蒙特卡罗方法(清华大学-林谦)
基于蒙特卡洛算法的电力工程造价计算预测方法
基于蒙特卡洛算法的电力工程造价计算预测方法目录一、内容简述 (2)1. 背景介绍 (2)2. 研究目的与意义 (3)3. 研究方法与流程 (4)二、相关理论及技术 (5)1. 蒙特卡洛算法原理 (6)1.1 随机数的产生 (7)1.2 采样与权重计算 (8)2. 电力工程造价计算方法 (9)2.1 建筑工程费用估算 (10)2.2 设备与安装工程费用估算 (11)2.3 工程建设其他费用估算 (12)3. 蒙特卡洛算法在电力工程造价计算中的应用研究 (13)三、基于蒙特卡洛算法的电力工程造价计算预测方法 (15)1. 方法流程 (16)2. 仿真分析 (17)2.1 参数选取与模型建立 (18)2.2 计算结果分析 (19)3. 实际应用案例 (21)四、方法验证与评价 (22)1. 仿真结果对比分析 (23)2. 实际工程应用验证 (24)3. 方法优势与局限性 (24)五、结论与展望 (25)1. 研究成果总结 (26)2. 研究不足与改进方向 (27)3. 未来研究展望 (28)一、内容简述本文档旨在介绍一种基于蒙特卡洛算法的电力工程造价计算预测方法。
蒙特卡洛算法是一种通过随机抽样来估计一个问题的解的方法，广泛应用于各种领域，如金融、物理、工程等。
在电力工程中，蒙特卡洛算法可以用于预测电力系统的运行成本、设备投资回报率等关键指标，为电力工程的规划、设计和运营提供有力支持。
1. 背景介绍背景介绍：随着社会和经济的发展，电力行业的发展已经成为国民经济的重要支柱。
而电力工程建设投资巨大，如何准确预测电力工程的造价，提高投资效益和保证工程质量成为了亟待解决的问题。
在实际电力工程管理中，传统的工程造价计算主要依赖于历史数据和专家的经验估算，预测准确性有限，且难以适应不断变化的市场环境和复杂因素。
随着计算技术的发展，越来越多的新方法被应用于电力工程造价计算中，其中基于蒙特卡洛算法的预测方法便是其中之一。
蒙特卡洛模型方法
二、理论和方法
蒙特卡洛模拟早在四十年前就用于求解核物理方面的问题。当管理问题更为复杂时，传统的数学方法就难以进行了。模拟是将一个真实事物模型化，然后对该模型做各种实验，模拟也是一个通过实验和纠正误差来寻求最佳选择的数值性求解的过程。模拟作为一种有效的数值处理方法，计算量大。以前只是停留在理论探讨上，手工是无法完成的。在管理领域由于规律复杂随机因素多，很多问题难以用线性数学公式分析和解决，用模拟则有效得多。在新式的计算机普及后，用模拟技术来求解管理问题已成为可能。
从表中数据可以看到，一直到公元20世纪初期，尽管实验次数数以千计，利用蒙特卡罗方法所得到的圆周率∏值，还是达不到公元5世纪祖冲之的推算精度。这可能是传统蒙特卡罗方法长期得不到推广的主要原因。
计算机技术的发展，使得蒙特卡罗方法在最近10年得到快速的普及。现代的蒙特卡罗方法，已经不必亲自动手做实验，而是借助计算机的高速运转能力，使得原本费时费力的实验过程，变成了快速和轻而易举的事情。它不但用于解决许多复杂的科学方面的问题，也被项目管理人员经常使用。
设有统计独立的随机变量Xi（i＝1，2，3，…，k），其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z＝g（x1，x2，…，xk）。
蒙特卡洛算法仓位百分比
蒙特卡洛算法仓位百分比
蒙特卡洛算法是一种基于概率统计的算法，用于模拟随机现象和风险决策。
在金融投资中，蒙特卡洛算法可以用来模拟投资组合的收益和风险，并根据投资者的风险偏好确定仓位百分比。
具体来说，蒙特卡洛算法可以通过随机生成投资组合的收益率和波动率，以及预设的投资期限、风险偏好等参数，来模拟投资组合在未来一段时间内可能的回报情况。
通过多次模拟，可以得到投资组合在不同市场情况下的预期收益和风险。
根据模拟结果，可以根据投资者的风险偏好来确定仓位百分比。
通常，投资者风险偏好越高，可以承担的风险越大，仓位百分比会更高；相反，风险偏好越低，仓位百分比会更低。
蒙特卡洛算法只是一种模拟方法，结果具有一定的不确定性和局限性。
投资者在做出投资决策时，应该综合考虑蒙特卡洛模拟结果以及其他因素，如市场行情、个人财务状况等，做出合适的仓位分配决策。
同时，蒙特卡洛算法可以作为辅助工具，而不是唯一的决策依据。
系统建模与仿真第12讲 Monte Carlo蒙特卡洛方法
Nicholas Metropolis (1915-1999)
Monte-Carlo, Monaco
引言(Introduction)
Monte Carlo模拟的应用： 自然现象的模拟： 宇宙射线在地球大气中的传输过程； 高能物理实验中的核相互作用过程； 实验探测器的模拟 数值分析： 利用Monte Carlo方法求积分
2
3.141528 3.141528 3.141509 3.141553 3.141506
3
3.141527 3.141521 3.141537 3.141527 3.141538
n
(i )2
si
i1
n 1
0.000012
0.0000032
s si / n
ua s t(0.683, n 1) 0.0000033
引言(Introduction)
Monte Carlo模拟在实际研究中的作用
引言(Introduction)
Monte Carlo模拟的步骤： 1. 根据欲研究的系统的性质，建立能够描述该系统特性的理 论模型，导出该模型的某些特征量的概率密度函数； 2. 从概率密度函数出发进行随机抽样，得到特征量的一些模 拟结果； 3. 对模拟结果进行分析总结，预言系统的某些特性。
