的杆件体系，当能承受一定范围内任意荷载时，称为杆件结构。
不能承受任意荷载的体系称为机构。
土木等工程应用的都是结构，但结构的组成方式不同将影响其力学性能和分析方法。
因此，分析结构受力、变形之前，必须首先了解结构的组成。
实际结构中的构件在外界因素作用下都是可变形的，但在小变形的情形下，分析结构组成时，其变形可以忽略不计，因而所有构件均将视为刚体。
第一节基本概念
一、自由度
自由度是指确定体系空间位置所需的独立坐标数，或体系运动时可以独立改变的几何参数的数目，自由度记作n。
根据上述自由度定义，图2-1所示之平面的一自由点A 以及一自由平面刚体AB(也称刚片，其形状任意)的自由度分别为n=2, n=3, (a) n =2 o
x 1 y A
x y 1
自由点与自由刚体的自由度
图2-1 x B y A x A y
(b) n =3
A
二、约束
能减少体系自由度的装置称为约束(有时也称联系)，能减少s个自由度的装置称为s个约束。
常见的约束有：
单铰 仅连接两个刚
片的铰称为单铰，如图
2-2a (b) 单铰杆12 s=1
2 x y A x A y A
ϕ1 ϕ2 ϕ3 1
o x y A x A y α ϕ1 o ϕ2 A (a) 单铰A s=2
链杆 仅用于将两个刚片连接在一起的两端铰 结的杆件称为链杆。
图2-2b 中之12杆即为链
杆。
单刚结点仅连接两杆的刚结点，图2-2c所示之B处即为单刚结点。
A
x
y A
y
x A
B
o
(c) 单刚结B s=3
(d)一铰连接多根杆 复铰 复刚结 (f)多杆刚结 (e)一杆连接多根杆 同时连接多个刚片的铰、链杆和刚结点分别称为复铰、复链杆、复刚结点。
分别如图2-2d 、e 、f 所示：
这些约束的约束数s 及相当的单铰、(单)链杆和单刚结点个数是多少呢？
由图2-2可以归纳得到，连接n个刚片的复铰相当于(n-1)个单数，相当于2(n-1)个约束；n个刚片之间复刚结点相当于(n-1)个单刚结点，相当于3(n-1)个约束。
联结三点的链杆，将原来结点的六个自由度减少为整体的三个自由度，因而相当于三个约束，即相当于三根简单链杆。
一般说来，联结n个点的的复杂链杆相当于(2n-3)根简单链杆。
链杆、单铰和刚结点从运动的可能性或从所提供的约束力方面考虑，可以如图2-3和2-4所示互相代替，也即双
向箭头( )所表示的是相互可以等价替换的。
例如图1-3相交两链杆等价于一个实铰，延长线相交的两链杆等价于一个虚铰等等。
o o
等价
o称为虚铰图2-3
图2-4
刚结与链杆的关系
三、约束分类
根据对自由度的影响，体系中的约束可分为两类：
•除去约束后，体系
的自由度将增加，
这类约束称为必要
约束，如图2-5a中结构除去水平链杆A后，原来的结构变为图2-5b所示的可动体系，因此A 是必要约束。
(a) 超静定
(b) 几何常变
A B
C
•
除去约束后，体系的自由度不变，这类约束称为多余约束。
多余约束和必要约束
图2-5 (a) 超静定
A
C
B
(c) 静定
四、体系的分类
杆件体系几何不变体系
(形状、位置不
变)
几何可变体系
(形状、位置可
变)
无多余约束
(图2-6a静定)
有多余约束
(图2-6e、f超静定)
常变体系
(图2-6b、c机构)
瞬变体系
(图
(e) 多三个约束 杆件体系
图2-6
(a) 形状位置都不变 (b) 形状可变 (c) 位置可变
(f) 多一个约束
(d) 形状可微小变化
土木和水利等工程结构，都必须是几何不变体系。
根据静力特征，结构可分为静定和超静定的，前者可由平衡方程确定全部未知约束反力和内力，后者则不能：
结构
(几何不变
