专题55一次函数中的构造等腰直角三角形(解析版)

专题55 一次函数中的构造等腰直角三角形
1、如图1，等腰直角三角形A3C中，ZAC5=90°, CB=CA,直线经过点C,过A作AO_LED于点D,过B作BE工
ED于点E.
求证：4 BECW4CDA；
解：(1)由题意可知：△ BEOgAAOD (K型全等)，
:.OE=AD9
・: k= - 1,
，y= - x+4,
：.B(0, 4),
；・OB=4,
・：BE=3,
・•・OE=H
:・AD=5
4 1 4
(2) k=-77时，v= -77.1+4,
3 3
•"⑶ o),
①当且时，
过点"作加人」丫轴，
:•△BMNWMBO (AAS),
:・MN=OB, BN=OA,
：.MN=49 BN=3,
：.M (4, 7):
②当且AM=A3 时，
过点M作x轴垂线MK,
：.^ABO^/^AMK (AAS),
:.OB=AK, OA=MK t
，AK=4, MK=3,
：.M(7, 3)：
③当且AM=3M 时，
过点M作轴，MG_Ly轴,
:•△BMGQAAHM (AAS),
；・BG=AH, GM=MH,
:・GM=MH,
,MH=二,
7 7 综上所述：M（7, 3）或M （4, 7）或M （左彳）乙乙
4 (3)当Q0 时，4?=子.
k
过点。

作3。

轴，
:•△ABO94BQS (AAS),
:・BS=OA, SQ=OB,
4
：.Q(4, 4-丁)，k
，当k=l时，。

最小值为4：
4
当&VO 时，Q（4, 4-丁），k
，当k=l时，。

最小值为明与k<0矛盾, ，。

的最小值为4.
2、己如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6, 0）、点8的坐标为（0, 8）,点。

在y轴上，作直线
AC.点3关于直线AC的对称点方刚好在x轴上，连接。

夕.
（1）写出点夕的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式:
（2）点。

在线段AC上，连接。

5、DB\ BB',当△。

89是等腰直角三角形时，求点。

坐标:
（3）如图2,在（2）的条件下，点尸从点3出发以每秒2个单位长度的速度向原点。

运动，到达点O 时停止运动，连接P。

，过。

作。

尸的垂线，交汇轴于点。

，问点尸运动几秒时^从。

是等腰三角形.
解：（1）的坐标为（6, 0）、点8的坐标为（0, 8）,
••Q=6, 05=8,
V 4。

8=90。

• •AB~ 10,
••,8与8关于直线AC对称，
：.BC=CB\ AB l=AB=\O.
-4, 0),
设点C (0, m),
，OC=/〃，
:・CB,=CB=8・m,
; 在RtA CO9中，NCOS=90°,
A/n2+16= (8 - m) 2,
/.6=3,
：.C(0, 3),
设直线AC的解析式为3=匕+〃(后0),
把A (6, 0) , C (0, 3)代入可得2=4 b=3, 乙
，y=-点+3：
(2) ,••AC垂直平分8兄
：.DB=DB\
•••△BOB'是等腰直角三角形，
:.NBDB'=90。

,
过点。

作OE_Lx轴，。

尸J_y轴，
，ZDFO= NDFB= N DEB，=90。

,
丁ZEDF=3600 - NDFB - 4DEO - /EOF, NEO尸=90。

,，/EDF=90。

,
，NEDF= ZBDB\
；.NBDF=/EDB\
:•△FDBgAEDBYAAS),
：.DF=DE9
设点。

(…)代入尸-93中, 乙
4 = 2,
：.D(2, 2)：
(3)同(2)可得NPDF=NQDE,•；DF=DE=2, /PDF=NQDE, :■△PDgXQDE (A4S),
:・PF=QE,
①当OQ=D4时，
VDE±x ?|1|,
：.QE=AE=49
:・PF=QE=4,
:・BP=BF・ PF=2,
，点P运动时间为1秒:
②当A0=A。