k n 1
3.1415279
14
例1 在我方某前沿防守地域，敌人以一个炮排（含两 门火炮）为单位对我方进行干扰和破坏．为躲避我方 打击，敌方对其阵地进行了伪装并经常变换射击地 点．
经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的指 示有50％是准确的，而我方火力单位，在指示正确 时，有1/3的射击效果能毁伤敌人一门火炮，有1/6 的射击效果能全部消灭敌人．
蒙特卡洛法简介
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发展
• 本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、 快速地模拟这样的试验成为可能。
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实质
• Monte Carlo 方法也称为统计模拟方法，是二十世纪四十年代 中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一 种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是 指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的 方法。与它对应的是确定性算法。
end
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一个例子 ----
• 解模 我们运行程序得出逸出铅墙的中子的可能性约为1.5%。 • 应用 有了这个数字，我们可以报告安全部门，如果数字不能达到安全要求，我们则要加厚铅墙。
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Monte Carlo 模拟二叉树期权定价
• 二叉树定价模型是从构造好的二叉树中随机选择一条路径样本，从二叉 树的末端开始倒推计算出衍生证券的价格，但是采用了Monte Carlo后， 是顺着二叉树往后计算的。 基本方法： 在第一个节点（根节点），随机产生一个0到1间的随机数，如果这个数 小于p，就选择当前的上升分支，反之选择下降分支。这样就产生了一个 新节点，继续上面的过程，直到二叉树的末端。一条路径产生了，衍生证 券的最终价值就可以计算出来了（可以看作是全部可能终值集合中的一个 随机样本），这样完成了第一次模拟。
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Monte Carlo 方法处理的问题
• Monte Carlo 方法处理的问题可以分两类 • 确定性的数学问题 多重积分、求逆矩阵、解线性代数方程组、解积分方程、解某些偏微分方程边值问 题和计算代数方程组、计算微分算子的特征值等等 • 随机性问题
蒙特卡罗方法及应用
蒙特卡罗方法及应用一、本文概述《蒙特卡罗方法及应用》是一篇深入研究和探讨蒙特卡罗方法及其在多个领域中应用的重要性的文章。
蒙特卡罗方法，又称随机抽样或统计试验方法，是一种基于概率统计理论的数值计算方法。
它通过模拟随机过程，以大量的样本数据来估计求解问题的解，特别适用于处理复杂系统中的不确定性问题。
本文首先介绍了蒙特卡罗方法的基本原理和核心概念，包括随机变量的生成、概率分布的模拟以及随机过程的模拟等。
然后，文章详细阐述了蒙特卡罗方法在各种领域中的应用，如物理学、工程学、金融学、生物学等。
在这些领域中，蒙特卡罗方法被广泛应用于求解复杂系统的数学模型，预测和评估系统的性能，以及优化决策方案等。
本文还讨论了蒙特卡罗方法的优缺点，包括其计算效率高、适用范围广等优点，以及计算精度受样本数量影响、对随机性要求高等缺点。
文章还探讨了蒙特卡罗方法的未来发展趋势，包括与、大数据等前沿技术的结合，以及在新兴领域如量子计算中的应用等。
《蒙特卡罗方法及应用》这篇文章旨在全面介绍蒙特卡罗方法的基本原理、应用领域以及发展前景，为读者提供一个深入理解和学习蒙特卡罗方法的平台。
通过本文的阅读，读者可以更好地理解蒙特卡罗方法的本质和应用价值，为相关领域的研究和实践提供有益的参考和启示。
二、蒙特卡罗方法的基本原理蒙特卡罗方法，又称统计模拟方法或随机抽样技术，是一种以概率统计理论为指导的数值计算方法。
该方法通过模拟随机过程，求解数学、物理、工程以及金融等领域的问题。
蒙特卡罗方法的基本原理可以概括为以下几点：随机抽样：蒙特卡罗方法的核心思想是通过随机抽样来获取问题的数值解。
它根据问题的概率模型，在概率空间中进行随机抽样，以获得问题的近似解。
这种随机抽样可以是简单的均匀抽样，也可以是复杂的概率分布抽样。
大数定律：蒙特卡罗方法基于大数定律，即当试验次数足够多时，相对频率趋于概率。
通过大量的随机抽样，蒙特卡罗方法可以得到问题的近似解，并且随着抽样次数的增加，这个近似解会逐渐接近真实解。
MCNP使用教程【范本模板】
第1章 MCNP概述1.1 MCNP计算过程MCNP（Monte Carlo N—Particle Transport code）是计算粒子输运过程的一套蒙特卡罗模拟计算程序。
这个程序需要用户通过输入文件给出计算模型.计算模型中需要提供源的属性、感兴区内各种物体的属性、记录粒子信息的方法等。