) 静定结构(梁、刚架、拱、桁架、组合结构) ⇔无多余约束
超静定结构(梁、刚架、拱、桁架、组合结构) ⇔有多余约束
不同静力特征的结构其分析计算方法是不同的。
因此，要正确分析必须首先准确无误地判断体系的可变性以及静定和超静定性质。
第二节静定结构的组成规则
静定结构—几何特征为无多余约束几何不变。
一、静定结构组成规则规则1 三刚片规则
三个刚片用
三个不共线单铰
两两相连可组成
一个静定结构，
它们统称为三铰
结构。
图2-7
B
根据这一规则可构造出如图2-8所示的各种三铰结构。
(a) 三铰刚架(b) 三铰拱
(c) 有虚铰情况(d) 三铰重合体系
需要注意的是：
•刚片的形状是可以任意转换的，例如图2-8a三铰刚架中的折杆可以换成直杆。
•三个铰可以是真实铰，也可以是二链杆组成的虚铰，如图2-8c所示。
•若三铰共线，则为瞬变体系，例如图2-6d和图2-8d所示之体系。
规则2 两刚片规则
两个刚片用一个单铰和一个不通过铰的链杆相连可构成静定结构，称为单体或联合结构，当刚片为一直杆时称为梁式结构。
图2-9
(a) 一铰一杆 单体(
图2-10 •当铰由两链
杆构成时，
规则叙述改
为：两个刚
片用三个既
不平行也不
交于一点的
链杆相连构
成静定结构，
如图2-10b 、
c 所示。
(b) 三杆情况 (c) 一虚铰一杆 需要注意的是：
•若链杆通过铰，则所组成的体系为瞬变体系，图所示的即为瞬变体系。
图2-11
瞬变体系
规则3 二元体规则
在体系上用两个不共线杆件或刚片连接一个新结点，这种产生新结点的装置称为二元体，图2-12a符合定义为二元体，而图2-12b因为不符合上述定义条件，因此不是二元体。
图2-12
(a) (b)
二元体和非二元体
基于二元体的定义，在任意一体系上加二元体或减二元体都不会改变体系的可变性。
利用加二元体规则，可在一个按上述规则构成的静定结构基础上，通过增加二元体组成新的静定结构，如此组成的结构称为主从结构，基础部分称为主结构或基本部分，后增加的二元体部分称为从结构或附属部分。
图2-13所示之结构均为主从结构。
E A C B D
F 附属部分 (a)
附属部分 基本部分 (b)
附属部分
基本部分 (c)
主从结构
图2-13
需要指出的是，结构力学中，一般并不是应用这些规则构造静定结构，而是用以判定一个体系是否属于几何不变，是否具有多余约束，或者分析体系的组成顺序以便选取计算方法等等。
二、组成分析举例
[例题2-1] 分析图2-14a 所示体系的几何组成 加二元体 减二元体
图2-14 (b)
(c)
(a)
解：图2-14a所示体系可视为在图2-14b所示静定结构的基础上逐次增加两个杆按规则3构成，如图2-14c所示。
也可如图按相反次序依次撤除两杆，使体系简化后再分析。
两种方法分析结果该体系都是无多余约束的几何不变体系，可作为静定(构架)结构。
[例题2-2] 试对图2-15所示体系进行几何组成分析。
A C B A
C B
D 图2-15
E
A C B
D F
E
A C
B D
F
解：首先在基础上依次增加A-B-C和C-D-B两个二元体，并将所得部分视为一刚片；再将EF部分视为另一刚片。
该两刚片通过链杆ED和F处两根水平链杆相联，而这三根链杆既不全交于一点又不全平行，故该体系是几何不变的，且无多余约束。
[例题2-3] 试对图2-16所示体系进行几何组成分析。
图2-16
III
II
I
A C
B D
解：将AB、BED和基础分别作为刚片I、II、III。
刚片I和II用铰B相联；刚片I和III用铰A相联；
刚片II和III用虚铰C(D和E两处支座链杆的交点)相联。
因三铰在一直线上，故该体系为瞬变体系。