时，
VA (6, 0)、D(2, 2),・"。

=2右，
・"。

=2 遍
:・PF=QE=2正
：.BP=BF・PF=U)-2j^,
，点P的运动时间为5 -巡秒:③当时,
设。

E=〃，
则。

=0A =4 -〃，
在Rl/kOE。

中，/。

七。

=90。

,
，4+〃2= (4 - 〃)2,
/. /?= 1.5,
：.PF=QE=\.5,
:・BP=BF+PF=75,
・•・点尸的运动时间为3.75秒,
V0</<4,
Ar=3.75,
综上所述：点P的运动时间为1秒或5 -近杪或3.75秒.
B
3、定义：在平面直角坐标系中，对于任意尸(xi, vi), O (必必)，若点M (x, y)满足x=3 (xi+x2)»y =3 则称点河是
点尸，。

的“美妙点例如：点尸＜1, 2), Q ( -2, 1),当点"(x, y)满
足x=3x (1-2) =-3, y=3x (2+1) =9时，则点“(-3, 9)是点尸，。

的“美妙点”.
(1)己知点,4 ( - 1, 3), B (3, 3), C (2, -2),请说明其中一点是另外两点的“美妙点”：
(2)如图，已知点。

是直线y=2x+2上的一点.点、E (3, 0),点河(x, y)是点。

、E的“美妙点
□求》与X的函数关系式；
口若直线DM与x轴相交于点尸，当::ME户为直角三角形时，求点。

的坐标.
解:⑴二3x ( - 1+2) =3. 3x (3-2)=3
二点、B是A、C的“美妙点”:
(2)设点。

(m, —m+2\
3
二二M是1D、E的“美妙点二
二x=3 (3+?w) =9+3而，y=3 +2) =m+6.
故m~—x -3,
3
二丫= (—x- 3) +6=—A+3：3 3
二由二得，点M (9+3M1+6),
如图1.当二MEF为直角时，则点M (3, 4),
□9+3洲=3,解得:m= - 2；
口点。

(-2,母)；
当二MFE是直角时，如图2,
则9+3TW=，〃，解得：7〃一 ~ —»2
二点、D( Y，《)；
2 2
当二EMF是直角时，不存在，
.卜，/与。

-2 , 三।或一二•二：.
3 2 2
4、如图，过点d (1, 3)的一次函数y=h+6 (心0)的图象分别与x轴,y轴相交于3, C两点.
<1）求k的值；
（2）直线/与〉轴相交于点管（0, 2）,与线段8C相交于点£
</）若直线/把二30C分成面积比为1： 2的两部分，求直线/的函数表达式：
（二）连接,40,若二IDE是以为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标.
解：（1）将点X的坐标代入一次函数y=6+6并解得:
k=- 3：
（2）一次函数y=-3x+6分别与x轴，y轴相交于8, C两点,
则点8、。

的坐标分别为：（2, 0）、（0. 6）：
H Sisco-- X OB^CO~— X 2x6=6,
2 2
直线，把二B。

分成面积比为1：2的两部分，
则S XDE=2或4，
而S ICD£=—X CD X X£=—X4XX£=2：k 4, 2 2
则X£=l或2,
故点H （1, 3）或（2, 0）,
将点E的坐标代入直线/表达式并解得：
直线，的表达式为：y=±r+2：
（二）设点E （册，-3zw+6）,而点工、。

的坐标分别为：（1, 3）、（0, 2）,
则zt£2=（w- i）2+ （3-3加2,,山』2, 印=切2+ （4-3加）2,
时，（“L 1） -（3-3环」2. /"：〃L包誓成■殳誓：
5 5
当J£=ED时，同理可得：山=与；
2
“•I1-二伯灰足、/ 5+/5 15-375、6,5-75 15+3勺石. 3 3
综上，点E的坐标为：（一3—，——―1一）或（一3—，——卢一）或' 77）.
5 5 5 5 2 2
5、建立模型：
如图1,等腰Rt二"。