例如，若想计算一个1MeV的X射线透过2cm铁的概率是多少,我们可以通过下面的模型进行计算，如图1所示。
图 1 计算模型在上面的计算模型中,感兴区是一个球的内部，其中包含X射线源、铁块和记录面，而其他位置均为真空.由于当粒子被输运到感兴区外时，它将肯定不会再对记录结果产生贡献，所以程序会自动停止这个粒子的输运过程，这也正是设定感兴区的原因.源的属性主要包括位置、能量、出射方向、粒子种类等。
图1的计算模型中，源的能量为单能1MeV，方向为单向垂直于铁块的左表面,粒子种类为光子(Photo n)。
感兴区内物体的属性包括几何尺寸、材料成分、密度等。
图1中使用了一块铁块，它的厚度为2cm，其他方向的尺寸对我们的计算结果没有影响，但要保证铁块完整地包含于感兴区内。
记录方法有多种,其中包括通过某个面的特定种类粒子的个数。
在图1中，我们可以利用MCNP记录通过“记录面”的能量为1MeV的光子个数。
计算图1的模型时，MCNP会首先根据源的属性描述，抽样出一个起始粒子。
图1中的源为单能且单向的点源，所以每次抽样出的粒子都是能量、方向、种类相同的粒子。
这个粒子会沿着它的出射方向（垂直于铁块左表面）飞行,当它入射到铁块里时，会有一定的概率发生康普顿散射、电子对效应和光电效应。
发生三种反应的概率由MCNP的截面库中的微观截面数据、输入文件中铁的密度以及抽样得到的随机数共同决定。
若X射线发生了康普顿散射，原来的X射线将被具有新属性的X射线取代，它将有不同的出射方向、能量。
MCNP会继续输运这个新产生的X射线直到它发生下一次反应或者飞出感兴区；X射线还会有一定的概率不发生任何反应，直接透过铁块。
蒙特卡罗方法的应用【文献综述】
文献综述信息与计算科学蒙特卡罗方法的应用在解决实际问题的时候, 为了模拟某一过程, 产生各种概率分布的随机变量和对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题, 我们应该怎么办? 蒙特·卡罗是一种十分有效的求出数值解的方法.蒙特卡罗法（ monte-carlo method ）简称M -C 法 通过构造概率模型并对它进行随机试验来解算数学问题的方法. 以计算函数的定积分()()10I f x d x =⎰, ()01f x ≤≤为例, 首先构造一个概率模型: 取一个边长分别为和-的矩形, 并在矩形内随机投点M , 假设随机点均匀地落在整个矩形之内, 当点的掷点数N 充分大时, 则落在图中阴影区内的随机点数与投点总数N 之比M N 就近似等于积分值I .蒙特卡罗法历史悠久. 1773年法国G.-L.L.von 布丰曾通过随机投针试验来确定圆周率π的近似值, 这就是应用这个方法的最早例子. 蒙特卡罗是摩纳哥著名赌城, 1945年 J.von 诺伊曼等人用它来命名此法, 沿用至今. 数字计算机的发展为大规模的随机试验提供了有效工具, 遂使蒙特卡罗法得到广泛应用. 在连续系统和离散事件系统的仿真中, 通常构造一个和系统特性相近似的概率模型, 并对它进行随机试验, 因此蒙特卡罗法也是系统仿真方法之一.蒙特卡罗法的步骤是: 构造实际问题的概率模型; ②根据概率模型的特点, 设计和使用降低方差的各类方法, 加速试验的收敛; ③给出概率模型中各种不同分布随机变量的抽样方法; ④统计试验结果, 给出问题的解和精度估计.概率模型用概率统计的方法对实际问题或系统作出的一种数学描述. 例如对离散事件系统中临时实体的到达时间、永久实体的服务时间的描述（见离散事件系统仿真方法）就是采用概率模型. 虽然由这些模型所确定的到达时间、服务时间可能与具体某一段时间内实际到达时间、服务时间有出入, 但它是通过多次统计获得的结果, 所以从概率分布的规律来说还是相符的. 概率模型不仅可用来描述本身就具有随机特性的问题或系统, 也可用来描述一个确定型问题. 例如参数寻优中的随机搜索法（见动力学系统参数寻优）就是将参数最优化问题构造为一个概率模型, 然后用随机投点、统计分析的方法来进行搜索.随机数的产生用蒙特卡罗法进行仿真时, 需要应用各种不同分布的随机变量. 只要有一种连续分布的随机变量, 就可设法得到任意分布的随机变量. 在()0,1上均匀的分布函数是一种最简单的连续分布函数. 因此在蒙特卡罗法中, 多是先产生均匀分布随机变量 R 的抽样值()1,2,3,k =L , 称为随机数. 在计算机中产生随机数的方法有: ①把已有的随机数表输入计算机; ②用物理方法, 如噪声型随机数发生器产生出真正的随机数; ③用数学方法根据递推公式, 由程序来产生. 这种方法速度高, 占用机器的内存少, 使用最为普遍. 在计算机中表示一个数字的字长有限, 因此只能表示有限个不同的数, 而且用递推方法产生的数值序列是完全确定的, 到一定长度便周而复始, 这些都与随机数的基本性质相矛盾. 但是只要产生的数值序列能够通过随机数的各种统计检验, 仍可以把它当作随机数来使用.我们采用蒙特卡罗法的目的是为了得到各种估计量. 在实际应用中, 当所要求的问题是某种事件出现的概率, 或者是某个随机变量的期望值时, 我们通过某种“试验”的方法, 得到这种事件出现的频率, 或者这个随机变数的平均值, 并用它们作为问题的解.随着现代计算机技术的发展,蒙特卡罗方法已经在自然科学研究中发挥了重要的作用. 鉴于的重要性, 使得蒙特卡罗方法不仅在传统的应用领域如核物理、统计物理、分子动力学等领域得到广泛的应用,而且还在诸如经济学、人口学、医学等领域得到了推广和发展. 