中，二2C=90。

，CB=BA,直线皮＞经过点8,过工作二ED于。

，过。

作CE二ED于£则易证二。

＞8二匚8EC.这个模型我们称之为“一线三垂直它可以把倾斜的线段.43和直角二〃C转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用.
模型应用：
（1）如图2,点,4 （0. 4）,点3 （3, 0）,二四C是等腰直角三角形.
口若二45c=90。

，且点C在第一象限，求点。

的坐标：
口若,曲为直角边，求点C的坐标：
（2）如图3,长方形MFNO,。

为坐标原点，下的坐标为（8, 6）,河、N分别在坐标轴上，尸是线段人丁上动点，设尸N=〃，已知点G在第一象限，且是直线y=K——6上的一点，若匚MPG是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标.
解：⑴二过点。

作C。

二X轴于点D.
二二80c=90。

=二4。

3,
二二3CD+二DC8=90。

，
二二130=900,
二二工3。

-二。

5。

=90。

，
二二ABO=BCD.
二AB=BC,
二二HOB二二BDC 3S）,
DC=OB=3, BD=OA=4,故点。

（7, 3）：
二若■曲为直角边，则除了二的情况以外，另外一个点。

（C）与二中的C关于点3对称,故点C （- 1, -3）：
故点C的坐标为：（7, 3）或（7, -3）：
（2）如图2,当二尸=90。

时,AfG=PG,
过点尸作PE二。

M于E,过点G作GH二尸E于H.
二点E与点M重合，二GF=《H8=4
2
设G 点坐标为G, 2%-6）, 6- （2x-6）=4,得x=4.
易得G点坐标（4, 2）：
如性13. ”1二MG尸=90。

时，尸G时，同理得G点坐标（型，—）,
3 3
综上可知,满足条件的点G的坐标分别为（4, 2）或（空,孕）. 3 3
6、如图1,直线，：尸手+2与x轴交于点.4,与y轴交于点工已知点C（-2, 0）.
（1）求出点点3的坐标.
（2）尸是直线48上一动点，且匚3。

尸和二COP的面积相等，求点尸坐标.
（3）如图2,平移直线/,分别交x轴，y轴于交于点48】，过点。

作平行于），轴的直线机，在直线加上是否存在点。

，使得口』耳。

是等腰直角三角形？若存在，清直接写出所有符合条件的点。

的坐标.
解得：x=-4,
设x=0,则y=2,
匚点X的坐标为（-4, 0）,点8的坐标的坐标为（0, 2）；
（2）二点C （-2, 0）,点8 （0, 2）,
匚OC=2. OB=2,
二尸是直线X8上一动点，
二设尸（加，—ni+2）»
2
二二BOP和二CQP的面枳相等，
--J-X2|?72X 2X -j- 7??+2 ）*
2
解得：加=±4,
当热=-4时，点尸与点X重合，
二点尸坐标为（4 4）：
（3）存在;
理由：如图1,
二当点8】是直角顶点时，
二二，1B1O+二QBiH=90°, ZAiB l O+ZOA i B1= 9Q°.二二。

丸/=二@iH,
'/Ai。

5 =/B1HQ
在EiOft和口区盛中，NOAFi=NHB[Q , A[B]=B[Q 二二AQBi二二B\HQ (W』S),
二8q=山0, OB\=HQ=2,
□Bi (0, -2)或(0, 2),
当点Bi (0, -2)时，0(-2, 2),
当点Bi (0, 2)时,
匚B (0, 2),
(0, 2)(不合题意舍去)，
二直线向下平移4个单位,
二点。

也向上平移4个单位，
匚。

（-2, 2），
二当点£是直角顶点时，£&=4。

，
二直线15的解析式为产点+2,
由平移知，直线3 的解析式为广畀瓦乙ZJi ( -2b, 0), Bl (0, 6),
二人员2=4〃+62=5科
二X向二小。

，
二直线小。

的解析式为），=-2x - 4b
匚。

（-2, 4-46）,
ZAiO1=（-2计2）2+ （4-4b）2=20bM0b+20.
二20〃 - 406+20=5〃,
二6 = 2 或6=2,
3
二。