统计物理学中蒙特卡罗方法是用随机抽样的计算机模拟来研究平衡或非平衡热动力学系统的模型. 蒙特卡罗的抽样有两种:简单抽样和重要性抽样. Metropolis 方法就是最早的一种重要性抽样方法. 后来人们对此方法进行了一系列的改进,衍生出诸如Swenden-Wang 方法、Wolff 方法等团簇算法,随着人们对蒙特卡罗方法认识的进一步加深,新的更有效的方法必将越来越多的出现.以蒙特卡罗法模拟晶粒生长过程的研究进展为例, 自20世纪40年代中期, 由于科学技术的发展和电子计算机的发明, 23法作为一种独立的方法被提出来, 并且在核武器的研制中首先得到了应用. 直到80年代初由美国EXXON 研究组开发出二维算法后, 很快引起重视并应用于再结晶、多晶材料的晶粒长大、有序-无序畴转变等多种金属学和物理学仿真过程.1983年, Anderson 提出一个新型的MC 程序, 将其应用于二维的晶粒长大动力学模拟, 后来又将MC 法应用于模拟晶粒生长的尺寸分布、拓扑学和局部动力学的研究.1992年, Anderson 使用蒙特卡罗法结合晶粒间的相互作用能, 模拟晶粒边界能量和点缺陷浓度的最小值来驱动的微观结构的进化, 模拟结果与试验值复合很好.此后, 蒙特卡罗法在材料领域中得到了迅速的发展. 1994年, Paillard 等人应用MC 技术在二维网格上模拟铁硅合金的正常和异常晶粒的生长. 在模拟中, 他们提出不同结晶倾向的两个晶粒之间存在能量变化和不同的边界迁移率, 总结出蒙特卡罗法模拟晶粒长大可能性. 同年, Radhakrishnan和Zacharia提出了一个修正的MC算法, 该算法考虑了蒙特卡罗法模拟时间和真实时间的线性关系, 得出了两个修正的模型, 模拟出了晶粒长大的动力学曲线.1995年, 他们使用修正的MC模型研究了焊接热影响区晶粒边界的钉扎作用, 并获得了晶粒尺寸、MC模拟时间步和真实参数之间的关系.1995年, Gao等人提出了焊接热影响区晶粒长大的3个模型, 使MC模拟能够应用于整个焊接过程中.1999年, S Jahanian等人利用晶粒边界迁移的方法, 对0.5Mo-Cr-V焊接热影响区晶粒长大进行模拟, 主要模拟了距融合线120μm处晶粒长大的动力学和晶粒结构. 所使用的MC算法形成了进一步研究焊接热影响区晶粒尺寸生长模拟的研究基础.同样, 国内学者对晶粒长大的各种过程也有了不少的研究. 1994年, 陈礼清等利用平面三角形点阵及MC方法模拟二维多晶体晶粒的长大规律. 钟晓征等以MC方法为基础, 使用改进的A-Statepotts算法, 对多晶材料的正常和异常晶粒长大过程进行可视化模拟, 并对正常晶粒生长形貌演化也进行了可视化研究. 宋晓艳等利用三维技术模拟了较完整的单晶材料正常晶粒长大的过程, 获得了晶粒长大动力学和拓扑学的全面信息, 逼真地再现了晶粒长大过程, 是二维模拟难以比拟的. 但是由于焊接热影响区存在温度的梯度的急剧变化, 影响了动力学模拟的准确性.近年来, 学术界对蒙特卡罗法的关注度呈逐年上升的趋势.因其广泛的实用性, 它正以学术界的理论成果为基础, 在人们的劳动实践中扮演着越来越重要的角色. 它帮助着人们在实际的生产生活中更科学地做出决策. 例如,将蒙特卡罗模拟应用到收益法评估中, 扩大了收益法参数分析的覆盖范围, 提高评估计算的精确度可以通过确定参数恰当的波动范围, 从而提高评估结果的说服力和可信度.当然, 由于蒙特卡罗法的广泛适用性, 在进行实际问题的分析时, 需要结合具体问题和有关专业知识才能给出合理的解释. 虽然利用本身可对所研究的问题在一定程度上作分析, 但蒙特卡罗法估计量本身往往并不是最终目的, 更重要的是利用原始变量的信息, 然后对数据作进一步的分析, 从而对实际问题作出科学准确的决策.参考文献[1]王梓坤. 概率论基础与其应用[M]. 北京: 科学出版社, 1979.[2]李贤平. 概率论基础[M]. 北京: 高等教育出版社, 1997.[3]盛骤, 谢式千, 潘承毅. 概率论与数理统计[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001-6.[4]徐钟济. 蒙特卡罗方法[M]. 上海: 上海科学技术文献出版社, 1989.[5]刘军. 科学计算中的蒙特卡罗决策[M]. 北京: 高等教育出版社, 2009.[6]A. Lazopoulos. Error estimates in monte carlo and quasi-monte carlo integration. October. 11. 2004.[7]A. Lazopoulos. Application of the Monte Carlo method to solving mixed problems in the theory of harmonic functions. Springer New York, 1978, 2 .[8] P.C. Robert, G. Casella. 蒙特卡罗统计方法(第2版)(英文版) [M]. 北京: 世界图书出版公司北京公司, 2009.[9]Н.П. 布斯连科, А. 施廖盖尔著, 王毓云, 杜淑敏译: 统计试验法（蒙特卡罗法）及其在电子数字计算机上的实现[M]. 上海科学技术出版社, 上海, 1964.[10]朱力行, 许王莉. 非参数蒙特卡罗检验及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2008.。
蒙特卡罗方法在积分计算中的应用
用分裂显技然巧，，这而种对抽样x∈估R计2时技，巧利，用就俄是国对轮x盘∈赌R1，时而，使利 估计的期望值不变。由于对重要区域多抽样，对不重 要区域少观察，因此能使估计的有效性增高。
4. 半解析（数值）方法
考虑二重积分
g(x, y) f (x, y)dxdy
V2
R
Q g(x, y) f2 ( y
1
N
( x )2 f1(x)dx
6. 分层抽样
考虑积分
1
0 g(x) f (x)dx
在（0，1）间插入J－1个点
0＝α0＜ α1＜ …＜ αJ-1＜ αJ＝1
令
p j
j j1
f (x)dx
f (x) f j (x) 0
pj
j1 x j
其它
j
j j1
g
(
x)
f
j
(
x)dx
则有
从 fl(x) 中抽取 xi，再由 f2(y|xi) 中抽样确定 yi，然后用
gˆ N
1 N
N
g(xi , yi )
i 1
作为θ的一个无偏估计。
现在，改变抽样方案如下：
(1) 当x∈R1时，定义一个整数n(xi)≥1，对一个xi，抽取 (2) n(xi)个yij，j＝1，2，…，n(xi)。以平均值
J
p j j j 1
现的n在j 个，样用本蒙x特ij ，卡那罗么方有法计算θj ，对每个θj 利用 fj(x)中
gˆ
c N
J j 1
p
j
1 nj
nj
g
(
xij
)
i 1
g1(P) Vs g1(P) f1(P)dP
不管那种情况，我们称从最优分布 抽样，称函数 | g(P) | 为重要函数。
蒙特卡罗算法及简单应用
蒙特卡罗算法及简单应用蒙特卡罗算法是一种基于统计的计算方法，主要用于估计数学、物理和工程领域中难以直接求解的问题。
它通过随机采样和统计分析的方法，可以近似地得到问题的解或概率分布。
蒙特卡罗算法的核心思想是利用随机性来代替确定性，通过重复进行大量的随机实验，从而得到问题的近似解。
蒙特卡罗算法的主要步骤如下：1. 定义问题：将问题转化为数学模型，并明确待求解的量。
2. 随机采样：根据问题的特点，选择合适的随机采样方法，生成一系列的随机样本。
3. 计算估计值：根据随机样本计算待求解量的统计量，如均值、方差等。
4. 得到结果：根据统计量得出问题的近似解或概率分布，并根据需求进行分析和应用。
蒙特卡罗算法的简单应用非常广泛，下面以两个例子来说明。
1. 计算圆周率π的近似值：假设有一个边长为2的正方形，并在其中画一个半径为1的圆，那么这个圆的面积就是π/4。
现在我们需要通过蒙特卡罗算法估计圆周率的近似值。
步骤如下：1. 在正方形内随机生成大量的点。
2. 统计落在圆内的点的个数。
3. 通过统计量计算圆的面积，进而估计π的值。
这里的关键在于随机点的生成和统计量的计算，通过重复进行大量的实验，我们可以得到π的近似值。
2. 金融风险评估：蒙特卡罗算法可以用于金融领域中的风险评估。
以股票投资为例，我们希望知道在不同的投资策略下，投资组合的收益和风险的分布情况。
假设我们有若干个股票的历史数据，包括每日的收益率和波动率。
利用蒙特卡罗算法可以模拟出若干个未来的可能情景，然后根据投资策略计算每个情景下的投资组合收益和波动率，最终得到收益和风险的概率分布。
通过分析这些分布，投资者可以评估不同策略的风险和回报情况，制定合理的投资决策。
蒙特卡罗算法不仅可以应用于上述两个简单问题，还可以应用于复杂的问题，如模拟核反应堆的裂变过程、计算复杂的多维积分和求解偏微分方程等。
蒙特卡罗算法的优点是适用于求解各种类型的问题，无论是确定性问题还是概率性问题，只要问题可以建模为数学模型，并且可以通过随机采样进行估计，就可以使用蒙特卡罗算法进行求解。
《蒙特卡罗方法》PPT课件
5
1.引言
Monte Carlo方法简史 简单地介绍一下Monte Carlo方法的发展历史
1、Buffon投针实验： 1768年，法国数学家Comte de Buffon利用投针实验估计的值
完整版ppt
L
d
p
2L d
6
1.引言
7 完整版ppt
1.引言
8 完整版ppt
1.引言
9 完整版ppt
23 完整版ppt
1.引言
注意以下两点： • Monte Carlo方法与数值解法的不同: ✓ Monte Carlo方法利用随机抽样的方法来求解物理问题;
✓数值解法:从一个物理系统的数学模型出发,通过求解一 系列的微分方程来的导出系统的未知状态;
• Monte Carlo方法并非只能用来解决包含随机的过程的问题:
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2.MC基本思想
二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和 电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方 法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了 应用。但其基本思想并非新颖，人们在生产实践和科 学试验中就已发现，并加以利用。
➢ 两个例子 例1. 蒲丰氏问题 例2. 射击问题（打靶游戏）
4. 编程进行计算机模拟
5. 获得统计量
j
17 完整版ppt
1.引言
MC的模拟方法－1 确定统计方案
1 确定统计模型 1) 现象 模型
随机现象Y＝Y(Xi)， Xi={X1, X2, X3,…}
2) 确定随机变量Xi的分布特征fi(x) 平均分布，指数分布，正态分布，Γ分布…
2 确定统计量
j
i lnim1nkn1ik(xi,...)