（-2, -4）或（-2. —
3
二当。

是直角顶点时，过。

作"二］，轴于H
^.A\O-B\Q
二二。

乂1。

1+二力。

=90。

，二乂10C-二C@i=90。

,二二0小。

=二Cg
二加二y轴，
二二CQB产二QBH
ZZOAiC=ZOBiH
r ZQA1C=ZQB1H
在二H0C。

二B10H中，，ZA1CQ=ZB1HQ=90°,
A1Q=B1Q
二二七0C二二810H 3S）,
二CQ=QH=L B\H=A\C,
匚。

（-2, 2）或（-2, -2）,
即：满足条件的点。

为（-2, 2）或（-2, -2）或（-2, 12）或（-2, -1）.
7、如图1,等腰直角三角形MC中，二dC3=90。

，CB=CA,直线。

E经过点C,过,4作JZCDE于点。

，
过B作BE二DE于点E,则二班C二匚CD4,我们称这种全等模型为“K型全等”.（不需要证明）【模型应用】若一次函数y=h+4 （屈0）的图象与x轴、y轴分别交于乂、3两点.
（1）如图2,当k=-l时，若点8到经过原点的直线/的距离3E的长为3,求点工到直线，的距离的长；
（2）如图3,当左=-9时，点M在第一象限内，若二的是等腰直角三角形，求点河的坐标；
（3）当k的取值变化时，点乂随之在x轴上运动，将线段34绕点8逆时针旋转90。

得到30,连接。

，求。

长的最小值.
解：（1）由题意可知：二8E。

二二10。

（K型全
等）,
二。

£*=皿
Uk= - 1,
二尸-x+4,
匚3 (0, 4),
匚08=4.
二BE=3,
二OE="
二10=J7：
(2) k= -ylH, y= - ^x-4
二A (3, 0),
二当二43,且用时, 过点M作MN-y轴，二二BMN二二ABO 3S),
二MN=OB, BN=OA.
匚MN=4, BN=3,
CM (4, 7)：
二当二必/,且时,
过点河作、轴垂线A公，
二二ABO二二AMK 3S),
二OB=AK, OA=MK,
当KO时,O (4. 4 •看九
二当上=1时，。

最小值为4,与上VO矛盾,二。

的最小值为4.
02
8、【模型建立】
（1）如图1,等腰直角三角形ABC中，NACB=90。

，CA = CB,直线E。

经过点C,过A作AO_LE。

于点、D,过3作8E_LEO于点E.
求证：&CDA94BEC.
【模型运用】
（2）如图2,直线k 尸名+4与坐标轴交于点A、B,将直线八绕点A逆时针旋转90。

至直线八，求直线的函数表达式.
【模型迁移】
如图3,直线/经过坐标原点0,且与x轴正半轴的夹角为30。

，点A在直线/上，点P为x轴上一动点, 连接AP，将线段AP绕点尸顺时针旋转30。

得到8P,过点5的直线5c交x轴于点C, NOC3=30。

，点B至Ijx 轴的距离为2,求点P的坐标.
证明：【模型建立】
(1) VAD±DE9 BELDE,
AZD=ZE=90c
•: ZACB=90%
；• NACD=900 ・ NBCE= NCBE,且C4=8C, ZD=ZE=90°
J.ACDA^ABEC (AAS)
【模型运用】
（2）如图2,在/2上取。

点，AD=AB,过。

点作垂足为E
v ri^y-y.v+4叮坐标轴交于点A、J •" ( -3, 0) , 8 (0, 4),
：.OA=3, 03=4,
由(1)得^ BOA g AAED,
：.DE=OA = 39 AE=OB=4,
:・OE=1,
：.D( -7, 3)
设h的解析式为y=k.x+b,
2J 3=-7k+b
0=-3k+b
解得： V
,直线，2的函数表达式为：V=寸1 【模型迁移】
(3)若点尸在x轴正半轴，如图3,
图3 B,
9
过点B作BELOC,
・；BE=2, N8CO=30°, BELOC
：.BC=4,
*•将线段AP绕点P顺时针旋转30。

得到BP,
；・AP=BP, NAPB=30。

，
V NAPC= ZAOC+ZOAP= NAPB+NBPC,
：.ZOAP=ZBPC9且NO4C=NPCB = 30。

，AP=BP, :•△OAPW4CPB (AAS)
：.OP=BC=4,
工点P(4, 0)
若点?在不轴负半轴，如图4,过点8作8£1。

0
♦；BE=2, ZFCO=30°, BELOC
：.BC=4,
•••将线段AP绕点P顺时针旋转30。

得到BP,
工AP=BP, NAP3=30。

，
: ZAPE+ZBPE=30% N5CE=300= NBPE+NPBC,
：.ZAPE=4PBC,
丁NAOE=N5CO = 30。

，
A ZAOP=ZBCP=150Q,且NAPE=NPBC, PA=PB
:• △OAPQACPB (AAS)
：.0P=BC=4,
工点、P( -4, 0)
综上所述：点尸坐标为(4, 0)或(-4, 0)
9、如图1,在平面直角坐标系中，直线歹=-小+匕与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C （m, 0）在线段上，将
线段CB绕着点C顺时针旋转90。

得到CD,此时点。

恰好落在直线AB上，过点D作OEJ_x 轴于点E.
（1）求一和一的数量关系:
（2）当,〃=1时，如图2,将△BCO沿;v轴正方向平移得△夕CD,当直线夕。

经过点。

时，求点夕的坐标及△5CO平移的距离；
（3）在（2）的条件下，直线A8上是否存在一点P,以P、C、。

为顶点的三角形是等腰直角三角形?
若存在，写出满足条件的P点坐标：若不存在，请说明理由.
解：⑴宜线尸-,竹。

'j V轴相交于5点, 乙
：.B (0, b)
：・OB=b,
•••点C (加，0)
OC=!H
♦；NBCO+/ECD=9G, N8CO+NO8C=90。

, ：.ZOBC=ZECD. 308c和△ECD中，
'/OBO/ECD
• BC=CD
ZBOC=ZDEC=90O
•••△OBC q AECD (AAS)
:・BO=CE=I八DE=OC=m,
•二点。

(.b+mt m)
/. m= -]■!b+m) +/?
乙
:・b=3m
(2) Vw=L
：.b=3,点C (1, 0),点。

(4. 1)
J直线AB解析式为：产■黑3
设直线8C解析式为：尸“x+3,且过(1, 0)
，0=4+3
/• a =- 3
•••直线BC的解析式为y= - 3x+3,
设直线夕。

的解析式为y=-3x+c把。

（4. 1）代入得到。

=13,工直线9C的解析式为y= - 3x+13,
1V=0时…=卷
•••方（孚》「粤，0）J J
工△BCD平移的距离是多个单位.
（3）当/PC£）=90。

，PC=CO 时，点P 与点8 重合,
1点P（0，3）
如图，当NCPO=90。

，PC=PDW\.
\9BC=CD, NBCD=90°, ZCPD=90°
；・BP=PD
，点P是3。

的中点，且点8 （0, 3）,点。

（4, 1）
工点P（2, 2）
综上所述，点P为（0, 3）或（2, 2）时，以P、C、。

为顶点的三角形是等腰直角三角形.
4
10、如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数的图象交于点A,且与人•轴交于点从
（I）求△AO8的面积：
（2）在），轴上找一点C,使AC+8C最小，求最小值及C点坐标.
（3）点尸从。

出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点。

从5点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当A BP。

为等腰三角形时，求。

点坐标.
（1）v V- —7叮正比例函数尸去的图象交于点A,且与工轴交;点反
4
，点B（7, 0）, 7+7=全
，x=3,
，点A （3, 4）
AOS=,X7X4=14：
乙
（2）如图1,作点3关于y轴的对称点〃（-7, 0）,连接交y轴于点C
，此时AC+8C最小值为
•.•点A (3, 4),点〃(-7, 0),
+7） 2十（4-0） 2=2^,
."C+3C最小值为2A后，
设直线A"解析式为：y=kx+b,且过点A （3, 4）,点〃（-7, 0）,
,4=3k+b
*，（O=-7k+b，
5
解得：一
L 14
b=v
2 14 ・二直线A〃解析式为：\+-="；a □
（3）如图2,过点。