1.引言
蒙特卡罗方法讲解
蒙特卡罗方法讲解
蒙特卡洛方法（Monte Carlo Method）又称几何表面积法，是用来解决统计及数值分析问题的一种算法。
蒙特卡洛方法利用了随机数，其特点是算法简单，可以解决复杂的统计问题，并得到较好的结果。
蒙特卡洛方法可以被认为是统计学中一种具体的模拟技术，可以通过模拟仿真的方式来估算一个问题的可能解。
它首先利用穷举或随机的方法获得随机变量的统计数据，然后针对该统计数据利用数理统计学的方法获得解决问题的推断性结果，例如积分、概率等。
蒙特卡洛方法在计算机科学中的应用非常广泛，可以用来模拟统计物理、金融工程、统计数据反演、运行时参数优化以及系统可靠性计算等问题，因此广泛被用于许多不同的领域。
蒙特卡洛方法的基本思想是：将一个难以解决的复杂问题，通过把它分解成多个简单的子问题，再用数学方法求解这些子问题，最后综合这些简单问题的结果得到整个问题的解。
蒙特卡洛方法的这种思路，也称作“积分”，即将一个复杂的问题，分解成若干小问题，求解它们的结果，再综合起来，得到整体的结果。
蒙特卡洛方法以蒙特卡罗游戏为基础，用统计学的方法对游戏进行建模。
蒙特卡洛在核技术中的应用讲义完整版
1) 能够比较逼真地描述具有随机性质 的事物的特点及物理实验过程
从这个意义上讲，蒙特卡罗方法可以部分代替物 理实验，甚至可以得到物理实验难以得到的结果。用 蒙特卡罗方法解决实际问题，可以直接从实际问题本 身出发，而不从方程或数学表达式出发。它有直观、 形象的特点。
2) 受几何条件限制小
在计算s维空间中的任一区域Ds上的积分 g g ( x1 , x2 ,, xs )dx1dx2 dxs
d
0
于是有
2l 2l aP as N
l sin
0
dx 2l a a
例２．射击问题
设射击运动员的弹着点分布为
8 9 10 环数 7 0.2 命中8环 0.1 0.3 0.5 概率 0.1 0 . 5 命中9环 用计算机作随机试验（射击） 的方法为，选取一个随机数ξ，按 命中10环 右边所列方法判断得到成绩。 这样，就进行了一次随机试 验（射击），得到了一次成绩 N 1 ｇ(r)，作Ｎ次试验后，得到该运 g N g (ri ) 动员射击成绩的近似值 N i 1 0.1 命中7环
1 N g N g (ri ) N i 1
作为积分的估计值（近似值）。
为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的 次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难， 甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方法的基本思想虽 然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代 以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过电 子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试 验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应 用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。
Ds
时，无论区域Ds的形状多么特殊，只要能给出描述Ds 的几何特征的条件，就可以从Ds中均匀产生N个点 (i ) (i ) ( x1(i ) , x2 ,, xs ) ，得到积分的近似值。 Ds N (i ) (i ) (i ) gN g ( x , x , , x 1 2 s ) N i 1 其中Ds为区域Ds的体积。这是数值方法难以作到的。 另外，在具有随机性质的问题中，如考虑的系统 形状很复杂，难以用一般数值方法求解，而使用蒙特 卡罗方法，不会有原则上的困难。
清华大学电力系统不确定性分析-----05蒙特卡罗模拟法_108801540
蒙特卡洛法的一般性原理
确定性问题
y
1
在正方形 0 x 1 ， 0 y 1 中随机地均匀地 投掷一点(ξ,η)，试求该点落在曲线 y f ( x) 下的
y=f(x)
概率 p。用 S 表示曲线 y f ( x) 下的区域；设ξ和η
S
相互独立，在[0,1]上满足均匀分布。于是有
u1 1 2 n2 exp n12 n2 n2 2 u2 1 n 2 1 2 n2 2 n1 n2
g n1 , n2 J
n12 exp 2 2 1
21
2 1 n2 2 exp 2
0.06 0.05
500000
0.04 0.03 0.02 0.01
1000000
1500000
2000000
> >
0 10000
30000
16
50000
70000
90000
蒙特卡洛法的基本特点
优点： ① 收敛速度与问题的维数无关 ② 受问题的几何条件影响不大 ③ 具有处理连续问题的能力 ④ 具有直接处理随机性问题的能力 缺点： a) 对于维数少的问题，一般是一维和二维问题，其 收敛速度慢 ，效率不及其它方法 b) 大的几何系统问题和小概率计算问题的求解偏差 c) 误差是概率误差而不是一般意义下的误差
0.00021
13787 33840 34366 20503 8164 2429 544
101
458166.0 699144.9 506523.4 236566.1 76105.1 18995.7 3744.1
蒙特卡罗(Monte Carlo method)方法知识详解
蒙特卡罗（Monte Carlo method）方法知识详解蒙特卡罗方法（英语：Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是1940年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而提出的一种以概率统计理论为指导的数值计算方法。
是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。
20世纪40年代，在冯·诺伊曼，斯塔尼斯拉夫·乌拉姆和尼古拉斯·梅特罗波利斯在洛斯阿拉莫斯国家实验室为核武器计划工作时，发明了蒙特卡罗方法。
因为乌拉姆的叔叔经常在摩纳哥的蒙特卡洛赌场输钱得名，而蒙特卡罗方法正是以概率为基础的方法。
与它对应的是确定性算法。
蒙特卡罗方法在金融工程学、宏观经济学、生物医学、计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）机器学习等领域应用广泛。
一、蒙特卡罗方法的基本思想通常蒙特卡罗方法可以粗略地分成两类：一类是所求解的问题本身具有内在的随机性，借助计算机的运算能力可以直接模拟这种随机的过程。
例如在核物理研究中，分析中子在反应堆中的传输过程。