作。

从LO8,
••,以同样的速度运动，
；・BQ=OP,
:一次函数y= -x+7与y轴交于点D,，点。

（0, 7）,
：.OD=OB=1.且NOO8=90。

，
A ZDBO=45\且。

EJ_O&
：.ZQBE=ZEQB=45Q9
:・QE=BE, :・QB=^E=^B,
若PB=QB,K OP=BQ.
7 ：.OP=PB=^=BQ,
772 ：.BE=EQ=-^ 4
：.OE=1
4
点:。

（7-平,平）, 4 4
若QP=QB,且。

口。

& 1・PE=BE,
•：0B=7 = 0P+PE+BE, ：J=«^E+2BE,
.,.BE*—:的=QE,2
诋14-7V2 .
如图3,若BP=PQ,过点P作PEL8Q,
:.BF=FQ*BQ, 乙
V ZABO=45% PF±AB.
1・NFPB=NABO=45。

,
:・PB=M BF,
.,•7-6。

考乙
14
772
：.BE=QE=—^-
二点。

坐标为（7-02,02）.
11、一边长为4正方形QAC3放在平面直角坐标系中，其中。

为原点，点A、8分别在x轴、y轴上，。

为射线。

8上任意一点.
（1）如图1,若点。

坐标为（0, 2）,连接A。

交OC于点£则AAOE的面积为：
（2）如图2,将ZkA。

沿A。

翻折得△AED,若点七在直线尸图象上，求出E点坐标:
（3）如图3,将△AO。

沿4。

翻折得△AEO, OE和射线交于点F,连接A凡若ND4O=75。

，平而内是否存在点。

，使得^AF。

是以A尸为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点。

坐标：若不存在，请说明理由.
解：（1）•••边长为4正方形OAC3放在平面直角坐标系中，
••・点A 坐标（4, 0）,点。

（4, 4）,
.••直线OC解析式为：产x,
•・•点。

坐标为（0, 2）,点A坐标（4, 0）,
••・直线AO解析式为：尸"x+2,
乙
"yr
.T 1
片下》2
* - W
解得：〃
4
,点E坐标（言，,）
1 4 8
•\ △AOE的而枳=■不乂4/二予（C J O
故答案为：-1:
（2）如图2,过点E作E〃_LO4.
02
:将△ AOD^AD 翻折得△ AED.
：.A0=AE=4, 设点E (a,右)， ：.OH=a, E H /“, .\AH=4 . u.
\9AE 2 = EH 2+AH 2.
/. 16="^-</2+ (4-a) 2, y
79 ・・.“=。

（舍去），「五
:•点E (3) ,:将△AO 。

沿 AO 翻折得△AED,
A ZDAO=ZDAE=75% OA=AE. NDOA = NOE4=90。

, ，NOAE=150。

，AE=AC. NACF=NAED=90°, ，NCAE=60。

，
\9AE=AC, AF=AF,
•••R3AE/&R3 ACF (HL)
AZCAF=ZEAF=30°,且 AC=4,
.CF =33
△AF 。

是以AE 为直角边的等腰直角三角形， ，若/4尸。

=90。

，AF=FQ.如图 3,过点。

作 QN_L8F. 96
25
:•NNQF+/QFN=90。

,且NQFN+NAFC=90°,
:・NNQF=4AFC,且NACF= NQN尸=90。

，QF=AF. :•△QNgXFCA (AAS)
:.QN=CF=^^~, AC=NF=4,
二点。

竿T)
同理川.求：。

’(8卷3, 4-弓3),
若NE4Q=90。

，AF=A0 时，
同样方法可求，。

"(0, 243，。

"‘(8,。