中子与原子核作用受到量子力学规律的制约，人们只能知道它们相互作用发生的概率，却无法准确获得中子与原子核作用时的位置以及裂变产生的新中子的行进速率和方向。
科学家依据其概率进行随机抽样得到裂变位置、速度和方向，这样模拟大量中子的行为后，经过统计就能获得中子传输的范围，作为反应堆设计的依据。
另一种类型是所求解问题可以转化为某种随机分布的特征数，比如随机事件出现的概率，或者随机变量的期望值。
通过随机抽样的方法，以随机事件出现的频率估计其概率，或者以抽样的数字特征估算随机变量的数字特征，并将其作为问题的解。
这种方法多用于求解复杂的多维积分问题。
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。
蒙特卡罗方法基于这样的思想：假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。
高维数值积分的蒙特卡罗方法
高维数值积分的蒙特卡罗方法
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法是一种用于在概率学和计算机科学中解决各种高维数值
积分问题的算法。
它通过采样随机变量，从而使积分更加容易计算，而不是像多项式积分一样利用复杂
的数学算法。
蒙特卡罗方法是基于概率和概率抽样的，其基本原理围绕统计概率的抽样和累积建立，它把一个积分问题转换成一组随机变量的期望值求取问题。
它的基本原理是：要利用概率统计计算一个复杂的函数的积分，首先要设定一个合理
的概率分布函数，用随机变量抽样来表示要求积分的函数，把抽样点分布在积分函数的曲
线上，然后计算抽样点与概率分布函数的乘积，获得概率密度函数，并利用预设的抽样点
数和函数值，有可能求出积分函数的实际值。
蒙特卡洛方法的使用非常广泛，包括用于求解量子力学问题，模拟耦合力学的系统的
稳定性和性质，以及估计电子态演化路径等，它也被用于在统计物理学和金融世界采用模
拟过程生成行为模型，以研究和改善我们的直觉力。
蒙特卡罗方法在求解高维数值积分时特别有用，因为许多重要的科学计算都需要花费
大量的计算时间去解决高维数值积分问题，而采用蒙特卡洛方法可以有效地减少计算时间，提高效率。
最重要的是，它可以算出几乎任何复杂的函数的积分，包括一些不能用一般积
分算法解决的函数，这使得它在计算科学领域变得越来越流行。
蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的统计模拟方法，被广泛应用于金融、科学工程、计算机图形学等领域。
它的核心思想是通过随机抽样来估计数学问题的解，是一种以概率统计理论为基础的数值计算方法。
蒙特卡洛方法最早由美国科学家冯·诺伊曼在20世纪40年代提出，得名于摩纳哥蒙特卡洛赌场。
它的基本思想是通过大量的随机抽样来近似计算数学问题的解，从而避免了传统数值计算方法中复杂的数学推导和积分计算。
蒙特卡洛方法的优势在于能够处理复杂的多维积分、微分方程、概率分布等问题，同时也能够处理非线性、高维度、高复杂度的数学模型。
蒙特卡洛方法的应用非常广泛，其中最为著名的就是在金融领域的期权定价问题。
在期权定价中，蒙特卡洛方法通过模拟股票价格的随机演化，来估计期权合约的价格。
相比于传统的解析方法，蒙特卡洛方法能够更加灵活地处理各种复杂的期权合约，同时也能够更好地适应市场的波动性和随机性。
除了金融领域，蒙特卡洛方法还被广泛应用于科学工程领域。
在物理学中，蒙特卡洛方法被用来模拟粒子的运动轨迹、核反应、辐射传输等问题；在生物学中，蒙特卡洛方法被用来模拟分子的构象、蛋白质的折叠、生物分子的相互作用等问题；在工程学中，蒙特卡洛方法被用来进行可靠性分析、风险评估、系统优化等问题。
在计算机图形学领域，蒙特卡洛方法被广泛应用于光线追踪、全局光照、体积渲染等问题。
通过蒙特卡洛方法，可以模拟光线在场景中的传播和反射，从而实现逼真的图像渲染效果。
总的来说，蒙特卡洛方法是一种强大的数值计算方法，它通过随机抽样来近似计算数学问题的解，能够处理各种复杂的数学模型，被广泛应用于金融、科学工程、计算机图形学等领域。
随着计算机计算能力的不断提高，蒙特卡洛方法将会在更多领域发挥重要作用，成为解决复杂问题的重要工具之一。
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作为积分的估计值（近似值）。
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为了得到具有一定精确度的近似解，所需 试验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相 当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方法的基 本思想虽然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪 四十年代以来，由于电子计算机的出现，使得人们可 以通过电子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目 的随机试验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以 广泛地应用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用 。
f2()10/,,
0
其他
x a1 2
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每次投针试验，实际上变成在计算机上从
当随机变量的取值仅为1或0时，它的数学 期望就是某个事件的概率。或者说，某种事件的概率 也是随机变量（仅取值为1或0）的数学期望。
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因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用 随机试验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作
服从某种分布密度函数f(r)的随机变量ｇ(r)的数学期
望 g0 g(r)f(r)dr
➢ 作业
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第一章 蒙特卡罗方法概述
蒙特卡罗方法又称随机抽样技巧或统计试 验方法。半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电 子计算机的发明 ，这种方法作为一种独立的方法被提 出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。 蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方 法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方 法。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特 点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问 题，因而该方法的应用领域日趋广泛。
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1. 蒙特卡罗方法的基本思想
二十世纪四十年代中期，由于科学技术的 发展和电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独 立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中 得到了应用。但其基本思想并非新颖，人们在生产实 践和科学试验中就已发现，并加以利用。
➢ 两个例子 例1. 蒲丰氏问题 例2. 射击问题（打靶游戏）
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例１．蒲丰氏问题
设针投到地面上的位
置可以用一组参数（x,θ）来 描述，x为针中心的坐标，θ为
针与平行线的夹角，如图所示 。
任意投针，就是意味
着x与θ都是任意取的，但x的 范围限于［0，a］，夹角θ的 范围限于［0，π］。在此情况
下件，是针与x平行l线s相in交的数学条
针在平行线间的位置
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用概率语言来说，<g>是随机变量ｇ(r)的
数学期望，即
gE g(r)
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现假设该运动员进行了Ｎ次射击，每次射 击，g的(r弹2)着，点…依，次g(为rN)r的1，算r术2，平…均，值rN，则Ｎ次得分g(r1)
gN
1 N
N i1
g(ri )
代表了该运动员的成绩。换言之，为积分
<g>的估计值，或近似值。
在该例中，用Ｎ次试验所得成绩的算术平 均值作为数学期望<g>的估计值（积分近似值）。
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➢ 基本思想
由以上两个例子可以看出，当所求问题的 解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期 望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种 试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变 量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题 的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。
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➢ 计算机模拟试验过程
计算机模拟试验过程，就是将试验过程（ 如投针，射击）化为数学问题，在计算机上实现。以 上述两个问题为例，分别加以说明。
例1. 蒲丰氏问题 例2. 射击问题（打靶游戏）
由上面两个例题看出，蒙特卡罗方法常以 一个“概率模型”为基础，按照它所描述的过程，使 用由已知分布抽样的方法，得到部分试验结果的观察 值，求得问题的近似解。
➢ 基本思想 ➢ 计算机模拟试验过程
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例1. 蒲丰氏问题
为了求得圆周率π值，在十九世纪后期，
有很多人作了这样的试验：将长为2l的一根针任意投 到地面上，用针与一组相间距离为2a（ l＜a）的平行 线相交的频率代替概率P，再利用准确的关系式：
求出π值
P 2l a
2l 2l (N)
aP a n
蒙特卡罗方法
在核技术中的应用
林谦
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目录
第一章 第二章 第三章 第四章
蒙特卡罗方法概述 随机数 由已知分布的随机抽样 蒙特卡罗方法解粒子输运问题
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教材
蒙特卡罗方法在实验核物理中的应用
许淑艳 编著
原子能出版社
蒙特卡罗方法
清华大学
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参考书
蒙特卡罗方法及其在粒子输运问题中的应用
其中Ｎ为投计次数，n为针与平行线相交
次数。这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。
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一些人进行了实验，其结果列于下表 ：实ຫໍສະໝຸດ 者年份 投计次数 π的实验值
沃尔弗(Wolf) 1850
5000
3.1596
斯密思(Smith) 1855
3204
3.1553
福克斯(Fox) 1894
1120
3.1419
拉查里尼 (Lazzarini)
1901
3408
3.1415929
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例2. 射击问题（打靶游戏）
设r表示射击运动员的弹着点到靶心的距 离，ｇ(r)表示击中r处相应的得分数（环数），f(r)
为该运动员的弹着点的分布密度函数，它反映运动员 的射击水平。该运动员的射击成绩为
g0 g(r)f(r)dr
如何产生任意的（
x,θ）？x在［0，a］上任意取 值，表示x在［0，a］上是均匀
分布的，其分布密度函数为：
1/a, 0xa f1(x)0, 其他
类似地，θ的分布
密度函数为：
因此，产生任意的
（x,θ）的过程就变成了由 f1(x)抽样x及由f2(θ)抽样θ
的过程了。由此得到：
上均其匀中分ξ布1，的ξ随2机均变为量（。0,1）
裴鹿成 张孝泽 编著
科学出版社
蒙特卡罗方法
徐钟济 编著
上海科学技术出版社
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联系方式
电话
83918
电子邮件
linqian@
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第一章 蒙特卡罗方法概述
1. 蒙特卡罗方法的基本思想 2. 蒙特卡罗方法的收敛性，误差 3. 蒙特卡罗方法的特点 4. 蒙特卡罗方法的主要应用范围